TEMA 3: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES MEDIANTE DETERMINANTES.

2º BACH(CN)

TEMA 3: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES MEDIANTE DETERMINANTES. 1.-INTRODUCCIÓN. La resolución de sistemas de ecuaciones está ligada al estudio de la posición relativa de rectas o planos. Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas estamos estudiando la posición relativa de las rectas que forman el sistema de ecuaciones:

Solución única

Solución única

Infinitas soluciones

Sin solución

Sin solución

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Y cuando resolvemos un sistema de ecuaciones con tres incógnitas estudiamos la posición relativa de los planos que forman el sistema:

Solución única

Solución única

Sin solución

Infinitas soluciones

Sin solución

Dependiendo de esas posiciones relativas diremos si tienen solución o no los sistemas, así tendremos:

Una solución Con solución

COMPATIBLE

SISTEMA

Infinitas Soluciones

DETERMINADO

INDETERMINADO

Sin solución INCOMPATIBLE

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2.-DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Discutir un sistema de ecuaciones dependiente de uno o más parámetros consiste en identificar el sistema es compatible, distinguiendo los casos en los que es determinado o indeterminado, o incompatible. Si lo hacemos utilizando el Método de Gauss para resolver sistemas que vimos el curso pasado, al finalizar el proceso podíamos llegar a uno de las siguientes situaciones:

(I)

donde

y

e

cualquier número,

entonces el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO.

(II)

donde

y

e

cualquier número,

entonces tenemos menos ecuaciones válidas que incógnitas, entonces el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO.

(II)

donde

y

e

cualquier número, entonces la

última ecuación del sistema no se puede cumplir nunca, entonces el sistema es INCOMPATIBLE. 3.-TEOREMA DE ROUCHÉ. Definición.- Dado un sistema de ecuaciones de n incógnitas y n ecuaciones: (*) llamamos matriz de coeficientes a la matriz A dada por:

y llamamos matriz ampliada a la matriz

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dada por:

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Teorema de ROUCHÉ.El sistema (*) tiene solución si y sólo si rang( )=rang(

).

Ejemplos:

1)

2x 3 y z 4 x 2 y 5 tiene solución? ¿El sistema de ecuaciones 3y z 1 2 3 1 2

La matriz de coeficientes es A

0 3

1 0 y det( A ) 1 2 3

Por otro lado la matriz ampliada es A

A

2

0

rang( A )

3.

1 4

1 2 0 5

y

rang( A ) 3 , ya que como

0 3 1 1 tiene tres filas su rango no puede ser mayor que 3 y la matriz A es un menor distinto de cero de A . Luego como rang( A )

rang( A ) entonces el sistema es compatible, es decir, tiene

solución.

2)

x 2y z 0 x y 1 ? ¿Y el sistema de ecuaciones 2x 3 y z 2

La matriz de coeficientes es A

1

2 1

1

1 0 y tenemos que el determinante se anula, 3 1

2 es decir, A

0

1 1

2 1

1 0

rang( A )

Por otro lado la matriz ampliada es A

1 1 orden 3, como por ejemplo 1 0 2 1 quiere decir que

2. 1

2 1 0

1

1 0

2

3 1 2

1 y si cogemos un menor de

0 1 , comprobamos que es distinto de cero, luego eso 2

rang( A ) 3 .

Por tanto, como

rang( A )

rang( A ) entonces el sistema es incompatible, es decir, no

tiene solución.

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4.-REGLA DE CRAMER La regla de Cramer es un teorema que nos permite obtener la solución de un sistema de n ecuaciones y n incógnitas utilizando determinantes.

Definición: Sean A

a11 a 21

a12 a 22

... a1n ... a 2 n

... a n1

... an2

... ... ... a nn

y A

a11 a 21

a12 a 22

... a1n c1 ... a 2 n c 2

... a n1

... an2

... ... ... ... a nn c n

la matriz de

coeficientes y la matriz ampliada respectivamente de un sistema de ecuaciones con n incógnitas, x1 ,

c1 c2

a12 a 22

... a1n ... a 2 n

... cn

... an2

... ... ... a nn

a11 a 21

a12 a 22

... c1 ... c 2

... a n1

... an2

... ... ... c n

Ax1

Axn

x 2 , ... , x n , definimos Ax1 como

, Ax2

a11 a 21

c1 c2

... a1n ... a 2 n

... a n1

... cn

... ... ... a nn

y así sucesivamente hasta

Teorema de CRAMER.Dado (*), un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, en el que A decir, con solución ( rang( A )

0 , es

rang( A ) ). Entonces la solución del sistema viene dada

por:

x1

Ax1 A

,

Ax2

x2

A

, …y

xn

Axn A

2x 3 y z 4 x 2y 5 . Ejemplo: Resuelve el sistema de ecuaciones 3y z 1 Como vimos en el ejemplo 1) del apartado anterior, el sistema es compatible, es decir, tiene solución. El det( A )

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A

2

0 y además:

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Ax

Luego

4 3 5 2

1 2

1 3

1

Ax

x

38 , Ay

38 2

A

2 4 1 5

1 2

0 1

1

2 3 4 1 2 5

1 y Az

17

0 3 1

Ay

19 , y

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1 y z 2

A

Az

17 2

A

17 2

5.-DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES. Caso general: Dado un sistema de Cramer de orden n (es decir, con n ecuaciones y n incógnitas) tenemos que: (1) Si A

0

rang( A )

rang( A )

(2) Si A

0

rang( A )

n

n

Sistema compatible determinado (SCD).

Pueden pasar dos cosas:

(2a) Si

rang( A ) rang( A ) n

(2b) Si

rang( A )

rang( A )

Sistema compatible indeterminado (SCI). Sistema incompatible (SI).

Caso particular y/o más frecuente, n=3: Dado un sistema de Cramer de orden 3 (es decir, con 3 ecuaciones y 3 incógnitas) tenemos que: (1) Si A

0

rang( A )

(2) Si A

0

rang( A ) 3

rang( A )

3

Sistema compatible determinado (SCD).

Pueden pasar dos cosas:

(2a) Si

rang( A ) rang( A )

Sistema compatible indeterminado (SCI).

(2b) Si

rang( A )

Sistema incompatible (SI).

rang( A )

Observación: En el caso (2a) pueden ocurrir dos cosas: (2a1)

rang( A ) rang( A ) 2

(2a2)

rang( A ) rang( A ) 1

En ambos, el sistema es compatible indeterminado 6.-SISTEMAS HOMOGÉNEOS. Definición:

Se

llama

sistema

homogéneo

a

aquel

sistema

cuyos

términos

independientes son todos cero.

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Propiedades: 1.-Un sistema homogéneo tiene, con seguridad, la solución trivial x1

x2

...

xn

0.

2.-Para que un sistema homogéneo tenga más soluciones que la trivial, es necesario y suficiente que rang( A )

nº de incógnitas .

Ejemplo: Resolver

x

y

z

x

y 2z

0. z 0

2x 4 y

A

1 1

1 1

1 2

2

4

1

0 , pero

0

1 1

1 1

2

0

rang( A )

2.

Entonces podemos suprimir la última ecuación (me quedo con las que son linealmente independientes) y pasar la variable z al segundo miembro, quedándonos:

x y z , sumando las ecuaciones nos queda 2 x x y 2z Si

x

3 ze y 2

1 z. 2

, tenemos infinitas soluciones, que dependerán del valor que yo asigne al

z

parámetro

x

3z

:

3 2

1 2

, y

y

.

z

7.-FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES. Dado el sistema de ecuaciones (*) lo podemos expresar matricialmente del siguiente modo:

C donde A , X y C son las matrices siguientes

A X

A

a11 a 21

a12 a 22

... a1n ... a 2 n

... a n1

... an2

... ... ... a nn

,

x1 x2 ... xn

X

Además el sistema tiene como solución

x Ejemplo:

y

z

x 3z

6

2x 5 y 3z

X luego

A

2 0

x y

8 8 3 6 9 5 2 2

32 64

z

5

34

x

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2 1 0

32 , y 64 y z

y

C

X

A

1 1

1 0

2

5

c1 c2 ... cn 1

.

C. 1 3 ,C 3

6 2 y A 0

8 8 3 1

9

5 2

5

2 1

34

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