Tema 3. Sistema discret de partícules. Sòlid rígid.

TEMA 3. SISTEMA DISCRET DE PARTÍCULES. SÒLID RÍGID. Suposem que en l’espai hi ha distribuïdes n partícules puntuals amb masses m1, r r r m2,..., mn. Cada partícula està posicionada pel seu vector posició r1 , r2 ,..., rn respecte el mateix sistema de referència inercial. 3.1.

Centre de masses d’un sistema de partícules lliures i puntuals.

El centre de masses o centre de gravetat (CM) d’un sistema de partícules es defineix com:

r r r r m1·r1 + m2 ·r2 + ... + mn ·rn rCM = m1 + m2 + ... + mn

El centre de masses representa la posició que tindria una sola massa amb valor suma de totes les partícules, i que les substituís. EXEMPLE. Calculeu la posició del CM del sistema format per m1=2 kg i m2=5kg. Els seus vectors

r

r

r

r

r

r

posició són r1 = 2 i + j − 3k m i r2 = 3 i +

5r 1r j − k m. 2 2

Si volem podem calcular els components del centre de masses per separat. Així ens quedarien els components del centre de masses expressats com:

3.2.

x CM =

m1·x1 + m2 ·x 2 + ... + mn ·x n m1 + m2 + ... + mn

y CM =

m1·y1 + m2 ·y 2 + ... + mn ·y n m1 + m2 + ... + mn

zCM =

m1·z1 + m2 ·z 2 + ... + mn ·zn m1 + m2 + ... + mn

Definició de sòlid rígid.

Quan en un sistema de partícules puntuals les distàncies relatives es mantenen constants diem que el sistema es comporta com un sòlid rígid. Com exemples de sòlid rígids tenim tots els cossos sòlid sempre i quan les vibracions que realitzen els seus àtoms i les deformacions que es produeixen per acció de les forces (tracció, compressió, flexió i torsió) siguin negligibles. En ser les distàncies interatòmiques molt petites podem considerar que qualsevol cos sòlid és continu. És per això que també podem dir que els sòlids rígids són sòlids continus. 3.3.

Centre de masses d’un sòlid continu regular.

Considereu un sòlid continu qualsevol que es troba en absència de l’acció de la gravetat. Si el colpegem per un punt observarem que el sòlid es mou descrivint una translació i una rotació. Tots els punts del sòlid descriuen una trajectòria circular respecte el centre de masses o centre de gravetat i el centre de gravetat descriu una trajectòria rectilínia.

1 Per Roger Mauricio Grañó

Tema 3. Sistema discret de partícules. Sòlid rígid.

El càlcul del centre de masses d’un sòlid continu ve donat per les següents integrals.

1 1 xCM = ·∫ x·dm ; yCM = ·∫ y·dm M cos M cos Aquest càlcul és complicat però en el cas dels sòlids regulars (esferes, làmines quadrades o rectangulars, làmines triangulars, etc...) les seves simetries i la seva distribució de massa uniforme en redueix la dificultat.

Cercle de radi R

Làmina quadrada de costat L

Làmina rectangular de costats L i L’

1 h 3 2

Làmina triangular de costats a,b i c 1 h 3 1

Làmina semicircular de radi R.

1 h 3 3

4R 3π

2 Per Roger Mauricio Grañó

Tema 3. Sistema discret de partícules. Sòlid rígid.

En aquest tema aprendrem a determinar els centres de masses d’algunes figures geomètriques no regulars, concretament les que estan formades per figures regulars. - Càlcul del centre de masses. Quan els sòlid rígids estiguin format per més d’una part regular aplicarem cinc passos per determinar el seu centre de masses. 1. Primer dividirem la figura en la menor quantitat possible de figures geomètriques regulars. 2. Posicionarem els centres de masses de cada una de les figures geomètriques regulars. 3. Calcularem la massa de cada figura geomètrica regular. 4. Substituirem les figures geomètriques regulars per masses puntuals situades en els centres de masses calculats en el punt 2. 5. Calcularem el centre de masses total amb les equacions de l’apartat 3.1. EXEMPLE. Calculeu el centre de masses de la làmina de la figura.

y L

L

2L

L

L = 5 cm

L

x 1. Dividim la figura en figures geomètriques senzilles.

2. Marcarem els centres de masses de cada figura.

L 3 x3 = 8 L x = L 2 3 2 2 2 L y =L y3 = L y1 = 2 2 3 x1 =

( ) = σ·(2·L ) = σ·(L )

m1 = σ·S1 = σ· L2

3. Calcularem la massa que té cada una de les figures regulars.

m 2 = σ·S 2 m3 = σ·S 3

2

2

3 Per Roger Mauricio Grañó

Tema 3. Sistema discret de partícules. Sòlid rígid.

4. Substituirem les figures per les masses anteriors.

x CM

5. Calcularem el centre de masses de la figura irregular

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L 2  σ·(L )·  + σ·(2·L )·(L ) + σ·(L )· ·L  2    3  = 19 L = 24 σ·(L ) + σ·(2·L ) + σ·(L )

m ·x + m2·x 2 + m3 ·x 3 = 1 1 = m1 + m2 + m3

( )

L 3  8  σ· L2 ·  + σ· 2·L2 · ·L  + σ· L2 · ·L  2 2      3  = 37 L 24 σ· L2 + σ· 2·L2 + σ· L2 2

y CM =

m1·y1 + m2·y 2 + m3 ·y 3 m1 + m2 + m3

2

2

2

2

2

37 cm 24 19 = m 24

x CM = y CM

3.4.

Moment d’inèrcia.

El moment d’inèrcia respecte un eix de gir ens permet conèixer: 1. Com està distribuïda la massa al voltant de l’eix de gir. 2. la dificultat de fer girar el cos respecte l’eix de gir. El moment d’inèrcia de qualsevol partícula puntual ve donat per :

Ii = mi·ri2 Si una sòlid està format per n partícules puntuals el seu moment d’inèrcia vindrà donat per la suma dels moments d’inèrcia de cada partícula.

I = ∑ Ii = ∑ mi ·ri2 n

n

Si el sòlid és continu, la suma anterior es convertirà en una integral.

I = ∫ dm·r 2

Per simplificar podem usar els moments d’inèrcia d’alguns sòlids rígids regulars.

Closca esfèrica de radi R respecte el seu diàmetre

2 MR 2 5 2 I = MR 2 3

Anell cilíndric de radi R respecte el seu eix

I = MR 2

Esfera massissa de radi R respecte el seu diàmetre

I=

Cilindre sòlid de radi R respecte el seu eix

I=

1 MR 2 2

4 Per Roger Mauricio Grañó

Tema 3. Sistema discret de partícules. Sòlid rígid.

Cilindre massís de radi R i longitud L respecte el diàmetre que passa pel centre i és perpendicular al cilindre

 R 2 L2  I = M +   4 12 

Barra prima de longitud L respecte a una recta que passa pel seu centre i és perpendicular a la barra.

I=

Paral·lelepípede d’arestes a, b i c respecte un eix que passa pel centre i és paral·lel a l’aresta c

3.5.

I=

1 ML2 12

(

1 M a2 + b2 12

)

Teorema d’Steiner.

Si coneixem el moment d’inèrcia respecte d’un eix que passi pel centre de masses d’una figura, podem calcular fàcilment el moment d’inèrcia respecte de qualsevol eix paral·lel al primer.

IA = ICM + m·d2 on d és la distància entre els dos eixos.

EXEMPLE Calculeu el moment d’inèrcia respecte l’eix A que passa per l’extrem d’una barra prima de longitud L. Dada: ICM =

1 ·m·L2 moment d’inèrcia respecte d’un eix que passa pel CM i és 12

perpendicular a la barra. Apliquem el teorema d’Steiner. 2

IA = ICM + m·d2 ⇒ IA = d=

1 1 L  m·L2 + m  ⇒ IA = m·L2 12 3 2

L 2

5 Per Roger Mauricio Grañó

Tema 3. Sistema discret de partícules. Sòlid rígid.

3.6.

Teorema de la figura plana.

Aquest teorema relaciona els moments d’inèrcia respecte eixos perpendiculars entre si i continguts en el pla que conté la figura plana, amb el moment d’inèrcia perpendicular a la figura plana i que passa pel punt de tall dels dos eixos anteriors. Suposem una partícula puntual (mi) de la figura plana. El seu moment d’inèrcia respecte els eixos x i y són Ix = mi·yi2 i Iy = mi·xi2.El moment d’inèrcia de la massa mi respecte l’eix z serà IZ = mi·a2 on a2 = xi2 + yi2. Substituint, ens quedarà:

(

IZ = mi ·a 2 ⇒ IZ = mi · x i2 + y i2

)

Aplicant aquest raonament a tots els punts del sòlid i sumant per a tot el sòlid, ens quedarà:

(

)

(

)

(

)

IZ = ∑ mi ·x i2 + mi ·y i2 ⇒ IZ = ∑ mi ·x i2 + ∑ mi ·y i2 ⇒ IZ = Iy + Ix

3.7.

Moment d’inèrcia de figures compostes.

Si un sòlid està format per diverses parts, podem calcular el seu moment d’inèrcia com la suma dels moments d’inèrcia de cada part, sempre tenint en compte que els moments s’han de calcular respecte el mateix eix de gir.

Icos = ∑ Ik N

EXEMPLE Calculeu el moment d’inèrcia respecte l’eix A de la figura formada per una esfera de radi R i una barra prima de longitud L de masses M i m respectivament. M = 0,5 kg m = 0,1 kg L = 0,5 m R = 0,1 m L R

3.8.

Representació de forces en els sòlids continus.

Els sòlids continus estaran sotmesos a l’acció de forces puntuals que són produïdes per altres sòlids o superfícies. En aquest apartat aprendrem a identificar les forces que apareixen sobre un cos per contacte amb un altre objecte. Un cop identificada la força podem substituir el cos causant de la força per una de puntual. Els tipus de contactes més habituals que ens podem trobar són:

6 Per Roger Mauricio Grañó

Tema 3. Sistema discret de partícules. Sòlid rígid.

CONTACTES EN UN PUNT

Cable tens sense pes: La força que fa el cable és en el sentit del cable ja que el cable sempre estira i mai empeny.

Cable amb pes: La força és tangent a la curvatura del cable en el punt de contacte i el sentit és el del cable ja que sempre estira i mai empeny.

Contacte entre superfícies llises en un punt: La força és perpendicular a la superfície de contacte.

Contacte entre una superfície llisa i un cantell: La força és perpendicular a la tangent de la corba en el punt de contacte. Contacte entre superfícies amb frec: Hi ha dues forces, una és perpendicular a la tangent en el punt de contacte i l’altra és tangent a la corba en el punt de contacte. contacte .

r FF

r FF

CONTACTES EXTENSOS Contactes extensos entre superfícies planes: - Contacte en tota la superfície plana. La força és perpendicular a la superfície de contacte. No podem establir-ne el punt d’aplicació.

-

Contacte en una aresta de la superfície. La força actua a l’aresta i és perpendicular a la superfície de recolzament.

Rodets i guies lliscants sense fregament: La força és perpendicular a la direcció de moviment del rodet.

Articulació: Actuen dues forces, una paral·lela i l’altra perpendicular a la paret o al terra.

7 Per Roger Mauricio Grañó

Tema 3. Sistema discret de partícules. Sòlid rígid.

Encastaments: Actuen dues forces, una paral·lela i l’altra perpendicular a la paret o al terra, i un moment aplicat en l’encastament.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB SÒLIDS CONTINUS Quan resoleu problemes de dinàmica haureu de procedir de la següent manera: 1. Observarem el sòlid a estudiar i identificarem els tipus contactes a què està sotmès. 2. Aïllarem el sòlid i substituirem els contactes per les forces i els moments. Dibuixarem les forces i els moments on es produïa el contacte. 3. Farem el recompte del nombre d’incògnites. 4. Escriurem les equacions de la dinàmica que corresponguin.

8 Per Roger Mauricio Grañó