Tema 4: Aplicaciones lineales 1

Definición, primeras propiedades y ejemplos

Definición: Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V → W se dice que es una aplicación lineal si cumple las dos siguientes propiedades: 1. Para todo par de vectores u, v ∈ V f (u + v) = f (u) + f (v) 2. Para todo vector u ∈ V y todo escalar α ∈ K f (αu) = αf (u) Propiedades: 1. Dada una aplicación f : V → W entre dos espacios vectoriales V y W se tiene que f es lineal si y sólo si f (αu + βv) = αf (u) + βf (v) para todo par de vectores u, v ∈ V y todo par de escalares α, β ∈ K (así las dos propiedades de la definición pueden resumirse sólo en una). 2. Si f : V → W es una aplicación lineal, entonces f (0V ) = 0W . La primera propiedad (que resume las dos anteriores de la definición) nos dice que las aplicaciones lineales son las que transforman combinaciones lineales de (dos o más) vectores del espacio vectorial inicial en las correspondientes combinaciones lineales de sus respectivas imágenes. La última propiedad nos proporciona un criterio útil, en ocasiones, para asegurar que ciertas aplicaciones son lineales: las que no cumplan el requisito anterior, es decir, las aplicaciones entre espacios vectoriales, en las que el vector no nulo tenga imagen no nula. Ejemplos: 1. La aplicación f : R2 → R3 definida por f (x, y) = (−x + 5y, 2x, 0) es lineal. Para probarlo cojamos vectores (a, b), (c, d) ∈ R2 y escalares arbitrarios α, β ∈ R. Entonces f ([α(a, b) + β(c, d)] = f (αa + βc, αb + βd) = (−αa − βc + 5αb + 5βd, 2αa + 2βc, 0) αf (a, b)+βf (c, d) = α(−a+5b, 2a, 0)+β(−c+5d, 2c, 0) = (−αa+5αb, 2αa, 0)+(−βc+β5d, 2βc, 0) y ambas cosas coinciden, con lo que la aplicación es lineal. 1

2. La aplicación f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (2, x − y) no es lineal, pues basta observar que f (0, 0) = (2, 0) 6= (0, 0). 3. La aplicación f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (xy, 2x) no es lineal a pesar de que f (0, 0) = (0, 0). Para probarlo cojamos dos vectores (a, b), (c, d) ∈ R2 y dos escalares α, β ∈ R. Entonces f [α(a, b) + β(c, d)] = f (αa + βc, αb + βd)= ` = [(αa + βc) · (αb + βd), 2(αa + βc)] y αf (a, b) + βf (c, d) = α(ab, 2a) + β(cd, 2c) = (αab + βcd, 2αa + 2βc) y ambas cosas no tienen por qué coincidir, pues si tomamos los valores α = 2, β = 0, a = c = b = d = 1 se tiene que lo primero vale (4, 4) y lo segundo vale (2, 4). 4. La aplicación f : R2 → R definida por f (x, y) = −2x + 3y es lineal. Para probarlo cojamos vectores (a, b), (c, d) ∈ R2 y escalares cualesquiera α, β ∈ R. Entonces f (α(a, b) + β(c, d)) = f (αa + βc, αb + βd) = −2(αa + βc) + 3(αb + βd) y αf (a, b) + βf (c, d) = α(−2a + 3b) + β(−2c + 3d) = −2αa + 3αb − 2βc + 3βd y ambas cosas coinciden. Cuando tengamos una aplicación f : Rn → Rm a la expresión del vector f (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rm la denominaremos expresión analítica de f . Así en el primer ejemplo de los anteriores en el que teníamos una aplicación lineal su expresión analítica es f (x, y) = (−x + 5y, 2x, 0) Observación: En la práctica para ver que una aplicación f : Rn → Rm es lineal basta observar si en cada una de las componentes de la expresión analítica de f aparecen CL de las incógnitas genéricas x1 , x2 , ..., xn de Rn .

2

2

Núcleo e imagen

Dada una aplicación lineal f :V →W se llama núcleo de f al siguiente conjunto de vectores de V ker f = {v ∈ V |f (v) = 0} Recordemos que la imagen de la aplicación f es el siguiente conjunto de vectores de W Im f = {w ∈ W |∃v ∈ V cumpliendo que f (v) = w} = {f (v)|v ∈ V } El siguiente resultado nos dice que ambos conjuntos son subespacios de los respectivos espacios vectoriales a los que pertenecen. Propiedad: Si f : V → W es una aplicación lineal entonces ker f ≤ V

Im f ≤ W

En la práctica, del núcleo de una aplicación lineal podremos hallar fácilmente las ecuaciones implícitas, y de la imagen un SG. Lo primero lo veremos en los ejemplos más detalladamente. En cuanto a lo último he aquí la propiedad exacta: Propiedad: Si f : V → W es una aplicación lineal y B = {v1 , v2 , ..., vn } es una base (o SG) de V se tiene que f (B) = {f (v1 ), f (v2 ), ..., f (vn )} es un SG de Im f .

2.1

Tipos de aplicaciones

Recordemos que había 3 características que estudiábamos para las aplicaciones: el que fueran o no inyectivas, suprayectivas o biyectivas. En aplicaciones lineales introducimos un nuevo concepto: endomorfismo. Se trata de las aplicaciones lineales cuyos dominio y codominio coinciden. A continuación veremos, para una aplicación f : V → W , cómo puede verse, en función del núcleo y la imagen, cuáles de estas propiedades se dan. Propiedad: Sea f : V → W una aplicación lineal. Entonces 1) f es inyectiva si y sólo si ker f = 0. 2) f es suprayectiva si y sólo si dim ker Im f = dim W . Fórmula de las dimensiones: Si una aplicación f : V → W es lineal entonces se cumple que dim ker f + dim Im f = dim V Esta fórmula nos permite calcular sencillamente la dimensión de uno de los dos subespacios ker f o Im f teniendo la del otro. 3

Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal f : R2 → R3 vista anteriormente y definida por f (x, y) = (−x + 5y, 2x, 0) Hallemos su núcleo y su imagen y veamos las propiedades de f . En primer lugar ker f = {(x, y)|f (x, y) = 0} = {(x, y)|(−x + 5y, 2x, 0) = (0, 0, 0)} Así ker f es el subespacio de R2 que tiene por ecuaciones implícitas ⎧ ⎪ ⎨ −x + 5y = 0 =0 2x ⎪ ⎩ 0=0

La única solución de este sistema es el vector (0, 0). Así ker f = 0, luego f es inyectiva. Tomando un SG de R2 , por ejemplo {(1, 0), (0, 1)}, sabemos que los vectores f (1, 0) = (−1, 2, 0) f (0, 1) = (5, 0, 0)

forman un SG de Im f . Y al ser además LI es claro que forman también una base de Im f , luego dim Im f = 2 6= 3 = dim R3 y f no es suprayectiva. f no es endomorfismo al no coincidir el espacio inicial y el final. Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal f : R5 → R4 definida por f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (2x1 − x4 , 3x3 , 0, 5x1 + x5 ) Hallemos tanto el núcleo como la imagen de f y veamos las propiedades de f . Las ecuaciones implícitas de ker f son 2x1 3x3

−x4 0 +x5

5x1

= = = =

0 0 0 0

Después de eliminar la tercera ecuación obtenemos una posible escalonación del sistema −x4 +2x1 5x1

+x5 3x3

= 0 = 0 = 0

así, eligiendo como parámetros x2 = α y x5 = β y resolviendo el sistema tendríamos unas ecuaciones paramétricas de ker f ⎧ ⎪ x1 = − β5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x2 = α x3 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ x4 = − 2β ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎩ x =β 5 4

de donde una base de ker f sería 1 2 {(0, 1, 0, 0, 0), (− , 0, 0, − , 1)} 5 5 luego f no es inyectiva. La imagen de f estará generada por los vectores f (1, 0, 0, 0, 0), f (0, 1, 0, 0, 0), f(0, 0, 1, 0, 0), f (0, 0, 0, 1, 0), f (0, 0, 0, 0, 1) que son, respectivamente, (2, 0, 0, 5), (0, 0, 0, 0), (0, 3, 0, 0), (−1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1) de donde puede obtenerse una base de Im f , por ejemplo {(0, 3, 0, 0), (−1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)} luego f no es suprayectiva. f no es endomorfismo al no coincidir el espacio inicial y el final. Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal f : R2 → R definida por f (x, y) = 2x − 3y Hallemos su núcleo y su imagen y veamos las propiedades de f . En primer lugar ker f = {(x, y)|f (x, y) = 0} = {(x, y)|2x − 3y = 0} Así ker f ≤ R2 tiene por ecuación implícita 2x − 3y = 0. En consecuencia dim ker f = 1 y f no es inyectiva. Tomando un SG de R2 , por ejemplo {(1, 0), (0, 1)}, sabemos que los vectores f (1, 0) = 2 f (0, 1) = −3 forman un SG de Im f . Como éste subespacio de R debe tener dimensión 1 (= dim R2 − dim ker f ) éste debe ser todo R (al coincidir las dimensiones), por tanto Im f = R, y por tanto sería una base suya, por ejemplo, {2}. Así f es suprayectiva. f no es endomorfismo al no coincidir el espacio inicial y el final. Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal f : R4 → R4 definida por f (x, y, z, t) = (x, 2x − y, 3x + 2y + 2z, 4x + y + 5z + 7t) Hallemos tanto el núcleo como la imagen de f y veamos las propiedades de f . La imagen de f estará generada por los vectores f (1, 0, 0, 0), f (0, 1, 0, 0), f(0, 0, 1, 0), f(0, 0, 0, 1) que son, respectivamente, (1, 2, 3, 4), (0, −1, 2, 1), (0, 0, 2, 5), (0, 0, 0, 7) se observa claramente que éstos son una base del codominio R4 , por lo que la aplicación es suprayectiva. Luego aplicando la fórmula de las dimensiones se cumple que dim R4 = dim ker f + dim Im f 5

es decir 4 = dim ker f + 4 y por tanto dim ker f = 0. De ahí concluimos que ker f = 0. Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal f : C3 → C2 definida por f (x, y) = (2ix − z, [3 − i]x + y) Hallemos su núcleo y su imagen y la clasificación. En primer lugar ker f = {(x, y, z) ∈ C3 |f (x, y, z) = 0} = {(x, y, z)|2ix − z = 0, (3 − i)x + y = 0} Así ker f es el subespacio de C3 que tiene por ecuaciones implícitas 2ix − z = 0 (3 − i)x + y = 0 Al pasar a paramétricas obtenemos que x = x y = (−3 + i)x z = 2ix y por tanto obtenemos una base para ker f , que es {(1, −3 + i, 2i)} luego dim ker f = 1 y f no es inyectiva. De lo anterior se deduce que dim Im f = dim C3 − dim ker f = 3 − 1 = 2 = dim C2 luego f sí es suprayectiva. Tomando un SG de C3 , por ejemplo la base canónica {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} sabemos que los vectores f (1, 0, 0) = (2i, 3 − i) f (0, 1, 0) = (0, 1) f (0, 0, 1) = (−1, 0) forman un SG de Im f , de los cuáles sobra 1 pues la dimensión es 2. Se observa que el primer vector es CL de los otros del modo (2i, 3 − i) = (3 − i)(0, 1) − 2i(−1, 0) luego una base de Im f será {(0, 1), (−1, 0)} 6

3

Existencia y unicidad de aplicaciones lineales

Para una aplicación lineal f : Rn → Rm hay otras formas de tener determinada además de la expresión analítica. Para darnos cuenta de ello y para disponer de un mecanismo de construcción de aplicaciones lineales resulta de utilidad el siguiente teorema (válido para aplicaciones lineales no sólo entre espacios vectoriales de la forma Rn y Rm ): Teorema: (Existencia y unicidad de aplicaciones lineales) Sean V y W K-espacios vectoriales. Dada una base B = {v1 , v2 , ..., vn } de V y un sistema de vectores w1 , w2 , ..., wn de W existe una única aplicación lineal f : V → W tal que f (v1 ) = w1 f (v2 ) = w2 .... f (vn ) = wn Nota: Daremos una idea de cómo está definida tal aplicación. Dado v ∈ V , si sus coordenadas respecto de la base B son vB = (x1 , x2 , ..., xn ), es decir v = x1 v1 + x2 v2 + ... + xn vn entonces se tiene que f (v) = x1 w1 + x2 w2 + ... + xn wn De esta forma tenemos construida una aplicación f que es lineal y que cumple lo requerido (y es la única que lo cumple). Ejemplo: Sea f : R3 → R2 una aplicación lineal de la que se conocen las imágenes de los vectores (1, 0, 0), (1, 2, −1), (2, 3, 1) Probar que entonces f queda totalmente determinada por dichas imágenes. Si conseguimos demostrar que el sistema B = {(1, 0, 0), (1, 2, −1), (2, 3, 1)} es una base de R3 el Teorema de existencia y unicidad de aplicaciones lineales garantizaría en efecto que la aplicación lineal f está totalmente determinada por las imágenes de dichos vectores. Pero es inmediato que los 3 vectores son LI, pues el rango de la matriz ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎝ 1 2 −1 ⎠ 2 3 1 es 3, luego queda probada la afirmación.

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Ejemplo: Sea f : R2 → R2 una aplicación lineal que verifica que f (1, 1) = (1, −1) y f (1, 0) = (3, 2) Hallar f (5, 2). Poniendo el vector (5, 2) como combinación lineal de los vectores (1, 1) y (1, 0) obtenemos (5, 2) = α(1, 1) + β(1, 0) = (α + β, α) de donde se deduce que α = 2 y β = 3. En definitiva f (5, 2) = f [2(1, 1) + 3(1, 0)] = 2f (1, 1) + 3f (1, 0) = 2(1, −1) + 3(3, 2) = (11, 4) Ejemplo: Dada la base B de R2 formada por los vectores {(−2, 1), (−1, 0)} y dada la aplicación lineal f : R2 → R3 cumpliendo que f (−2, 1) = (1, 0, 1) f (−1, 0) = (2, −1, 1) determinar la expresión analítica de f . La expresión analítica de una aplicación lineal viene determinada por la imagen de un vector genérico (x, y), así que expresaremos este vector como CL de los vectores de la base B (x, y) = a(−2, 1) + b(−1, 0) = (−2a − b, a) Luego x = −2a − b y = a y, en definitiva a = y b = −x − 2y Así hemos obtenido que (x, y) = y(−2, 1) + (−x − 2y)(−1, 0) f (x, y) = f [y(−2, 1) + (−x − 2y)(−1, 0)] = yf (−2, 1) + (−x − 2y)f (−1, 0)] = = y(1, 0, 1) + (−x − 2y)(2, −1, 1) = (y, 0, y) + (−2x − 4y, x + 2y, −x − 2y) = = (−2x − 3y, x + 2y, −x − y)

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4

Matriz asociada a una aplicación lineal

Sean V y W espacios vectoriales cuyas dimensiones son dim V = n y dim W = m, sea f : V → W una aplicación lineal y sean B = {v1 , v2 , ..., vn }

B 0 = {w1 , w2 , ..., wm } bases de V y W respectivamente. Llamaremos matriz asociada a f respecto de B y B 0 a la matriz cuyas columnas son f (v1 )B0 , f (v2 )B0 , ..., f (vn )B0 (es decir, las coordenadas en B 0 de las imágenes de los vectores de B). Denotaremos a esta matriz por MB→B0 (f ), y en el caso particular en que V = W y B = B 0 usaremos además de la notación MB→B (f ) también la notación MB (f ). Observación: Este concepto es muy similar al de matrices cambio de base, de hecho éste último es un caso particular del que ahora introducimos, pues la matriz asociada a la aplicación identidad es la matriz cambio de base. Concretamente, si V es un espacio vectorial, B = {v1 , v2 , ..., vn }

B 0 = {w1 , w2 , ..., wn } son bases de V entonces MB→B0 (I) = MB→B0 donde I : V → V es la aplicación identidad. La matriz asociada a una aplicación lineal respecto de ciertas bases B y B 0 nos proporciona una representación de la aplicación lineal, referida a las bases en cuestión, pues la aplicación lineal queda totalmente determinada por la matriz. Nos permite relacionar las coordenadas de un vector v ∈ V respecto de la base B con las coordenadas de su imagen respecto de la base B 0 , pues si vB = (x1 , x2 , ..., xn ) f (v)B0 = (y1 , y2 , ..., ym ) entonces se cumple la siguiente fórmula: ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ y1 x1 ⎜ y ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ = MB→B0 (f ) · ⎜ ⎟ ⎝ ... ⎠ ⎝ ... ⎠ ym xn o abreviadamente

f (v)B0 = MB→B0 (f ) · vB fórmula en la que tanto vB como f (v)B0 están puestos en forma de vector-columna. En el caso particular de que V = Rn y W = Rm , es decir, que estemos con una aplicación lineal f : Rn → Rm 9

y tomemos las bases canónicas de ambos espacios vectoriales Cn y Cm , la fórmula anterior queda así f (v)Cm = MCn →Cm (f ) · vCn y como las coordenadas de cualquier vector en la base canónica son las propias componentes del vector, lo que tenemos realmente es f (v) = MCn →Cm (f ) · v de donde vemos que podemos obtener la expresión analítica de f matriz asociada a f respecto de las bases canónicas: ⎛ x1 ⎜ x ⎜ 2 f (x1 , x2 , ..., xn )t = MCn →Cm (f ) · ⎜ ⎝ ... xn obteniendo la expresión analítica en forma de columna. Observación: Observemos que si f : Rn → Rm

sin más que multiplicar por la ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

es una aplicación lineal y A = MCn →Cm (f ) es la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas, entonces ker f = ker A Ejemplo: Obtener la matriz asociada respecto de las bases canónicas de la aplicación lineal f : R2 → R4 cuya expresión analítica es f (x, y) = (x − y, 0, 3x + 5y, 7y) Como f (1, 0) = (1, 0, 3, 0) f (0, 1) = (−1, 0, 5, 7) la matriz pedida es

⎛

⎜ ⎜ MC2 →C4 (f ) = ⎜ ⎝

Ejemplo: Para la aplicación lineal

⎞ 1 −1 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 3 5 ⎠ 0 7

f : R3 → R2 cuya expresión analítica es f (x, y, z) = (x − 4y − z, 3x − y) 10

y las bases B = {(1, 2, 3), (0, −1, 0), (3, −1, −2)} C2 = {(1, 0), (0, 1)} hallar la matriz MB→C2 (f ). Como las imágenes de los vectores de B salen f (1, 2, 3) = (−10, 1) f (0, −1, 0) = (4, 1) f (3, −1, −2) = (9, 10) y la base final es la canónica, la matriz pedida es ! Ã −10 4 9 1 1 10 Ejemplo: Obtener la expresión analítica de la aplicación lineal f : R3 → R3 cuya matriz asociada respecto de la base canónica es ⎛ ⎞ 1 −1 2 ⎜ ⎟ 2 1 ⎠ ⎝ 0 3 1 0 Ésta es

⎞ ⎞⎛ ⎞ ⎛ x − y + 2z x 1 −1 2 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ f (x, y, z)t = ⎝ 0 2 1 ⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ 2y + z ⎠ 3x + y z 3 1 0 ⎛

o puesto en forma de vector-fila

f (x, y, z) = (x − y + 2z, 2y + z, 3x + y) Ejemplo: Dada la aplicación lineal f : R2 → R2 cuya expresión analítica es f (x, y) = (x − y, x + 2y) hallar la matriz asociada a f respecto de las bases B = {(3, 1), (−1, 2)}

B 0 = {(0, 1), (1, −1)}

Mediante sustitución en la expresión analítica de la función, tenemos que f (3, 1) = (2, 5) f (−1, 2) = (−3, 3) 11

Ahora ponemos estos vectores como CL de la base B 0 . Planteamos entonces las condiciones (2, 5) = α(0, 1) + β(1, −1) (−3, 3) = γ(0, 1) + δ(1, −1) Para el primer vector sale (2, 5) = (β, α − β) o lo que es lo mismo 2 = β 5 = α−β por lo que sus coordenadas en B 0 salen α = 7, β = 2, es decir (7, 2). Haciendo lo mismo para el segundo vector obtenemos que (−3, 3) = (δ, γ − δ) o lo que es lo mismo −3 = δ 3 = γ−δ por lo que sus coordenadas en B 0 salen γ = 0, δ = −3, es decir (7, 2). De esto deducimos que à ! 7 0 MB→B0 (f ) = 2 −3 Ejemplo: Dada la aplicación lineal f : R2 → R3 cuya expresión analítica es f (x, y) = (x − y, 2y, 3x − 3y) hallar: 1. La matriz asociada a f respecto de las bases B = {(2, 1), (1, 3)}

B 0 = {(0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, −1, 0)} 2. f (v)B0 , siendo v ∈ R2 tal que vB =

Ã

−4 1

!

1) En primer lugar, y mediante sustitución en la expresión analítica de la función, tenemos que f (2, 1) = (1, 2, 3) f (1, 3) = (−2, 6, −6)

12

Omitiendo los cálculos intermedios para hallar las coordenadas de estos vectores se puede duducir que (1, 2, 3) = 0(0, 0, 1) + 3(1, 0, 1) − 2(1, −1, 0) (−2, 6, −6) = −10(0, 0, 1) + 4(1, 0, 1) − 6(1, −1, 0) De esto deducimos que f (2, 1)B0 = (0, 3, −2) f (1, 3)B0 = (−10, 4, −6)

⎞ 0 −10 ⎟ ⎜ MB→B0 (f ) = ⎝ 3 4 ⎠ −2 −6 ⎛

2) Para el segundo apartado bastaría con multiplicar para obtener ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ! −10 0 −10 Ã ⎟ ⎜ ⎟ −4 ⎜ = ⎝ −8 ⎠ f (v)B0 = MB→B0 (f ) · vB = ⎝ 3 4 ⎠ 1 2 −2 −6 Antes de pasar a ver propiedades de la matriz asociada veamos otras de las aplicaciones lineales y que nos servirán: Propiedades: 1. La composición de aplicaciones lineales es lineal. 2. La aplicación identidad (que es el elemento neutro para la composición) es lineal. 3. La inversa de una aplicación biyectiva lineal es de nuevo lineal.

4.1

Propiedades de la matriz asociada

1. Dada una matriz A de orden m × n con coeficientes sobre un cuerpo K y dadas dos bases B y B 0 de Rn y Rm , respectivamente, siempre existe una única aplicación lineal f : Rn → Rm de manera que A es la matriz asociada a f respecto de las bases, es decir, A = MB→B0 (f ) 2. El rango de la matriz asociada coincide con la dimensión de la imagen (también se llama rango de la aplicación lineal), sean cuales sean las dos bases elegidas. Ejemplo: Determinar si la aplicación lineal f : R3 → R4 13

cuya matriz asociada respecto a sendas bases es ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ 0 −1 0 −2 ⎟ ⎟ ⎟ 1 1 ⎠ 1 0

1 2 −1 0

es inyectiva. Para ello basta con que calculemos el rango, que es 2. Entonces dim Im f = 2 y dim ker f = 3 − 2 = 1 6= 0 luego f no es inyectiva. Ejemplo: Determinar si la aplicación lineal f : R3 → R3 cuya matriz asociada respecto a una base de ⎛ 1 ⎜ ⎝ 1 −1

R3 es

es biyectiva.

⎞ 1 −1 ⎟ 0 2 ⎠ 2 3

Para ello basta con que calculemos el rango y veamos que es 3, luego dim Im f = 3 y por tanto la aplicación lineal es suprayectiva. Como dim ker f = 3 − 3 = 0 f es también inyectiva, y en conclusión, biyectiva. 3. Supongamos que tenemos dos aplicaciones lineales f

g

V −→ W −→ U y que tenemos bases B, B 0 y B 00 , respectivamente de V, W y U. Entonces se verifica la siguiente fórmula (∗) MB→B00 (g ◦ f ) = MB0 →B00 (g) · MB→B0 (f ) Ejemplo: Consideremos las aplicaciones lineales f

g

R4 −→ R2 −→ R3 14

definidas del siguiente modo: f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − 3x2 + x3 , −x2 + 2x4 ) g(x, y) = (2x − 3y, 0, x + 4y) Considerando las bases canónicas en cada uno de los espacios hallemos la matriz asociada a la aplicación g ◦ f . Tenemos dos opciones: O bien hallar la expresión analítica de g ◦ f y después calcular la matriz requerida MC4 →C3 (g ◦ f ), o bien hallar dicha matriz como el producto de MC2 →C3 (g) y de MC4 →C2 (f ). Haciéndolo de esta última forma resulta que Ã

1 −3 1 0 MC4 →C2 (f ) = 0 −1 0 2 ⎛ ⎞ 2 −3 ⎜ ⎟ MC2 →C3 (g) = ⎝ 0 0 ⎠ 1 4

!

MC4 →C3 (g ◦ f ) = MC2 →C3 (g) · MC4 →C2 (f ) = ⎞ ⎛ ⎞ Ã ! 2 −3 2 −6 2 −3 1 −3 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ =⎝ 0 =⎝ 0 0 0 0 ⎠ 0 ⎠· 0 −1 0 2 1 −7 1 8 1 4 ⎛

4. Supongamos que tenemos una aplicación lineal

f :V →W y bases B1 y B10 de V , y B2 y B20 de W . Entonces si aplicamos la fórmula (*), y teniendo en cuenta que la matriz asociada a la aplicación identidad es la matriz cambio de base, tenemos que MB0 →B0 (f ) = MB →B0 · MB1 →B2 (f ) · MB0 →B 1

2

2

2

1

1

Nota: En el caso particular en que f : Rn → Rm y B1 = Cn y B2 = Cm sean las bases canónicas respectivas, vemos que siempre puede obtenerse la matriz MB0 →B0 (f ) a partir de MCn →Cm (f ), pues 1

2

MB0 →B0 (f ) = MCm →B0 · MCn →Cm (f ) · MB0 →Cn 1

2

2

1

Y teniendo en cuenta que −1

MCm →B0 = (MB0 →Cm ) 2

2

obtenemos la versión más sencilla −1

MB0 →B0 (f ) = (MB0 →Cm ) 1

2

2

15

· MCn →Cm (f ) · MB0 →Cn 1

5. Supongamos que tenemos una aplicación lineal f de un espacio vectorial V en sí mismo (un endomorfismo f : V → V ) y dos bases B y B 0 de V . Entonces si aplicamos la fórmula (*) (o el apartado anterior) tenemos que MB0 →B0 (f ) = MB→B0 · MB→B (f ) · MB0 →B Como −1

MB→B0 = (MB0 →B ) la fórmula anterior queda del siguiente modo −1

MB0 →B0 (f ) = (MB0 →B )

· MB→B (f ) · MB0 →B

Definición: Dos matrices cuadradas del mismo tamaño A y A0 se dice son semejantes cuando existe una matriz invertible Q que cumple que A0 = Q−1 AQ Con este concepto tenemos que la última fórmula prueba que matrices asociadas a la misma aplicación lineal respecto de bases distintas, A = MB→B (f ) A0 = MB0 →B0 (f ) son matrices semejantes. Es más, puede comprobarse que 2 matrices que sean semejantes siempre van asociadas a algún endomorfismo del espacio vectorial, cada una respecto de una base (como se ve en el apéndice del tema). Nota: En el caso particular en que B = C sea la base canónica vemos que siempre puede obtenerse la matriz MB0 →B0 (f ) a partir de MC→C (f ), pues MB0 →B0 (f ) = MC→B0 · MC→C (f ) · MB0 →C o equivalentemente −1

MB0 →B0 (f ) = (MB0 →C )

· MC→C (f ) · MB0 →C

Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal f : R3 → R2 cuya expresión analítica es f (x, y, z) = (x − 3y + z, 2x − y + 3z) Tomemos las siguientes bases respectivas B = {(1, 2, −1), (2, 1, 0), (3, 0, 0)}

B 0 = {(2, 1), (3, 2)}.

Hallar la matriz asociada a f respecto de ambas bases. 16

Aplicaremos la fórmula −1

MB→B0 (f ) = (MB0 →C2 )

· MC3 →C2 (f ) · MB→C3

siendo C3 y C2 las bases canónicas respectivas. En primer lugar se tiene que ⎛ ⎞ 1 2 3 ⎜ ⎟ MB→C3 = ⎝ 2 1 0 ⎠ −1 0 0 à ! 2 3 MB0 →C2 = 1 2 pues cuando la base final es la canónica la matriz cambio de base se obtiene de modo inmediato poniendo las componentes de los vectores de la primera base por columnas. En segundo lugar se tiene de modo sencillo que à ! 1 −3 1 MC3 →C2 (f ) = 2 −1 3 Finalmente habría que calcular la inversa −1

(MB0 →C2 )

Ã

=

2 −3 −1 2

!

(que es un mero cálculo) y realizar la multiplicación de las 3 matrices, que lo hacemos a continuación ⎛ ⎞ Ã ! Ã ! 1 2 3 2 −3 1 −3 1 ⎜ ⎟ · ·⎝ 2 1 0 ⎠= MB→B0 (f ) = −1 2 2 −1 3 −1 0 0 =

Ã

−4 −3 −7 3 1 5

!

⎞ Ã ! 1 2 3 −3 −11 −12 ⎟ ⎜ ·⎝ 2 1 0 ⎠= 0 7 9 −1 0 0 ⎛

Ejemplo: Consideremos el endomorfismo de R2 cuya expresión analítica es f (x, y) = (2x − y, x + 4y) Tomemos como bases de R2 , la base canónica C y la siguiente B = {(1, −1), (3, 2)} Hallar la matriz asociada a f respecto de B, es decir MB→B (f ) Aplicaremos la fórmula −1

MB→B (f ) = (MB→C )

17

· MC→C (f ) · MB→C

Tengamos en cuenta que MB→C = MC→C (f ) =

Ã

1 3 −1 2

Ã

!

2 −1 1 4

!

2 −3 1 1

!

Finalmente habría que calcular la inversa −1

(MB→C )

1 = 5

Ã

(que es un mero cálculo) y realizar la multiplicación de las 3 matrices, que lo hacemos a continuación à ! à ! à ! 2 −1 1 3 1 2 −3 · · = MB→B (f ) = 5 1 1 1 4 −1 2 1 = 5

Ã

2 −3 1 1

! Ã ·

3 4 −3 11

!

1 = 5

Ã

15 −25 0 15

!

=

Ã

3 −5 0 3

!

Ejemplo: Consideremos el endomorfismo de R2 cuya expresión analítica es f (x, y) = (2x + y, 2x + 3y) Tomemos como bases de R2 , la base canónica C y la siguiente B = {(1, 1), (−2, 1)} Hallar MC→B (f ). Aplicaremos la fórmula −1

MC→B (f ) = (MB→C )

· MC→C (f )

Tengamos en cuenta que Ã

! 1 −2 MB→C = 1 1 Ã ! 2 1 MC→C (f ) = 2 3 Finalmente habría que calcular la inversa −1

(MB→C )

1 = 3

Ã

1 2 −1 1

!

y realizar la multiplicación de las 2 matrices, que lo hacemos a continuación à ! à ! à ! à 1 2 2 1 2 1 1 6 7 MC→B (f ) = · = = 3 −1 1 3 0 2 2 3 0 18

7 3 2 3

!

5 5.1

Endomorfimos con significado geométrico Homotecias

Sea V un espacio vectorial euclídeo y α ∈ R. Se llama homotecia de razón a a la aplicación lineal hα : V → V definida por hα(u) = αu, ∀u ∈ V . Ejemplo: En R2 la homotecia de razón 3 está definida así: f (x, y) = (3x, 3y)

5.2

Proyecciones

L Sea V un espacio vectorial euclídeo y sean W1 y W2 subespacios de V tales que V = W1 W2 . Se llama proyección de base W1 y de dirección W2 a la aplicación lineal p : V → V definida por ( w si w ∈ W1 p(w) = 0 si w ∈ W2 (en definitiva, para cada vector v ∈ V , poniendo v = v1 + v2 , con v1 ∈ W1 y v2 ∈ W2 , se tiene que p(v) = p(v1 ) + p(v2 ) = v1 ). En el caso particular en que W2 = W1 ⊥ a p se le llama proyección ortogonal de base W1 , y la imagen mediante p de un vector v ∈ V , es lo que nosotros denominamos proyección ortogonal del vector v sobre el subespacio W1 .

5.3

Simetrías

L Sea V un espacio vectorial euclídeo y sean W1 y W2 subespacios de V tales que V = W1 W2 . Se llama simetría de base W1 y de dirección W2 a la aplicación lineal s : V → V definida por ( v si v ∈ W1 s(v) = −v si v ∈ W2 (en definitiva, para cada vector v ∈ V , poniendo v = v1 + v2 , con v1 ∈ W1 y v2 ∈ W2 , se tiene que s(v) = s(v1 ) + s(v2 ) = v1 − v2 ). En el caso particular en que W2 = W1 ⊥ a s se le llama simetría ortogonal de base W1 .

5.4

Rotaciones en el plano

En R2 se llama giro de ángulo θ ∈ [0, 2π) a la aplicación lineal ρθ : R2 → R2 cuya matriz asociada a la base canónica de R2 es à ! cos θ − sin θ sin θ cos θ es decir su expresión analítica es ρ θ (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) Puede comprobarse que para todo vector no nulo v ∈ R2 se tiene que el ángulo que forma v con ρθ(v) es θ radianes.

19