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Departamento de Matemáticas – 2º ESO 2011 / 12

TEMA 4: POLINOMIOS EN UNA INDETERMINADA. 4.1 Expresiones Algebraicas. Las EXPRESIONES ALGEBRAICAS se usan para traducir al leguaje matemático, enunciados en los que aparecen datos desconocidos que se designan por letras. Son expresiones en las que se combinan números, letras y los operadores matemáticos –suma, producto, potencias,...-. Veamos distintos casos en los que se utilizan: 1. Propiedad distributiva: a · (b + c ) = a · b + a · c 2. Fórmula para el área de un triángulo: A =

b·a 2

3. Enunciado: “El triple de un número al cuadrado más dos unidades”: 3 x 2 + 2 4. Término general de la sucesión de los números Impares: an = 2n + 1

En este tema estudiaremos las expresiones algebraicas como las del tercer caso, a las que llamaremos, POLINOMIOS. ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN LA CLASE: 8, 9 de la página 109 ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN CASA: 1, 7, 8 de la página 119

4.2 Monomios en una indeterminada x. Suma y Producto. Un MONOMIO en una indeterminada x, es el producto de un número, llamado coeficiente, por una potencia de la indeterminada, que notamos como x. n Con el lenguaje matemático, un monomio es una expresión del tipo, a · x

A “a” se le llama COEFICIENTE y a “x” INDETERMINADA. EJEMPLOS: 3 x,

2 3 x , 3

- 2x,

x,

2

Nota: Para expresar el producto, de los coeficientes por las potencias de la indeterminada, no se suele escribir ningún símbolo, es decir: 3 · x2 = 3x2. Dos MONOMIOS se dicen SEMEJANTES si la indeterminada, x, tiene el mismo exponente. EJEMPLOS: 2x 2 y − x 2 son semejantes − 3 x y - 3x 2 no son semejantes.

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SUMA DE MONOMIOS: Para sumar dos monomios tienen que ser semejantes, en tal caso, se suman los coeficientes y se deja la misma potencia de la indeterminada. (Propiedad distributiva) ax n + bx n = (a + b )x n EJEMPLOS: 3x + 2x = 5 x − 3 x + 2x = −1x = − x 2x 3 − 7 x 3 = −5 x 3 3 2  3 1 x = 1 − x 2 = − x 2 2 2 2  2x − 3 + 3 x − 4 = 5 x − 7 x2 −

x 2 − x + 1 − 2x = x 2 − 3 x + 1 3 x + 5 − (− 2x + 5 ) = 3 x + 5 + 2x − 5 = 5 x

En los casos en los que no se pueden seguir sumando, por no ser los monomios semejantes, la expresión se deja indicada.

PRODUCTO DE MONOMIOS: El producto de dos monomios es igual al monomio que resulta de multiplicar los coeficientes, por un lado, y las potencias de la indeterminada por otro. Nota: Al multiplicar las potencias de la indeterminada, como tienen la misma base, x, se suman los exponentes.

( axn )· ( bxm ) = (a · b) xn+m

EJEMPLOS:

( ) ( ) 5 7 1 4 3  x  · (5x ) = x 2 2   3 · (4x 2 ) = 12x 2 (3x ) · 2x 2 = 6x 3 − 2x 3 · (- x ) = 2x 4

ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN LA CLASE: 7, 10, 12, 13, 15 de las páginas 111 y 112. ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN CASA: 10, 12, 13 de las páginas 119 y 120.

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4.3 Polinomios en una indeterminada x. Un POLINOMIO en una indeterminada x se define como una suma, ordenada, de monomios. p(x ) = an x n + … + a 2 x 2 + a1x + a0 Elementos de un polinomio:

○ COEFICIENTES: Números que multiplican a las potencias de x: an , … , a 2 , a1, a 0 . o Coeficiente Principal: Coeficiente que multiplica a la mayor potencia de x: an o Término Independiente: Coeficiente que no multiplica a la potencia de x: a0 ○ GRADO: El mayor de los exponentes de las potencias de x: gr (p ) = n NOTA: En los polinomios a los monomios que lo forman se les llaman TÉRMINOS. Los polinomios que se expresan como suma de dos monomios (términos), se llaman binomios. EJEMPLO: Sea el polinomio, p(x ) = x 4 + 3x 2 − 2x + 5 Coeficientes: 1, 0, 3, -2 y 5 (Si falta alguna potencia de x, el coeficiente correspondiente es 0) Coeficiente principal: 1. Término Independiente: 5 Grado del polinomio: 4

El VALOR NUMÉRICO de un polinomio, p( x ), en un número, “a”, se define como el número que resulta de sustituir la indeterminada x por el número “a”, y calcular la expresión que se plantea. Se escribe como p( a ). EJEMPLO: Sea el polinomio, p(x ) = x 4 + 3x 2 − 2x + 5 o

Valor numérico de p( x ) en 1: p(1) = 14 + 3 · 12 − 2 · 1 + 5 = 1 + 3 − 2 + 5 = 7


o

El valor numérico en 1, es igual a la suma de los coeficientes.

Valor numérico de p( x ) en -1: p(− 1) = (− 1)4 + 3 · (- 1)2 − 2 · (- 1) + 5 = 1 + 3 + 2 + 5 = 11


El valor numérico en -1, es igual a la suma de los coeficientes después de cambiar el signo de los que ocupan posiciones impares.

o

Valor numérico de p ( x ) en 2: p(2) = 2 4 + 3 · 2 2 − 2 · 2 + 5 = 16 + 12 − 4 + 5 = 29

o

Valor numérico de p( x ) en 0: p(0 ) = 0 4 + 3 · 0 2 − 2 · 0 + 5 = 0 + 0 − 0 + 5 = 5




El valor numérico en 0, es igual al término independiente.

ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN LA CLASE: 1, 2, 4 de la página 113. ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN CASA: 14 de la página 120.

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4.4 Suma y Producto de Polinomios. Productos Notables. SUMA DE POLINOMIOS: Para sumar dos polinomios se suman los monomios semejantes y se ordenan los resultados, según el exponente de la indeterminada. EJEMPLO 1: Sean los polinomios: p(x ) = 2x 3 + 3 x 2 −

2 x+5 3

y

q(x ) = x 4 − 3 x 3 + 2x 2 − 3 x + 1

)

(

2    2  p(x ) + q(x ) =  2x 3 + 3 x 2 − x + 5  + x 4 − 3 x 3 + 2x 2 − 3 x + 1 = x 4 + (2 − 3 )x 3 + (3 + 2 )x 2 +  − − 3  x + (5 + 1) = 3 3     11 − 2 9 x 4 + (− 1)x 3 + 5 x 2 +  − x + 6 = x 4 − x 3 + 5 x 2 − x + 6 3 3  3 Hasta que se logra cierta destreza con las sumas, se suele seguir el siguiente esquema: 2x3 +3x2 -(2/3)x +5 x4-3x3+2x2

-3x

+1

x4 -x3 +5x2-(11/3)x+6

EJEMPLO 2: Sean los polinomios: p(x ) = x 3 + 3x 2 + 5

(

)(

)

y

q(x ) = x 3 + 2x 2 − 3 x + 1

p(x ) − q(x ) = x 3 + 3 x 2 + 5 − x 3 + 2x 2 − 3 x + 1 = x 3 + 3 x 2 + 5 − x 3 − 2x 2 + 3 x − 1 = x 2 + 3 x + 4 . ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN LA CLASE: 5, 6, 7 de la página 114. ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN CASA: 15, 16, 18 de la página 120.

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PRODUCTO DE POLINOMIOS: Para multiplicar dos polinomios se multiplican todos los monomios del primero por todos los monomios del segundo, luego se suman los resultados, como en el apartado anterior. EJEMPLO 1: Un número por un polinomio.

(

)

3 · 2x 3 − 3 x 2 − 2x + 1 = (3 · 2)x 3 + (3 · (- 3 ))x 2 + (3 · (- 2))x + 3 · 1 = 6x 3 − 9 x 2 − 6 x + 3

EJEMPLO 2: Un monomio por un polinomio.

(3x 2 )· (x 2 + 2x − 2) = (3x 2 )· (x 2 ) + (3x 2 )· (2x ) + (3x 2 )· (- 2) = 3x 4 + 6x 3 − 6x 2

EJEMPLO 3: En general un polinomio por un polinomio.

(x 2 + 2x + 3)· (2x + 1) = (x 2 )· (2x ) + (x 2 )· 1 + (2x)· (2x ) + (2x)· 1 + 3 · (2x ) + 3 · 1 = 2x 3 + x 2 + 4x 2 + 2x + 6x + 3 =

= 2x 3 + 5 x 2 + 8x + 3

NOTA: El nº de productos de monomios que tienes que efectuar es igual, al producto del nº de monomios del primero, por el nº de monomios del segundo. En el ejemplo 3 x 2 = 6,

Igual que en la suma, si tienes dificultades para seguir el desarrollo anterior, puedes utilizar el esquema siguiente x2 +2x+3 2x +1 2

x +2x+3 3

2x +4x2+6x 2x3 +5x +8x+3

Se puede observar que el grado del producto es igual a la suma de los grados.

gr (p(x ) · q(x )) = gr (p(x )) + gr (q(x )) ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN LA CLASE: 8, 9, 10 de la página 115 ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN CASA: 19, 20, 21. 23, 25 de las páginas 120 y 121.

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PRODUCTOS NOTABLES: Siguiendo la misma regla del producto, podemos simplificar algunos desarrollos, como los que a continuación se muestran: CUADRADO DE UNA SUMA: (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a 2 + a · b + b · a + b 2 = a 2 + 2a · b + b 2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 El cuadrado de una suma es igual: Al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. EJEMPLO: (3x + 1)2 = (3 x )2 + 2 (3x ) · 1 + 12 = 9 x 2 + 6x + 1 CUADRADO DE UNA DIFERENCIA: (a − b)2 = (a − b) · (a − b ) = a 2 − a · b − b · a + b 2 = a 2 − 2a · b + b 2

(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2 El cuadrado de una diferencia es igual: Al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. EJEMPLO: (3x − 1)2 = (3x )2 − 2 (3x ) · 1 + 12 = 9x 2 − 6 x + 1 SUMA POR DIFERENCIA: (a + b ) · (a − b ) = (a + b ) · (a − b ) = a 2 − a · b + b · a − b 2 = a 2 − b 2

(a + b) · (a − b) = a 2 − b2 La suma por diferencia es igual: Al cuadrado del primero, menos el cuadrado del segundo. Es decir a la diferencia de los cuadrados. EJEMPLO: (3 x + 1) · (3 x − 1) = (3 x )2 − 12 = 9 x 2 − 1 ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN LA CLASE: 1, 2, 3 de la página 117 ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN CASA: 29 de las páginas 121.

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4.5 Factorización de Polinomios. Descomponer factorialmente un polinomio, es expresar su suma de monomios como producto de polinomios. Por ahora lo podemos conseguir extrayendo Factor Común y aplicando los Productos Notables.

EXTRACCIÓN DE FACTOR COMÚN. Se trata de aplicar la propiedad distributiva, a · b + a · c = a · (b + c), en los polinomios que no tienen término independiente, aprovechando que el factor x, aparece en todos los términos. EJEMPLO: 3x 3 + 6 x 2 − 12 x = x (3 x 2 + 6 x − 12) = 3 x (x 2 + 2 x − 4 )

PRODUCTOS NOTABLES. Aplicamos las fórmulas anteriores en sentido contrario a la anterior:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b )2 a 2 − 2ab + b 2 = (a − b )2 a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) EJEMPLOS: x 2 + 6 x + 9 = (x + 3 )2 x 2 − 2x + 1 = (x − 1)2 x 2 − 4 = (x + 2 )(x − 2) ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN LA CLASE: 5, 7 de las páginas 117 y 118. ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN CASA: 31 de las páginas 121.

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