Diem que una biga pateix una flexió si actuen com a mínim tres forces perpendiculars a la biga, de les que dues apuntaran en el mateix sentit i una en sentit contrari. La biga tendirà a deformar-se tal i com s’observa a la figura.
r F1
r F1
r F3
r F2
r F3
r F2 Tota flexió es pot interpretar com una tracció i una compressió que actuen de forma simultània perquè la longitud de la part còncava de la deformació anterior reduirà la seva longitud i la part convexa augmentarà. Per estudiar el què passa en una biga sotmesa a una flexió haurem de calcular l’esforç tallant i el moment flector en tots els punts de la biga. 1.1. Esforç tallant i moment flector causat per càrregues puntuals. Considereu una biga horitzontal de longitud L i de massa negligible i que està recolzada sobre dos pilar i sotmesa a dues forces puntuals tal i com es veu a la figura.
r RA
r RB
r F1
r F2
Les forces que actuen mantindran la biga en equilibri, és a dir que es compliran les dues condicions següents: r r F=0 i M=0 (1)
∑
∑
Ara considereu un tros de la biga en qüestió, per exemple el primer tros esquerra.
r RA
r RB
r F1
r F2
Aquesta porció de biga també estarà en equilibri i per tant s’hauran de complir les dues equacions anteriors (1). És evident que per obtenir l’equilibri del tros de biga caldrà dibuixar més forces sobre ell. Sobre el tall imaginari que hem fet actuarà V que ve 1 Per Roger Mauricio Grañó
Tema 6. Càlcul sobre bigues i columnes.
provocada per la resta de la biga. I per impedir el gir del tros de la biga hi haurà un moment MF que compensi el moment de F1.
MF r V
r F1
V s’anomena força tallant i MF s’anomena moment flector. Per conveni i quan prenem el tros esquerra de la biga, sempre dibuixarem V en sentit descendent i MF en sentit antihorari. 1.2. Determinació de l’esforç tallant i el moment flector sobre una biga sotmesa a forces puntuals. Per determinar el valor de V i MF aplicarem de forma successiva els passos següents. 1. Determinarem el valor de les respostes (RA i RB) dels pilars que suporten la biga. 2. Dividirem la biga a través d’uns talls imaginaris que situarem sempre entre les forces puntuals que actuen sobre la biga. 3. Prendrem el tros de biga corresponent, des del costat esquerra fins el tall. 4. Aplicarem les equacions d’equilibri per trobar V i MF. EXEMPLE La biga de longitud L de la figura està sotmesa a dues forces puntuals tal i com es veu a la figura. F1 =150 N F2 = 300 N L=8m
r RA
2m
4m
2m
r F2
r F1 1.
r RB
r
∑ F = 0 ⇒ R + R − F − F = 0 ⇒ R + R − 450 = 0 ⇒ R + R = 450 N ∑ M = 0 ⇒ M + M + M + M = 0 ⇒ 0 + 6·R − 1200 + 300 = 0 ⇒ 6·R A
A
B
RA
1
RB
2
A
F2
B
A
F1
B
B
B
= 900 ⇒ R B = 150N
R A = 450 − R B = 300N 2. 2m
r RA
4m
2m
r F1
r RB
r F2
2 Per Roger Mauricio Grañó
Tema 6. Càlcul sobre bigues i columnes.
3.
r
∑ F = 0 ⇒ −V − F = 0 ⇒ V = −F
x
1
r r M V F
r F1
r F1
r F1
r
F
MF = 0 ⇒MF1 + MF = 0 ⇒ MF = −MF1
r
∑ F = 0 ⇒ −V − F + R 1
r MF
r RA
A
= 0 ⇒ V = R A − F1
V = 300N − 150N = 150N
∑
r V
TALL
MF = 0 ⇒MF1 + MF − MR A = 0
⇒ MF = MR A − MF1 ⇒ MF = R A ( x − 2) − F1·x ⇒ MF = 300( x − 2) − 150·x ⇒ MF = 150 x − 600
4m
r MF
x
∑ F = 0 ⇒ −V − F ∑ M = 0 ⇒M
TALL
MF = −F1·x ⇒ MF = −150·x
x
2m
TALL
∑
r RA
2m
1
V = −150N
r F2
r V
1
+ R A − F2 = 0 ⇒ V = R A − F1 − F2 ⇒ V = 300N − 150N − 300N = −150N
F1
+ MF − MR A + MF2 = 0 ⇒ MF = MRA − MF1 − MF2 ⇒ MF = R A ( x − 2) − F1·x − F2 ·( x − 6)
⇒ MF = 300( x − 2) − 150·x − 300( x − 6) ⇒ MF = −150 x + 1200
En resum ens queda que: − 150 N ; 0 ≤ x ≤ 2m V( x ) = 150 N ; 2m < x ≤ 6m − 150 N; 6m < x ≤ 8m
− 150·x ; 0 ≤ x ≤ 2m M F ( x ) = 150·x − 600 ; 2m < x ≤ 6m − 150·x + 1200; 6m < x ≤ 8m
Per acabar l’exemple representarem gràficament la funció V(x) i MF(x).
3 Per Roger Mauricio Grañó
Tema 6. Càlcul sobre bigues i columnes.
V(N)
150 N 6m
8m
2m
x (m)
-150 N
2m 6m
x (m)
1.3. Esforç tallant i moment flector causat per càrregues uniformement repartides.
Considereu la biga de l’exemple anterior. Suposem que a sobre de la biga situem una càrrega Q de 1000 N repartida uniformement, tal i com es mostra a la figura.
2m
RA
2m
2m
2m
RB
Q F1
F2
Les forces que actuen mantindran la biga en equilibri, és a dir que es compliran les dues condicions següents: r r F=0 i M=0
∑
∑
A partir de les dues condicions anteriors deduirem el valor de RA i RB. r
∑ F = 0 ⇒ R + R − F − F − Q = 0 ⇒ R + R − 450 − 1000 = 0 ⇒ R + R = 1450 N ∑ M = 0 ⇒ M + M + M + M + M = 0 ⇒ 0 + 6·R − 1200 + 300 − 1000 = 0 ⇒ 6·R A
A
B
RA
1
2
RB
A
F2
F1
B
A
Q
B
B
B
= 1900 ⇒
RB = 316,67N R A = 1450 − RB = 1133,33N
Per determinar l’esforç tallant i el moment flector, procedirem de forma idèntica que en el apartat anterior, tot i tenint en compte que els talls imaginaris que haurem de 4 Per Roger Mauricio Grañó
Tema 6. Càlcul sobre bigues i columnes.
considerar s’han de fer entre dues forces puntuals o entre les forces puntuals i els límits de les càrregues uniformement repartides. Així doncs per a l’exemple anterior, haurem de fer quatre talls.
L0 2m
RA
2m
2m
2m
RB
Q F1
F2
En els trams on no hi ha càrregues puntuals procedirem de forma idèntica que en l’exemple 1. Ara però ens centrarem en el tall 2. RA=1133’33N
F1 =150N
1
A
− Q' = 0 ⇒ V = R A − F1 + Q'
Q' = q·( x − 2) = 500 x − 1000 Q 1000 N on q = = = 500 N m L 2m V = 1133'33 − 150 − 500 x + 1000 ⇒ V = −500 x + 1983'33
Q’ 2m x
r
∑ F = 0 ⇒ −V − F + R
∑ V
TALL
M F = 0 ⇒M F1 + M F − M R A + M Q ' = 0
M R A = R A ·( x − 2) = 1133'33x − 2266'67 MF M F1 = F1 ·x = 150·x x x −2 2 M Q ' = Q'· = (500 x − 1000)· − 1 = 250·x − 1000·x + 1000 2 2 ⇒ M F = −M F1 + M R A − M Q ' = 0 M F = −150 x + 1133'33x − 2266'67 − 250 x 2 + 1000x − 1000 M F = −250 x 2 + 1983'33x − 3266'67
Fixeu-vos que de la càrrega Q només prenem la part que queda a l’esquerra del tall Q’ i que és proporcional a la longitud que es mostra en el dibuix Q’= q·(x-2). q és la densitat lineal de càrrega.
Per acabar l’exemple representarem gràficament la funció V(x) i MF(x) per a tota la biga.
5 Per Roger Mauricio Grañó
Tema 6. Càlcul sobre bigues i columnes.
2m
RA
2m
2m
2m
RB
Q F1
F2
V (N)
983’33 N
-16,67 N
4m
2m
6m
x (m) 8m
-150 N
-316,67 N
− 150 N ; 0 ≤ x ≤ 2m − 500 x + 1983'33 ; 2m < x ≤ 4m V( x ) = − 16'67 N ; 4m < x ≤ 6m − 316,67 N; 6m < x ≤ 8m
6 Per Roger Mauricio Grañó
Tema 6. Càlcul sobre bigues i columnes.
MF (Nm)
x (m) 2m
4m
6m
8m
− 150·x ; 0 ≤ x ≤ 2m 2 − 250 x + 1983'33x − 3266'67 ; 2m < x ≤ 4m M F (x) = − 16'67 x + ?? ; 4m < x ≤ 6m − 316,67 x + ??; 6m < x ≤ 8m