Campos Electromagn´eticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla

Tema 6: Conductores o ´hmicos 1. Ley de Ohm: Modelo del gas de electrones de Drude. Conductividad. 2. Corriente estacionaria: Problemas de potencial en conductores. Concepto de resistencia. Potencia disipada en un conductor (efecto Joule). Generadores. 3. Inducci´ on en espiras conductoras: Regla del flujo. Coeficientes de inducci´on. F´ormula de Neumann. Ecuaciones de evoluci´on para un sistema de espiras fijas. Energ´ıa almacenada en un conjunto de espiras. 4. Fundamentaci´ on de la Teor´ıa de Circuitos: Leyes de Kirchhoff para circuitos estacionarios. An´alisis de mallas. Asociaci´on de resistencias. Corrientes variables. Relaci´on I–V de elementos simples. Reg´ımenes transitorio y permanente. Concepto de impedancia. Generalizaci´on de las leyes de Kirchhoff.

6.1.

Ley de Ohm

El car´acter conductor de una sustancia viene determinado fundamentalmente por la densidad de portadores de carga. Para poner de manifiesto esta relaci´on vamos a proponer un modelo f´ısico muy sencillo debido a Drude. Supongamos que existen s especies de portadores en un material, cada una portando una carga qi y con una densidad de part´ıculas por unidad de volumen dada por   sobre una part´ıcula ser´ıa incrementar ni . El efecto de un campo de fuerzas por unidad de carga E su velocidad indefinidamente, pero esto no es lo que se observa en la pr´actica en el seno de un conductor, sino que los portadores adquieren en promedio una velocidad constante en la direcci´ on del campo aplicado. Este hecho experimental se explica por la interacci´on de las cargas libres con otras part´ıculas presentes en el material. Si entendemos esta interacci´on como un rozamiento (lo cual es simplemente un modelo f´ısico propuesto), podremos escribir mi

dvi   − γivi , = qi E dt

donde mi es la masa de la part´ıcula y γi es el coeficiente de rozamiento con el medio. La soluci´on a este problema din´amico es bien conocida y en efecto da lugar a una relajaci´on exponencial a una velocidad l´ımite vi,∞ : vi (t) = vi,∞ (1 − e−t/τi );

τi =

mi ; γi

vi,∞ =

qi   E. γi

El tiempo que tarda la part´ıcula en adquirir una velocidad constante viene estimado por el tiempo de relajaci´ on τi , que suele ser muy peque˜ no en comparaci´on con las escalas t´ıpicas de fen´omenos macrosc´opicos. En realidad τi juega un papel m´as importante que la propia constante de rozamiento, puesto que tiene un significado f´ısico m´as cercano a la realidad (promedio estad´ıstico del tiempo entre colisiones de la part´ıcula con otras del material), pero no entraremos en un an´alisis microsc´opico riguroso. Tema 6: Conductores ohm´ıcos

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Recordando la definici´on de densidad de corriente dada en el segundo cap´ıtulo llegamos a jf =

s 

qi nivi,∞ =

i=1

s 

qi ni

i=1

s qi    qi2 ni τi   E = E, γi i=1 mi

donde el sub´ındice “f” especifica que estamos considerando corrientes de carga libre (existen corrientes asociadas a las cargas ligadas que se estudiar´ an m´as adelante). Esta ecuaci´on puede escribirse finalmente  jf = σ E

con

σ=

s  qi2 ni τi i=1

mi

,

que recibe el nombre de ley de Ohm. A la constante de proporcionalidad σ se la denomina conductividad del medio. La f´ormula que la define es una expresi´on aproximada, v´alida s´olo en ciertas circunstancias. La unidad en el sistema internacional es el siemens/metro (S/m), siendo el siemens (A/V) la unidad de conductancia, que se ver´a m´as adelante. La ley de Ohm debe entenderse como un resultado fenomenol´ogico que explica el comportamiento de muchos materiales en relaci´on con el transporte de carga al ser sometidos a un campo. En otras palabras, no tiene un car´acter universal como el de las ecuaciones de Maxwell en el vac´ıo. Una ley de este tipo se denomina relaci´ on constitutiva. A los materiales que verifican esta ley, y para los que por tanto se puede definir una conductividad, se les denomina medios o ´hmicos. La conductividad es el par´ametro que determina el car´acter conductor o aislante de una gran cantidad de sustancias. Se trata de una cantidad siempre positiva y proporcional a la densidad de portadores. Tambi´en es usual el manejo de la resistividad, o inverso de la conductividad, medido en el S.I. en V · m/A. En la tabla que sigue puede verse su enorme rango de variaci´on de unas sustancias a otras: Material Resistividad (V·m/A) Aluminio 2,65 · 10−8 Cobre 1,67 · 10−8 Oro 2,35 · 10−8 Hierro 9,71 · 10−8 N´ıquel 6,84 · 10−8 Plata 1,59 · 10−8 Mercurio 95,8 · 10−8 Constant´an (Cu 60 %, Ni 40 %) 49,0 · 10−8 Germanio (puro) 0,46 Grafito 1,4 · 10−5 Agua saturada de sal 0,044 ´ Oxido de aluminio 1 · 1014 Vidrio 1010 − 1014 Cuarzo 1 · 1014 Azufre 2 · 1015 Madera 108 − 1011 Es conveniente insistir en que la existencia de corriente en el medio no implica que haya carga neta en ´el. Por ejemplo, en metales que aportan un electr´on por a´tomo a la banda de conducci´on, Tema 6: Conductores ohm´ıcos

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los portadores de carga son dichos electrones, con carga −e, densidad n− y velocidad v− , pero existe una red de part´ıculas con carga positiva en posiciones fijas, con carga e densidad n+ , de tal manera que j = −en−v− = 0 pero ρ = e(n+ − n− ) = 0. En general la conductividad depende de la posici´on dentro de un material (σ = σ(r)) puesto que puede haber inhomogeneidad en su composici´on qu´ımica, densidad y/o temperatura, lo cual afecta a los par´ametros microsc´opicos que intervienen en la f´ormula para σ. En el modelo microsc´opico analizado anteriormente hemos considerado un campo de fuerzas por unidad de carga de manera general. Esto incluye como caso particular, aunque bastante habitual, los campos puramente el´ectricos, pero no deben excluirse campos de otra naturaleza (fuerzas mec´anicas, qu´ımicas, etc.). Estas fuerzas act´ uan por ejemplo en el interior de los generadores de corriente (pilas, dinamos) y en los motores el´ectricos. De hecho veremos que para que se establezca un circuito de corriente es necesario que en alg´ un punto del mismo existan fuerzas de origen no electrost´atico que bombeen los portadores. En cambio debemos omitir el efecto eventual del campo magn´etico sobre la din´amica de los portadores. Esto se justifica en la mayor´ıa de los casos (pero no siempre) porque la velocidad media de los portadores suele ser peque˜ na, y la fuerza magn´etica   se desprecia frente a la el´ectrica (|v × B|