TEMA 6. LAS FRACCIONES 1. LA FRACCIÓN Y SUS TÉRMINOS Fraccionar es dividir en partes iguales. Se puede fraccionar en las partes que se quiera siempre que sean iguales. Fracción es una o varias partes iguales en que se divide a la unidad. Se llama número fraccionario o fracción al cociente indicado de dos números llamados numerador y denominador. Los términos de la fracción son dos: a) El denominador indica el número de partes iguales en que se divide a la unidad. b) El numerador indica las partes de la unidad que se toman o que se consideran. Ejemplo

Hemos dividido la unidad en 8 partes. Hemos rayado 3 partes. La fracción sería Se lee: tres octavos. Las fracciones se leen de dos formas: a) Nombramos el numerador Leemos el denominador de la siguiente forma: medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos, décimos. Ej.:

Siete medios

Si el denominador es mayor que 10 se lee el número acabado en la palabra “AVOS”. Ej.:

Cinco doceavos.

1

b) Se lee también nombrando el numerador, a continuación decimos “partido por” y por último leemos el denominador. Ej.:

Tres partido por cuatro. Diecinueve partido por treinta y cinco Uno partido por seis

2. LA FRACCIÓN COMO OPERADOR La fracción es un operador porque opera o actúa sobre cualquier número de forma que el numerador actúa siempre multiplicando y el denominador actúa siempre dividiendo. 3 · 6 = 18 Ej.:

de 6 = 9 18 : 2 = 9

3. CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES Hay tres clases de fracciones: a) PROPIAS: son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador.

Ej.:

La fracción que representa la parte rayada es 2/5

Observa que la parte rayada es menor que la unidad. b) IMPROPIAS: son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador.

7

Ej.: 3

Hemos tomado 2 unidades completas y una parte de otra unidad.

c) APARENTES: son aquellas en las que el numerador es múltiplo del denominador. Ej.:

Es equivalente a un número natural (5) ya que el cociente es exacto.

Cualquier número natural se puede expresar por una fracción 5 =

·

= 2

4. FRACCIONES ESPECIALES a) Fracciones que tienen como denominador el número 0. Estas fracciones no se pueden representar, ni dividir y por lo tanto no tienen solución. 5

Ej.: 0

No tiene solución.

b) Fracciones que tienen como numerador el número 0. Estas fracciones son siempre iguales a cero. Ej.:

=0

c) Las fracciones que tienen iguales el numerador y el denominador son siempre iguales a la unidad. Ej.:

=1

5. FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes si expresan que se ha elegido la misma cantidad de una unidad.

Todas estas fracciones son equivalentes entre sí porque expresan la misma cantidad de la unidad elegida. ≃

≃

≃

Dos fracciones son equivalentes si al actuar sobre un mismo número el resultado es el mismo. Ej.: es equivalente a

3

de 8 = de 8 =

·

·

=

=4

=

=4

Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar sus términos en cruz se obtiene el mismo resultado. Ej.: 2 · 6 = 12 ≃

3 · 4 = 12

A estas multiplicaciones se les llama “productos cruzados” 6. OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA Para conseguir fracciones que sean equivalentes a otra se pueden seguir dos métodos: a) Método de amplificación Para conseguir fracciones equivalentes a otra por amplificación se multiplican el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número natural. Ej.: · ·

=

; ≃

· ·

≃

=

; ≃

· ·

=

≃ ...

b) Método de simplificación Simplificar una fracción es obtener otra equivalente de numerador y denominador menores que ella. Para simplificar fracciones se dividen numerador y denominador por los divisores comunes. Cuando una fracción ya no puede simplificarse más se llama fracción irreducible.

4

Ej.: Simplificar la fracción ∶ ∶

=

;

≃

→ Fracción irreducible

Para simplificar una fracción hay dos métodos: 1er método: dividir el numerador y el denominador por un mismo número hasta llegar a la fracción irreducible. Ej.: Simplifica ∶ ∶

≃

≃

=

∶ ∶

=

∶ ∶

≃ → Fracción irreducible

2º método: se calcula el M.C.D. A los dos términos de la fracción. Después, se divide el numerador y el denominador de la fracción por el M.C.D. Y obtenemos así la fracción irreducible directamente. Ej.: simplifica por el método del M.C.D. 400 200 100 50 25 5 1

2 2 2 2 5 5

160 80 40 20 10 5 1

2 2 2 2 2 5

=

400 = 24 · 52 160 = 25 · 5 M.C.D. (400, 160) = 24 · 5 = 80

∶ ∶

= → Fracción irreducible

5

7. REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR Reducir fracciones a común denominador es encontrar fracciones equivalentes a las que se dan pero que tengan todas el mismo denominador. Para reducir fracciones a común denominador hay dos métodos: a) Método de los productos cruzados Se coloca como denominador un número formado por el producto de los denominadores. En el numerador de cada fracción se coloca un número formado por el producto de ese numerador por todos los denominadores menos por el suyo. Ej.: Reduce a común denominador , y

= = =

· · · · · · · · · · · ·

= = =

Resultado:

,

,

b) Método del mínimo común múltiplo Este es el método más usado. Se calcula en primer lugar el m.c.m. de todos los denominadores. Después, se divide el m.c.m. por cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por cada numerador. El número que resulta es el numerador de la fracción que buscamos. Ej.: Reduce a común denominador por el método del m.c.m. , y 3 3 1

6 2 3 3 1

4 2 2 2 1

3=3 6=2·3 4 = 22 m.c.m. (3, 6, 4) = 22 · 3 = 12

6

= = =

%

∶ &·

%

∶ &·

%

∶ &·

·

=

·

=

·

= ,

Resultado:

= = = ,

8. CÓMO ORDENAR FRACCIONES DE MAYOR A MENOR Para ordenar fracciones hay que tener en cuenta las siguientes normas: a) De dos fracciones que tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador. Ej.: Ordena de mayor a menor estas fracciones

,

,

Resultado:

,

>

>

>

b) De dos fracciones que tienen igual numerador es mayor la que tiene el denominador más pequeño. Ej.: Ordena de mayor a menor estas fracciones.

, <

, <

, <

c) Si las fracciones que vamos a ordenar tienen distinto el numerador y el denominador lo primero que hay que hacer es reducirlas a común denominador. Por el método del m.c.m. Cuando tengan el mismo denominador será mayor la que tenga mayor numerador.

7

Ej.: Ordena de mayor a menor estas fracciones. 1

) 3 3 1

5 5 1

5

m.c.m. (3, 5) = 3 · 5 = 15

= =

%

∶ &·

%

∶ &·

Resultado:

= =

>

·

·

= =

ó

>

8