Tema 8: Integral de Riemann Monotonía de la integral Si f y g son funciones integrables en [a, b] tales que f (x) ≥ g(x) ∀x ∈ [a, b] entonces

Rb

a

Rb f≥ g a

Como caso particular para g = 0 se obtiene que si f es una función integrable en [a, b] tal que f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] entonces

Rb

a

f ≥0

Acotación de una integral Si f es una función integrable en [a, b] entonces la función |f | es integrable en [a, b] y se tiene que ¯b ¯ b ¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ f ¯ ≤ |f | ¯ ¯ ¯ ¯ a

0.1

0.1.1

a

Otras aplicaciones geométricas de la integral Volumen de un sólido de revolución

El volumen del sólido obtenido al revolucionar (o girar) una curva continua y = f (x) alrededor del eje OX a lo largo del intervalo [a, b] se calcula mediante la integral Zb

πf (x)2 dx

a

A veces se denomina sólido de revolución. Si el giro se hace alrededor de un eje de ecuación y = c la fórmula es Zb π[f (x) − c]2 dx a

(Notemos que el giro a lo largo del eje OX es un caso particular de lo anterior pues este eje tiene por ecuación y = 0.) También es posible girar la curva alrededor del eje OY . Suponiendo que en el intervalo la curva es siempre creciente o siempre decreciente, la integral que nos da ese volumen es Zb

2πxf (x)dx

a

Si el giro se realiza alrededor de un eje de la forma x = c el volumen del sólido de revolución obtenido es b−c Z 2πxf (x + c)dx a−c

1

Ejemplo 0.1 Hallemos el volumen de un cono de radio r y de altura h. Podemos obtenerlo como revolución alrededor del eje OX de la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (h, r), es decir de la curva de ecuación y = hr x en el intervalo [0, h]. De este modo el área sería Zh

π

1 2 r2 2 r2 x3 h r2 h3 ] = πr h x dx = π [ = π 0 h2 h2 3 h2 3 3

0

Ejemplo 0.2 Hallemos el volumen de un cilindro de radio r y de altura h. Podemos obtenerlo como revolución alrededor del eje OX de la recta que pasa por los puntos (0, r) y (h, r), es decir de la curva de ecuación y = r en el intervalo [0, h]. De este modo el área sería Zh

2

πr dx = πr

0

2

Zh

1dx = πr2 [x]h0 = πr2 [h − 0] = πr2 h

0

Ejemplo 0.3 Hallar el volumen del sólido de revolución engendrado al girar la curva y = intervalo [2, 3] alrededor del eje OX y también alrededor de la recta y = 2. Según la fórmula el volumen valdría Z3

12 − 2)2 dx = π π( x+1

2

Z3

144 48 + 4]dx = π [ − 2 (x + 1) x+1

2

= π[144

Z3

12 x+1

en el

[144(x + 1)−2 − 48(x + 1)−1 + 4]dx =

2

(x + 1)−1 144 − 48 log |x + 1| + 4x]32 = π[− − 48 log |x + 1| + 4x]32 = −1 x+1

4 = π[(−36 − 48 log 4 + 12) − (−48 − 48 log 3 + 8)] = π[16 + 48(log 4 − log 3)] = π(16 + 48 log ) 3 Ejemplo 0.4 Hallar el volumen del sólido de revolución engendrado al girar la curva y = x2 en el intervalo [0, 1] alrededor del eje OY y también alrededor de la recta x = 1. Según la fórmula el volumen valdría Z1

2πxf (x + 1)dx = 2π

0

x(x + 1)2 dx = 2π

0

= 2π[ 0.1.2

Z1

Z1

x(x2 + 2x + 1)2 dx = 2π

0

Z1

(x3 + 2x2 + x)2 dx =

0

x4 1 2 1 x3 x2 17 17π + 2 + ]10 = 2π[ + + − 0] = 2π = 4 3 2 4 3 2 12 6

Volumen de un sólido por secciones planas

Supongamos que tenemos un sólido del que se conoce A(c), el área de la sección plana obtenida al intersectar el cuerpo con el plano x = c (donde c es una constante). Entonces, (si A es continua) podemos calcular el volumen del sólido mediante la integral Zb

A(c)dc

a

2

donde a y b son los valores mínimo y máximo, respectivamente, que tiene la coordenada x de alguno de los puntos del sólido. El mismo argumento es válido si conocemos el área de la sección plana obtenida al intersectar con planos de la forma y = c o z = c. Ejemplo 0.5 Hallemos el volumen del paraboloide z ≥ x2 + y 2 cuando z ∈ [0, 2]. Al intersectar la superficie z = x2 + y 2 , que delimita el borde del paraboliode, con una sección plana de la forma z = c √ obtenemos un círculo de la forma x2 + y 2 = c a la altura z = c. El radio de este círculo es c con lo que el área del círculo es πc. De este modo el volumen que nos piden es Z2

πcdc = [

πc2 2 ] = 2π 2 0

0

0.1.3

Longitud de un arco de curva

Dada una curva derivable y = f (x), la longitud del arco de curva comprendido entre los puntos de abcisa a y b es Zb p 1 + [f 0 (x)]2 dx a

Ejemplo 0.6 Hallemos la longitud de una circunferencia de radio 3, por ejemplo la que tiene por √ ecuación x2 + y 2 = 9. Basta hallar la longitud de la semicircunferencia superior y = + 9 − x2 y multiplicar por 2. Entonces la longitud es Z3 s Z3 r Z3 r −2x 2 x2 9 1+[ √ ] dx = 2 1+ dx = 2 dx = 2 9 − x2 9 − x2 2 9 − x2 −3

=2

Z3 s −3

0.1.4

−3

1 dx = 6 1 − ( x3 )2

Z3

−3

1 3

−3

x q dx = 6[arcsin ] 3 1 − ( x3 )2

3

= 6[ −3

π π − (− )] = 6π 2 2

Área de una superficie de revolución

Dada una curva derivable y = f (x), el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curva alrededor del eje OX entre los puntos de abcisa a y b es Zb

a

p 2πf (x) 1 + [f 0 (x)]2 dx

Ejemplo 0.7 Hallemos el área lateral de un cilindro de radio r y de altura h. Podemos obtenerlo como revolución alrededor del eje OX de la curva constante de ecuación y = r en el intervalo [0, h]. De este modo el área sería Zh Zh √ 2πr 1 + 0dx = 2πrdx = 2πrh 0

0

3

Ejemplo 0.8 Hallemos el área de una esfera de radio r. Podemos obtenerlo como revolución alre√ dedor del eje OX de la curva y = r2 − x2 en el intervalo [−r, r]. De este modo el área sería Zr

√ 2π r2 − x2

−r

s

r r Zr Zr 2 √ √ −2x x r2 2 2 − x2 1+( √ ) dx = 2π r2 − x2 1 + 2 dx = 2π r dx = r − x2 r2 − x2 2 r2 − x2 −r

−r

Zr Zr dx = 2πr[x] = 2πrdx = 2πr −r

0.2

−r

r −r

= 2πr[r − (−r)] = 2πr[2r] = 4πr2

Cambios de variable en la integral múltiple

Al igual que hacíamos en el caso de funciones de integrales en dimensión uno es posible realizar cambios de variable. Para simplificar lo haremos en el caso de dos variables. Sin meternos en mayores detalles, a la hora de hacer la integral Z Z f (x, y)dxdy R

si disponemos de una biyección φ = (φ1 , φ2 ) : R0 ⊂ R2 → R de clase C 1 , y denotando por u y v a las variables de las que depende esta función, lo que ocurre es que Z Z Z Z f (x, y)dxdy = f (φ1 (u, v), φ2 (u, v)) |J(φ(u, v))| dudv R0

R

Ejemplo 0.9 Se pretende calcular la integral Z Z

2 −y 2

e−x

dxdy

R

donde R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0} El recinto puede ponerse en la forma R = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤

√ 1 − x2 }

Realizaremos el cambio a coordenadas polares x = r cos θ y = r sin θ Tendremos en primer lugar que el recinto en coordenadas polares es R0 = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π} 4

Además la matriz jacobiana del cambio de coordenadas es ! Ã ! Ã ∂x ∂x cos θ −r sin θ ∂r ∂θ = J(φ(r, θ)) = ∂y ∂y sin θ r cos θ ∂r ∂θ luego el determinante es

¯Ã !¯ ¯ cos θ −r sin θ ¯ ¯ ¯ |J(φ(r, θ))| = ¯ ¯=r ¯ ¯ sin θ r cos θ

Entonces la integral queda ⎛ ⎞ ¸1 Z Z Zπ Z1 Zπ ∙ Zπ 1 1 1 1 1 1 π 2 2 −r2 −r −r − e e rdrdθ = ⎝ e rdr⎠ dθ = dθ = − ( −1)dθ = − ( −1) [θ]0 π = (1− ) 2 2 e 2 e 2 e 0 R0

0

0

0

0

5