TEMA 9 – DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN 9.1 – DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función, y = f(x) en un intervalo Variación de f(x) f (b) − f (a ) [a,b] al cociente: T.V.M.[a,b] = = Variación de x b−a y es la pendiente del segmento que une los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) Con frecuencia, el intervalo se le designa mediante la expresión [a,a+h], nombrando, así, a un extremo del intervalo “a”, y a su longitud, “h”. En tal caso, la tasa de variación f ( a + h ) − f (a ) media se obtiene : T.V.M. [a,a+h] = h

Si una función es creciente en [a,b], su tasa de variación media es positiva; y si es decreciente, negativa.

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA O DERIVADA Definición: Se llama tasa de variación instantánea (T.V.I) de una función, y = f(x) en un punto x = a o derivada de una función en un punto x = a, y se denota f ´(a) f ( x ) − f (a ) f (a + h ) − f (a ) = lim x →a h →0 x −a h

T.V.I.(a) = f ´(a) = lim

Significado: Si es positiva ⇒ La función es creciente en el punto x = a Si es negativa ⇒ La función es decreciente en el punto x = a

DERIVADAS LATERALES Se llama derivada por la izquierda de f en x = a, f ´(a-) a: f ( x ) − f (a ) f ( a + h ) − f (a ) f ´(a-) = lim− = lim− x →a h →0 x−a h Se llama derivada por la derecha de f en x = a, f ´(a+) a: f ( x ) − f (a ) f (a + h ) − f (a ) f ´(a+) = lim+ = lim+ x →a h →0 x −a h A ambas se las llama derivadas laterales.

Nota: Si en un punto las derivadas laterales son distintas, el punto es anguloso. Si las derivadas laterales coinciden, la curva es “suave” o “lisa”, es decir, es derivable. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si una función es continua en un punto puede ser derivable o no derivable en ese punto. Ejemplos: a) f(x) = 2x2 + 3 b) f(x) = |x|

Continua en x = 0 y Derivable en x = 0 Continua en x = 0 y No derivable en x = 0

Pero si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él. f ( x ) − f (a ) x −a x →a Vemos si f es continua en x = a, para ello debemos probar que lim f ( x ) = f (a ) ó lo que es lo mismo, Dem: f(x) es derivable en x = a, es decir, lim

x →a

lim f ( x ) − f (a ) = 0

x →a

f ( x ) − f (a ) f ( x ) − f (a ) ( x − a ) = lim lim ( x − a ) = f ´(a ).0 = 0 x −a x − a x →a x →a x →a

lim f ( x ) − f (a ) = lim

x →a

Nota: Por el resultado anterior, cuando tengamos que estudiar la derivabilidad de una función estudiaremos primero su continuidad. - Si es continua ⇒ Estudiaremos su derivabilidad (f ´(a-) = f ´(a+)) - Si no es continua ⇒ No es derivable.

9.2 – FUNCIÓN DERIVADA Si una función, f, es derivable en todos los puntos de un intervalo, I, la función f ´: x → f ´(x) definida en I, se llama función derivada de f. Si f ´es derivable, su derivada se llama f ´´ (se lee derivada segunda o f segunda). Así sucesivamente, se definen f ´´´, fiv, …, f n) (f tercera, f cuarta,… f n-ésima). Otra forma de nombrar las derivadas es Df, D2f, D3f, …, Dnf. Habitualmente se obtienen las derivadas de las funciones a partir de las llamadas “reglas de derivación” que permiten obtener con comodidad y rapidez la derivada de cualquier función.

9. 3 – REGLAS DE DERIVACIÓN OPERACIONES CON DERIVADAS -

Multiplicación por un número :(k.f(x))’ = k.f ‘(x) Suma y resta: [f(x) ± g(x)]’ = f ’(x) ± g’(x) Producto : [f(x).g(x)]’=f ‘(x).g(x) + f(x).g’(x) '

-

 f ( x )  f ' ( x ).g ( x ) − f ( x )g ' ( x ) Cociente :   = g 2 (x)  g( x )  Composición (Regla de la Cadena) : [f(g(x))]’=f ’(g(x)).g’(x) [f(g(h(x)))]´= f ´(g(h(x))).g´(h(x)).h´(x)

REGLAS DE DERIVACIÓN FUNCIÓN

DERIVADA

y=k

y’ = 0

y=x

y’ = 1

y = xn

y’ = n.xn-1

FUNCIÓN

y = f n(x)

1

DERIVADA

y’ = n.f(x)n-1.f ’(x)

f ' (x )

f (x )

y’ =

y = n f (x )

y’ =

y’ = ax. Ln a

y = af(x)

y’ = af(x).Ln a.f ’(x)

y = ex

y’ = ex

y = ef(x)

y’ = ef(x).f ‘(x)

y = log a x

y’ =

1 x.Lna

y = log a f(x)

y’ =

f ' (x) f ( x ).Lna

y = Ln x

y’ =

1 x

y = Ln f(x)

y’ =

f ' (x ) f (x )

y = sen x

y’ = cos x

y = sen f(x)

y’ = cos f(x).f ‘(x)

y = cos x

y’ = - sen x

y = cos f(x)

y’ = - sen f(x).f ‘(x)

y = tag x

y’ = 1 + tag2x =

y = arcsen x

y’ =

y = arccos x

y’ =

y = arctag x

y’ =

x

y’ =

y=n x

y’ =

y = ax

y=

y=

2 x 1 n x n −1 n

1 cos 2 x

y = tag f(x)

1 1− x2

1 1+ x2

y’ =

f ' (x ) n n f n −1 ( x )

f ' (x )

= cos 2 f ( x ) [1 + tag2f(x)].f ‘(x)

y = arcsen f(x)

y’ =

y = arccos f(x)

y’ =

y = arctag f(x)

y’ =

−1

1− x2

2 f (x)

f ' (x ) 1 − f 2 (x) −f ' ( x )

1 − f 2 (x) f ' (x) 1 + f 2 (x )

9.5 – DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA DE OTRA Si conocemos la derivada de una función f y, a partir de ella, queremos obtener la derivada de su función recíproca, f-1, procederemos del siguiente modo: f(f -1(x)) = x → Derivando → f ´(f -1(x)).(f -1)´(x) = 1 ⇒ (f −1 )´(x ) =

(

f´ f

1 −1

(x )

)

9.6 – NUEVAS TÉCNICAS DE DERIVACIÓN DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA Hay funciones que vienen dadas mediante expresiones φ(x,y) = 0, en las cuales es difícil o imposible despejar la y. Por ejemplo: y3 – 7x2 + 5y2x + 17 = 0 En ellas, los valores de y quedan implícitamente dados por la expresión, pero no es posible obtener explícitamente una expresión del tipo y = f(x). La derivada, y´, de la función, no es, sin embargo, difícil de obtener (sólo hay que tener en cuenta que la derivada de x es uno, y la derivada de y es y´). En el ejemplo: 3y2y´- 14x + 5(2yy´x + y2) + 0 = 0 ⇒ 3y2y´+ 10yy´x = 14x – 5y2 ⇒ 14x − 5y 2 y´= 2 3y + 10 xy Observamos que y´ viene dada en función de x y de y. Por tanto, para hallar el valor de la derivada en un punto, hemos de conocer su abscisa y su ordenada. Por ejemplo, sabiendo que la curva pasa por (2,1), obtenemos la derivada en ese punto: 14.2 − 12.5 23 y´(2,1) = = =1 2 3.1 + 10.2.1 23 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Función potencial: y = f(x)n ⇒ y´= n.f(x)n-1 Función exponencial: y = af(x) ⇒ y´= af(x).Lna.f´(x) Función exponencial-potencial: y = f(x)g(x) ⇒ Derivación logarítmica: 1 – Tomar logaritmos: Ln y = Ln f(x)g(x) ⇒ Ln y = g(x).Ln f(x) 2 – Derivamos los dos miembros de la igualdad: y´ f ´(x ) = g´(x ).Lnf ( x ) + g ( x ). y f (x)  f ´(x )  3 – Despejamos y´: y´= y.g´(x ).Lnf ( x ) + g ( x ). f ( x )    f ´(x )  4 – Sustituimos la y: y´= f ( x ) g ( x ) .g´(x ).Lnf ( x ) + g ( x ). f ( x )   Ejemplo: f(x) = xx f ´(x ) 1 = 1.Lnx + x. ⇒ Ln f(x) = Ln xx ⇒ Ln f(x) = x.Ln x ⇒ f (x) x x f´(x) = f(x) [Ln x + 1] ⇒ f´(x) = x [Ln x + 1]

TEMA 10 – APLICACIONES DE LA DERIVADA 10.1 – RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UNO DE SUS PUNTOS Si f(x) es derivable en x0, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en x0 es: y – f(x0) = f ´(x0).(x – x0) Práctica : [1] Si nos dan el punto de tangencia x = x0: Hallamos f(x0), f ´(x) ⇒ f ´(x0) y aplicamos la fórmula: y – f(x0) = f ´(x0).(x – x0) [2] Si nos dan la pendiente de la recta tangente m: m = f ´(x) ⇒ Resolvemos la ecuación y obtenemos x0 y procedemos como en [1]

10.2 – INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA 10.2.1 – CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE FUNCIONES f creciente en x0 ⇔ Existe un entorno del punto x0 (x0 – a, x0 + a) tal que: Si x0 – a < x < x0, entonces f(x) < f(x0) Si x0 < x < x0 + a, entonces f(x) > f(x0) f decreciente en x0 ⇔ Existe un entorno del punto x0 (x0 – a, x0 + a) tal que: Si x0 – a < x < x0, entonces f(x) > f(x0) Si x0 < x < x0 + a, entonces f(x) < f(x0) 10.2.2 – RELACIÓN DEL CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN CON EL VALOR DE SU DERIVADA f(x) derivable y creciente en x0 ⇒ f ´(x0) ≥ 0 f(x) derivable y decreciente en x0 ⇒ f ´(x0) ≤ 0 10.2.3 – CRITERIO PARA IDENTIFICAR TRAMOS CRECIENTES O DECRECIENTES A PARTIR DEL SIGNO DE LA DERIVADA Si f ´(x0) > 0 ⇒ f es creciente en x0 Si f ´(x0) < 0 ⇒ f es decreciente en x0 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS. DEFINICIÓN f tiene un máximo relativo en el punto de abscisa x0 ⇔ Existe un número a tal que si x ∈ (x0 – a , x0 + a) entonces f(x) < f(x0) f tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x0 ⇔ Existe un número a tal que si x ∈ (x0 – a , x0 + a) entonces f(x) > f(x0)

CONDICIÓN NECESARIO DE MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO EN FUNCIONES DERIVABLES Si f(x) es derivable en x0 y tiene un máximo o mínimo en él, entonces f ´(x0) = 0. Es decir: f(x) máximo o mínimo en x0 ⇒ f ´(x0) = 0 REGLA PARA IDENTIFICAR EXTREMOS RELATIVOS Para saber si un punto singular (f ´(x0) = 0) es máximo relativo, mínimo relativo o punto de inflexión, estudiaremos el signo de la derivada en las proximidades del punto, a su izquierda y a su derecha. Máximo: f ´> 0 a su izquierda f ´(x) < 0 a su derecha Mínimo: f ´< 0 a su izquierda f ´(x) > 0 a su derecha Inflexión: f ´ tiene el mismo signo a ambos lados del punto.

10.3 – INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA DEFINICIÓN DE CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN Tenemos una curva y = f(x). Trazamos la recta tangente a ella en un punto P, cuya ecuación es y = t(x). Entonces: - Si en las cercanías de P es f(x) > t(x), la curva es convexa en P. - Si en las cercanías de P es f(x) < t(x), la curva es cóncava en P. - Si la tangente atraviesa la curva en P, es decir, si a la izquierda de P es f(x) < t(x) y a la derecha f(x) > t(x), o viceversa, P es un punto de inflexión. RELACIÓN DE LA CURVATURA CON LA SEGUNDA DERIVADA Si f tiene segunda derivada en x0, se cumple que: - f convexa en x0 ⇒ f ‘ es creciente en x0 ⇒ f ´´(x0) ≥ 0 - f cóncava en x0 ⇒ f ‘ es decreciente en x0 ⇒ f ´´(x0) ≤ 0 - f tiene un punto de inflexión en x0 ⇒ f ´´(x0) = 0 CRITERIO PARA DETECTAR EL TIPO DE CURVATURA f ´´(x0) > 0 ⇒ f es convexa en x0 f ´´(x0) < 0 ⇒ f es cóncava en x0 f ´´(x0) = 0 y f ´´´(x0) ≠ 0 ⇒ f tiene un punto de inflexión en x0 APLICACIÓN A LA IDENTIFICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si f ´(x0) = 0 y existe f ‘’(x0), entonces: - Si f´´(x0) > 0 ⇒ Es un mínimo relativo en x0 - Si f´´(x0) < 0 ⇒ Es un máximo relativo en x0 - Si f´´(x0) = 0 ⇒ ????

10.4 – OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Con mucha frecuencia aparecen problemas físicos, geométricos, económicos, biológicos,… en los que se trata de optimizar una función (hacer máximo un volumen, unos beneficios, una población; hacer mínimos unos costes o un área,…). -

Calculamos la función a optimizar (normalmente dependerá de dos variables) f(x,y) Buscamos una relación entre las variables: Ecuación g(x,y) = 0 Despejamos una incógnita de la ecuación (g(x,y) = 0) y la sustituimos en la función f(x,y) con lo cual la función ya sólo dependerá de una variable f(x) Optimizamos la función f(x): f ´(x) = 0 y comprobamos si son máximos o mínimos.

EXTREMOS ABSOLUTOS: CÁLCULO DE LOS EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN f(x) EN UN INTERVALO [a,b] a) Si f es derivable en [a,b], los máximos y mínimos absolutos están entre los puntos singulares (f ´(x) = 0) y los correspondientes extremos del intervalo: - Resolvemos la ecuación f ´(x) = 0 - Seleccionamos la raíces x1, x2, … que están entre a y b - Se calcula: f(a), f(x1), f(x2),…., f(b) - El valor máximo será el máximo y el valor mínimo será el mínimo. b) Si hay algún punto en [a,b] en el que la función no sea derivable, aunque si continua, calcularemos, además, el valor de f en ese punto, pues podría ser un extremo. c) Si f no es continua en algún punto x0 de [a,b], estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de x0.

10.5 – LA DERIVACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES. REGLA DE L´HÔPITAL Sean f y g funciones derivables en un entorno (a – r, a + r) del punto a y el f (x ) 0 ∞ f (x ) f ´(x ) lim = ó , entonces la regla de L´Hôpital me dice que lim = lim x →a g ( x ) x →a g ( x ) x →a g´(x ) 0 ∞

10.6 – TEOREMAS DE DERIVABILIDAD TEOREMA DE ROLLE Enunciado: f continua en [a, b]   f derivable en (a, b) ⇒ Existe algún punto c ∈ (a, b) tal que f ´(c) = 0  f(a) = f(b)  Interpretación geométrica: Existe algún punto entre a y b donde la recta tangente en dicho punto es paralela al eje de abscisas.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO Enunciado: f continua en [a, b]  f(b) - f(a)  ⇒ Existe algún punto c ∈ (a, b) tal que f ´(c) = f derivable en (a, b) b−a Interpretación geométrica: Existe algún punto entre a y b donde la recta tangente en dicho punto es paralela a la recta que pasa por los puntos A(a,f(a)), B(b,f(b))

10.7 – APLICACIONES TEÓRICAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO FUNCIÓN CONSTANTE f es continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f ´(x) = 0 en todos los puntos de (a,b), entonces f es constante en [a,b] FUNCIÓN CRECIENTE f es continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f ´(x) > 0 en todos los puntos de (a,b), entonces f es creciente en [a,b]. MÍNIMO RELATIVO Si f ´(x0) = 0 y f ´´(x0) > 0, entonces f presenta un mínimo en x0.

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Derivadas aplicando la definición EJERCICIO 1 Calcular, aplicando la definición, las derivadas de las funciones que se citan a continuación en los puntos indicados: x 3 x a) f(x) = en x = -1 b) f(x) = en x = 1 x 1 2x 2 2 c) f(x) = x + x en x = 0 d) f(x) = x - 3x en x = 1 e) f(x) = x3 - x2 + x

en x = 0

g) f(x) = 2x2 - x + 2

en x = 1

f) f(x) =

x2  1 2

en x = 3

EJERCICIO 2 : a) Calcular la derivada de la función f(x) = x3 - 3 en el punto x = -1 b) Ecuación de la recta tangente a esa función en el punto x = -1 EJERCICIO 3 : a) Calcular la derivada de la función f(x) = 2x2 + 3x + 1 aplicando la definición de derivada. b) ¿ Cuándo vale f ‘(1) ? EJERCICIO 4 : Sea f(x) = x3 + 3x2 + 1 . a) Obtener su derivada en x = 2 utilizando la definición de derivada de una función en un punto. b) Calcular su derivada directamente (sin utilizar la definición) y comprueba que se obtiene el mismo resultado que en el apartado a). EJERCICIO 5 : a) Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 3x aplicando la definición de derivada. b) ¿ Cuándo vale f ‘(1) ? EJERCICIO 6 Calcular la función derivada, aplicando la definición, de : 1 a) f(x) = x2 - 2 b) f(x) = x3 - 3x c) f(x) = 2x  1

d) f(x) = 9 - x2

e) f(x) =

Cálculo de derivadas EJERCICIO 7 Calcular las siguientes derivadas: 1) y = 5 1   1 14) y = 2.  2  4  2) y = x x x  3) y = 3x 1 1 5 4) y = x 15) y =  5) y = 3.x6 x5 x3 6) y =

3 10 .x 5

3x 2 7) y = 4 8) y = 2x4-3x3+x2-7

9) y =

1 x4

 1  10) y = 5.  3  x 2  x  11) y = 6x3 + 5x2 - 1 1 2 12) y = x 5  x 3  8x 5 3 1 13) y = 2 + x-3 + 2.x-1 x

x3 1 x 3 x 17) y = (x2 - 1).(x3 + 3x) 18) y = (x2 -1).(x3 + 3x)

16) y =

x2 1 x4 1 20) y = x x2  x  3 21) y = 5 1 3x 4x 22) y=x2- 3   1 x x x 23) y = (x3 + 1).(x + 2) 24) y = (x3 + 2).x-2

19) y =

25) y =

2 3

x 2 x3  3 26) y = 5 2 27) y = 3x 2  1

28) y = 29) y =

1 1  3x 3 x2  2 x 3  3x 2

x3 x 3 31) y = (3x3 - 2x + 7)7 32) y = 3.(x2 - x + 1)3 33) y = (2x4 - 4x2 - 3)5 34) y = (2x3 + x)4 35) y = 5.(x3 - 3x)4

30) y =

2x x2

( x 4  5x) 2 36) y = ( x 3  3x) 5 37) y = (x3 - 2x)3.(2x4 - x2)2 (x 3  2x ) 3 38) y = (2x 4  x 2 ) 2 39) y =

3

41) y =

1 x 1 x

42) y =

x2 3 3

x2 1

44) y =

5

x 3  7x

x 3 x 1

46) y = 5x3 +

3

x 1

47) y = x2. 3 x 2

48) y = (x - 1  x ) 49) y = 50) y =

x

2

3

x 1 3

x

2

51) y = 5.(x3 - 2x2 + x)4 4  6x 52) y = (2x 4  3) 6 x

53) y = e 54) y =

1 e2x

x2  x ex

59) y = log3 x 60) y = log2 x3 61) y = log x 62) y = Ln (x2 - 1) x2 1 x 1

63) y = log 2 64) y = Ln

1 x 1 x

e 3x x

106) y = Ln

1  cos x 1  cos x

108) y = Ln

1  sen x 1  sen x 83) y = tag (x + 3)2 84) y = tag2 (x + 3)  x 2  85) y = Ln  cos  2   86) y = tag ( 1 - 2x) 1  87) y = tag  x   x  cos ecx 88) y = sec x

 x 1 

ex 1 1  cos x 97) y = 1  cos x  cos 2x 98) y = 2 99) y = Ln (tag 2x) 100) y = Ln (sen x)

( x  1) 2 2x  3 110) y = Ln (sen2 x) 111) y = ecos 2x 112) y = Ln (sen2x.cos3x) 113) y = sen2x - cos2x 114) y = sen(x+1)3

109) y = Ln

115) y = Ln

1  tg(x / 2) 1  tg(x / 2)

x2 1 x2

cos(x)

117) y = x 1  tg x 118) y  1  tg x ex  1 x 1  sen 2x 120) y = Ln 1  sen 2x 121) y = (arcsen x)tgx 122) y = Ln [(x+1)/x-1)2 123) y = [tg (2x)sen x 124) y = (arcsen 2x)tgx  x3 1   125) y = Ln  3  x 1    2x 126) y = arctag 1 x2

119) y  arctg

x 1



92) y = (log x + 1). x  1 93) y = cos x. (1 - cos x) sen x  cos x 94) y = sen x  cos x 95) y = Ln (x2.sen2x) x. sen 2 x

1 x 1 x

116) y = arcsen

82) y =

96) y =

cos x sen x

107) y = Ln (tag2 x )

2

e x  e x 2

105) y = Ln

1 x2

71) y = (log x + 1). x 2  1 72) y = tag 2x 73) y = sen 2x 74) y = sen x2 75) y = sen2 x 76) y = sen2 2x 77) y = sen2 x2 78) y = sen5 2x3 79) y = 5. sen3 2x4 80) y = ecos x 81) y = sen2 x + cos2 x

91) y = Ln

x 56) y = x e

58) y =

3

89) y = sen x 90) y = sen ( x + ex )

55) y = x2.e3x

57) y =

x 67) y = Ln [x3.(x + 2)

x2  3 70) y = Ln 2x  1

43) y =

45) y =

103) y = x sen x +cos 104) y = sen [cos(tag x)

5

69) y = Ln

1 x2

1 x2

Lnx

68) y = Ln

x 1 x

40) y =

66) y =

101) y = sen3(x+1) 102) y = sec2 x

x

65) y = log

 2x  1  127) y = Ln    3x  1 

128) y =

Lnx sen x

3

x

Continuidad y derivabilidad EJERCICIO 8 : a) Estudiar la continuidad de la siguiente función, indicando los tipos de discontinuidad que presenta en los puntos donde no sea continua. 1/x si -1  x 0 ) x + y = 60 − z  x = z    x + 2 y = 120 − 3z  y = 60 − 2z x + 2 y + 3z = 120 El producto de los tres números es: P = x · y · z = z · (60 − 2z) · z = z2 (60 − 2z) = f (z), z > 0 Buscamos z para que f (z) sea máximo: f '(z) = 2z (60 − 2z) + z2 · (−2) = 2z (60 − 2z − z) = 2z (60 − 3z) = 120z − 6z2

z = 0 (no vale, pues ha de ser z > 0).  z = 20 Veamos que en z = 20 hay un máximo:f ''(z) = 120 − 12z ; f ''(20) = −120 < 0 → hay un máximo Por tanto, el producto es máximo para x = 20, y = 20, z = 20. f ' (z ) = 0

→

EJERCICIO 9 : Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 5 metros, determina razonadamente el que tiene área máxima. Solución:

Área =

x 25 − x 2 = f (x ) , 0 < x < 5 2

Buscamos x para que el área sea máxima: f (x ) =

f ' (x ) =

50x − 4x 3 4 25x 2 − x 4

=

25x − 2 x 3 2 25x 2 − x 4

=

(

25x 2 − x 4 2

x 25 − 2 x 2

)=

2 x 25 − x 2

25 − 2x 2 2 25 − x 2

f ' (x ) = 0

→

25 − 2 x 2 = 0

→

x2 =

25 2

→

 5 2 (no vale) x = − 2    x = 5 2  2

(Como f ' (x ) > 0 a la izquierda de x =

5 2 5 2 y f ' (x ) < 0 a su derecha, en x = hay un máximo). 2 2 5 2 Por tanto, el área es máxima cuando los dos catetos miden x = metros. 2

EJERCICIO 10 : Un móvil se desplaza según la función: e (t) = 600t + 150t 3 − 115t 4 + 27t 5 − 2t 6, que nos da el espacio en metros recorrido por el móvil en t minutos. Determina a cuántos metros de la salida está el punto en el que alcanza la máxima velocidad. Solución: La función que nos da la velocidad es la derivada de e (t): e' (t) = 600 + 450t 2 − 460t 3 + 135t 4 − 12t 5 = v (t) Para obtener el máximo de la velocidad, derivamos v (t): v' (t) = 900t − 1 380t 2 + 540t 3 − 60t 4 = 60t (15 − 23t + 9t 2 − t 3) == −60t (t − 1) (t − 3) (t − 5)

v' (t) = 0 → t = 0, t = 1, t = 3, t = 5 Obtenemos el valor de v (t) en estos puntos:v (0) = 600, v (1) = 713, v (3) = 249, v (5) = 1 225 Por tanto, la máxima velocidad se alcanza en el minuto t = 5 y el espacio recorrido es e (5) = 3 000 m.

EJERCICIO 11 : Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El pastizal debe tener 180 000 m2 para producir suficiente forraje para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de forma que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al río no necesita ser vallado? Solución:

Área = xy = 180 000 m 2

→

y=

180 000 x

Cantidad de valla necesaria: f (x ) = 2x + y = 2x +

180 000 , x>0 x

Buscamos x > 0 que haga f (x) mínima: 180 000 f ' (x ) = 2 − x2

f ' (x ) = 0

→

2x 2 − 180 000 = 0

→

x 2 = 90 000

Veamos que en x = 300 hay un mínimo: f ' ' (x ) = Por tanto, han de ser: x = 300 m, y = 600 m

360 000 x3

→

x = −300 (no vale)  x = 300

; f ' ' (300) > 0 → hay un mínimo

EJERCICIO 12 : Entre todos los triángulos rectángulos de área 5 cm2, determina las longitudes de los lados del que tiene la hipotenusa mínima. Solución:

10 , x>0 x 100 Hipotenusa = x 2 + y 2 = x 2 + x2 Área = x · y = 10

→

y=

Buscamos el valor de x > 0 que hace mínima la función: f (x ) = x 2 +

100 x2

Derivamos:

 200   ·  2x −  x3  2 100  2 x + x2 200 f ' (x ) = 0 → 2x − = 0 → 2 x 4 − 200 = 0 3 x

f ' (x ) =

1

(Como f ' (x ) < 0 a la izquiera de Por tanto, los catetos miden

→

x 4 = 100

→→

x = 4 100 = 10

→

y = 10

10 y f ' (x ) > 0 a su derecha, en x = 10 hay un mínimo).

10 cm cada uno; y la hipotenusa medirá

20 cm.

CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 13 : Calcular los siguientes límites: x sen x 2x − 2sen x 4 − 4cos x x3 ex − 1 a) lím b) lím 3 c) lím d) lím e) lím x → 0 x + sen x x → 0 x + 3x 2 x→ 0 x→0 x → 0 x cos x + sen x x + sen x x2

ax − b x x→ 0 x

f) lím

g) lím+ (xLx) x→0

h) lím x→0

x − senx sen 2 x

xsenx x → 0 1 − cos x

i) lím

j) lím+ x x x→0

e x − e− x − 2x x→0 x − senx

k) lím

Solución:

ex − 1 ex 1  0  L´H . =   = lím = x → 0 x + sen x x → 0 1 + cos x 2 0 x sen x  0  L´H sen x + x cos x  0  L´H cos x + cos x − x sen x 2 1 b) lím 3 =   = lím =   = lím = = 2 2 x → 0 x + 3x x →0 x →0 3x + 6x 0 0 6x + 6 6 3     L´H 2x − 2sen x  0  2 − 2 cos x 2 − 2 . c) lím =   = lím = =0 x →0 x → 0 x + sen x 1 + cos x 1+1 0

a) lím

4 − 4 cos x  0  L´H 4sen x 2sen x  0  L´H 2 cos x =   = lím = lím =   = lím =2 2 x →0 x →0 x→0 x →0 x 0 2x x 0 1     x3 3x 2 0  0  L´H e) lím =   = lím = =0 x → 0 x cos x + sen x x → 0 cos x − x sen x + cos x 2 0 d) lím

a x − bx  a 0 − b0 1 − 1 0  a x .La − b x .Lb = = =  = lím = lím(a x La − b x Lb) = a 0 La − b 0 Lb = La − Lb x →0 x →0 x 0 0  x →0 1  0 1 Lx  ∞  x2 g) lím+ (xLx) = (0.∞) = lím+ =   = lím+ x = lím+ = lím+ (− x) = 0 x →0 x →0 1  ∞  x → 0 −1 2 x → 0 − x x → 0 x x

f) lím

h) lím x →0

i) lím x →0

x − senx  0  1 − cos x 1 − cos x  0  senx 0 =   = lím = lím =   = lím = =0 2 x → 0 x → 0 x → 0 sen x 2senx.cos x sen2x cos 2x.2 2 0 0

xsenx 1.senx + x cos x  0  cos x + 1.cos x + (−senx).x 2 0 =   = lím =   = lím = =2 x → 0 x → 0 1 − cos x  0  senx cos x 1 0 Lnx

lím

Lnx

L´H

lím

1/ x

lím − x

j) lím+ x x = lím+ e Lnx = lím+ e x.Lnx = lím+ e 1/ x = e x→0+ 1/ x = e x→0+ −1/ x = e x →0+ x

x →0

x →0

x →0

x →0

2

= e0 = 1

e x − e − x − 2x  0  e x + e− x − 2  0  ex − e− x  0  ex + e− x =   = lím =   = lím =   = lím =2 x →0 x − senx 1 − cos x 0  x → 0 senx 0  x → 0 cos x 0   x →0

k) lím

TEOREMAS DE DERIVABILIDAD EJERCICIO 14 : Comprueba que la función f (x) = x2 + 2x − 1 cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [− −3, 1]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución: • La función f (x) = x2 + 2x − 1 es continua y derivable en todo R; por tanto, será continua en [−3, 1] y derivable en (−3, 1). f (− 3) = 2 • Además:   son iguales. f (1) = 2  • Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle. Así, sabemos que existe c ∈ (−3, 1) tal que f '(c) = 0. • Veamos dónde se cumple la tesis:f '(x) = 2x + 2 → f '(c) = 2x + 2 → c = −1 ∈ (−3, 1)  3x 2 − 2x + m si x ≤ 1 EJERCICIO 15 : Calcula m y n para que la función: f (x ) =  si x > 1 nx − 2 cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 2]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución: • Continuidad en [0, 2]: - Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.  lím f (x ) = lím 3x 2 − 2x + m = 1 + m x →1− x →1−  - En x = 1:  lím+ f (x ) = lím+ (nx − 2) = n − 2 ⇒ Para que sea continua en, ha de ser 1 + m = n − 2 x →1 x →1  f (1) = 1 + m • Derivabilidad en (0, 2): 6x − 2 si x < 1 - Si x ≠ 1, la función es derivable, y su derivada es: f ' (x ) =  si x > 1 n

(

)

- Para que sea derivable en x = 1, han de coincidir las derivadas laterales:

( ) ( )

f ' 1− = 4    n=4 + f ' 1 = n 

• Por tanto, f (x) cumplirá las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 2] si: 1 + m = n − 2 m = 1   n = 4 n = 4 3x 2 − 2x + 1 si x ≤ 1 6x − 2 si x ≤ 1 Este caso quedaría: f (x ) =  f ' (x ) =  si x > 1 4x − 2 si x > 1 4 Veamos dónde cumple la tesis: 5 3 f (2) − f (0) 6 − 1 5 = → c = ∈ (0, 2 ) (si c > 1) f ' (c ) = = ⇒ f ' (c ) = 6c − 2 = 2 4 2−0 2 2

 − x 2 + 1 si x ≤ 2 EJERCICIO 16 : Comprueba que la función: f (x ) =   − 4x + 5 si x > 2 satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 3]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución: • Continuidad en [0, 3]: - Si x ≠ 2, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.  lím f (x ) = lím − x 2 + 1 = −3  x → 2 −  x →2−   lím f (x ) = f (2)  - En x = 2:  lím f (x ) = lím (− 4x + 5) = −3 x → 2 + x →2+ x → 2  f (x ) es continua en x = 2.   ( ) f 2 = − 3   Por tanto, f (x) es continua en [0, 3]. • Derivabilidad en (0, 3): − 2x si x < 2 - Si x ≠ 2, la función es derivable, y su derivada es: f ' (x ) =  − 4 si x > 2

(

)

- En x = 2, como f '(2−) = f '(2+) = −4, también es derivable; y f '(2) = −4. Por tanto, f (x) es derivable en (0, 3). • Se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 3]; por tanto, existe c ∈ (0, 3) tal f (3) − f (0) −7 − 1 −8 que: f ' (c ) = = = 3− 0 3− 0 3 4 4 −8 Veamos dónde se cumple la tesis: − 2x = → x= → c = ∈ (0, 3) 3 3 3

 x 2 + ax si − 2 ≤ x < 1 EJERCICIO 17 : Calcula los valores de a, b y c para que la función: f (x ) =  bx + c si 1≤ x≤ 2 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−2, 2]. ¿Qué asegura el teorema en este caso? Solución: • Continuidad en [−2, 2]: - Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.  lím f (x ) = lím x 2 + ax = 1 + a x →1− x →1−  - En x = 1:  lím f (x ) = lím (bx + c ) = b + c ⇒ Para que sea continua en x = 1, ha de ser 1 + a = b + c. + x →1+ x →1  f (1) = b + c

(

)

• Derivabilidad en (−2, 2):

2x + a si − 2 < x < 1 - Si x ≠ 1, la función es derivable, y su derivada es: f ' (x ) =  si 1 < x < 2 b f ' 1− = 2 + a   - En x = 1, han de ser iguales las derivadas laterales:  2+a = b + f ' 1 = b  • Además, debe ser f (−2) = f (2); es decir:4 − 2a = 2b + c 1 a= 1+ a = b + c  4  • Uniendo las condiciones anteriores, tenemos que: 2 + a = b  b=9  4 4 − 2a = 2 b + c  c = −1

( ) ( )

• En este caso, el teorema de Rolle asegura que existe c ∈ (−2, 2) tal que f '(c) = 0.

EJERCICIO 18 : Comprueba que la función f (x) = 3x2 − 6x + 7 cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [− −1, 2]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución: • La función f (x) = 3x2 − 6x + 7 es continua y derivable en R; por tanto, será continua en [−1, 2] y derivable en (−2, 1). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio. f (2) − f (1) 7 − 16 −9 • Entonces, existe c ∈ (−1, 2) tal que: f ' (c ) = = = = −3 2 − (−1) 2 +1 3 Veamos cuál es el valor de c en el que se cumple la tesis:f '(x) = 6x − 6 → f '(c) = 6c − 6 = −3 → 6c = 3 ⇒ 3 1 1 c = = . La tesis se cumple en c = ∈ (− 1, 2) 6 2 2 EJERCICIO 19 : La función f: [-1,1] → R definida por f(x) = 3 x 2 toma el valor en los extremos del intervalo, f(-1) = 1; f(1) = 1. Encontrar su derivada y comprobar que no se anula nunca. ¿Contradice esto el teorema de Rolle? Solución: 1) ¿ f continua en [-1,1]?: Cierto porque f es continua en todo R 2 1 2) ¿f derivable en (-1,1)? : f ′(x) = . 3 ⇒ Falsa porque f no se derivable en x = 0 ⇒ No es cierta 3 x Esto no contradice el teorema de Rolle porque la segunda hipótesis no se verifica. EJERCICIO 20 : Calcula b para que la función f(x) = x3 – 4x + 3 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,b]. ¿Dónde se cumple la tesis?

Solución: 1) ¿f continua en [0,b]?: Cierto porque f es continua en todo R. 2) ¿f derivable en (0,b)?: f ´(x) = 3x2 – 4 cierto porque f es derivable en todo R

3) ¿f(0) = f(b)?: f(0) = 3;

f(b) = b3 – 4b +3 = 3 ⇒ b3 –4b = 0 ⇒ b(b2 – 4) =0

Cuyas soluciones son b = 0; b = 2; b = -2 : La única solución válida es b = 2.

¿Dónde se cumple la tesis?: f´(x) = 3x2 – 4;

f´(c ) = 3c2 – 4 = 0 ⇒ c = 2

3

si -1/2 ≤ x