Tema 9: Solicitaciones Combinadas

Tema 9: SOLICITACIONES COMBINADAS

z Vz T

N x

Mz My L

Vy y

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008 1

Tema 9: Solicitaciones Combinadas

9.1.-INTRODUCCIÓN En los temas precedentes se ha estudiado el cálculo de las tensiones y deformaciones producidas por las siguientes solicitaciones actuando de forma aislada: TRACCIÓN-COMPRESIÓN: • •

Tensiones normales: σx (N) Deformaciones: alargamientos o acortamientos: ∆L

FLEXIÓN SIMPLE: • • • •

Tensiones normales: σx (Mz, My) Tensiones cortantes: τ (Vy, Vz) Deformaciones: Giros: θz, θy Deformaciones: Flechas: y, z

TORSIÓN: • •

Tensiones cortantes: τ (T) Deformaciones: Giros: θx

En este tema se estudiarán las tensiones y deformaciones que se producirán cuando actúen a la vez varias de éstas solicitaciones: Tracción + Flexión, Flexión + Torsión, etc.. Cálculo de las Tensiones: Se obtendrán aplicando el Principio de Superposición:

σ x = σ x ( N ) + σ x (M z , M y ) τ = τ (V y , Vz ) + τ (T )








(la suma de las tensiones cortantes:τ, será vectorial, pues pueden llevar distintas direcciones) Cálculo de las Deformaciones: Se pueden obtener a partir del Principio de Superposición, igual que con las tensiones, o a través de los teoremas energéticos que se verán a continuación: • •

2

Teorema de CASTIGLIANO Teorema de los TRABAJOS VIRTUALES

Sección 9.2.1: Energía de deformación

9.2.-TEOREMAS ENERGÉTICOS 9.2.1.- ENERGÍA DE DEFORMACIÓN La energía de deformación de un elemento estructural se podrá obtener a partir de las expresiones dadas en 3.4: •

Energía de deformación por unidad de volumen:

u=

•

[

]

1 1 . σ x2 + σ y2 + σ z2 − 2.ν .(σ x .σ y + σ y .σ z + σ z .σ x ) + .(τ xy2 + τ yz2 + τ zx2 ) 2 .E 2.G

(9.1)

Energía de deformación:

U = ∫ u.dV

(9.2)

V

Se calculará a continuación la Energía de deformación: U, para el caso de elementos estructurales sometidos a una sola solicitación:

A. TRACCIÓN-COMPRESIÓN: N Componentes del estado de tensiones:

z N

N x

L

y

N σy = 0 σz = 0 A τ xy = 0 τ yz = 0 τ zx = 0

σx =

y llevando estos valores a las expresiones (9.1) y (9.2):

Fig.9.1

1 1 N u= .σ x2 = .  2.E 2.E  A 

2

2

L

1 N  1 N 2 .dx U = ∫ u.dV = ∫ . . A.dx = .∫ 2.E  A  2 0 E. A V L

(9.3)

3

Tema 9: Solicitaciones Combinadas

B. FLEXIÓN SIMPLE: B1.-Momento Flector: Mz (caso particular: Ejes z, y →Ejes principales de inercia: Izy = 0) Componentes del estado de tensiones: z

σx = Mz

τ xy = 0

x

L

y

τ yz = 0 τ zx = 0

y llevando estos valores a las expresiones (9.1) y (9.2):

Fig.9.2

1 1  M z .y   u= .σ x2 = . 2 .E 2.E  I z 

M z .y σy = 0 σz = 0 Iz

2

2

L 1  M z .y  1 M z2 .dx 1 M z2 .dx 2 U = ∫ u.dV = ∫ . . y .dA = .∫  ..dV = .∫ 2 .E  I z  2 L E .I z2 ∫A 2 0 E .I z V V

(9.4)

B2.-Momento Flector: My (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de inercia: Izy = 0) Componentes del estado de tensiones: z

σx = x My L

y

Fig.9.3

L

4

τ xy = 0

Iy

σy = 0 σz = 0

τ yz = 0 τ zx = 0

y por un procedimiento análogo al anterior, llevando estos valores a las expresiones (9.1) y (9.2) se llegaría a la siguiente expresión::

2

1 M y .dx U = .∫ 2 0 E .I y

M y .z

(9.5)

Sección 9.2.1: Energía de deformación

B3.-Fuerza Cortante: Vy (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de inercia: Izy = 0) •

Caso de secciones macizas Componentes del estado de tensiones: z

x

σx = 0 σy = 0 σz = 0 τ xy =

Vy .Qz ( y )

Vy L Fig.9.4

τ yz = 0 τ zx =

t ( y ).I z

Vy .Qz ( z ) t ( z ).I z

y llevando estos valores a las expresiones (9.1) y (9.2):

y

1 1   Vy .Qz ( y )   Vy .Qz ( z )  .(τ xy2 + τ zx2 ) = .  u=  +  2.G 2.G   t ( y ).I z   t ( z ).I z   2

2

   

Vy2 .Qz2 ( y ) Vy2 .Qz2 ( z ) 1 U= . u.dV = ∫ .dV + ∫ .dV = 2.G V∫ 2.G.t 2 ( y ).I z2 2.G.t 2 ( z ).I z2 V V Vy2 .dx Qz2 ( z ) Qz2 ( y ) . dA + . .dA = multiplicando y dividiendo por A = 2 2 ∫ 2 ∫ 2. G . I t ( y ) 2. G . I t ( z ) z A z A L L

=∫

Vy2 .dx

. 2 ∫

Vy2 .dx A Qz2 ( y ) Vy2 .dx A Qz2 ( z ) =∫ . . .dA + ∫ . . .dA = 2.G.I z2 A ∫A t 2 ( y ) 2.G.I z2 A ∫A t 2 ( z ) L L 2 2 L L 1 Vy .dx  A Qz2 ( y ) A Qz2 ( z )  1 Vy .dx ´ = .∫ .  2 .∫ 2 .dA + 2 .∫ 2 .dA = .∫ .( β y + β ´´y ) 2 0 G. A  I z A t ( y ) I z A t ( z)  2 0 G. A

L V y2 .dx 1 U = .β y .∫ 2 G. A 0

siendo:

β y = β y´ + β y´´

(9.6)

β y´ =

A Qz2 ( y ).dA . I z2 ∫A t 2 ( y )

β y´´ =

A Qz2 ( z ).dA . I z2 ∫A t 2 ( z )

Observaciones: 6 5 10 β ´y = 9

en sec ciones rec tan gulares : β y´ = en sec ciones circulares :

6 5 10 β y´´ = 0 → β y = 9

β y´´ = 0 → β y =

5

Tema 9: Solicitaciones Combinadas

•

Caso de secciones abiertas de pequeño espesor

Componentes del estado de tensiones:

σx = 0 σy = 0 σz = 0 τ xy ≠ 0 u=

τ yz = 0 τ zx ≠ 0

1 1 2 .(τ xy2 + τ zx2 ) = .τ xs 2.G 2.G

siendo τ xs =

y por un procedimiento análogo al anterior:

βy =

siendo:

Vy .Qz ( s ) t ( s ).I z

L Vy2 .dx 1 U = .β y .∫ 2 G. A 0

(9.7)

A Qz2 ( s ).dA . I z2 ∫A t 2 ( s )

Observaciones: en sec ciones I : β y =

A Aalma

B4.-Fuerza Cortante: Vz (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de inercia: Izy = 0) •

Caso de secciones macizas: z Vz x

σx = 0 σy = 0 σz = 0 τ xy =

Vz .Qy ( y ) t ( y ).I y

τ yz = 0 τ zx =

Vz .Qy ( z ) t ( z ).I y

y por un procedimiento similar al caso de Vy: Fig.9.5

L

y L

1 Vz2 .dx U = .β z .∫ 2 G. A 0 siendo:

βz = β + β ´ z

´´ z

(9.8) 2 A Q y ( y ).dA β = 2 .∫ 2 I y A t ( y) ´ z

2 A Q y ( z ).dA β = 2 .∫ 2 I z A t ( z) ´´ y

Observaciones: en sec ciones rec tan gulares : β z´ = 0 en sec ciones circulares : 6

β z´ = 0

6 6 → βz = 5 5 10 10 β z´´ = → βz = 9 9

β z´´ =

Sección 9.2.1: Energía de deformación

•

Caso de secciones abiertas de pequeño espesor Componentes del estado de tensiones:

σx = 0 σy = 0 σz = 0 τ xy ≠ 0 u=

τ yz = 0 τ zx ≠ 0

1 1 2 .(τ xy2 + τ zx2 ) = .τ xs 2.G 2.G

siendo τ xs =

Vz .Qy ( s ) t ( s ).I y L

y por un procedimiento análogo al anterior:

1 V 2 .dx U = .β z .∫ z 2 G. A 0

(9.9)

2 A Q y ( s ).dA β z = 2 .∫ 2 I y A t (s)

siendo:

C. TORSIÓN: T •

Caso de secciones macizas circulares

z

Componentes del estado de tensiones:

T

T

x

σx = 0 σy = 0 σz = 0 τ xy ≠ 0

L

y

Fig.9.6

1 1 2 1  T .r  u= .(τ xy2 + τ zx2 ) = .τ = .  2.G 2.G 2.G  I o 

2

T 2 .r 2 T 2 .dx U = ∫ u.dV = ∫ .dV = ∫ . r 2 .dA → 2 2 ∫ 2.G.I o 2.G.I o A V V L

•

τ yz = 0 τ zx ≠ 0

L

1 T 2 .dx U = .∫ 2 0 G.I o

(9.10)

Caso de secciones macizas no circulares o secciones de pequeño espesor

haciendo la sustitución : I o → I t

" momento de inercia torsor equivalente"

L

1 T 2 .dx U = .∫ 2 0 G.I t

(9.11)

7

Tema 9: Solicitaciones Combinadas

D. CASO GENERAL: TRACCIÓN-COMPRESIÓN (N) + FLEXIÓN (Mz, My, Vy, Vz) + TORSIÓN (T): z Vz T

N x

Mz My L

Vy Fig.9.7

y

Aplicando el Principio de Superposición, la energía de deformación total será la suma de las energías de deformación obtenidas para cada una de las solicitaciones actuando por separado, así será: U = U ( N ) + U (V y ) + U (Vz ) + U (T ) + U ( M y ) + U ( M z )

y sustituyendo los valores obtenidos para cada uno de dichos términos: 2 L L L L L L Vy2 .dx 1 Vz2 .dx 1 T 2 .dx 1 M y .dx 1 M z2 .dx 1 N 2 .dx 1 U= ∫ + .β y .∫ + .β z .∫ + ∫ + ∫ + ∫ 2 0 E. A 2 G. A 2 G. A 2 0 G.I t 2 0 E.I y 2 0 E .I z 0 0

(9.12)

Observaciones: Todos los términos de la expresión (9.12) no tienen el mismo orden de magnitud. Así por ejemplo generalmente: U (V y ), U (Vz )