Tema B-6. Modulaciones en frecuencia y fase Joaquín Granado Romero [Dpto. Ing. Electrónica. Universidad de Sevilla]

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Contenido 1. 2.

Introducción Definición de modulación FM y PM 1. 2.

3. 4. 5.

Frecuencia Instantánea Desviación en Frecuencia y Fase: Íncice de Modulación Espectro de señales FM/PM 1. 2.

6. 7.

Relaciones FM-PM Características de las modulaciones

Modulación PM de un tono Estimación del Ancho de Banda: Regla de Carson

Modulación de Fase de Banda Estrecha (NBPM) Generación de señales FM/PM 1. 2.

Generación de señales NBPM/ NBFM Generación de señales WBPF/ WBMF 1. 2.

3.

8.

Modulador de Armstrong Moduladores basados en VCO’s

Detección de señales FM/PM

Aplicación: sistema de radiodifusión FM estereofónico

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Introducción 4

Recapitulando. Hemos visto: z z z

Análisis de señales en la frecuencia/tiempo Análisis de los sistemas LTI Técnicas de MODULACIÓN Æ permiten desplazar el espectro de la señal en banda base o señal de información a una frecuencia adecuada. z

z

4

Basadas en la variación de alguno de los los parámetros de una señal denominada portadora (amplitud, frecuencia y fase).

Técnicas AM (Amplitude Modulation)

En este tema veremos. z

z

FM (Frequency Modulation) o Modulación en frecuencia. La señal de información hace variar de forma lineal la frecuencia de la señal portadora PM (Phase Modulation) o Modulación en Fase. La señal de información hace variar de forma lineal la fase de la señal portadora.

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Definición de Modulación FM / PM 4

Recurrimos a la notación compleja [g(t) es la envolvente de sc(t)]:

(

) ) )

sc (t ) = Ac cos(ωc t + ϕ c ) = real Ac e j (ωct +ϕc )

(

→ sc (t ) = real g (t )e j (ωct g (t ) = Ac e jϕc 

4

Caso de Modulación en Amplitud (DSB-AM): m(t) es la señal de información. La g(t) es real.

g AM (t ) = m(t )

4

Modulación en PM/FM [g(t) es compleja]: z

g (t ) = Ae jθ (t )

PM: Modulación en Fase (Dp es la Sensibilidad de Fase (rad/v)

θ (t ) = D p m(t )

z

FM: Modulación en Frecuencia (Df es la Sensibilidad de Frecuencia (rad/s/v)

θ (t ) = D f ∫ m(λ )dλ t

−∞

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Relaciones FM/PM 4

Equivalencias entre la señal moduladora en FM y PM m f (t ) =

D p dm p (t ) Df

dt

; m p (t ) =

mf(t)

∫

Df

mp(t)

d dt

Dp

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Dp

Df

Df Dp

∫

t

−∞

m p (λ )dλ

MODULADOR PM

MODULADOR FM

Generación FM a partir de un modulador PM

sFM (t) Generación PM a partir de un modulador FM

sPM(t)

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Características de la señal FM/PM 4

La expresión general de una señal modulada en FM/PM será:

sPM − FM (t ) = Ac cos(ωct + θ (t )) 4 4

Amplitud constante (A) Potencia Media constante:

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Ac2 P= 2

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Frecuencia Instantánea s PM − FM (t ) = Ac cos(ωc t + θ (t )) 4

Frecuencia Instantánea (fi) es la frecuencia de la señal modulada en el instante ‘t’. ψ (t ) = (ωc t + θ (t ));

dθ (t ) 1 dψ (t ) = fc + fi (t ) = ; dt 2π dt

4

4

La señal FM/PM consiste en una portadora que va cambiando instantáneamente alrededor de la fc en función de la señal de información. Su transformada “instantánea” será una delta. ¿Qué significa S(f)? z

Será un promedio de las componentes es frecuencia de la señal. En general es muy complejo su cálculo. +∞

S ( f ) = ∫ s (t )e − j 2πft dt −∞

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Máxima Desviación en Frecuencia 4

z z

4

Para el caso PM: z

4

1 1 dθ (t ) ( ) ( ) df t fi t f F ; max = − = ∆ = c Desviación en Frecuencia: 2π dt 2π df(t) dθ (t ) Máxima Desviación en Si = D f m (t ) y max {m (t )} = V p ⇒ ∆F dt Frecuencia (∆F)

Para el caso FM

Máxima Desviación de Fase (∆θ)

 dθ (t )   :  dt  1 D fVp ; = 2π

∆θ = max {θ (t )}: Si θ (t ) = D p m (t ) y max {m (t )} = V p ⇒ ∆θ = D pV p ;

Interpretación de (∆F): z

z

z

Si Vp ↑ Æ ∆F ↑ la potencia media (CONSTANTE) se reparte en un intervalo de frecuencias mayor. Si Vp ↓ Æ ∆F ↓ la potencia media (CONSTANTE) se reparte en un intervalo de frecuencias menor. En cualquier caso ∆f (equivalente al índice de modulación en AM) no afecta a la potencia que se transmite. En AM si afecta.

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Índices de Modulación de Fase y Frecuencia 4 4

PMI-Phase Modulation Index (βp): FMI-Frequency Modulation Index (βf): z

z

B: Ancho de Banda de m(t) (señal de información) A mayor índice de modulación mayor desviación en frecuencia para un mismo B.

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β p = ∆θ ∆F βf = B

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Espectro de señales PM 4 4

4

Buscamos la Transformada de Fourier de una señal modulada en fase (PM). Utilizando la notación compleja de una señal PM: 1 j (ωc t +θ (t )) jω c t F sPM (t ) = Ae = g (t )e ←→ [G ( f − f c ) + G ( f + f c )] 2 F g (t ) = Ae jθ (t ) ←→ ¿ G ( f )? ¿Cómo se calcula G(f)? z

z z

G(f) y q(t) no tienen una relación lineal Æ no es posible aplicar el principio de superposición No es posible obtener una expresión general de G(f) Estudiamos una caso simple donde mp(t)=Amsen(ωmt)

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Modulación PM de un tono Características de la señal de información

g (t ) = Ae

;

n = +∞

A jnω m t → Cn = g (t ) = ∑ Cn e Tm n = −∞  1 C n = A  2π

∫

+π

−π

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e

θ (t ) = D p Am sen(ωmt ); β p = D p Am ;

g(t) es periódica Tm=1/fm Podemos hacer el desarrollo en series de Fourier de la señal g(t) y después calcular G(f)

jβ p sen (ω m t )

m p (t ) = Am sen(ωmt );

(

j β p sen (α )− nα

∫

+

Tm 2

T − 2m

e

jβ p sen (ω m t ) − jnω m t

e

 dα  = A J n ( β p ) 

)

Función de Bessel de 1ª clase y orden n. Cálculo numérico

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Modulación PM de un tono 4

La envolvente compleja g(t) se puede expresar como una serie Fourier quedando: n = +∞

g (t ) = A ∑ J n ( β p )e jnωmt n = −∞

4

Aplicando las propiedades de la transformada.

G( f ) =

n = +∞

∑ C δ ( f − nf ) =A ∑ J

n = −∞

4

n = +∞

n

m

n = −∞

n

( β p )δ ( f − nf m )

Interpretación: z

z z z

G(f) está formada por deltas situadas en nfm cuya magnitud está controlada por la función de Bessel Jn(β). Si (β) ↓ Æ Jn decrece rápidamente y las componentes en frecuencia se concentran. Si (β) ↑ Æ Jn decrece léntamente y las componentes en frecuencia se expanden. β controla el ancho de banda de la señal PM

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Funciones de Bessel de 1ª especie beta=0.5

beta=1

1

0.8

0.9

β=0.5

0.8 0.7

β=1

0.6

for i=1:length(n) t_bessel(i,:)=besselj(n(i),beta); end

0.5 J n(beta)

0.6 J n(beta)

clear beta=[0.5 1 2 4 8] n=[0:1:10]

0.7

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3 0.2 0.2 0.1

0.1

0

1

2

3

4

5

6 n

7

8

9

10

0

11

1

2

3

4

5

beta=2

6 n

7

8

9

10

11

beta=4

0.7

0.5

0.4 0.6 0.3

β=2

0.5

β=4

0.2

J n(beta)

J n(beta)

0.4

0.3

0.1

0

-0.1 0.2 -0.2 0.1 -0.3

0

1

2

3

4

5

6 n

7

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8

9

10

11

-0.4

1

2

3

4

5

6 n

7

8

9

10

11

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Espectro de la señal PM S( f ) A 2

( )

1

4

BW

β=0.2

4 4

fc 1

Representamos el espectro normalizado (A/2). Para β=0.2 aspecto de delta en fc Si β ↑ Æ BW ↑

f

BW

β=1.0 1

fc

f

BW

β=2 fc 1

f

BW

β=5 fc Tema B-6. [email protected]

f

Jn(0.2)=[0.9900 0.0995 0.0050 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000] Jn(1)=[0.7652 0.4401 0.1149 0.0196 0.0025 0.0002 0.0000] Jn(2)=[0.2239 0.5767 0.3528 0.1289 0.0340 0.0070 0.0012] Jn(5)=[-0.1776 -0.3276 0.0466 0.3648 0.3912 0.2611 0.1310] 14/28

Regla de Carson 4 4 4

El Ancho de Banda (BW) de una señal FM/PM depende del Indice de Modulación (β). El cálculo de BW3dB sería muy complejo. Se demuestra que el 98% de la potencia de la señal se encuentra en un intervalo de frecuencias dado por:

BW = 2(β + 1)B z z

4

donde B es el ancho de banda de la señal de información β es el Índice de Modulación

Aunque es una regla aproximada resulta muy útil y sencilla de aplicar.

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Modulación de Fase de Banda Estrecha 4

Partiendo de la expresión de la envolvente compleja de una señal PM/FM y suponiendo variaciones de fase muy pequeñas (|θ(t)|