Tema IV. Comunicaciones digitales. IV.1. INTRODUCCIÓN. IV.2. TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO. IV.3. ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE SEÑALES. IV.4. TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO. IV.5. COMPARATIVA DE MODULACIONES DIGITALES. IV.6. TRANSMISIÓ TRANSMISIÓN DIGITAL POR CANALES DE ANCHO DE BANDA LIMITADO. Teoría de la Comunicación, www.eps.uam.es/~tco 2º Ing. de Telecomunicación Escuela Politécnica Superior, Universidad Autónoma de Madrid Jorge A. Ruiz Cruz ([email protected], www.eps.uam.es/~jruiz)

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Teoría de la Comunicación.

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IV.6. TRANSMISIÓN DIGITAL POR CANALES DE ANCHO DE BANDA LIMITADO IV.6.1. Planteamiento del problema. IV.6.2. Interferencia Entre Símbolos (IES) en PAM banda base. IV.6.3. Receptor óptimo en PAM banda base sin IES. IV.6.4. Diagrama de ojos. TCO (2007-08) J.A.R.C

IV. Comunicaciones digitales.

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IV.6.1. Planteamiento del problema ¾ Sistema ya estudiado:

…01011…

¡ Error !

Modulador digital

Flujo de símbolos (k bits) cada periodo de símbolo T

Por cada símbolo se emite una señal sm(t)

De-modulador digital (receptor digital) Ruido n(t)

…01111… Por cada señal sm(t)+n(t) se decide un símbolo

- Hasta ahora se ha hecho un análisis símbolo a símbolo del sistema suponiendo que el canal tenía un ancho de banda ilimitado y la única perturbación del sistema era el ruido blanco gaussiano aditivo (AWGN). - Se suponía una señal enviada sm(t) y se veía que sucedía a la señal recibida perturbada por el ruido: r(t)=sm(t)+n(t). - Este análisis símbolo a símbolo, sólo es válido para canales LTI del tipo hc(t)=aδ(t-to) ↔ Hc(f)=ae-j2πfto. El efecto de otro tipo de canales es el objeto de este tema. TCO (2007-08)

IV.6. Transmisión digital por canales de ancho de banda limitado.

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¾ Sistema a estudiar: ¡ Error !

…01011… Flujo de símbolos (k bits) cada periodo de símbolo T

Modulador digital

Canal LTI Paso bajo ó Paso banda

De-modulador digital

…01111…

Ruido n(t)

- Si el canal se puede seguir modelando como un sistema LTI, pero tiene un ancho de banda limitado y/o hay distorsión de amplitud (|Hc(f)| no es cte.) y/o fase (tg(f) no es cte.) para la banda de frecuencias de la señal transmitida: la señal de cada símbolo interactúa con las demás y la detección de un símbolo no se puede estudiar de manera aislada: el análisis símbolo a símbolo no es suficiente y hay que tener en cuenta la Interferencia entre Símbolos (IES).

- Se pasa de hacer un análisis con las señales definidas entre [0,T] sm(t) y r(t)= sm(t)+n(t) a un análisis con las señales de duración completa (-∞,∞): y(t) y yr(t)= yc(t)+n(t).

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IV.6.1. Planteamiento del problema.

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¾ En general, cualquier no idealidad del canal se traduce en el fenómeno de IES:

Canal Filtro o Correlador

…01101… Decisor Muestreo cada t=T

Las “colas” de cada símbolo pueden extenderse incluso hasta varios símbolos posteriores

Retardo de propagación

Definición de IES: “Cuando en el demodulador digital se está procesando la señal correspondiente al símbolo k, al muestrar aparece la contribución de su señal asociada más las contribuciones (interferencias) de las señales de otros símbolos q ≠ k, las cuales pueden provocar errores en la transmisión incluso en ausencia de ruido”.

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IV.6.1. Planteamiento del problema.

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¾ Fuentes de error típicas en un sistema digital (suponiendo sincronización perfecta): - F1: El efecto del ruido (interferencias,...) que se suelen modelar mediante una fuente n(t). - F2: El efecto del canal (distorsión,...), por ejemplo porque tenga un ancho de banda limitado.

¾ Escenarios de estudio al que dan lugar las fuentes de error F1 y F2: Temas IV.2,IV.4

Este Tema

- A) El canal es ideal pero hay ruido (AWGN). (Si F1, No F2)

- Estudio de diferentes tipos de receptores (con filtros adaptados, correladores) y su Pe asociada

- B) El canal tiene un ancho de banda limitado que provoca IES, aunque no haya ruido. (No F1, Si F2)

- Criterio de Nyquist para no IES, características en coseno alzado,…

- C) Se tiene ruido y ancho de banda limitado a la vez. (Si F1, Si F2).

- Recetores con filtros adaptados a la señal incluyendo la respuesta del canal, raíz de coseno alzado en transmisor y receptor, diagrama de ojo…

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IV.6.1. Planteamiento del problema.

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¾ Se empezará ahora con el escenario B: efecto de un canal de ancho de banda limitado en la transmisión digital. - De la teoría de la Transformada de Fourier se sabe que cuando una señal está acotada en el tiempo, su espectro en la frecuencia es infinito y que cuando una señal tiene un espectro acotado en la frecuencia, su duración en el tiempo es infinita. - Si cada señal sm(t) está limitada entre 0≤t≤T y pasa por un LTI, en general (a no ser que el canal tenga un ancho de banda infinito), su salida no estará acotada entre 0≤t≤T. Por tanto, cada símbolo se extenderá en el tiempo en las señales de los símbolos adyacentes, interfiriéndoles: habrá IES. - La IES provoca errores en el flujo de bits, aunque no haya ruido, ya que cada valor obtenido al muestrear en el receptor, está contaminado por las señales de otros símbolos.

¾ Se va a estudiar ahora un sistema particular para ilustrar la IES sobre diferentes canales. Se trata de un sistema PAM binario donde los pulsos g(t) son deltas.

IV.6.1. Planteamiento del problema.

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¾ Caso 0) Canal de ancho de banda ilimitado (Bc→ ∞) 0

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IV.6.1. Planteamiento del problema.

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(Simulación con Bc = 5.3 /T )

¾ Caso 1) Canal de ancho de banda grande (Bc >> 1/T)

IES no es significativa

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IV.6.1. Planteamiento del problema.

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(Simulación con Bc = 1.2 / T )

¾ Caso 2) Canal de ancho de banda limitado (Bc >~ 1/T)

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IES importante (excepto si Bc= p / (2T), p=1,2,3,…, que no hay IES)

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0

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¡IES!

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IV.6.1. Planteamiento del problema.

¡IES!

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(Simulación con Bc = 0.5 / T )

¾ Caso 3) Se diseña Bc y/ó T para NO IES ( Bc = p / (2T), p=1,2,3,… )

Si se cumple Bc = 1 / (2T) no hay IES

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IV.6.1. Planteamiento del problema.

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(Simulación con Bc = 0.2 / T )

¾ Caso 4) Si Bc < 1/(2T) seguro que hay IES

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IES inevitable

0

1

0

1

1

0 ¡IES!

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IV.6.1. Planteamiento del problema.

¡IES!

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¾ Del sistema anterior se pueden extraer las siguientes conclusiones (extensibles a otros sistemas/modulaciones digitales, como después se verá): - Siempre que el canal tenga un ancho de banda limitado, habrá fenómeno de IES, a no ser que se diseñe el sistema para evitarlo. - A1) Si se tiene una velocidad de símbolo de Vsimb=1/T, el mínimo ancho de banda necesario en banda base para trasmitir sin IES es Bc,min=Vsimb/2=1/(2T) Este es el resultado que se utilizó para definir la eficiencia espectral de PAM en banda base, Tema IV.4, pag. 17.

- A2) Si se tuviera modulación de canal para trasmitir por canales paso banda, se puede demostrar que el ancho de banda de canal mínimo será el doble de banda base. Por tanto, si se tiene una velocidad de símbolo de Vsimb=1/T, el mínimo ancho de banda necesario para trasmitir en paso banda sin IES es Bc,min=Vsimb=1/T Este es el resultado que se utilizó para definir la eficiencia espectral de ASK, QAM, PSK, Tema IV.4, pags. 22,28,33.

- Las relaciones anteriores A1,A2 son pensando que se tiene una Vsimb=1/T dada y se estudia como tiene que ser el ancho de banda mínimo del canal Bc,min.

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IV.6.1. Planteamiento del problema.

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¾ Consecuencias de la IES (cont.): - También se pueden enunciar las misma ideas suponiendo que se tiene un ancho de banda de canal fijo Bc y se estudia lo que pasa con la Vsimb,max. - B1) Si se tiene un canal de ancho de banda Bc en banda base, por el se podrá transmitir una velocidad de símbolo máxima sin IES de Vsimb,max=2Bc. - B2) En paso banda, si Bc es el ancho de banda del canal paso banda, la máxima velocidad de símbolo sin IES será Vsimb,max=Bc. - Las relaciones anteriores hacen referencia la velocidad de símbolo (baudios), que puede ser distinta de la velocidad binaria (bps) dependiendo del número de señales empleadas: Rb=(log2M)Vsimb. - Para un ancho de banda de canal fijo, aumentando el número de señales en PAM, ASK, QAM, PSK se puede aumentar el Rb sin tener IES. En FSK la situación es distinta, ya que al aumentar el número de señales (para T fijo), se aumenta también el ancho de banda usado. - Ahora se van a a demostrar estos resultados de manera rigurosa para PAM. Para ASK, QAM, PSK la demostración sería formalmente idéntica (salvo que los anchos de banda se medirían en paso banda alrededor de la portadora).

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IV.6.1. Planteamiento del problema.

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IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM

Canal

Mod. Dig. PAM banda…0100… base con pulsos básicos:

…0100…

Decisión

“Pulso en el receptor”

“Pulso filtrado por el canal”

Valor muestreado que se utiliza para tomar la decisión en el detector (Ts=0):

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IV.6. Transmisión digital por canales de ancho de banda limitado.

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¾ Señales en el sistema PAM anterior con canal LTI arbitrario y sin ruido (escenario B de la pag. 6): - Las señales PAM se forman multiplicando un ¨pulso básico g(t)¨ por distintas amplitudes: - La señal que se transmite por el canal es una secuencias de pulsos básicos g(t-qT), donde la amplitud Aq correspondiente al periodo de símbolo q, sólo puede ser una de las M posibles: - La señal y(t) al atravesar el canal queda filtrada por hc(t)↔Hc(f): • “pulso filtrado por el canal”:

• - La señal a la salida del canal es una secuencia de pulsos filtrados xc(t-qT) con amplitudes Aq. - La arquitectura del receptor es la misma que se ha visto en temas anteriores; por ahora no hace falta especificar cual es la respuesta al impulso hr(t), que se detallará después. TCO (2007-08) J.A.R.C

IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM.

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¾ Señales en el sistema PAM (cont.): - A la salida del filtro del receptor se tendrá una expresión equivalente a la de yc(t), donde la señal será una secuencia de pulsos básicos en el receptor x(t-qT): • •

Se denomina “pulso en el receptor” a la señal x(t)=xc(t)*hr(t).

- Cuando se muestrea en el instante t=tk=kT+Ts, buscando la contribución de la señal asociada al símbolo k, el valor obtenido tiene dos términos: la parte deseada y la interferencia de todos los símbolos restantes (IES): • Información

IES

- Si se consigue que el pulso en el receptor verifique: se habrá conseguido evitar la IES. Esta condición tiene una forma equivalente en la frecuencia (ver pag. sig.).

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IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM.

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¾ Eliminación de la IES: Primer Criterio de Nyquist para no IES. - Para simplificar las expresiones, ahora se va a elegir Ts=0 (Ts es un retardo que se luego se puede volver a considerar fácilmente). En este caso, para evitar la IES valdría con encontrar un pulso en el receptor que se anule en los instantes de muestreo distintos de t=0:

- Evitar la IES equivale a: - Calculando las TF de cada uno de los dos miembros de la última igualdad:

(La transformada en f de una delta es la constante 1)

- Se llega a las dos condiciones equivalentes (una en el tiempo y otra en la frecuencia) para evitar la IES, conocidas como primer criterio de Nyquist para evitar la IES:

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IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM.

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¾ Relación en el tiempo entre el pulso en el receptor y la IES: - El pulso en el receptor x(t) es la señal que se obtendría al transmitir únicamente el pulso g(t), pasarlo por el canal y el filtro del receptor. Filtro del receptor

Canal

- El pulso en el receptor x(t) es una señal muy importante porque sirve para ver si un determinado sistema tendrá IES: se calcula x(t) y si no se anula en los instantes de muestreo correspondientes a otros símbolos, habrá IES.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

- Ejemplo:

Puesto que estos valores no son cero, habrá IES

0

-0.2 -3

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-2

-1

0

1

2

3

IV.6.2. Interferencia entre símbolos en PAM.

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¾ Relación en la frecuencia entre la transformada del pulso en el receptor X(f) y la IES. Consecuencias del primer criterio de Nyquist. - Matemáticamente, la condición de no IES se especifica sobre x(t), bien en el tiempo sobre los valores x(nT), bien en la frecuencia con X(f). - Condición de no IES (primer criterio de Nyquist):

- X(f) se forma multiplicando los espectros del pulso básico G(f), y las funciones de transferencias del canal Hc(f) y del receptor Hr(f) - Si se quiere evitar la IES, la suma de X(f) y sus réplicas desplazadas múltiplos enteros de la velocidad de símbolo (1/T) debe ser constante para todas las frecuencias. - Si se considera que X(f) está limitada a |f|