Convenio UACJ – SA Comunicaciones análogas y digitales

3.

Modulación analógica.

3.1 Conceptos básicos. En esta sección se revisarán los conceptos básicos comunes a los sistemas de comunicación, tales como los conceptos de un sistema digital de comunicación y la definición de sus partes, conceptos sobre señales y sus relaciones matemáticas, series y transformadas de Fourier e introducción a la modulación. Elementos de un sistema digital de comunicación. Los elementos comunes a cualquier sistema digital de comunicación se muestran en la figura 3.1 y se describen a continuación. Fuente de información. La fuente de información puede ser análoga, por ejemplo; voz o video o puede ser digital, por ejemplo; información binaria proveniente de una computadora. Codificación de fuente. La codificación de fuente es un proceso que convierte la información de la fuente a digital, si esta es análoga y además convierte esta información binaria a otro código, que requiere menos cantidad de bits por fracción de información. Codificación de canal. Esta codificación agrega información redundante a la salida de la codificación de fuente, para asegurar su integridad, corregir errores y a veces su seguridad. Modulador digital. La modulación realizada en esta parte se hace para adecuar la información (banda base) al medio que se use para su transmisión. (pasa banda) Generalmente es una translación de frecuencia o una translación de nivel o ambas. Canal de comunicación. Medio físico sobre el cual se envía la información de transmisor a receptor. Este medio puede ser un cable, fibra óptica, el aire o un enlace satelital. El paso por el canal distorsionara la señal proveniente del transmisor.

53 Dr. Víctor Hinostroza

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De-modulador digital. Proceso inverso a la modulación, se hace una translación de frecuencia de pasa banda a banda base. La salida del de-modulador es una aproximación de la información original.

Fuente de información

Codificador de fuente

Codificador de canal

Modulador Digital

Transmisor

Canal de Comunicación

Receptor

Transductor

Decodificador De fuente

Decodificador De canal

De modulador Digital

Figura 3.1 Elementos de un sistema de comunicación digital. Decodificador de canal. Reconstruye la aproximación de la salida del de-modulador a la información original del modulador de canal, haciendo uso de la información redundante agregada en el modulador de canal del transmisor.

54 Dr. Víctor Hinostroza

Convenio UACJ – SA Comunicaciones análogas y digitales Decodificador de fuente. Reconstrucción final de la información original de la fuente. La diferencia entre la versión original de la fuente y la salida del decodificador de la fuente es una medida de la distorsión del sistema de comunicación. Muestreo. Proceso mediante el cual la información de la fuente es convertida a muestras discretas tomadas a intervalos regulares. La mínima frecuencia a la cual estas muestras deben ser tomadas es una frecuencia al menos igual a 2 veces la frecuencia máxima de la información. Cuantización. Error introducido por la acción de muestreo y se refiere a la diferencia en valor entre la muestras discretas y el valor real de la información. Señales. Una señal es una cantidad eléctrica que esta definida por tres características principales; Amplitud, fase y frecuencia. La amplitud es el valor escalar instantáneo que se indica en unidades, normalmente Volts de la señal. La frecuencia es un valor que nos indica, asumiendo que una señal es periódica, el numero de veces que el periodo se repite en un intervalo de tiempo, las unidades de frecuencia son Hertz. La fase es un valor que indica el valor instantáneo de la amplitud dentro del periodo de la señal. La figura 3.2 muestra una señal seno y sus características. En la figura 3.2 (a) se puede ver que la amplitud es el valor instantáneo definido por la fase de la onda en ese instante, por lo cual nos podemos ayudar de la figura 3.2 (b) donde se puede ver que la fase esta definida por un valor angular θ donde este valor es el ángulo que forma un vector con un circulo de radio igual ala amplitud de la señal y la componente del vector en el eje x es igual al coseno de θ y la componente del vector en y es igual al seno de θ, la amplitud y la frecuencia de la señal esta definida por la siguiente ecuación:

55 Dr. Víctor Hinostroza

θ

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1

0.8

Sen θ

0.6

Amplitud

0.4

0.2

0

-0.2

Cos θ

-0.4

-0.6

-0.8

-1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

T (a)

(b)

Figura 3.2 Características de una señal. V(t) = A sin ω0 t Donde ω0 = 2πf es la frecuencia angular de la señal y f es la frecuencia en Hertz. Refiriéndonos a la figura 3.2 (a) f esta definida por el reciproco del periodo T:

f =

1 T

y también f =

c

λ

donde f = frecuencia;

c = velocidad de la luz;

λ = longitud de onda

Clasificación de señales. Una señal puede ser aleatoria o determinística, puede ser periódica o no periódica, puede ser continua o puede ser discreta. Las señales aleatorias son aquellas que hay cierto grado de incertidumbre en su valor de amplitud en cualquier tiempo, por ejemplo las señales de televisión. Las señales deterministicas, son aquellas que no hay incertidumbre con respecto a su valor en cualquier tiempo, por ejemplo la señal de

56 Dr. Víctor Hinostroza

Convenio UACJ – SA Comunicaciones análogas y digitales onda seno de la figura 3.2. Las señales periódicas son aquellas que sus valores se repiten en un cierto periodo de tiempo, por ejemplo de nuevo la sonda seno de la figura 3.2. La señales no periódicas no repiten sus valores en el tiempo, por ejemplo, una señal de ruido. Las señales discretas son aquellas que tiene un rango de valores contable y cada uno de estos valores puede ser asignado a un numero real. Las señales continuas tiene un rango de valores infinito y presentan cambios de valores que se pueden asignar a un numero. (a)

(b)

1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4 0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1 0

0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Figura 3.3 Señal continua (a) y señal discreta (b) Dominio del tiempo y dominio de la frecuencia. Como se menciono anteriormente una señal tiene como características la amplitud, la fase y la frecuencia. Se puede observar como varia la señal con el tiempo si usamos una gráfica de amplitud contra tiempo. Estas gráficas se dice que están en el dominio del tiempo, porque el parámetro de variación es el tiempo. También se puede observar como varia la señal con la frecuencia, se puede hacer una gráfica de amplitud contra frecuencia. Estas gráficas se dice que están en el dominio de la frecuencia, porque el parámetro de variación es la frecuencia. La herramienta matemática para pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia es la transformada de Fourier. Esta transformada se puede definir con las siguientes ecuaciones:

57 Dr. Víctor Hinostroza

Convenio UACJ – SA Comunicaciones análogas y digitales Transformada de Fourier.

X ( jω ) =

∞

∫ x(t )e

− jωt

Transformada inversa de Fourier

1 x(t ) = 2π

dt

−∞

∫ X ( jω )e

jωt

dω

−∞

500

1

450

0.8

400

0.6

350

0.4

300

0.2

0

250

-0.2

200

-0.4

150

-0.6

100

-0.8

50

-1

∞

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Figura 3.4 Dominio del tiempo y dominio de la frecuencia.

F

1

0.8

0.6

0.4

F-

0.2

0

-0.2

-0.4 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 3.5 Transformada de una onda cuadrada. La figura 3.7 (a) muestra una señal compleja en el dominio del tiempo y la figura 3.7 (b) muestra la misma señal en el dominio de la frecuencia. Se pasa de un dominio a otro con la transformada de Fourier y la anti-transformada de Fourier respectivamente. En la figura 3.7 es fácil ver el contenido espectral de la onda en el dominio del tiempo, ya que es una sola onda seno. Por lo contrario, en la figura 3.7 no es fácil ver el contenido espectral en el

58 Dr. Víctor Hinostroza

Convenio UACJ – SA Comunicaciones análogas y digitales dominio del tiempo, pues la onda es muy compleja y formada de muchas frecuencias fundamentales, frecuencias que es más fácil ver en el dominio de la frecuencia.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

F = 1/T

T Figura 3.6 Onda seno y su transformada de Fourier

-5

60

-10

40

-15

F

20

0

-20 -25 -30 -35

-20

-40 -45

-40 -50 -55

-60

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

6

7

8

9

10

11

12

13 4

x 10

Figura 3.7 Señal compleja y su transformada de Fourier. Propiedades de la transformada de Fourier. Como toda función lineal la transformada de Fourier, también cumple las siguientes propiedades: Linealidad

a(x) + b(y)

aX(jω) + bY(jω)

Translación en el tiempo

x(t-t0)

e jωt0 X ( jω )

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Translación en la frecuencia

e jωt x(t )

X(j(ω-ω0))

Conjugación

x*(t)

X*(-j ω)

Inversión en el tiempo

x(-t)

X(-j ω)

Frecuencia

x(at)

1 ⎛ jω ⎞ X⎜ ⎟ a ⎝ a ⎠

Convolución

x(t)*y(t)

X(j ω)Y(j ω)

Cambio de escala en tiempo y

Teorema de Parseval ∞

1 ∫−∞ x(t ) dt = 2π 2

∞

∫ X ( jω )

2

dω

−∞

Formas de onda no senoidales. Cualquier onda periódica puede ser representada por una serie de ondas senos y cosenos, por medio de la serie de Fourier, que esta representada por la siguiente ecuación: e(t) = Co+ΣAn cos nω t + ΣBn sin nω t La figura 3.8 muestra dos ejemplos de formas de onda periódicas no senoidales y sus correspondientes series de Fourier. La forma de onda triangular esta representada por la serie:

v(t ) =

V V + 2 π

1 1 1 ⎡ ⎤ ⎢ senf + 2 sen2 f + 3 sen3 f + 4 sen4 f + .......⎥ ⎣ ⎦

60 Dr. Víctor Hinostroza

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Y la ecuación de la onda rectangular esta representada por:

1 3 5 v(t ) = senf + sen3 f + sen3 f + sen5 f + ......... 3 5 9

ƒ

F

F/3

3F/5

5F/9

Figura 3.8 Ejemplos de formas de onda no senoidales y sus series de Fourier.

3.2 Modulación y de-modulación.

61 Dr. Víctor Hinostroza

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Modulación es el proceso de preparar la señal para envió por un medio de transmisión, este proceso se puede llevar a cabo en banda base, es decir la banda de frecuencias original de la señal, ejemplo, una red de computadoras donde la señal se modula en banda base y así se transmite. O por medio de una translación de frecuencia se puede hacer en lo que se llama modulación pasa banda, en este caso existe una translación de frecuencia de una banda de frecuencias baja a una banda de frecuencias alta. Ejemplo, la señal de televisión en cable, se pasa de una señal de 6 MHz a una frecuencia desde 50 a 750 MHz según sea el canal asignado. La figura 3.9 muestra la operación de modulación y su contraparte la demodulación. En la modulación se pasa la señal de una banda base (baja frecuencia) a una pasa banda. (alta frecuencia) En la de-modulación se pasa la señal de una pasa banda (alta frecuencia) a una banda base. (baja frecuencia) Típicamente la modulación se lleva a cabo modificando alguna de las características de las señales; Amplitud, frecuencia o fase. Cuando modulamos en amplitud, la amplitud de la señal es el parámetro que usamos para modificar las características de la señal que se va a modular, llamada señal portadora porque es la señal que “porta” la información de la señal original. En la figura 3.9 la señal modulante (información) es la señal con ancho de banda ωm y la señal moduladora (portadora)es la señal con ancho de banda ωc.

Amplitud

Modulación 2ωm

De-modulación ωm

Frecuencia

Banda base

ωc Pasa banda

Figura 3.9 Proceso de modulación de-modulación.

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3.3 Modulación en amplitud. Modulación en amplitud es el proceso de cambiar la amplitud de una portadora de frecuencia relativamente alta de acuerdo a la amplitud de la señal modulante. (información) Con la modulación en amplitud la información se imprime sobre la portadora en forma de cambios de amplitud. La señal modulante puede tener la forma de la siguiente ecuación: v m (t ) = Am sen(ω m t ) Donde Am es la amplitud máxima de la señal modulante y ωm es la frecuencia de esta señal. La señal portadora puede tener la forma de la siguiente ecuación: vc (t ) = Ac sen(ω c t ) Donde Ac es la amplitud máxima de la señal portadora y ωc es la frecuencia de esta señal. Multiplicando las dos señales se obtiene la señal modulada en amplitud:

v m (t )vc (t ) =

Am Ac [sen(ω c + ω m )t + sen(ω c − ω m )t ] 2

La figura 3.10 muestra estas tres señales y su relación en el tiempo. En al figura 3.10 se puede ver que la onda modulante, modula a la onda portadora tanto en sus partes positivas como negativas, es decir, produce una señal con dos bandas laterales. A esta señal se le conoce como una señal modulada en amplitud con doble banda lateral. (AM-DSB) Es decir, cada frecuencia que se multiplique por la portadora producirá una frecuencia suma (fc + fm) y una frecuencia diferencia. (fc - fm) Como lo muestra la figura 3.11.

63 Dr. Víctor Hinostroza

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1

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

0

-0 . 2

-0 . 4

-0 . 6

-0 . 8

-1

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6

7

8

9

10

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0 . 2

-0 . 4

-0 . 6

-0 . 8

-1

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0 . 2 -0 . 4 -0 . 6 -0 . 8 -1

Figura 3.10 Las tres partes de una onda modulada en amplitud.

64 Dr. Víctor Hinostroza

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Multiplicación

fm

fc

fc - fm fc fc+ fm

Figura 3.11 Frecuencias laterales resultantes de la modulación en amplitud. Si no es una sola frecuencia la que modula, sino una banda de frecuencias entonces se tendrá una banda lateral a ambos lados de la portadora como se muestra en la figura 3.12.

Banda lateral inferior

Banda lateral superior

fc Figura 3.12 Bandas laterales resultantes de la modulación en amplitud. Ejemplo de modulación. A un modulador AM-DSB con una frecuencia portadora fc = 100 kHz y una frecuencia máxima de señal modulante de fm(max) = 5 kHz. Determinar: a) Limites de frecuencia de bandas laterales superior e inferior b) Ancho de banda c) Frecuencias laterales producidas cuando la señal moduladora es solo un tono de 3 kHZ.

65 Dr. Víctor Hinostroza

Convenio UACJ – SA Comunicaciones análogas y digitales Solución: a) Las bandas laterales son: LSB = [fc - fm(max)] a fc Entonces [100 – 5] = 95 kHz USB = [fc + fm(max)] a fc Entonces [100 + 5] =105 kHz b) El ancho de banda es igual a la diferencia entre las mas alta y las mas baja; B = 2* fm(max) = 2*(5 kHz) = 10kHz. c) En este caso las bandas serán: LSB = [fc - fm] a fc Entonces [100 – 3] = 97 kHz USB = [fc + fm] a fc Entonces [100 + 3] = 103 kHz Frecuencia Modulante Frecuencia portadora 6

Frecuencia modulada

1

6

0.8

5

4

0.6

4

0.4

2

0.2

3

0

2

0

-0.2 -2

-0.4

1

-0.6

-4

0 -0.8

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

2

4

10

12

14

16

18

0.4

0.8

1.5

-6

0.3

0.6 1

0.2 0.4

0.5

0.1

0.2

0

0

0

-0.2

-0.5

-0.1

-0.4 -1

-0.2 -0.6

-1.5 -2

-0.3

-0.8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.4

0.6

1 0.8

6

0.4 0.6

5

0.2

0.4 4

0.2

3

0

0

-0.2

-0.2

2

-0.4

-0.4

1 -0.6

-0.6

0 -1

-0.8

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-0.8

6

8

20

Figuras 3.13 Ejemplos de modulación en amplitud (AM)

66 Dr. Víctor Hinostroza

Convenio UACJ – SA Comunicaciones análogas y digitales La figura 3.13 muestra ejemplos de modulación en amplitud, de una onda cuadrada, de una onda triangular y de una onda diente de sierra.

3.4 Tipos de modulación AM. Se observa en los ejemplos de modulación AM que vimos anteriormente que al modular en amplitud el ancho de banda resultante es el doble del ancho de banda de la información original, debido a la generación de dos bandas laterales que desafortunadamente contienen la misma información cada una de ellas. Por lo tanto, se han desarrollado técnicas para reducir el ancho de banda necesario y de ahí han resultado varios tipos de modulación en amplitud, los cuales son los siguientes: Modulación en amplitud con doble banda lateral. (AM-DSB) Este es el tipo de modulación que vimos en las paginas anteriores. En la cual al hacer la multiplicación de las dos señales se generan las dos bandas laterales de igual tamaño. Modulación en amplitud con banda lateral suprimida. (AM-SSB) Para evitar que se tenga que usar el doble de ancho de banda requerido se usa la modulación AM-SSB, en este tipo de modulación, por medio de un filtro se elimina una de las bandas laterales, después de la modulación y se usa una sola banda lateral, reduciendo por lo tanto el ancho de banda requerido. La figura 3.14 muestra un ejemplo de modulación AM-SSB. Modulación con banda lateral vestigial. (AM-VSSB) En este tipo de modulación se elimina solo parte de una de las bandas laterales, y se usa esa parte para modular información adicional. La figura 3.15 muestra un ejemplo de este tipo de modulación.

67 Dr. Víctor Hinostroza

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Banda lateral superior

Figura 3.14 Modulación AM-SSB.

Banda lateral inferior vestigial

Banda lateral superior

Figura 3.15 Modulación de amplitud con banda lateral vestigial. La figura 3.16 muestra señales moduladas en amplitud con diferente índice de modulación. La figura se muestran tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Aquí se puede observar que al aumentar el índice de modulación, la amplitud de la portadora tiene una variación mas pronunciada, aun cuando en le dominio de la frecuencia se tiene las misma frecuencias.

68 Dr. Víctor Hinostroza

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Dominio del tiempo

Dominio de la frecuencia

Índice de Modulación

m=0 ωc= 10ωm

m = 0.25

m = 0.5

m = 1.0

69 Dr. Víctor Hinostroza

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m = 1.25

m = 1.5

m=

Am (max) − Am (min) 2 Ac Figura 3.16 Modulación AM con diferentes valores de índice de modulación.

3.5 Modulación en ángulo. En este tipo de modulación la amplitud de la portadora es constante y la característica que contiene la información es el ángulo de la fase instantánea de la señal portadora. Existen dos variantes de este tipo de modulación, la modulación en frecuencia y la modulación en fase. La modulación ángulo se define por la siguiente ecuación: v(t ) = A cos[ω c t + φ (t )]

70 Dr. Víctor Hinostroza

Convenio UACJ – SA Comunicaciones análogas y digitales En donde A y ωc son constantes y la información esta contenida en φ(t) y es función de la señal moduladora. La modulación en frecuencia se obtiene variando la frecuencia instantánea de la portadora en función de la información. Si la señal moduladora es: Vm (t ) = Vm cos(ω m t ) la frecuencia de la señal portadora será:

ω = ω c + K f Vm cos(ω m t ) Donde ω = 2πf y

f = fc +

Kf 2π

Vm cos(ω m t ) = f c + ∆f cos(ω m t )

Aquí se observa que la variación de la frecuencia de la señal portadora es proporcional a la amplitud de la señal moduladora.

Siendo que ω =

dφ el ángulo vale: dt ⎡

φ = ∫ ωdt = 2π ∫ fdt = 2π ∫ ( f c + ∆f cos(ω m t ))dt = 2π ⎢ f c + ⎣

⎤ ∆f sin (2πf m t )⎥ 2πf m ⎦

Resumiendo la señal modulada será:

71 Dr. Víctor Hinostroza

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⎛ ⎞ ∆f sin (2πf m t )⎟⎟ V FM (t ) = Vc cos⎜⎜ 2πf c t + fm ⎝ ⎠

La figura 3.17, muestra la señal moduladora y la señal modulada en frecuencia. Modulación en fase. La modulación en fase se obtiene variando, en función de la información, la fase de la relación: v(t ) = Vc cos(ω c t + φ ) Si la señal moduladora es: v m (t ) = Vm sin (ω m t ) Entonces:

φ = φ 0 + K pVm + ∆ι sin (ω m t )

7

1

6

0.8 0.6

5

0.4

4 0.2

3

0

2

-0.2 -0.4

1 -0.6

0

-0.8

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura 3.17. Señal modulada en frecuencia En general tenemos:

72 Dr. Víctor Hinostroza

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V PM (t ) = Vc cos[ω c t + ∆φ sin (ω m t )] Hay que notar que esta ecuación se parece mucho a la ecuación de modulación en frecuencia. Siendo que ω =

ω=

dφ el ángulo vale: dt

dφ = ω c + ∆φω m cos(ω m t ) dt

la frecuencia será: f = f c + ∆φf m cos(ω m t ) Otra vez la señal moduladora determina la fase instantánea de la señal portadora. La figura 3.18 muestra un ejemplo de modulación en fase.

6

1 0.8

5

0.6

4

0.4 0.2

3

0

2 -0.2 -0.4

1

-0.6

0 -0.8

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 3.18. Modulación en fase

73 Dr. Víctor Hinostroza

Convenio UACJ – SA Comunicaciones análogas y digitales Espectro de una señal FM:

v(t ) = cos(ω ct + βsenω mt ) Convirtiendo a :

cos(ω ct + βsenω mt ) = cos ω ct cos(βsenω mt ) − senω ctsen(βsenω mt ) Entonces:

cos( βsenω mt ) = J 0 ( β ) + 2 J 2 ( β ) cos 2ω mt + 2 J 4 ( β ) cos 4ω mt + ...... + ...... + 2 J n ( β ) cos 2nω nt + ....... y

sen( βsenω mt ) = 2 J1senω mt + 2 J 3 ( β ) sen3ω mt + ...... + ...... + 2 J 2 n −1 ( β ) sen(2n − 1)ω nt + ....... Entonces:

v(t ) = J 0 ( β ) cos ω ct − J1 ( β )[cos(ω c − ω m )t − cos(ω c + ω m )t ] + J 2 ( β )[cos(ω c − 2ω m )t − cos(ω c + 2ω m )t ] + J 3 ( β )[cos(ω c − 3ω m )t − cos(ω c + 3ω m )t ] + ................................... La figura 3.19 muestra una señal modulada en frecuencia, con diferentes índices de modulación. Se muestra tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. Aquí se puede observar que al aumentar el índice de modulación se incrementa el ancho de banda de la señal modulada.

74 Dr. Víctor Hinostroza

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Dominio del tiempo

Dominio de la frecuencia

Índice de Modulación

m=0 ωc= 5ωm

m = 0.5

m = 0.75

m = 1.0

75 Dr. Víctor Hinostroza

Convenio UACJ – SA Comunicaciones análogas y digitales

m = 1.5

m = 2.0

m = 2.5

m = 3.0

Figura 3.19 Señal modulada en frecuencia con diferentes índices de modulación.

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m=

∆f fm

donde:

∆f = K1Vm

3.6 Osciladores de amarre de fase y osciladores controlados por voltaje. (PLL y VCO)

Debido a que en modulación FM y PM, la fase y frecuencia llevan la información es necesario en este tipo de modulación tener circuitos de sincronización tanto en el receptor como en el transmisor. La figura 3.20 muestra un circuito básico de PLL. Los osciladores de amarre de fase son circuitos retro-alimentados, cuyo parámetro de control es la fase de una señal producida localmente y es una replica de la señal portadora. Los lazos de amarre de fase tienen básicamente tres componentes; Un detector de fase, un filtro de lazo y un oscilador controlado por voltaje. (VCO) El detector de fase es un dispositivo que produce una medida de la diferencia entre la fase de una señal que entra al circuito y una señal que es producida localmente. Esta diferencia de fase es convertida a un voltaje por el filtro de lazo y este voltaje se convierte en entrada del VCO, la salida del VCO es una frecuencia proporcional a la diferencia de fase de las dos señales, lo que tenderá a hacer que las fases coincidan hasta llegar a un estado estable y las dos fases sean muy similares. El VCO es un oscilador cuya frecuencia de salida es una función lineal del voltaje de entrada. Un voltaje positivo (mayor que el anterior) causara que la frecuencia aumente y un voltaje negativo (menor que el anterior) causara que la frecuencia disminuya. El amarre de fase se alcanza al introducir como entrada del VCO la diferencia de fase (el error de fase) Considerando una señal de entrada de la forma: r (t ) = cos[ω 0 t + θ (t )] Donde ω0 es la frecuencia de la portadora y θ(t) es la fase que esta variando lentamente. De manera similar, consideremos la salida del VCO como:

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[

x(t ) = −2 sen ω 0 t + θˆ(t )

]

Estas señales producirán una señal de error a la salida del detector de fase de la forma:

[ [

]

e(t ) = x(t )r (t ) = 2sen ω 0 t + θˆ(t ) cos[ω 0 t + θ (t )] = sen θ (t ) − θˆt + sen 2ω t + θ (t ) + θˆ(t )

[

]

0

]

La parte del doble de la frecuencia puede ser filtrada y solo nos queda la diferencia de fase. f(t) F(ω) r(t)

e(t) x(t) VCO

y (t)

Oscilador controlado por voltaje

Figura 3.20 Oscilador de amarre de fase

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