Tema IV. Comunicaciones digitales. IV.1. INTRODUCCIÓN. IV.2. TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO. IV.3. ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE SEÑALES. IV.4. TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO. IV.5. COMPARATIVA DE MODULACIONES DIGITALES. IV.6. TRANSMISIÓN DIGITAL POR CANALES DE ANCHO DE BANDA LIMITADO. Teoría de la Comunicación, www.eps.uam.es/~tco 2º Ing. de Telecomunicación Escuela Politécnica Superior, Universidad Autónoma de Madrid Jorge A. Ruiz Cruz ([email protected], www.eps.uam.es/~jruiz)

TCO (2007-08)

Teoría de la Comunicación.

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J.A.R.C

ver. 0.b

IV.2. TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO. IV.2.1. Sistemas PAM binarios IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico. IV.2.3. Receptor binario óptimo. IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo. IV.2.5. Sistemas M-PAM. TCO (2007-08) J.A.R.C

IV. Comunicaciones digitales.

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ver. 0.b

IV.2.1. Sistemas PAM binarios ¾ Los sistemas PAM binarios son aquellos en los que los símbolos son de un bit y en cada periodo de símbolo sólo se puede transmitir una de las siguientes señales:

“0” “1”

- La función g(t) representa un pulso de forma arbitraria, cuyo espectro está centrado en torno a f=0 y que sólo puede tomar valores distintos de 0 entre t=0 y t=T (T es el periodo de símbolo). Un caso particular es el pulso cuadrado. - El pulso g(t) es por tanto una señal de energía. -A veces g(t) se normaliza para que tenga valor máximo 1 o que su energía sea la unidad.

≤ IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN.

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¾ Ejemplo de señal PAM binaria de amplitudes A1 , A2:

1

1

0

1

0

- Los códigos de línea NRZ, RZ unipolar, RZ bipolar (tema IV.1, p. 20) son señales PAM binarias. Aunque en este caso todas usan pulsos de tipo rectangular, sus formas y amplitudes son distintas (polaridad, pulso extendido a todo el símbolo o sólo parcialmente,...). • A) Energía media de la modulación y potencia media de la señal transmitida

- El pulso g(t) y las amplitudes controlan las propiedades de la modulación:

• B) Envolvente constante o distinta para cada bit • C) Protección frente al ruido • D) Espectro de la señal transmitida • E) Posibilidad de corrección de errores • F) Facilidad de recuperación de reloj • G) Coste y complejidad de la circuitería,...

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IV.2.1. Sistemas PAM binarios.

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ver. 0.b

¾ Parámetros de las señales involucradas en el sistema:

“0” “1”

- Régimen binario del sistema: - Energía de cada señal m=1,2:

Símbolos equiprobables:

- Energía media de símbolo (que es igual que la de bit en sistemas binarios): - Potencia de la señal y(t):

- Producto escalar entre las señales s1(t),s2(t): - Energía de la señal diferencia:

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IV.2.1. Sistemas PAM binarios.

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ver. 0.b

¾ El espectro de la señal transmitida viene determinado por el pulso g(t). - Cuanto menor sea el periodo de símbolo T (ó mayor sea la velocidad de símbolo =1/T) y más estrechos sean los pulsos, mayor será el ancho de banda de canal que se necesita para acomodar a la señal transmitida. En el caso particular de pulsos rectangulares:

- ¿Por qué entonces usar pulsos estrechos si ocupan más ancho de banda? P.ej. pueden facilitar la recuperación de reloj (parecido a la recuperación de portadora en demoduladores coherentes). - La señal y(t) que se transmite por el canal es un proceso estocástico: cada señal sm(t) tiene asociada una probabilidad de ser transmitida, con una f.d.p. dada. Por tanto, se suele trabajar con la densidad espectral de potencia del proceso estocástico (ver tema II.1 y Proakis 8.2, p. 483).

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IV.2.1. Sistemas PAM binarios.

6

ver. 0.b

¾ Espectro de la señal transmitida para distintos tipos de pulsos rectangulares:

0 1 0 1 1 0

….

Espectro con continua

Espectro sin continua

Espectro de mayor ancho de banda

En la práctica, se suele considerar que el ancho de banda donde está la mayor parte de la potencia de la señal PAM que se transmite es D/T donde los valores de D que suelen usar son p. ej. D=0.5,1,T/T2 , dependiendo de la aplicación y del tipo de pulso. TCO (2007-08)

IV.2.1. Sistemas PAM binarios.

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ver. 0.b

¾ Cada símbolo (que en un sistemas binario coincide con el bit), será emitido con una cierta probabilidad. Una fuente binaria se caracteriza por:

- Normalmente, la probabilidad de que la fuente emita un 1 será la misma que la probabilidad de que la fuente emita un 0 (que será 1/2): símbolos equiprobables. - Si los símbolos estuvieran formados por k bits, habría M=2k símbolos distintos y la probabilidad de que la fuente emitiera un símbolo cualquiera, en el caso de que todos fueran equiprobables, sería 1/M.

¾ El sistema PAM binario es un caso particular de sistema binario. En un sistema binario general, lo único que se especifica es:

“0” “1”

(sm(t)=0 fuera de 0≤t≤T)

- En los siguientes puntos se va a estudiar como se detectan/demodulan las señales de un sistema binario cualquiera: como se pasa en el receptor de formas de onda a bits. - Lógicamente, habrá varias formas de hacerlo, y algunas serán mejores que otras desde el punto de vista de la calidad del sistema (Probabilidad de error de bit cuando hay ruido en el sistema). TCO (2007-08) J.A.R.C

IV.2.1. Sistemas PAM binarios.

8

ver. 0.b

IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico ¾ El caso más simple de receptor binario es utilizar un filtro que deje pasar las señales sm(t) pero que limite el ruido a su entrada. Después se muestrea en un instante Ts y se decide.

ó

Decisor

0

“0” “1”

Br

f

Muestreo cada t=Ts Decisión símbolo “0” ó “1” por comparación con umbral γ

Filtro Br ≥ Bs f

0

“0” ó “1”

- Aunque las señales sm(t) tienen en teoría ancho de banda infinito (son señales limitadas en el tiempo entre 0 y T), se supondrá que la mayor parte de su energía se encuentra en un ancho de banda como máximo de Bs. - Por tanto, al pasar por el filtro de Br≥Bs se supondrá para este primer análisis que no son afectadas significativamente. IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN.

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ver. 0.b

¾ Funcionamiento del receptor binario básico para NRZ bipolar 0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

y(t)=Secuencia de señales sm(t) que se tx por el canal

+V 0 -V

yr(t)=Señal recibida con poco ruido (Pe baja)

+V 0 -V 0

1

0

0

1

1

0

0

1

0 yr(t)=Señal recibida con bastante ruido (Pe más alta)

+V 0 -V

¡ Error ! 0

0

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....

0

0

1

1

0

0

1

IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico.

0

(para este tipo de señales, Ts puede ser cualquier valor entre 0 y T, p.ej. Ts=T/2) 10

ver. 0.b

¾ Funcionamiento del receptor binario básico para RZ unipolar 0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

.... y(t)=Secuencia de señales sm(t) que se tx por el canal

+V 0

yr(t)=Señal recibida con poco ruido (Pe baja)

+V 0 0

1

1

0

1

1

0

1

1

0 yr(t)=Señal recibida con bastante ruido (Pe más alta)

+V 0

¡ Error ! 0

1

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1

0

1

0

¡ Error ! 0

0

1

0

(para este tipo de señales, Ts debe estar entre 0 y T/2 , p.ej. Ts=T/4)

IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico.

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ver. 0.b

¾ Cálculo teórico de la Probabilidad de Error para el receptor binario básico - El objetivo de este apartado es calcular analíticamente la probabilidad de error asociada al receptor anterior. La parte “aleatoria” del problema (la Pe) viene del ruido, que es un proceso estocástico gaussiano y blanco. - Este ruido pasa por el filtro del receptor para limitar su potencia, que da un ruido gaussiano coloreado a su salida. El ruido a la salida, para cualquier instante dado (por ejemplo el instante de muestreo), es una variable aleatoria gaussiana. - Si el ruido era gaussiano a la entrada, también lo es al pasar por un LTI, y como era de media cero, para estar completamente caracterizado sólo falta calcular su potencia (=desviación típica^2, por ser ergódico) (ver pags. 35-40 tema II.2). - En conclusión, por cada símbolo enviado, al bloque decisor le llega un número z que en realidad es una realización de una variable aleatoria debido al muestreo del proceso estocástico “ruido”: Notación:

no ≡ no(Ts) es una variable aleatoria gaussiana de media nula y desviación típica σo

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IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico.

12

ver. 0.b

¾ Cálculo teórico de la Pe del receptor binario básico (cont.) - Si se ha enviado la señal s1(t), la variable aleatoria z|s1 (resultado z de muestrear la señal recibida z(t), supuesto que se ha transmitido s1(t)) es una variable aleatoria gaussiana de media s1(Ts) y desv. típica σo

- Si se ha enviado la señal s2(t), la variable aleatoria z|s2 (resultado z de muestrear la señal recibida z(t), supuesto que se ha transmitido s2(t)) es una variable aleatoria gaussiana de media s2(Ts) y desv. típica σo

- Habrá un error en las dos situaciones siguientes: a) se mandó un 1 y se decide que es un 0 ↔ se tx s2(t) y se decide s1(t) b) se mandó un 0 y se decide que es un 1 ↔ se tx s1(t) y se decide s2(t)

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IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico.

13

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ver. 0.b

¾ Cálculo teórico de la Pe del receptor binario básico (cont.) - Para calcular la Pe habrá que calcular las probabilidades condicionadas anteriores; la P(tx 0) y la P(tx 1) son datos, y normalmente suelen ser 1/2 (aunque podrían ser distintas).

- Para el cálculo de las probabilidades condicionadas, primero se escribe el suceso asociado de manera adecuada y después se utiliza la fdp de la variable aleatoria correspondiente: • Cuando se transmite s1(t), y los siguientes sucesos son equivalentes: • Cuando se transmite s2(t), y los siguientes sucesos son equivalentes: - Parece lógico que las probabilidades condicionadas dependan del umbral que se haya escogido en el bloque de decisión. Si se pone un umbral muy alto (o muy pequeño), una de las dos probabilidades condicionadas será muy grande y la otra muy pequeña.

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IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico.

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ver. 0.b

¾ Cálculo teórico de la Pe del receptor binario básico (cont.) - Para el cálculo numérico de las probabilidades condicionadas, se usarán las fdp calculadas en la pag. 13 y las expresiones del Ap.A. Umbral de decisión γ fdp(z0)=probabilidad “diferencial” de que si se ha mandado s1(t), al fdp(z ) 0 muestrear se obtenga el valor z0 z0

fdp(z0)=probabilidad “diferencial” fdp(z0) de que si se ha mandado s2(t), al muestrear se obtenga el valor z0 z0

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IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico.

15

J.A.R.C

ver. 0.b

¾ Cálculo teórico de la Pe del receptor binario básico (cont.) - ¿ Cual es el umbral γ óptimo que minimiza la Pe? Depende de los estadísticos de la fuente: - Si se supone: - En estas condiciones (símbolos equiprobables), se podría demostrar que el umbral óptimo es:

- Puesto que la función Q es monótona decreciente (ver Ap. A.), la Pe será más pequeña cuanto mayor sea el argumento |s2(Ts)-s1(Ts)|/2σo , esto es, cuanto mayor sea la diferencia entre las señales usadas en el instante de muestreo frente a la potencia de ruido.

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IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico.

16

ver. 0.b

¾ El esquema ya estudiado se puede generalizar sustituyendo el filtro paso bajo de la pag. 9 por un filtro Hr(f) cuyo diseño se va a motivar ahora. - De acuerdo al resultado obtenido para la Pe, si disminuye al aumentar |s2(Ts)-s1(Ts)|/σo , ¿existe algún mecanismo para maximizar este cociente?. Se hace notar que un amplificador aumentaría el numerador y denominador en la misma escala, por lo que no habría mejora. - ¿Por qué en vez de usar un filtro paso bajo ideal a la entrada del receptor, no utilizar un filtro que maximice |a2(Ts)-a1(Ts)|/σo , donde am(Ts) es la componente de señal y σo2 es la potencia de ruido a la salida del filtro?

Muestreo cada t=T

- Además, a partir de ahora, el instante de muestreo será t=T (al final de cada periodo de símbolo); se busca un filtro que utilice toda la información de la señal recibida durante todo el periodo de símbolo T y por tanto, se muestreará al final de cada periodo de símbolo.

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IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico.

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ver. 0.b

IV.2.3. Receptor binario óptimo

ó

… “0”…

ó Muestreo cada t=T

Recuperación de reloj

0

…“1”… Decisión símbolo “0” ó “1” por comparación con umbral γ

f

- A partir de ahora, el circuito recuperador de reloj no se pondrá explícitamente en los diagramas de los receptores, pero es un bloque necesario para marcar el ritmo de muestreo. - En este punto se abordará el diseño del filtro Hr(f) óptimo (que se conoce como filtro adaptado, y que se puede realizar con correladores) para que la Pe de este receptor sea la mínima posible. TCO (2007-08) J.A.R.C

IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN.

18

ver. 0.b

¾ Cálculo teórico de la Pe del receptor binario anterior: - La Pe se obtiene de la misma manera que en el receptor por muestreo básico, simplemente teniendo en cuenta que las señales a la salida del filtro son ahora z(t)=am(t)+no(t). Umbral de decisión γ

- Ahora se pasará a diseñar el filtro que maximiza |a2(Ts)-a1(Ts)|/2σo y por tanto minimiza la Pe. TCO (2007-08)

IV.2.3. Receptor binario óptimo

19

J.A.R.C

ver. 0.b

¾ Diseño del filtro del receptor óptimo: - Se trata de encontrar el filtro Hr(f), o bien su transformada inversa hr(t), que maximice el siguiente cociente, que se conoce como SNRs: relación señal ruido en el instante de muestreo: ●

- El numerador y denominador de la SNRs se pueden escribir de la siguiente forma: ●

(1) ●

- Se ha definido la función auxiliar sa(t)=s*2(T-t)-s*1(T-t) por comodidad, cuya energía es la misma que la de la señal diferencia s2(t)-s1(t):

(1): Teorema de Parseval (Tema II.1, Ap. A, p.21) (2): Cambio de variable u=T-t Se trabaja con señales complejas por generalidad; el conjugado se podría omitir en señales reales

(2) ●

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IV.2.3. Receptor binario óptimo

20

ver. 0.b

¾ Diseño del filtro del receptor óptimo (cont.): - La SNRs tiene una cota máxima impuesta por la desigualdad de Schwarz entre cualquier par de funciones f,g:

- La cota máxima de la desigualdad de Schwarz sólo se alcanza cuando f(t) y g(t) son proporcionales f(t)=cg(t): =cEg; Ef=|c|2Eg; ||2=|c|2E2g= EfEg. - Por tanto, para el caso de la SNRs, entre todas las posibles funciones hr(t), aquella que dará la SNRs máxima deberá ser proporcional a sa(t) : - Este filtro se conoce como filtro adaptado (matched filter) a la señal diferencia s2(t)-s1(t). La constante de proporcionalidad c es un factor de escala que no influye en la SNRs (ver pag. sig.). TCO (2007-08)

IV.2.3. Receptor binario óptimo

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J.A.R.C

ver. 0.b

¾ Diseño del filtro del receptor óptimo (cont.): - La SNRs con el filtro adaptado a la señal diferencia hr,opt(t)=c(s*2(T-t)-s*1(T-t)), (independientemente del factor c, que se suele tomar la unidad), proporciona la SNRs máxima: ●

●

●

- Conclusión: con el filtro hr,opt(t)=c(s*2(T-t)-s*1(T-t)) se tiene el receptor óptimo ↔ Pe mínima:

●

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IV.2.3. Receptor binario óptimo

22

ver. 0.b

¾ Diseño del filtro del receptor óptimo (cont.): - La última parte que queda por calcular es el umbral γ del receptor. De acuerdo a la pag. 19:

(cambio de variable t=T-u)

=0, para señales reales: sm(t)=s*m(t)

- Aunque la SNRs con el filtro adaptado a la señal diferencia hr,opt(t)=c(s*2(T-t)-s*1(T-t)) no depende del factor c, el umbral sí. Parece lógico, porque el factor c escala las señales que pasan por el filtro y el umbral tiene que diferenciar entre los niveles de las muestras a la salida del filtro. - Se recuerda que la energía de la señal diferencia (que aparece en el argumento de la Pemin) y la diferencia de las energías de las señales individuales (que aparece en γ) son cantidades distintas. - El filtro adaptado que se ha obtenido tiene una serie de propiedades que se detallan en el Apéndice B. Desde el punto de vista del receptor óptimo, una propiedad muy importante es que se puede realizar con un correlador. Eso da lugar a todas las formas equivalentes de receptor óptimo que se pueden ver en el Apéndice C. IV.2.3. Receptor binario óptimo

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J.A.R.C

ver. 0.b

IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo ¾ Planteamiento de un enlace de comunicaciones digital binario en banda base: ¡ Error !

…01011… Flujo de un bit cada periodo de símbolo T

Modulador digital “0” “1”

Canal Paso bajo

De-modulador digital

…01111…

Ruido n(t)

- Se supondrá ahora que el canal no introduce distorsión lineal (ni de amplitud ni de fase) y que tiene un ancho de banda ilimitado. El efecto del canal de ancho de banda limitado se traduce en el fenómeno de Interferencia Entre Símbolos (IES) y se estudiará en el tema IV.6. - Si el canal no introduce distorsión lineal (sólo atenúa y/o retarda), el módulo de la función de transferencia debe ser constante y la fase lineal en la banda By de Y(f)

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IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN.

24

ver. 0.b

¾ Planteamiento de un enlace de comunicaciones digital (cont.): - Por simplicidad, para este primer análisis se supondrá que no hay atenuación (ho=1) y no hay retardo (to=0). Cuando ho≠1 y/o to≠0, simplemente hay que adaptar los resultados de acuerdo al Apéndice D. - El demodulador digital óptimo para obtener la Pe mínima en el sistema digital anterior será el que se ha calculado en el tema IV.2.3: “0” “1”

Demodulador digital óptimo

… 01011…

Prx=Potencia de la señal de información a la entrada del receptor

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IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo.

25

J.A.R.C

ver. 0.b

¾ Balance del enlace: - En el diagrama anterior se tienen todos los elementos para hacer el balance del enlace. - Los parámetros que hay que relacionar son la calidad (Pe), la potencia recibida (Pyc) y el régimen binario (Rb) - Para conseguir esta relación, puesto que Pyc=ÊbitRb, hay que escribir Es2-s1 en función de Êbit , es decir, se busca la expresión Es2-s1=funcion(Êbit). - La función buscada es distinta para cada modulación. Por ej., para un sistema PAM binario, de acuerdo a la pag. 5, se tiene:

“0” “1”

= “Potencia de info a la entrada del receptor”

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IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo.

26

ver. 0.b

¾ Balance del enlace (cont.): - Como se ha visto, la probabilidad de error Pe se suele expresar en función de alguno o varios de los siguientes parámetros interrelacionados: · La relación entre la energía de la señal diferencia Es2-s1 y la densidad espectral de potencia η. · La relación entre energía media por símbolo Êsimb (o por bit Êbit, que en sistemas binarios son iguales) y la densidad espectral de potencia de ruido η. - La más apropiada para utilizar en diseño es la última, ya que proporciona la relación entre potencia de señal y régimen binario. Para PAM binario: (es un parámetro adimensional que se suele dar en dBs)

Relación señal ruido por bit

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IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo.

27

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ver. 0.b

¾ Prestaciones del sistema digital: - Al representar la curva de Pe en función de snrbit se obtiene una curva monótona decreciente del siguiente estilo: 1/2 P0

- ¿Para qué sirven estas expresiones (bien en forma analítica, bien en forma de curva)? : - A) Evaluación de calidad: si se tiene un determinado Py, Rb, η, ¿qué Pe tiene el sistema?

x0

- B) Diseño de Rb: Si quiero Pe y tengo Pyc, η, ¿qué Rb puedo alcanzar? - C) Diseño de Prx: Si quiero Pe y tengo Rb, η, ¿qué Pyc debe llegar al receptor? - D) Diseño de señales: ¿Qué señales s1(t),s2(t) son mejores desde el punto de vista de Pe?

TCO (2007-08) J.A.R.C

IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo.

28

ver. 0.b

¾ Prestaciones del sistema digital (cont.): - Contestando al punto D) anterior, interesaría que ρo (coeficiente de correlación) tuviera el valor más negativo posible: señales lo más distintas posibles - Eso se consigue si las señales cumplen s2(t)=-s1(t), (ρo=-1) y se dice que son señales antipodales. En PAM se consigue con amplitudes de igual módulo pero cambiadas de signo (p.ej. NRZ/RZ bipolar): - Un caso que también proporciona buenas prestaciones es si ρo=0, y se dice que son señales ortogonales. En PAM se consigue si una de las amplitudes es cero (p.ej RZ unipolar): antipodal

- El factor 2 en el argumento de la Pe se traduce en que las señales ortogonales son 3dB “peores” que las antipodales: con señales ortogonales se necesitan 3 dB más de potencia recibida (el doble) para proporcionar la misma Pe que el de señales antipodales.

ortogonal

P0

IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo.

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29

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ver. 0.b

IV.2.5. Sistemas M-PAM ¾ Los sistemas M-PAM son aquellos en los que los símbolos son de k=log2M bits y en cada periodo de símbolo T sólo se puede transmitir una de las siguientes señales: k bits “00…0” “00…1”

M=2k señales

…

…

M=2k símbolos

“11…1”

- Ejemplo para k=2, M=2k=4:

10 TCO (2007-08) J.A.R.C

11

00

IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN.

01 30

ver. 0.b

¾ Los amplitudes se pueden elegir de muy diversas formas. Por ejemplo: - PAM simétrico: - PAM asimétrico:

(esto se explicará en el tema IV.3)

¾ Las señales se suelen representar en un diagrama conocido como constelación. - las señales son puntos representadas sobre ejes que son la base de la modulación. - Para M-PAM, sólo hay un eje (base de un elemento) y el eje ordenado es el pulso normalizado para que tenga energía unidad. 4-PAM simétrico

(p. ej. NRZ/RZ bipolar)

Constelaciones PAM (p. ej. NRZ/RZ)

4-PAM asimétrico

TCO (2007-08)

IV.2.5. Sistemas M-PAM

31

J.A.R.C

ver. 0.b

¾ Parámetros de las señales involucradas en el sistema: - Régimen binario del sistema: - Forma general de las M señales de la familia: - Energía de cada señal m:

(energía del pulso)

- Energía media por símbolo de la constelación para símbolos equiprobables:

PAM simétrico

- Potencia de la señal y(t):

TCO (2007-08) J.A.R.C

IV.2.5. Sistemas M-PAM

32

ver. 0.b

¾ El espectro de las señal transmitida y(t) vendrá marcado fundamentalmente por el espectro del pulso g(t), igual que en la pag. 7: - El ancho de banda de y(t) donde se concentra la mayor parte de su potencia será del orden de D/T, donde los valores de D que suelen usar son p. ej. D=0.5,1,T/T2 , dependiendo de la aplicación y del tipo de pulso - Por tanto, el espectro de un sistema M-PAM es esencialmente el mismo que un 2-PAM. - Los aspectos relacionados con el ancho de banda se estudiarán en el tema IV.6.

¾ Una forma de hacer el receptor óptimo de un sistema M-PAM es la siguiente: Demodulador digital óptimo M-PAM Decisor

TCO (2007-08)

… 01011…

IV.2.5. Sistemas M-PAM

33

J.A.R.C

ver. 0.b

¾ Receptor óptimo M-PAM (cont.). Bloque decisor:

- Para cierto tipos de señales, como el caso M-PAM, el bloque decisor se puede hacer con umbrales múltiples:

…

- El bloque decisor de un receptor de M-señales se suele hacer calculando distancias entre señales (se estudiará en el tema IV.3).

- El filtro adaptado+muestreador se puede hacer con un correlador +muestreador. El factor de escala del filtro (o del correlador) es arbitrario, pero eso sí, habrá que tenerlo en cuenta para calcular los umbrales: • Si a la entrada del filtro se tiene: • A la salida del filtro del receptor hr(t)=cg*(T-t), (normalmente c=1 ó c=1/sqrt(Eg)) en el instante de muestreo se tendrá: • El umbral entre dos regiones de decisión consecutivas será:

TCO (2007-08) J.A.R.C

IV.2.5. Sistemas M-PAM

34

ver. 0.b

¾ Receptor óptimo M-PAM (cont.). Bloque decisor: - Ejemplo de umbrales del bloque decisor para el receptor de la pag. 33 de M-PAM simétrico: …

M=8

000

…

001

010

110

Valor a la salida del muestreador (entrada al decisor)

111

¾ Probabilidad de Error de Bit (BER): -La justificación de que el receptor visto para M-PAM es óptimo (es decir, que proporciona la Pe mínima) se dará en el tema IV.3. - La expresión de la Pe en el sistema M-PAM tiene un desarrollo análogo al del caso 2-PAM, y se puede encontrar por ejemplo en el Proakis, Sec. 7.6.2. Aquí simplemente se expondrán los resultados de forma gráfica para ver sus prestaciones.

IV.2.5. Sistemas M-PAM

TCO (2007-08)

35

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ver. 0.b

¾ Probabilidad de Error de Bit (BER) de M-PAM simétrico: 1

1/2

M=64 0.1

32

0.01

- Notar que la expresión para M=2 es la misma que se obtuvo en la pag. 29 para señales antipodales.

1 .10

3

1 .10

4

1 .10

5

1 .10

6

1 .10

7

1 .10

8

16 8 4

M=2

4

2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

- Este es el caso general para M arbitrario.

TCO (2007-08) J.A.R.C

IV.2.5. Sistemas M-PAM

36

ver. 0.b

Ap. A: Variables aleatorias gaussianas - Gaussiana normalizada G(0,1): media nula y desviación típica unidad

- Valores importantes:

TCO (2007-08)

10

0

10

-1

10

-2

10

-3

10

-4

10

-5

10

-6

10

-7

10

-8

10

-9

10

-10

0

1

2

3

IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN.

4

5

6

37

J.A.R.C

ver. 0.b

Ap. A (cont.) - Gaussiana de media μ y desviación típica σ: G(μ,σ)

TCO (2007-08) J.A.R.C

Ap. A: Variables aleatorias gaussianas.

38

ver. 0.b

Ap. B: Propiedades del filtro adaptado ¾ El filtro que se ha obtenido para el receptor óptimo tiene un serie de propiedades que hacen que su uso sea muy habitual en sistemas de comunicaciones digitales. - La primera propiedad está relacionada con la realizabilidad del filtro. Por la forma del filtro adaptado (ver pag. sig.), hr(t)=0, t