Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava

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TEORIA DE JUEGOS: NOTAS DE CLASE Marcela Eslava Universidad de Los Andes, Facultad de Economía

I. INTRODUCCIÓN Ejemplo 1.1: El Presidente toma la decisión de tamaño del gasto público en un año dado. Sus objetivos con la decisión son: • Contener el gasto para no generar déficit demasiado alto y así conservar el apoyo del FMI. • No cortar el gasto muy por debajo de lo esperado por el Público, para no perder el apoyo popular. Por Ejemplo:

(

)

Min L g (g − T ) + α g − g . donde g es el gasto que el público espera, y T los impuestos. 2

2

La solución "tradicional" (de agente atomístico): Como el énfasis es escoger g, se toman T y dados y se resuelve un simple problema de optimización.

g como

∂L = 2(g − T) + 2α (g − g)(−1) = 0 ∂g 2(g − T) = 2α (g − g) g(1+ α ) = T + α g g=

T +α g (1+ α )

Pero: Suponga

g =0 entonces g = T

1+ α

>0. Pero si el Público conoce el problema del gobierno, entonces

debería anticipar lo que el gobierno quiere para no dejarse “engañar”. El Público debe ver que g depende de g =0, y también que g =0 implicaría g>0. Esto, a su vez, afecta g . Entonces vemos que en esta solución al gobierno le falta reconocer que otros agentes interactuan con él, y que las decisiones de esos otros agentes varían de acuerdo con las circunstancias (son "endógenas" al modelo, así que, por ejemplo, g no está dado por fuera). Por ejemplo, al decidir g el gobierno podría tener en cuenta que su decisión afecta el

g del siguiente periodo, el nivel de gasto del siguiente periodo y, en consecuencia, su utilidad del siguiente periodo. Esta limitación de la solución encontrada arriba se deriva de modelar al gobierno como un agente aislado

Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava 2 en la economía, que ignora los efectos de su presencia sobre las decisiones de otros agentes, y cómo esas decisiones afectan a la vez las restricciones del mismo gobierno (representadas en este caso por T y g ). Note que algo similar ocurre cada vez que la solución de un problema económico se modela a partir de un agente que toma su contexto como dado e independiente de sus acciones y su presencia. En algunos casos, como el de una firma en competencia perfecta, este tipo de supuestos es razonable. Sin embargo, hay muchas situaciones en las que no lo es; es en estos casos donde se necesita considerar la interacción estratégica entre agentes. La teoría de juegos se encarga de incoporar esta consideración 1.1.

Teoría de Juegos.

Es el estudio de problemas que involucran interacciones estratégicas entre los participantes. •

•

Comportamiento estratégico: Un participante actúa de forma estratégica si toma en cuenta los efectos de sus decisiones y su presencia sobre las decisiones de los demás, y los efectos de esas decisiones de terceros sobre las restricciones que él enfrenta. Juego: Descripción de una situación en la que hay interacciones estratégicas entre agentes.

En estas notas se estudiará la teoría de juegos en su condición de conjunto de herramientas analíticas para analizar problemas económicos con “pocos” agentes. Cuando solo hay 1 agente, no hay interacción. Cuando hay muchos agentes, cada uno es tan pequeño (atomístico) que las decisiones individuales no afectan de manera significativa a los demás (Ejemplo: agentes precio-aceptantes en competecia perfecta). Es en el rango intermedio, donde hay pocos agentes, en donde existen interacciones estratégicas: estas situaciones son el interés de la teoría de juegos. 1.2.

Elementos de un Juego

Un mismo "problema" puede incluir muchos juegos. El juego específico está definido por una serie de elementos: A. Participantes: En el Ejemplo 1.1, si (T) está dado se podría estudiar la interacción entre el Gobierno y el Público. En el caso en que el (T) es fijado por el Ministro de Hacienda se podría estudiar, por ejemplo, la interacción entre el Presidente y el Ministro de Hacienda. Estos son dos juegos diferentes. B. Acciones disponibles a cada participante: En el Ejemplo 1.1, el juego es uno si el Presidente escoge (g) solamente, y si puede escoger tanto (g) como (T), ya que el juego es distinto para cada decisión del Presidente. C. Objetivos de cada jugador: Qué quieren y en cuanto lo valoran – Funciónes Objetivo. D. Orden de las acciones (reglas): ¿Deciden los agentes de forma simultánea o secuencial? Por ejemplo, en el juego entre el gobierno y el público se puede tener que el gobierno anuncie un g primero, luego el público forme expectativas ( g ) con base en lo que el gobierno anunció y luego el gobierno escoja efectivamente g, dadas las expectativas del público. Las acciones óptimas de los jugadores pueden diferir en esta situación con respecto a una en la que, por ejemplo, el gobierno y el público escogen g y g de manera simultánea. E. Información disponible: se refiere a la información que cada agente tiene sobre la función

Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava 3 objetivo del otro. Las expectativas del público, por ejemplo, son diferentes si conoce el valor de α en la función objetivo del gobierno con res´pecto a una situación en la que tiene información imperfecta sobre α (por ejemplo, no sabe exactamente qué tanto le importa al presidente complacer al público para asegurar sus votos). Dados estos elementos, hay dos dimensiones útiles para clasificar los juegos, porque definen estrategias de solución totalmente diferentes. 1.

Orden de las movidas: • Juegos Estáticos: Los jugadores mueven solamente una vez y de forma simultánea (o se mueve de forma secuencial, pero nadie puede observar las acciones de otros antes de tomar su propia decisión). • Juegos Dinámicos: Hay más de un período y por lo menos algún jugador tiene la oportunidad de observar los que el (los) otro(s) hace(n) antes de mover.

2.

Información disponible acerca de las funciones objetivo de los oponentes: • Información completa: Todos los jugadores conocen todas las funciones objetivos. • Información incompleta: Al menos algún jugador tiene información imperfecta sobre las funciones objetivo de al menos otro jugador.

La primera clasificación es importante porque determina si los jugadores toman en cuenta las acciones previas de sus oponentes. La segunda es importante porque determina si todos o algún jugador cuenta con toda la información del juego. Como resultado, los juegos se clasifican según el orden de las jugadas y la información disponible a cada uno de los jugadores sobre los objetivos de los demás. 1. 2. 3. 4.

Estáticos con información completa. Dinámicos con información completa. Estáticos con información incompleta. Dinámico con información incompleta.

Estas notas estudiarán los distintos tipos de juegos basadas en esa clasificación. “Solucionar” un juego consiste en encontrar el equilibrio que represente lo que una situación en la que es racional que los agentes se ubiquen. Entonces resulta importante definir el concepto de equilibrio, que es diferente para cada tipo de juego. Sin embargo, todos apuntan a lo mismo: una solución “estable”, es decir, una situación llegados a la cual los agentes quieran racionalmente quedarse en ella. Es indispensable el supuesto básico de la racionalidad: cada agente tiene un objetivo definido y actúa para alcanzar ese objetivo. No todo el mundo está de acuerdo con que los agentes sean racionales, pero gracias al supuesto de racionalidad es posible el modelaje económico: los modelos son simplificaciones de la realidad que permiten obtener conclusiones útiles. Sin Racionalidad la economía no tiene armas. Comentarios: • La Teoría de Juegos ofrece herramientas para modelar los problemas económicos. Como todos los modelos, los de TJ son abstractos y simplificados. • Las herramientas de la teoría de juegos permiten estudiar problemas complejos de manera coherente y ordenada, pero no necesariamente señalan la "solución correcta", ni llegan a una solución única. Como quedará claro más adelante, los conceptos de solución en TJ no pretenden

Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava 4 predecir lo que sucederá en un juego, sino buscar situaciones "estables". Este tipo de soluciones puede parecer subóptimo, pero es difícil llegar a conceptos de solución más plausibles dadas las dificultades que entrañan las interacciones estratégicas (note que estas interacciones implican que las restricciones de cada agente se "mueven" con las acciones de los otros; en esto radica la dificultad para solucionar los modelos). 1.3.

Definiciones y Notación

La notación que se usará de aquí en adelante al describir los elementos de un juego es la siguiente: A. Participantes (Cuántos y quiénes): i=1,..,N B. Acciones disponibles: • Acción: ai •

los participantes serán denotados con el índice i, donde

Espacio de Acciones: Es el conjunto de todas las acciones disponibles para el jugador i. Ai . Nótese que a i ∈ Ai . Cada jugador i tiene un conjunto de acciones disponibles Ai

C. Intereses de los jugadores (función objetivo): u i . Cada jugador i tiene una función objetivo ui. Es función de las acciones jugadas de todos los jugadores: u i ( a1 , a 2 ,..., a i ,..., a N ) o u i ( a i , a −i ) , donde a −i = {a1 , a 2 ,..., a i −1, ai +1, ,..., a N } . D. Orden de las acciones, reglas: aunque no existe una notación específica, debe estar bien claro en la descripción de cada juego. Por ejemplo: “primero juega i=1, luego i=2”, “todos juegan de manera simultánea”. E. Información disponible sobre las funciones objetivo de cada jugador: para cada jugador se especificará con qué información cuenta sobre los objetivos de los demás jugadores. Se supone siempre que cada jugador conoce su propia función objetivo. Definiciones: •

Estrategia: Plan de acción completo para un jugador dado. Incluye una acción del jugador para cada posible contingencia en que le corresponda actuar. Notación: estrategia si , espacio de estrategias S i . si ∈ S i .

•

Solución: Una solución a un juego siempre toma la forma de un conjunto de estrategias, una para cada participante. Cada solución esta asociada a un resultado (un conjunto de acciones, una para cada participante, y sus pagos asociados).

Ejemplo 1.2 Un profesor trata de decidir si prepara clase para el primer día de universidad, o simplemente entrega el programa. El profesor quiere dar clase, pero sólo si sus los estudiantes van. En caso contrario, prefiere no preparar la clase, porque sería un pérdida de tiempo. Por otro lado, sus estudiantes quieren tener clase, pero no perder el tiempo yendo a la Universidad si el profesor no prepara una clase; al fin y al cabo, el programa lo pueden bajar de internet. Entonces los estudiantes prefieren ir si creen que el profesor va a ir, de lo contrario no prefieren no ir. Tomemos el juego entre la profesora (Marcela) y su estudiante típica, Laura (es decir, i={Laura,Marcela], N=2). Las acciones disponibles a Marcela son preparar o no preparar, mientras que Laura puede ir o no

Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava ir:

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A Laura = { Ir, No Ir } A Marcela = { Preparar, No Preparar }

a 'Laura = IR

a 'Marcela = Preparar

' a 'Laura = No Ir

' a 'Marcela = No Preparar

Los pagos correspondientes, sobre los que ambas jugadoras tienen información perfecta, están dados a continuación:

u Laura ( Ir, Pr eparar ) = 5 u Laura ( Ir, No preparar ) = − 5 u Laura ( No ir, Pr eparar ) = − 1 u Laura ( No ir, No Pr eparar ) = 0 u Marcela ( Ir, Pr eparar ) = 5 u Marcela ( Ir, No preparar ) = − 5 u Marcela ( No ir, Pr eparar ) = − 1 u Marcela ( No ir, No Pr eparar ) = 0 Suponga primero que el juego es estático: Laura decide si ir a clase o no sin poder observar si Marcela preparó o no, mientras que Marcela toma su decisión antes de saber si Laura va a ir o no1. En este caso, el juego se juega una sola vez, cada quien escoge sin observar jugadas previas de la otra, así que hay una sola contingencia en la que cada jugadora toma su decisión: la única etapa del juego. Esto implica que una estrategia, que se definió arriba, es simplemente una acción. Entonces el espacio de estrategias de cada jugadora es igual al de acciones: Smarcela={Preparar, no preparar], SLaura={Ir, no ir} s'Marcela =prepaprar, s''Marcela =no preparar s'Laura =ir, s''Laura =no ir Una solución a este problema es un par de estrategias, una para Laura y otra para Marcela. Dado lo anterior, esto es equivalente a un par de acciones en este juego específico. Por ejemplo (ir , preparar) es un candidato a solución, donde hemos utilizado un par ordenado, con la estrategia de Laura primero, para denotar esa posible solución. El resultado asociado a ese candidato es: Laura va Marcela prepara la clase, y ambas reciben una utilidad de 5. Suponga ahora que Marcela decide antes que Laura, le informa a Laura su decisión y luego Laura decide. En otras palabras, considere ahora un juego dinámico. Laura esta llamada a actuar en dos escenarios (contingencias): cuando Marcela preparó, cuando Marcela No preparó. Las estrategias para Marcela siguen siendo acciones. En cambio, las estrategias para Laura ahora son pares de acciones, una para cada contingencia. Por ejemplo, denote una estrategia de Laura como (x, z): “jugar x si Marcela Prepara, jugar z si Marcela No Prepara”. Por ejemplo, (Ir, No Ir), significa “Ir si Marcela Prepara, No Ir si Marcela No Prepara”. Las estrategias y espacios de estrategias de Laura entonces cambian, mientras los de Marcela son iguales a los del juego estático. Smarcela={Preparar, no preparar], SLaura={(ir, ir), (ir, no ir), (no ir, ir), (no ir, no ir)} s'Marcela =prepaprar, s''Marcela =no preparar 1

¿En qué sentido hay aquí interacción estratégica? Aún más, ¿cómo podemos afirmar que las acciones de un jugador afectan las del otro, si ninguno observa lo que hace su contraparte antes de tomar su decisión? Note que lo clave es que los pagos de cada uno dependen de las acciones de ambos. En ese sentido, lo que cada jugador hacer depende de qué anticipe que el otro va a hacer.

Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava s'Laura =(ir, ir), s''Laura =(ir, no ir), s'''Laura =(no ir, ir), s*Laura =(no ir, no ir)

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Una solución a este problema es un par de estrategias, una para Laura y otra para Marcela. En este caso, esto no es lo mismo que un par de acciones. Por ejemplo [(no ir, ir), preparar) es un candidato a solución (donde listamos primero la estrategia de Laura en la posible solución y usamos la notación introducida arriba para una estrategia de Laura, es decir el primer componente es lo que haría Laura si Marcela va y el segundo lo que haría si Marcela no va). El resultado asociado a ese candidato es: Marcela prepara la clase y Laura no va, con lo que Marcela obtiene una utilidad de -5 y Laura una de -1. La pregunta que surge es: ¿Por qué nos hacer las estrategias tan complicadas? Porque, por ejemplo, lo que Marcela haga depende de lo que cree que Laura va a hacer en respuesta a lo que Marcela hizo (en un juego dinámico). Por esta razón, es necesario caracterizar lo que Laura haría en cada escenario posible, para poder encontrar la estrategia óptima de Marcela. Note: En juegos estáticos estrategias y acciones son equivalentes. En juegos dinámicos las estrategias son más complejas e incluyen varias acciones, una para cada contingencia a la que el jugador se enfrenta. 1.4.

Supuestos estándar:

El supuesto básico de la teoría de juegos es la racionalidad: cada agente tiene un objetivo bien definido y actúa para alcanzar dicho objetivo. Este supuesto ha sido discutido, pero es la herramienta báscia para poder adelantar cualquier análisis. En términos de información sobre elementos distintos a la función objetivo, típicamente se supone información común (de dominio público): todas las reglas del juego (todos los elementos excepto las funciones objetivo), son conocidos por todos. Aún más cada jugador sabe que los demás conocen esas reglas, y sabe también que los demás saben que él sabe las reglas, etc, etc. 1.5.

Representaciones de juegos:

Las REPRESENTACIONES son formas de esquematizar un juego para facilitar su análisis. Los juegos se pueden representar de dos maneras: (1) representación estratégica o forma normal, y (2) representación extensiva. 1.

Representación estratégica o en forma normal:

• •

Lista de Jugadores. Espacios de Estrategias {S1 , S 2 ,..., S N } .

•

Funciones de ganancias {u1 , u 2 ,..., u N } .

El juego se denota de manera simbólica G = {S1 , S 2 ,..., S N ; u1 , u 2 ,..., u N } Con pocos jugadores (en general con 2) es útil hacer una representación gráfica llamada Matriz de pagos así: Jugador 2 Jugador 1

s'2

s'2'

...

s*2

s1'

( u1 , u 2 )

( u1 , u 2 )

( u1, u 2 )

( u1, u 2 )

'' 1

( u1 , u 2 )

( u1 , u 2 )

( u1 , u 2 )

( u1 , u 2 )

s

...

( u1 , u 2 )

Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava ( u1 , u 2 ) ( u1, u 2 ) ( u1, u 2 )

s1*

( u1 , u 2 )

( u1 , u 2 )

( u1, u 2 )

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( u1, u 2 )

Es clave notar que en cada casilla se lista primero el pago del jugador cuyas estrategias aparecen en las filas, y luego el del jugador cuyas estrategias están en las columnas. Esta es una convención básica. Por ejemplo, en el juego estático entre Marcela y Laura, la matriz quedaría de la forma: Laura

Ir

No Ir

(5,5) (-1,-5)

(-5,-1) (0,0)

Marcela Preparar No Preparar

Podemos también representar así un juego dinámico. Por ejemplo, en el juego en donde Marcela decide primero seguida por Laura: Laura Marcela Prepara No Prepara

( Ir , Ir )

( Ir, No Ir)

( No Ir , No Ir)

(No Ir, Ir)

( 5,5 ) ( -1,-5 )

( 5,5 ) ( 0,0 )

( -5,-1 ) ( 0,0 )

( -5,-1 ) (-1,-5 )

Note que los pagos en cada caso corresponden al resultado (acciones) asociadas con el conjunto de estrategias correspondientes. Por ejemplo, la casilla inferior derecha se refiere a la combinación [No preparar, (no ir, ir)], es decir, Marcela no prepara, Laura no va si Marcela prepara y va si Marcela Prepara. El resultado de esta combinación es que Marcela no prepara y Laura va, lo que genera pagos de -1 para Marcela y -5 para Laura. 2.

Representación extensiva:

• •

Lista de Jugadores. Cuándo mueve cada jugador, jugadas (acciones) disponibles en su turno {A1 , A2 ,..., AN } .

• •

Información disponible en cada turno. Funciones de pago. {u1 , u 2 ,..., u N } .

La representación pictórica es un “árbol de juego”, útil sólo cuando hay pocos jugadores y pocas acciones para cada jugador. Cada punto donde empieza una rama es un “nodo de decisión”, donde el jugador indicado tiene el turno de mover. Los nodos encerrados en un circulo son un mismo conjunto de información, donde el jugador que tiene el turno no sabe si esta en uno u otro nodo.

Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava

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Conclusión: • Todo juego (estático o dinámico) puede ser representado en ambas formas. La representación no es definitiva para la naturaleza del juego. • Ambas representaciones pueden ser simbólicas, o pictóricas. Lo último es útil para números pequeños de i’s y de ai’s. • Como podrá darse cuenta, usar la forma “normal” es más útil para juegos estáticos, en cambio la forma extensiva resulta con frecuencia más conveniente para juegos dinámicos. Nota: Algunos autores clasifican los juegos por representaciones. Pero, como ya mostramos, esas representaciones no son inherentes a la naturaleza del juego, simplemente formas de escribirlo. Entonces resulta más natural clasificarlos como lo haremos aquí, de acuerdo con el orden de las jugadas y la información disponible a cada jugador. Debe tener en cuenta que así una representación sea más útil que otra, el resultado debe ser en todo caso el mismo.