UNIDAD 2

OBJETIVO:

Resolverá problemas o situaciones a partir de su representación geométrica y enfatizando el rigor lógico del lenguaje algebraico donde aplique las propiedades de igualdad, operaciones con polinomios de una variable, productos notables, factorización y simplificación de fracciones algebraicas, en un clima de creatividad y respeto

1

2.1. PROPIEDADES DE LA IGUALDAD IGUALDAD: PROPIEDADES Es la expresión de que dos cantidades o PROPIEDAD REFLEXIVA: expresiones tienen el a = a siempre es cierto mismo valor.

El signo utilizado es =

“Si un número es igual a otro, ést es igual al primero”

ADITIVA Para todo número real a, b, c Si

xy = xy, 2x = 2x

Si 2x = 10 entonces 10 = 2x; Si 10/2 = 5 entonces 5= 10/2

Si a = b y entonces a = c

b = c

“Si un número es igual a otro y éste a su vez es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero”.

SUSTRACTIVA Para todo número real a, b, c Si: a=b

MULTIPLICATIVA Para todo número real a, b, c

Entonces: a - c = b - c

Entonces a ⋅ c = b ⋅ c

Si

a=b

a=b

DIVISORA Para todo número real a=b

Entonces

c≠ ≠0

a b = c c

-

PROPIEDAD TRANSITIVA:

Entonces a + c = b + c

Si

4 = 4, 25 = -25 ,

“Todo número es igual a si mismo”

PROPIEDAD SIMÉTRICA: Si a = b, entonces b = a

IMPORTANTE Toda igualdad se conserva siempre que se realice la misma operación y con los mismos números en ambos miembros de la misma, excepto la división entre cero

EJEMPLO

SUSTITUCIÓN Para todo número real Si: a=b Entonces “a” puede sustituir a “b” en cualquier expresión algebráica, dando lugar a una expresión equivalente.

2

2.2. PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Y ALGEBRÁICOS CONOCIMIENTOS PREVIOS. BASE Y EXPONENTE El exponente es el pequeño número que se coloca en la parte superior derecha de un número o cantidad llamada base. Se expresa de la siguiente forma ¿Para qué sirve el exponente? Para indicar el número de veces que se toma la base como factor; ó, las veces que la base se multiplica por sí misma.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

FORMATO

a

n

Exponente

Base

EJEMPLOS: 1).- 35 = (3)(3)(3)(3)(3) = 243 Potencia

Potenciación

2)

x5 = (x) (x) (x) (x) (x)

3)

(2x)3 = (2x) (2x) (2x) = 8x3

POTENCIACIÓN POTENCIA Es el proceso mediante el Es el resultado de desarrollar cual se obtiene la potencia una potenciación de un número

2.2.1. REGLAS DE LOS EXPONENTES LEYES DE LOS EXPONENTES

(a m )(a n ) = a m + n

a −n =

am = a m− n m>n n a am 1 = n −m n>m n a a am = a m−m = a 0 = 1 m a

n

a

m

(a )

m n

1 an

=a

m n

= a mn

MULTIPLICACIÓN

En la multiplicación los exponentes se SUMAN, respetando los signos, si tienen la misma base.

(a m )(a n ) = a m + n 3

Ejemplo: Analiza los siguientes ejemplos; COMPRENDE el procedimiento para poder APRENDERLO, pues el objetivo en todos los casos es APRENDER. (27)(25) = 27+(5) = 27+5 = 212 = (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)= 4096 (45)(4-3) = 45+(-3) = 45-3 = 42 = (4) (4) = 16

Note cómo se utiliza el exponente, es muy importante.

3-2 • 36 = 3-2+(6) = 3-2+6 = 3 4 = ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )= 81 En forma algebraica, es decir utilizando letras:

a2 (a6) = a2+6 = a8 xm (x5) = xm+(5) = xm+5 y4 (ym-2) = y4 + ( m -2)

= y4+m -2 = ym+2

DIVISIÓN (2 literales máximo)

En la división los exponentes SE RESTAN, respetando sus signos, si tienen la misma base.

am = a m−n n a Ejemplos: Analiza y comprende:

65 = 65−( 4 ) = 65−4 = 61 = 6 64 97 = 97 −( 4) = 9 7− 4 = 93 = (9) (9) (9) = 729 94 3−3 = 3−3−( −6 ) = 3−3+6 = 33 = (3)(3)(3) = 27 3− 6 En forma algebraica:

4x6 = 2 x 6 − ( 3) = 2 x 6 − 3 = 2 x 3 2 x3

En este, las bases iguales es “x”

x 8 y −3 = x 8−( 5) y −3−( −5 ) = x 8−5 y −3+5 = x 3 y 2 x 5 y −5

En éste, las bases iguales son “x” e “y”.

(2 x) −2 = (2 x) − 2−( −4) = (2 x) − 2+ 4 = (2 x) 2 = (2 x)(2 x) = 4 x 2 (2 x) − 4

En éste, las bases iguales es “2x”

EXPONENTE CERO. El exponente CERO se origina al dividir dos cantidades iguales.

am = a m−m = a 0 = 1 m a 4

Cualquier número elevado a la CERO es igual a 1.

Por ejemplo: En la división

7 = 1 el resultado obviamente es la unidad (1) 7

Viendo la misma operación utilizando la ley de los exponentes correspondiente (división), obtendremos lo

7 71 = 1 = 71−1 = 7 0 esto da origen al exponente CERO. 7 7

siguiente:

Dado que las operación es la misma, podemos afirmar lo siguiente:

70 = 1 El cual es aplicable a cualquier cantidad, en forma general la expresión: m m−m 0 m

a =a a

= a =1

Ejemplos: a) 20 0 = 1 porque proviene de dividir 20 entre 20. Porque cualquier valor que vaya a tener “x” se divide entre sí mismo. b) x 0 = 1 3 4x c) = 4 0 x 0 = 1 ⋅ 1 = 1 en este caso podemos hacer la siguiente eliminación, tal como estamos 4x3 4x 3 acostumbrados a realizar: =1 4x 3

d)

5x = 5 x 0 = 5 ⋅ 1 = 5 ó lo que es lo mismo: x

5x = 5 ( se eliminan las “x”) x

Así, ya podemos aplicar esta ley, y donde se origine un exponente cero, poner en su lugar su equivalente que es el UNO. EXPONENTE NEGATIVO (Máximo 2 literales)

El exponente negativo como resultado de alguna multiplicación o división.

a

−n

Ejemplo:

1 = n a

5 x −3 =

Ejemplo: corrige

5 x3

notar que solo se cambia de

posición la expresión que tenga el exponente negativo

-4

Corrija la siguiente expresión x Solución: Escriba el numero 1 y divídalo entre el numero del problema, pero cámbiele el signo al exponente.

=

5

Ejemplo 1: x-3y5z-6 =

Ejemplo 2: -3x-7y9 =

1 y5 1 y5 ⋅ ⋅ = x3 1 z 6 x3 y 6 − 3 1 y9 − 3 y9 3 y9 ⋅ 7⋅ = 7 =− 7 1 x 1 x x

3 x 7 y −8 = 3 x 7 − ( 4 ) y −8 − ( −3) = 3 x 7 − 4 y −8 + 3 = 3 x 3 y − 5 x 4 y −3

Ejemplo 3:

3 x 7 y −8 3 x 3 1 3x3 3 −5 = 3x y = ⋅ ⋅ 5 = 5 1 1 y y x 4 y −3

Solución

EJERCICIO: Corrige el exponente negativo a) y-2

b) b-5

c) x-2y-2

d) k-4

e) a-4z-4

Ejemplo: =

=

=

1 1 = 4 3 2 3 x x y x y 2

EJERCICIO

2.-

1.-

3.-

4.-

5.-

EXPONENTE FRACCIONARIO

El exponente fraccionario proviene de un radical ( Raíz ). Indice

n Símbolo Radical

a

m

Cantidad subradical ó Radicando

=a

m n

El índice “n” indica el tipo de raíz que se trata, si es n =3, es raíz cúbica, si es n = 5 es raíz quinta, si NO aparece es n = 2 y es raíz cuadrada, etc.

La “m” representa el exponente del radicando. Ahora, en la potencia fraccionaria, notar que el numerador siempre es “m” (exponente del radicando) y el denominador siempre es “n” (índice de la raíz). En caso que el exponente fraccionario resultante se puede dividir y da entero, se procede a efectuar la división.

6

EJEMPLOS: Convierte las siguientes radicales a una potencia fraccionaria. 2 3

32 = 3 3 1

El 5 es el radicando y su exponente es 1, No aparece ningún índice, entonces n =2.

5 = 52 3 8

8

8 =8

4

38 = 3 4 = 32 = (3)(3) = 9

3

En este caso, el exponente fraccionario SI se puede dividir 8/4 = 2, entonces se efectúa la división y se desarrolla la expresión resultante.

8

Algebraicamente: 1

2 x = 4 ( 2 x) = ( 2 x) 4

4

El radicando es (2x) y SU EXPONENTE es 1. El índice de la raíz es 4

4

53 84 = 5 ⋅ 8 3 3

El 5 NO está afectado por la radical, por lo tanto no tendrá exponente fraccionario. 12 3

(3 x) = (3 x) = (3x) 4 = (3 x)(3 x)(3x)(3 x) = 81x 4 12

POTENCIA ELEVADA A OTRA POTENCIA

(Máximo 2 literales)

Es cuando una potencia, se eleva a otra potencia; los exponentes se MULTIPLICAN; y se expresa de la siguiente manera:

(a )

m n

= a mn

Ejemplos: Analiza y comprende los siguientes ejercicios:

a)

(3 2 ) 3 = 3( 2 )( 3) = 3 6 = (3)(3)(3)(3)(3)(3) = 729

b) (5 2 ) 2 = 5 ( 2)( 2) = 5 4 = (5)(5)(5)(5) = 625 Algebraicamente:

a) b)

( x 4 ) 3 = x ( 4 )(3) = x12

[(2 x) ] = [2 x] 2 3

( 2 )( 3)

= [2 x ] = [2 x ][2 x ][2 x ][2 x ][2 x ][2 x ] = 64 x 6 6

7

2.2.2. OPERACIONES DE POLINOMIOS CON UNA VARIABLE. ALGEBRA: Es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad del modo mas general posible. Para ello, se basa en las letras, números, signos operativos, signos comparativos, signos de agrupación, etc.

TERMINO: Es la expresión que consta de símbolos no separados por los signos de + o de - . es decir se están multiplicando. 1 Ejemplos: 2a , 5 x , x 2 , − 3 x 3 y 4 , etc. 3 ELEMENTOS DE UN TERMINO COEFICIENTE NUMERICO

EXPONENTE

- 8 x y3 SIGNO

PARTE LITERAL

Aquí se pueden observar claramente los elementos que todo término contiene. Notas importantes: - Si el coeficiente numerico no se ve, es UNO. - Si el exponente no se ve, en este caso en la letra x, el exponente es UNO. - Si el signo no se ve, es POSITIVO

TERMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos que tienen la misma parte literal (mismas letras), afectada por los mismos exponentes. EJEMPLOS: A) 2a, 3a, ½ a, ... B) -5a8b2, 3a8b2, ¾ a8b2 , ... A)

-xm+1, 3xm+1, ½ xm+1a, ...

la letra “a” esta repetida en todos, y el exponente es 1 en todos los casos la letra “a” y “b” estan repetida en todos, y el exponente es 8 y 2 respectivamente y en todos los terminos la letra “x” esta repetida en todos, y el exponente es m+1 en todos los términos

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS MONOMIOS: Son aquellas expresiones algebraicas que constan de un solo término. 2x, ½ x3y4, -8x7, 3, xy3, etc. POLINOMIOS: Son aquellas expresiones algebraicas que constan de dos o más términos. 2x – 3 ; x3 - 3x6 – 5 ;

2 – x + y - 3x2 + 2xy3; etc.

BINOMIOS: Son polinomios que constan de dos términos 2x –y, 5xy + ½ xy3; -8x3y –5y ; ½ -y ; etc. 8

TRINOMIOS: Son polinomios que constan de tres términos x – y –5 ; 5x2 + 3x – 5; 8x3 – 3x + 6, 6x9 + 3x + 3 , etc.

SUMA O ADICION Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebráicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma)

CARÁCTER - En aritmética significa aumento. - El Álgebra es más general, puede significar aumento o disminución. REGLA GENERAL Para sumar dos o más expresiones algebraicas, se escriben unas a continuación de otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay. SUMA DE POLINOMIOS Para realizar la suma de polinomios, se colocan los polinomios unos debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columnas, se hace la reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos. EJEMPLO: 1.- Sumar 5a, 6b y 8c Solución:

5a + 6b + 8c

2.- Sumar 3a2b, 4ab2, a2b,7ab2 y 6b3 Solución: se acomodan en terminos semejantes:

3a2b + a2b + 4ab2 + 7ab2 + 6b3 = = 4a2b + 11ab2 + 6b3 Solución

3.- Sumar 3a y -2b Solución: hay que cuidar el signo de los términos, para ello es conveniente utilizar los signos de agrupación: 3a + (-2b) = 3a - 2b

4.- Sumar 7a, -5b –15a, 9b, -4c, 8 Solución: 7a + (-15a ) + (-5b) + 9b + ( -4c) + 8 =

Eliminando los signos de agrupación: = 7a –15a - 5b + 9b - 4c + 8 = -8a + 4b - 4c + 8 9

SUMA DE POLINOMIOS EJEMPLOS: 1.- Sumar 5x – 7y + 8 y -y + 6 - 4x Solución: Se acomodan en columnas de términos semejantes, con su propio signo: Se realiza las operaciones que indiquen los signos de cada 5x – 7y + 8 columna, en la primera columna es una resta (tiene signos - 4x – y + 6 diferentes), en la segunda es una suma, (tiene signos iguales) y en la tercera es una suma.

x - 8y +14

Solución

EJERCICIO 11 1.- 3a +2b -c ; 2a + 3b + c 2.- 7a - 4b + 5c ; -7a + 4b – 6c 3.- m + n – p ; -m – n + p 4.- 7x – 4y + 6z; -5x + 24y + 2z 5.- x3 + 2x ; x2 + 4 6.- -3mn +4n2 ; -5m2 - 5n2 7.- -5x2y + x3-y3 ; 2x3 –4xy2 –5y3

2.3.2. RESTA O SUSTRACCIÓN Es la operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia) REGLA Escriba el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay. CARÁCTER GENERAL - En aritmética significa disminución - El álgebra es más general, puede significar disminución o aumento. RESTA DE POLINOMIOS Se colocan en columnas de terminos semejantes, se coloca el minuendo y al sustraendo se le cambian los signos, y se resuelve la operación con los signos que resulten. EJEMPLOS 1.- De –4 restar 7 Solución: -4 - ( 7 ) = -4 –7 = -11 2.- Restar 4b de 2a Solución: 2a - 4b 3.- Restar 4a2b de –5a2b Solución: -5a2b – (4a2b )= -5a2b – 4a2b = -9a2b

10

RESTA DE POLINOMIOS 4.- De 4x –3y + z restar 2x + 5z – 6 Minuendo Solución: 4x - 3y + z Sustraendo, note que se le cambiaron los signos!! -2x - 5z + 6 Solución

2x

-3y - 4z +6

Se colocan en columnas de términos semejantes, pero al sustraendo se le cambian los signos a cada uno de sus términos. Se resuelve la operación que resulta con los signos que tienen al final.

EJERCICIO 12 restar: -5x + 6 1.- De: x2 - 3x 2.- De: x + y - z restar: -x – y + z 3.- De x4 + 9xy3 – 11y4 restar: –8x3 –6x2y2 +20y4 4.- Restar: -5a + b de: –7a + 5 5.- Restar -x3 –x – 6 de: -8x2 + 5x - 4 6.- Restar xy2 – 6y3 + 4 de 6x3 –8x2y – 6xy2 7.- De: a3 restar: -8a2b + 6ab2 –b3 8.- De: x2 – 1 restar: xy +y2 9.- Restar: 5x3 –25x de: x4 + x2 + 50 2 2 10 Restar: m n + 7mn – 3n3 de: m3 -1 2.3.3. SIGNOS DE AGRUPACION Los signos de agrupación son: ( ) Paréntesis ordinario o paréntesis circular [ ] Paréntesis angular o corchetes { } Llaves  barra o vínculo USOS DE LOS SIGNOS DE AGRUPACION - Se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellas deben considerarse como un todo, es decir, como una sola cantidad. - Todos los signos de agrupación se suprimen o eliminan del mismo modo. REGLA GENERAL PARA SUPRIMIR LOS SIGNOS DE AGRUPACION 1. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + , se deja el mismo signo que tengan cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. 2. Para suprimir signos de agrupación precedidas del signo - , se cambia el signo de cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. EJEMPLOS: Simplifique 1.-

- (x2 - y2) + xy + (-2x2 + 3xy) - [-y2 + xy] = - x2 + y2 + xy -2x2 + 3xy + y2 - xy = - x2 - 2x2 + xy + 3xy - xy + y2 + y2 =

Se suprimen los signos de agrupación Se juntan los términos semejantes

11

= - 3x2 + 3xy + 2y2

Expresión ya simplificada. Solución

2.- 2b - {-x + b -1} - {b + x - 3} = 2b + x – b +1 - b – x + 3 = 2b – b – b + x – x + 1 + 3 = = 4 EJERCICIO13:

Simplifica los siguientes:

3.-

- (a+b) +(-a - b) – (-b+a) + (3a+b) =

4.-

x2 + y2 – ( x2 + 2xy + y2) + [-x2 + y2] =

5.-

a + b – (-2a + 3) =

6.-

x – ( x - y) =

7.-

2a + [ a - (a + b ) ] =

2.3.4. MULTIPLICACION Los elementos se llaman Multiplicando y multiplicador. La operación consiste en hallar una tercera cantidad llamada PRODUCTO. El multiplicando y el multiplicador se llaman FACTORES del producto. Ley de los exponentes:

(a m )(a n ) = a m+ n

MONOMIO POR MONOMIO De acuerdo a la ley de los exponentes, los exponentes se suman respetando Ejemplo: sus signos

1.-

( -xy2) (-5mx4y3) = + 5 m x1+4 y2+3 = 5 m x5 y5 El signo + es por la ley de los signos (-1)(-5) = +5

Producto

Las letras e escriben en orden alfabético

2.- ( -15 x4y3) (-16a2x3) = 240 a2x4+3y3 = 240 a2 x7y3 EJERCICIO 14 Multiplica los siguientes: 1.- (-5x3y) (xy2) = 2.- (a2b3) (3a2x) = 3.- (-x2y3) (- 4y3z4) = 4.- (3a2bx) (7b3x5) = 12

Ley de los signos

+x+=+ +x- =- x+=- x-=+

BINOMIO POR MONOMIO Ejemplo: Puede verse claramente el orden en que se está multiplicando.

- 2X3 ( 3X4 – 4XY3)= - 2X3 ( 3X4 – 4XY3) = - 6X7 + 8 X4Y3 EJERCICIO 15: Resuelve: 1.2.3.-

(3x3 – x2) (-2x) = (8x2y – 2ax2) (2ax3) = (5a - 7b) (3b) =

TRINOMIO POR MONOMIO Ejemplo: (-4m3x) (m4 – 3m2n2 +7n4) = -m7x + 12 m5n2x – 28 m3n4x

EJERCICIO 16: 1.2.3.4.-

(-2x) (x2 – 4x + 3)= (x5 – 6x3 –8x) (3a2x2) = (x3 -4x2y + 6xy2 ) (ax3y) = (a3 –5a2b – 8ab2) (-4a4m2) =

BINOMIO POR BINOMIO

Ahora se puede observar el resultado de la multiplicacion del binomio por binomio. Nuestro ultimo paso es acomodar los términos. = 13

EJERCICIO 17: 1.2.3.4.5.6.-

(1 + x)(3 + 2x) (2 + 5x)(11 + 12x) (x - 3)(10x + -20) (x2 - 4)(x2 - 4) (x + y)(x + y) (x - y)(x + y)

2.3.5. DIVISIÓN Dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor) se halla el otro factor

am = a m−n Ley de los exponentes: n a

Ley de los signos

+÷+=+ +÷- =- ÷+=- ÷-=+

MONOMIO ENTRE MONOMIO Ejemplo: a) Divide -8a2x3 entre -8a2x3 Solución:

− 8a 2 x 3 − 8 a 2 x 3 = ⋅ ⋅ = 1 ⋅ a 2 − 2 x 3 −3 = −1 ⋅ a 0 ⋅ x 0 = −1 ⋅ 1 ⋅ 1 = −1 − 8a 2 x 3 − 8 a 2 x 3

b) Divide 54x2y2z3 entre -6xy2z3 54 x 2 y 2 z 3 54 2 −1 2 − 2 3− 3 = ⋅ x ⋅ y ⋅ z = −9 xy 0 z 0 = −9 x ⋅ 1 ⋅ 1 = −9 x 2 3 − 6 xy z −6 c) Divide -81x4y2z5 entre 9x2y2z8 − 81x 4 y 2 z 5 − 81 4 − ( 2) 2 − ( 2) 5 − (8) = ⋅x ⋅y z = −9 x 4 − 2 y 2 − 2 z 5 −8 = −9 x 2 y 0 z − 3 2 2 8 9x y z 9 − 81x 4 y 2 z 5 − 9 x2 1 9x2 −3 2 0 −3 2 = − = − = ⋅ ⋅ = − x y z x z 9 9 ( 1 ) z3 1 1 z3 9x2 y 2 z8

POLINOMIO ENTRE MONOMIO Ejemplo: Divide 4x2 – 10x6 - 5x4 entre 2x3 Se puede expresar de la siguiente forma:

4 x 2 − 10 x 6 − 5 x 4 2x 3

4 x 2 10 x 6 5 x 4 Se resuelve de la siguiente forma: − − = separando y dividiendo en forma individual. 2x 3 2x 3 2x 3 14

4 x 2 10 x 6 5 x 4 5 5 5 − − 3 = 2 x 2−( 3) − 5 x 6−( 3) − x 4−( 3) = 2 x 2−3 − 5 x 6−3 − x 4−3 = 2 x −1 − 5 x 3 − x 3 3 2 2 2 2x 2x 2x 4 x 2 10 x 6 5 x 4 2 1 5 2 5 − − 3 = ⋅ − 5x 3 − x = − 5x 3 − x 3 3 1 x 2 x 2 2x 2x 2x

EJERCICIO 18: a) Divide x3 – 4x2 +x entre x b) Divide 3a3 –5ab2-6a2b3 entre -2a entre a c) Divide a2 - ab TRINOMIO ENTRE BINOMIO Ejemplo: Divide: 3x2 – 8 +2x entre x + 2 2

Solución: Primero de acomoda el trinomio en forma descendente: 3x +2x – 8 Este trinomio es el que va a ser dividido, por lo tanto es el dividendo, y se coloca dentro de la “casita” que indica división. X+ 2 ya está acomodado en forma descendente, es el divisor, es el que divide, y va fuera de la “casita”. Primer cociente:

3x 2 = 3x 2−1 = 3x x

Segundo cociente:

− 4x = −4 x 1−1 = −4 x 0 = −4(1) = −4 x

3x - 4 x + 2

3x2 + 2x - 8 -3x2

Note que los productos que se van obteniendo, se cambian el signo al colocarlos, ¿porqué? Porque es el sustraendo, y por ello debe cambiarse de signo.

- 6x - 4x - 8 + 4x + 8 0

Cociente: 3x - 4 Residuo: 0 EJERCICIO 19 DIVIDIR: 1.- a2 +2a - 3 entre a + 3 2.- a2 – 2a - 3 entre a + 1 3.- x2 – 20 + x entre x + 5 4.- m2 – 11m + 30 entre m – 6 5.- x2 + 15 – 8x entre 3 - x 6.- 6 + a2 + 5a entre a + 2 7.- 6x2 – xy – 2y2 entre y + 2x 8.- -15 x2 - 8y2 + 22xy entre 2 9.- 14x –12 +22x entre 7x -3

2y – 3x 15

2.2.3. PRODUCTOS NOTABLES Productos Notables Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación 2.4.1. BINOMIO AL CUADRADO ALGORITMO: 1.- Identifique que sea un binomio. 2.- Obtenga el cuadrado del primer término, es positivo. 3.- Obtenga el duplo o doble del producto del primero por el segundo término; Si el binomio es suma póngale el signo positivo; Si el binomio fue resta póngale el signo negativo. 4.- Obtenga el cuadrado del segundo término, es positivo. El resultado se llama Trinomio Cuadrado Perfecto.

(a+b)2 = a2 + 2ab+b2 EJEMPLO: Desarrolla (3x2 - 2y3)2 = (3x2 + 2y3)2

Binomio al cuadrado

=

(3x2)2

+

2(3x2)(2y3) + Doble del producto de la primera por la segunda cantidad

Cuadrado de la primera cantidad

(2y3)2 =

9x4 + 12x2y3 + 4y6

Cuadrado de la segunda cantidad

Trinomio Cuadrado perfecto

EJERCICIO 20

B) (a-b)2 = a2 - 2ab+b2 Ejemplo: (2x5 - 2y2)2 Binomio al cuadrado

=

(2x5)2

Cuadrado de la primera cantidad

-

2(2x5)(2y2) Doble del producto de la primera por la segunda cantidad

+

(2y2)2 = Cuadrado de la segunda cantidad

16

4x10 - 8x5y2 + 4y4 Trinomio Cuadrado perfecto

EJERCICIO 21

2.4.2. BINOMIOS CONJUGADOS O PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a + b)(a - b) = a2 - b2 ALGORITMO: 1.- Identifique que sean binomios conjugados, un par de ellos son iguales y el otro par son simétricos o de signos opuestos. 2.- Multiplique los términos que son iguales, el signo del resultado es positivo. 3.- Multiplique los términos simétricos ó de signos opuestos; el signo del resultado es negativo. El resultado se llama Diferencia de Cuadrados Perfectos.

También algunos autores le indican que los hagan de la siguiente forma: La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo

Ejemplo: Desarrolla (3x3 – 8) (3x3 + 8) = (3x3 – 8) (3x3 + 8) =

Se identifica porque tiene dos términos iguales (3x3) y dos términos simétricos +8 y -8.

Su desarrollo se muy simple:

(3x3 – 8) (3x3 + 8) = (3x3)(3x3) - (8)(8) Binomios conjugados

Producto de los términos iguales, siempre en primer lugar

=

Producto de los términos simétricos, siempre en segundo lugar

EJERCICIO 22

17

9x6 - 64 Diferencia de cuadrados

2.4.3. BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMUN (x + a) ( x + b) ALGORITMO: 1.- Identifique que sean producto de binomios con un término común. 2.- Multiplique los términos comunes, el signo será positivo. 3.- Haga la suma, respetando los signos, de los términos no comunes y multiplíquelo por el término común, el signo dependerá del resultado de la suma. 4.- Multiplique los términos no comunes. El resultado es un trinomio de la forma: x 2 + bx + c ó ax 2 + bx + c Ejemplo: Desarrolla (x2 + 5)(x2 - 8) = Se identifica porque los factores contienen UN término común, en este caso: x2 Desarrollo: Términos comunes

(x2 + 5)

Producto de los términos comunes

Términos comun

(x2 - 8) = (x2)(x2) + (+5 – 8 )(x2) + (5) (-8) = x4 + (-3)x2 + (-40) = x4 –3x2 -40

Términos NO comunes

Suma o resta, de los términos no comunes, depende de los signos de los terminos no comunes

EJERCICIO 23

18

Producto de los términos No comunes

Resultado: Trinomio de la forma x2 + bx + c

2.2.4. TRIANGULO DE PASCAL Y BINOMIO DE NEWTON El binomio de Newton nos es útil para determinar la potencia de un binomio a cualquier potencia Entera y positiva. El triángulo de Pascal nos sirve para determinar los coeficientes numéricos del desarrollo de los términos del binomio de Newton. TRIANGULO DE PASCAL Binomios

Triángulo de Pascal Contiene los coeficientes del desarrollo de cada binomio

(a + b ) 0

1

(a + b)1

1

(a + b ) 2

1

(a + b)3

1

( a + b) 4

1

( a + b) 5

1

(a + b)6

1

( a + b) 7 ( a + b )8

1 1

5

7 8

3 4

6

1 3

6 10

15 21

28

1 2

10 20

35 56

1 4 15

35 70 …

1 5

1 6

21 56

1 7

28

1 8

1

ALGORITMO: 1.- Identifique que sea un binomio y que el exponente sea entero. 2.- Del Triángulo de Pascal, determine la fila que le corresponde de acuerdo al exponente del binomio 2.- El primer término elévelo a la potencia del binomio, su coeficiente numérico según el triángulo de Pascal, es 1. 3.- Si es una suma todos los términos son positivos, si es una resta los términos llevarán signos alternados, el primer término del resultado lleva el signo del primer término del binomio. 4.- Escriba el segundo coeficiente tomado del triángulo de Pascal, multiplique por los dos términos del binomio, el exponente del primero baja de uno en uno hasta cero, y el segundo empieza en segundo término hasta alcanza el exponente del binomio. 5.- Desarrolle cada término.

EJEMPLO 1:

(2 x 2 − 3x) 5 = (2 x 2 ) 5 − 5(2 x 2 ) 4 (3x) + 10(2 x 2 ) 3 (3x) 2 − 10(2 x 2 ) 2 (3x) 3 + 5(2 x 2 )(3x) 4 − (3x) 5 (2 x 2 − 3x) 5 = 32 x10 − 240x 9 + 720x 8 − 1080x 7 + 810 x 6 − 243x 5

19

2.2.5. FACTORIZACIÓN FACTORIZACION La factorización consiste en buscar los factores que dan origen al polinomio original.

FACTORES Se denominan FACTORES O DIVISORES de una expresión algebraica que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión

DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores.

2.2.5.1 FACTOR COMUN Factor común monomio ALGORITMO 1.- Calcule el MCD ó Factor común monomio de todos los términos del polinomio. 2.- Escriba el factor común, abra un paréntesis y coloque en él los cocientes de dividir cada término del polinomio entre el Factor común. Ejemplo: Factoriza el polinomio 36x3y6 + 28 ax2y5 - 20 bx4y3. 1.- Primero se obtiene el MCD ó Factor Común de los términos. 36, 28, 20 18, 14, 10 9, 7, 5

2 2

El factor Comun o MCD es: MCD = 2(2) x2y3 MCD = 4 x2 y3

letras repetidas con su menor exponente: x2 y3 2.- teniendo el factor comun o MCD de los términos, procede a factorizar. MCD = 4 x2 y3 Cada término se divide entre el Factor Comun Expresión factorizada

36x3y6 + 28 ax2y5 - 20 bx4y3 = 4 x2 y3 ( 9xy3 + 7ay2 - 5x2 ) 36 x 3 y 6 = 9 xy 3 4x2 y3

28ax 2 y 5 = 7 ay 2 4x2 y3

− 20bx 4 y 3 = −5 x 2 4x2 y3

Factor Comun ó MCD: 4 x2 y3

Factor común polinomio ALGORITMO 1.- Determine el MCD ó Factor común polinomio, observando cuál es el polinomio que está repetido en todos los términos. 2.- Escriba el factor común, abra un paréntesis y coloque en él los cocientes de dividir cada término del polinomio entre el Factor común polinomio. 20

Ejemplo. Factorizar x(x – 1) + 5(x - 1) Solución: x(x – 1) + 5(x - 1) = (x - 1) (x + 5)

Factor común por agrupamiento La clave de esta factorización es la ley distributiva: ac + bc = (a + b)c donde a, b y c pueden ser cualesquier expresiones algebraicas. ALGORITMO 1.- Identifique que el polinomio no puede ser factorizado por factor comun monomio ni polinomio. 2.- Agrupe en forma arbitraria, si son 4 términos agrupe de dos en dos, si son 6 términos agrupe de tres en tres. 3.- Factorice cada grupo de términos por el método de Factor Común Monomio 4.- Factorice la expresión resultante por el método de Factor común polinomio. La expresión resultante es el resultado. EJEMPLO 1 ax + bx + ay + by = x ( a + b) + y ( a + b) iguales = ( x + y )(a + b) Comprobación (a + b) × ( x + y ) = ax + bx + ay + by

EJEMPLO 2

2 x 2 − 3 xy − 4 x + 6 y x ( 2 x − 3 y ) − 2( 2 x − 3 y ) = (2 x − 3 y )( x − 2)

EJEMPLO 3 3 m 2 − 6mn + 4m − 8n 3m(m − 2n) + 4(2m − 2n) = (m − 2n)(3m + 4) Ejemplo 4 21

3ax − 3x + 4 y − 4ay 3x(a − 1) − 4 y (−1 + a ) = (3x − 4 y )(a − 1) 2.2.5.2 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P.) PROCEDIMIENTO: Identificación: -

Consta de tres términos

- Dos de ellos tienen raíz cuadrad exacta - En caso de que todos tenga raíz cuadrada exacta , se toman los dos de mayor potencia. - Uno NO tiene raíz cuadrada exacta. ¿Cómo se factoriza? -

Se obtiene la raíz cuadrada de los dos términos, queda uno que no se habrá utilizado. Se comprueba que sea TCP; obteniendo el doble del producto de las dos raíces, y se compara con el término no utilizado, sin considerar el signo, si son iguales Sí es TCP. Una vez comprobado, se abre un paréntesis y se colocan las dos raíces, se separan con el signo que tiene el término no utilizado y, el binomio obtenido se eleva al cuadrado.

EJEMPLO: Factoriza 4x2 +9y2 –12xy

ANÁLISIS:

EJERCICIO 24. RESUELVE:

- Sí hay dos términos con raíz cuadrada exacta: 4x2 y 9y2

4x 2 = 2x

9 y2 = 3y

Factoriza los siguientes trinomios: a) b) c) d)

- El término No utilizado es 12xy. -

Comprobación: El doble del producto de las raíces: 2( 2 x )(3 y ) = 12 xy da 12xy, el cual al compararlo con el término No utilizado, se ve que sí son iguales, sin importar el signo. Entonces sí es TCP.

Entonces la factorización es:

4 x 2 + 9 y 2 − 12 xy = (2 x − 3 y )

2

2.2.5.3. DIFERENCIA DE CUADRADOS PROCEDIMIENTO: Identificación: -

a8 + 18a4 + 81 9 - 6x + x2 x2 - 2x + 1 x2 + 2xy + y2

Es una resta ó Diferencia, es decir son dos términos que tienen signos diferentes. Cada término tiene raíz cuadrada exacta.

¿CÓMO SE SABE CUANDO UN NÚMERO TIENE RAÍZ CUADRADA? Un número “a” tiene raíz cuadrada, si existe un número real, que elevado al cuadrado nos resulte en “a”. Por ejemplo 9 La raíz cuadrada de 9 es 3, ya que al elevar 32 = 3(3) = 9

ALGORITMO:. -

-

Se obtiene la raíz cuadrada de cada término, no importa el signo. Se abren dos paréntesis. ( )( ) En cada paréntesis se pone en primer lugar la raíz cuadrada del término positivo, éste es positivo; en segundo lugar la raíz cuadrada del término negativo, éste último va con signos opuestos, es decir uno es positivo y el otro es negativo. La factorización resultante se llama Binomios Conjugados. 22

Otro ejemplo: 81 La raíz cuadrada de 81 es 9, ya que al elevar 92 = 9(9) = 81

Ejemplo: Obtenga la factorización de: 4x 2 − 16 y 16 = 25

Número positivo

¿CÓMO SE SABE CUANDO UNA LITERAL(LETRA) TIENE RAÍZ CUADRADA? Para saber si una literal o letra tiene raíz cuadrada, basta con que el exponente que tiene, sea divisible entre dos; en caso contrario, no tiene raíz cuadrada.

Número Negativo

Por ejemplo: x14 el exponente es 14, y 14/2 = 7, es 2 4x  2x  2 x  divisible entre dos, − 16 y16 =  + 4 y 8  − 4 y 8  25  5  5  Entonces x 14 = x 7 Signos diferentes

Binomios conjugados

Factoriza:

-25 x4 + 36 x6y8

Es Diferencia de Cuadrados porque cumple con: 1.- Los términos son de signos diferentes. 2.- cada término tiene raíz cuadrada exacta 25 x 4 = 5 x 2 y

36 x 6 y 8 = 6 x 3 y 4

3.- Se abren dos paréntesis, y se colocan las raíces, en primer lugar se coloca la raíz del término positivo y en segundo lugar la raíz del término negativo:

EJERCICIO 25. Factoriza: a) x 2 − 4 y 6 = b) 9 x 6 − 25 x 4 y10 = 4 c) x 22 − 49 y106 = 9 1 4 d) x − 25 y 8 = 25

2.2.5.4 TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c PROCEDIMIENTO: ¿Cómo se factoriza? -

Se abren dos paréntesis. Se obtiene la raíz cuadrada del término cuadrático y se coloca en primer lugar en cada paréntesis. En el primer Paréntesis se coloca el signo del segundo término, y en el segundo paréntesis se coloca el signo del producto del segundo por el tercer término. Se buscan dos números que multiplicados, respetando sus signos, den el tercer término y sumados, respetando sus signos, den el coeficiente del segundo término. El número mayor se coloca en el primer paréntesis y el menor en el segundo; si los números son iguales el orden es indistinto.

23

Ejemplo: factoriza el siguiente trinomio 5x + x2 – 24. El trinomio se debe ordenar y colocarlo en la forma x2 + bx + c ; entonces el trinomio 5x + x2 – 24 queda de la forma x2 + 5x – 24 y aplicamos el procedimiento:

x2 + 5x – 24 = ( )( ) ) (x ) x2 + 5x – 24 = (x x2 + 5x – 24 = (x + ) (x - )

(+8)(-3) = 24 (+8)+( – 3) = 8 - 3 = 5

2

x + 5x – 24 = (x + 8 ) (x - 3 )

2.2.5.5. TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c PROCEDIMIENTO: ¿Cómo se factoriza? -

-

EJERCICIO 26 RESUELVE: Factoriza los siguientes trinomios:

a) b) c) d)

x2 + 5x + 4 x2 - x - 6 x2 - 11x + 28 x2 - 11x + 30

Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente “a” de x2 . En el segundo término, solo se indica el producto, no se lleva a cabo, b queda afuera y ax quedan dentro del paréntesis.. Se abren dos paréntesis. Se obtiene la raíz cuadrada del término cuadrático y se coloca en primer lugar en cada paréntesis. En el primer Paréntesis se coloca el signo del segundo término, y en el segundo paréntesis se coloca el signo del producto del segundo por el tercer término. Se buscan dos números que multiplicados, respetando sus signos, den el tercer término y sumados, respetando sus signos, den el coeficiente del segundo término. El número mayor se coloca en el primer paréntesis y el menor en el segundo; si los números son iguales el orden es indistinto. Se divide la factorización obtenida, entre el valor de “a” o entre la factorización de “a” El producto resultante es la factorización solicitada.

Ejemplo: factoriza el siguiente trinomio -7x +6x2 – 3. El trinomio se debe ordenar y colocarlo en la forma ax2 + bx + c ; entonces el trinomio -7x + 6x2 – 3 queda de la forma 6x2 - 7x – 3 y aplicamos el procedimiento:

6 x 2 − 7 x − 3 = 6(6 x 2 − 7 x − 3) = 36 x 2 − 7(6 x) − 18 36 x 2 − 7(6 x) − 18 = (6 x − 9 )(6 x + 2) (6 x − 9)(6 x + 2) = (6 x − 9)(6 x + 2) 6 (2)(3) (6 x − 9)(6 x + 2) = (2 x − 3)(3x + 1) (3)(2) 6 x 2 − 7 x − 3 = (2 x − 3)(3 x + 1)

24

EJERCICIO 27 RESUELVE:

Factoriza los siguientes trinomios: a) b) c) d)

6x2 + 7x + 2 6x2 - 6 - 5x 4a2 +15a + 9 2x2 + 5x + 2

2.2.6. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRÁICAS En este tema se deberá utilizar los casos de factorización, es necesario observar que las operaciones son divisiones y que hay que atender las leyes de los signos que correspondan. ALGORITMO 1.- Verifique qué tipo de factorización puede hacerse en cada polinomio. 2.- Realice la factorización correspondiente y escríbalo en la posición correspondiente. 3.- Elimine por división de factores iguales en numerador y denominador. 4.- Los factores sobrantes o que quedan es la solución simplificada. Es un proceso similar a lo que tiene que hacerse con los resultados fraccionarios. Ejemplo: 1)

x−3 ( x − 3) 1 = = x + x − 12 ( x + 4)( x − 3) x − 4

2)

x 2 + 4 x − 5 ( x + 5)( x − 1) x + 5 = = x 2 + 2 x − 3 ( x + 3)( x − 1) x − 3

3)

x3 − 2x x ( x 2 − 2) x2 − 2 x2 2 2 = = − = x− = 2 x⋅x x x x x x

2

EJERCICIO SIMPLIFIQUE: A)

6x 2 y − 2 y 4 xy

sol:

B)

25 − x 2 x 2 − 3 x − 10

sol:

3x 2 − 1 2x −

5+ x x+2

25