1 T. P. “Números Racionales:: Q” 1) Si a y b pertenecen a los enteros, ¿a : b SIEMPRE pertenece a los enteros? Exploren las distintas posibilidades (positivos y negativos). Den ejemplos de acuerdo con cada caso posible. 2) ¿Qué indica la expresión

a ? ¿Qué nombres reciben a y b ? ¿Por qué será así? b

3) ¿Es posible dividir un número entero por cero? ¿Qué es lo que ocurre? Den ejemplos. 4) ¿Cuántos números hay entre el 0 y el 1, ninguno, uno, dos, más? Si existe alguno den ejemplos; si creen que no, expliquen sus razones. 5) ¿Cuántos números hay entre el 0 y el -1, ninguno, uno, dos, más? Si existe alguno den ejemplos; si creen que no, expliquen sus razones.

a es igual a 1?, ¿cuándo es menor?, ¿cuándo es mayor? b

6) Si a ∈ Ζ y b ∈ Ζ , ambos mayores a cero, ¿cuándo Den ejemplos.

7) ¿El número 3 es racional?, ¿y el -8?, ¿y el 15046? Expliquen por qué. 8) Para pensar: a) ¿Existen números racionales que no sean enteros? Den ejemplos. b) ¿Existen números enteros que no sean racionales?, ¿y naturales que no sean racionales? Den ejemplos. c) Hagan un diagrama de Venn que muestre la situación entre naturales (N), enteros (Z) y racionales (Q). 9) Ubiquen en la recta numérica los siguientes números racionales. Escriban una breve explicación sobre cómo fue que lo hicieron

1 2

a)

b)

−

1 2

c)

4 3

d)

−

5 3

e)

10 7

f)

9 3

g)

0 2

10) Dados los siguientes números racionales, hallen otros cocientes entre enteros que expresen el mismo número racional. a)

1 2

b)

2 3

d) −

c) 6

5 7

e)

12 8

f)

26 13

g)

−

12 48

11) Expresen las siguientes fracciones de forma tal que ya no se puedan seguir reduciendo los numeradores y denominadores entre si. ¿Cómo se llama esta operación?, ¿Qué nombre reciben estas fracciones a las que llegamos? a)

14 21

b) −

33 21

c)

215 80

d)

22 121

e)

2401 49

f)

200 23

g) −

23 138

12) Sean a, b, c y d números enteros, exploren la siguiente afirmación: b > 0 ∧ d > 0 ∧ a.d > b.c ⇒

a c > b d

a) Prueben con las distintas combinaciones de a y b positivos y negativos b) Traten de encontrar una demostración general a c c) Si a.d < b.c , ¿cuál es la fracción mayor, ó ? b d 13) Indiquen cuál es el mayor de las siguientes duplas de números racionales a)

5 3 y 8 5

b)

2 3 y 7 10

c) −

5 3 y 8 5

d) −

2 3 y 7 10

Matemática: 2° año 2° división; E.E.M. N°1 DE 12 "Julio Cortázar"

e)

13 26 y 7 14

f)

2 3 y 7 10

Profesor: Marcelo Stigliano

2 14) Ordenen de mayor a menor los siguientes números racionales: a)

1 3

b)

5 2

d) − 1

c) 1

e) −

3 4

f)

10 29

9 7

g) −

h) −

8 11

15) Si al numerador y al denominador de un número racional positivo se le suma un mismo número entero (no a todo el número racional), el número resultante, ¿es mayor, menor o igual al inicial? Den ejemplos con enteros positivos y negativos. 16) Expliquen cómo se suman y/o restan dos o más números racionales de igual denominador. Den ejemplos. 17) Hallen fracciones equivalentes a las dadas de modo que en cada caso todas las fracciones queden expresadas con el mismo denominador. a)

1 1 y 3 6

b)

1 1 y 4 6

c)

2 3 7 ; y 5 2 10

d)

2 1 5 ; y 5 2 12

e)

2 3 y 3 ; 10 12

18) Expresen las siguientes fracciones con un mismo denominador. Hallen otros dos posibles denominadores comunes. El menor de todos los posibles, ¿qué resulta ser? ¿Cómo estar seguros de que es el menor? a)

1 3 y 10 8

b)

2 5 y 9 12

c)

4 3 y 15 20

d)

11 7 y 7 11

e)

1 7 3 ; y 9 2 12

19) Para poder sumar y/o restar dos o más fracciones que poseen distinto denominador es necesario reescribirlas con un mismo denominador y luego operar. Teniendo esto en cuenta, realicen las siguientes operaciones.

1 3 + 10 8

a)

b)

2 5 9 12

c)

−

4 3 + 15 20

d)

−

11 7 7 11

e)

1 7 3 - + 9 2 12

20) ¿Qué es el M.C.M. entre dos o más números naturales?, ¿Cómo se lo calcula?, ¿Para qué sirve? 21) Calcular el M.C.M. entre los siguientes números naturales: a) 18; 30 b)18; 30; 40 c) 18; 30; 40; 12 d) 5; 6 h) 20; 12; 16 i) 16; 12 j) 12; 9; 4 k) 7, 8; 10

e) 5; 6; 9 f) 5; 6, 9; 18 g) 2; 3; 10 l) 6; 8; 16; 20; 18 m) 1; 1504679

22) Usando el M.C.M. entre los denominadores hagan los siguientes cálculos:

7 7 7 - + 9 4 12

a) f)

1 + 2 8

1 7 3 3 c) − + - + 8 6 12 7 1 1 1 g) - 2 + h) − -5+ 8 6 18 b)

5 9 9 5 4 1 7 3 d) − e) + + - + 2 14 4 2 11 18 4 24 3 7 1 7 3 i) 1 j) + 3 - + +1 4 4 2 3 5

23) Traten de resolver mentalmente: a) b) c) d) e)

¿Cuántos ¿Cuántos ¿Cuántos ¿Cuántos ¿Cuántos

medios hay en un entero? ¿y en tres enteros? tercios hay en dos enteros? ¿y en cinco enteros? quintos hay en dos enteros? ¿y en seis enteros? cuartos hay en un medio? ¿y en seis medios? medios hay en menos un entero? ¿y en menos dos enteros?

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Profesor: Marcelo Stigliano

3 24) Calculen mentalmente:

1 2 1 i) 2 − 2

a)

1−

1 2

b)

1+

j)

−2+

c)

1 2

1−

k)

3 4

−3+

d)

1−

1 2

l)

2 3

3−

e)

1 2

1+

3 4

m)

5+

f)

1−

1 2

3 5

n)

− 1+

g)

−5−

1 2

1 2

h)

o)

1 1 + 4 2

− 1−

1 2

25) ¿La suma de dos números racionales da siempre un número racional? Den ejemplos. 26) ¿La resta de dos números racionales da siempre un número racional? Den ejemplos. 27) ¿Los números racionales cumplen con las propiedades asociativa y conmutativa? Den ejemplos según cada caso. 28) ¿Los números racionales cumplen con las reglas para trabajar con paréntesis, corchetes, llaves, etc.? Den ejemplos. 29) ¿Es lo mismo "mínimo común múltiplo" (MCM) que "común denominador"? ¿Por qué? ¿cuál conviene usar para sumar y/o restar números racionales? 30) Aplicando lo visto hasta aquí, calculen las siguientes sumas y restas:

a)

d)

1  4 − -−  = 3  5

b) −

   1     + 3 =    4  

1  4 + −  = 3  9

2   3 2  − 5 + − −   + 1 = 5   10 15  

e)

c) 1 − −  −  −

 1  1  − 2 + − 1 −  + 3 =  3  6 

1  1 6   1  + 7  + 2 − −  7 −  − = 2  7 7   2   1  1  1 g) − 2 + − 1 −   + =  30  60  20 1 1 1 1 1 h) − + − + = 2 3 4 5 6 f) 9 − 

Rta: -4

Rta: -1 Rta:

23 60

i)

1 1  1 1  1  − + − +  = 2  3  4 5  6 

Rta: −

j)

1  1 1  1  1   − + − +   = 2  3 4  5  6  

Rta:

1 1 1 1 1 877 − 2 − −3+ − 4− −5+ + = 2 3 4 5 6 60 1  1   3    l) − 2 −  + 5  − + 5 − −  − 5 −   + 1 = 2    5    10 

k)

−1 +

m) 12 +

n)

1  1  1  1 1  13 - 5 -  +  3 −  +  −  − 11 − = 2  4  8  5 2 40

 2  13 5   2  1 3 5 1  1  −  − + 1 −  − −  − 2  − − − 1 +  −  −    = 3  2  4 12 2   4   3  6 4  

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1 20

17 60

Rta: 0 Rta: -17

Rta: 0

Rta: 3

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4 31) Expliquen brevemente cómo se realiza el producto entre dos números racionales positivos. Den ejemplos 32) ¿Es válida la regla de los signos en el producto entre números racionales? Den ejemplos de cada caso 33) Teniendo en cuenta lo anterior, calculen los siguientes productos. Expresen los resultados como fracciones irreducibles.

 1 6  − . =  2 5 7  12  d) . −  = 3 5

2 1 . = 3 5 1 10 b) . = 4 5 a)

c)

e) f)

 5 2  − . −  =  2 8   7 4   − . −  =  3   14 

 3   14  −  . −  =  7  4  70  40  . −  = 30  50 

g) h)

34) Los números racionales de denominador 1, ¿con qué otro nombre son más comúnmente conocidos? 35) Teniendo en cuenta lo visto hasta aquí, calculen: a)

7.

2 = 5

 1 2. −  =  2  40  l) 70. − =  50   1  m) 20. − =  20   1 n) (− 2 ). −  =  4

7 .(− 3) = 4  4 g) 20. −  =  5  4 h) . − .(− 15) =  5  4 i) (− 49 ). −  =  7 3 j) .(− 44 ) = 4 f)

1 .4 = 7 2 c) (− 7 ). = 5  4 d) 4. −  =  5  4 e) (− 5) −  =  5 b)

k)

36) Con lo visto hasta aquí traten de determinar si la siguiente afirmación es correcta o no. En caso de que sea verdadera den un ejemplo; en caso de que sea falsa den un contraejemplo (ejemplo que niega lo dicho)

−

a −a a = = b b −b

Para todo a y para todo b pertenecientes a los enteros

37) Aplicando la propiedad asociativa para el producto entre racionales, calculen:

2 15 4 . . = 5 8 3 1 1 1 b) . . = 5 8 3 2 15 4 c) . . = 5 8 3

a)

 2  15 4  − . . =  5 8 3 4  15  2 e) . − . = 5 8 3 2 15  4  f) . . −  = 3 1  3 d)

1  4 .5. −  = 5  5  2  8 h)  − .(− 20). −  =  5  3 g)

i)

1 4 .(− 10 ) = 2 3

38) Expliquen brevemente cómo se realiza la división entre dos números racionales. Den ejemplos Matemática: 2° año 2° división; E.E.M. N°1 DE 12 "Julio Cortázar"

Profesor: Marcelo Stigliano

5 39) La división entre racionales, ¿cumple con la propiedad conmutativa? Den ejemplos 40) Teniendo en cuenta lo visto hasta acá, calculen: a) b) c) d) e)

1 2 : = 4 4 1  2 :−  = 4  4  1 2 −  : =  4 4 3 2 : = 4 12 5 15 : = 4 16

f)

 4  8  − :−  =  5   20 

k)

7:

 4 −  : 4 =  5  4 r)  −  : 5 =  5  4 s)  −  : (− 5) =  5  4 t) (− 5) :  −  =  5

2 = 5

q)

1 :4 = 7 1 m) 4 : = 7 2 n) (− 7 ) : = 5 2 o) : (− 7 ) = 5  4 p) 4 :  −  =  5 l)

 7  49 = −  :  3  21  7  21 h)  −  : =  3  49  70  49 i)  − = :  30  21 2 j) :7 = 5 g)

41) ¿Cuál operación tiene prioridad entre la suma y la división? ¿Y entre la resta y la división? Den ejemplos. ¿Es posible cambiar esta prioridad?, ¿cómo? Den ejemplos 42) ¿Cuál operación tiene prioridad entre el producto y la división? Den ejemplos. ¿Es posible cambiar esta prioridad?, ¿cómo? Den ejemplos 43) Calculen respetando las prioridades indicadas y comparen los resultados entre los dos casos

5 10 1 : + = 4 16 2 1 1 b) +4: = 3 2

a)

y y

5  10 1  : +  = 4  16 2  1  1  + 4 : = 3  2

1 1 −4: = 3 2 2 1 d) − + 4 : = 4 2 c)

y y

1  1  − 4 : = 3  2  2  1  − + 4 : =  4  2

44) Apliquen la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y calculen luego la operación resultante. Verifiquen el resultado resolviendo primero la operación indicada dentro de los paréntesis y luego realicen el producto. a) b)

2 3  5 +  =  5 10  2 3  − 5 +  =  5 10 

c) d)

5 3  2 +  =  2 10  2 3  − 1 +  =  5 10 

e) f)

3 3  3 +  =  5 10   1 10  − 3 +  = 6 3 

45) Apliquen la propiedad distributiva del producto respecto de la resta y calculen la operación resultante. Verifiquen luego el resultado resolviendo primero la operación indicada dentro de los paréntesis y luego el producto. a) b)

2 3  5 −  =  5 10  2 3  − 5 −  =  5 10 

c) d)

 5 3 2 − +  =  2 10   2 3 − 1 − +  =  5 10 

Matemática: 2° año 2° división; E.E.M. N°1 DE 12 "Julio Cortázar"

e) f)

3 3  − −  =  5 10   1 10  − 3 −  = 6 3 

Profesor: Marcelo Stigliano

6 46) Calculen el valor de las siguientes expresiones:

2 1 3  8 1  5 1+  − +  − + 2 −  =  6 3 2 4  9 3 2 1 3  8 1  5  b) 1 +  −  +  − + 2  −  =  6  3 2 4  9 3

a)

Rta:

9 4

Rta: −

 2 34 1  − 2 + 9 + −  − 1 +  − 6  = 3   5 23 2 3  4 1   d) − 2 + 9 +  −   − 1 +  − 6 = 5 2  3 3   4   3 3  54 2  4 e) − − 5 − − 3 −  − 2 −  − = 3  3 5 5 2 5 4 4   3 3  54 2 f) −  − 5 − − 3 −  − 2 −  − = 3 5 5 2 5 3  3 4  30  6 7  g) − 1 + −  + − +  =  2 3 2  5 6 c)

Rta:

19 12

2 5

Rta: −

32 5

Rta: 16 Rta:

7 15

Rta:

−

2 3

47) Apliquen la propiedad distributiva de la división respecto de la suma y calculen la operación resultante. Verifiquen luego el resultado resolviendo primero la operación indicada dentro de los paréntesis y luego el producto.

2 3  2  + : =  5 10  5 2 3   2 b)  +  :−  =  5 10   5 

 5 3  10  + : =  2 10  3  2 3   −1  d)  + :  =  5 10   5 

a)

c)

e) f)

3 3   + :3=  5 10   1 10   +  : (− 1) = 6 3 

48) Apliquen la propiedad distributiva de la división respecto de la resta y calculen la operación resultante. Verifiquen luego el resultado resolviendo primero la operación indicada dentro de los paréntesis y luego el producto.

2 3  2  − : =  5 10  5  2 3   2 b)  − +  :−  =  5 10   5 

 5 3   10   −  :−  =  2 10   3   2 3   −1 d)  − − :  =  5 10   5 

a)

c)

e) f)

3 3   −  : (− 3) =  5 10   1 10   − −  : (− 1) =  6 3

49) Teniendo en cuenta que otra forma de expresar una división entre fracciones es

a c : b d

2 3 = a) 5 12

es →

a b c d

Calculen:

1 2= 4 12

− b)

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3 5 = c) 12 − 15

6 15 = 2 − 5

− d)

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7

3 5 = f) 12

3 e) = 12 − 15

g)

−3 = 12 − 15

6 5 = h) 2 − 10 −

50) Calculen:

a)

1 2 2 1 + 3 2

=

b)

5 6 1 1− 2

1 5 = 1 3− 5

1− =

c)

d)

3 .2 4 = 2 +4 5

51) Aplicando todo lo visto hasta aquí calculen y verifiquen el resultado de las siguientes operaciones:

a)

b) c) d)

e)

f)

3 .2 4 = Rta: 15 2 1 . 5 4 1 3 1 1 1 4: + . + − = Rta: 20 5 5 10 25 10 12 3 3 1 50 3 Rta: -3 : − . − + = 5 5 7 6 7 14 3 1 15  4   2 − : 2 +  −  −1:  −  = 4 2 8  5  3 1 Rta: 2  5 1 7  16  + −  2 4 8 3 = Rta: 21 5 2 . 3 7 12 5 1  6 − + 2 −   − +  23 4 6  5 = Rta: 3  3 12  −   16 4  3

g)

h)

i)

1   2−  5 2− 7  1  −2 1−   10  4 + = 2 3 −1 2+ 3 2       3+ 1−5  4 2 8  3 5    +  = 1   2 2  16    1 3  −    5 4            4  1 1 −  −  = 1  1+  3   1  1−   1   1+   2 

Rta: -5

Rta: -22

Rta: -1

52) ¿Cómo se pasa un número racional no entero a expresión decimal? ¿Y cómo se hace la operación inversa? 53) ¿Qué número es mayor,

) 0,9 o 1? Justifiquen su respuesta.

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8 54) Hagan los pasajes de expresiones decimales a fraccionarias. a) b) c) d) e) f) g)

) 0,4 = 0, 15 = − 0,15 = ) 2,4 = ) 13,9 = − 5,25 = ) 22,4 =

3,7 = i) − 10,7 = ) j) 0,14 = ) k) − 9,99 = ) l) − 0,58 = ) m) 3,14 = h)

n) o) p) q) r) s)

) 1,14 = ) − 5,04 = ) 5,334 = − 12,55 = ) − 99,994 = ) 0,1234 =

t) u) v) w) x)

) 12,3214 = ) 9,19 = − 0,001 = − 1,23 = 9,90 =

* Un poco más: a)

1234,56789 =

b) 987,6543210

)

c) 0,10 =

=

55) Finalmente calculen:

) 1,2 a) = ) 1,1 .1,1 ) ) 270 1,1 .1,1 b) 1,14. − ) = 103 1,2

) ) 55 1,1 .1,8 + 0,6 1 : = ) 90 ) ) 1,7 14,2 − 0,08 d) = ) 1 − 2,3 c)

(

)

Recuerden: Si terminamos el práctico es porque se viene…

el examen (Uh!)

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