TRABAJO FIN DE ESTUDIOS MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO, BACHILLERATO, FP Y ENSEÑANZA DE IDIOMAS MATEMÁTICAS
Los polígonos telescópicos: un recurso manipulativo para el aprendizaje de la Geometría
Manuel Higueras Hernáez
Tutor: Roberto Castellanos Fonseca Facultad de Letras y de la Educación Curso 2011-2012
Los polígonos telescópicos: un recurso manipulativo para el aprendizaje de la Geometría, trabajo fin de estudios de Manuel Higueras Hernáez, dirigido por Roberto Castellanos Fonseca (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported. Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright.
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El autor Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2012 publicaciones.unirioja.es E-mail:
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´ LOS POL´IGONOS TELESCOPICOS: UN RECURSO MANIPULATIVO PARA EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETR´IA Manuel Higueras Hern´aez Trabajo fin de M´ aster en Matem´aticas M´aster en Profesorado de Educaci´ on Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formaci´on Profesional y Ense˜ nanzas de Idiomas. Especialidad: Matem´aticas Universidad de La Rioja
8 de junio de 2012
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´Indice
1. Introducci´ on
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2. Marco te´ orico
7
2.1. Los estudiantes y la adolescencia . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2. El proceso de ense˜ nanza-aprendizaje . . . . . . . . . . . . . .
8
3. Memoria de pr´ acticas
11
3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. An´alisis del centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.1. Contexto general del centro . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2. Proyecto Educativo de Centro . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3. Estudio de los grupos-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4. Unidad did´actica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5. Reflexi´on y conclusiones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Proyecto de innovaci´ on
38
4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2. Contextualizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3. Objetivos del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4. Marco te´orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5. Tipo de modelo procesual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6. Descripci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6.1. Alumnos a los que va dirigido . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6.2. Metodolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6.3. Caracter´ısticas t´ecnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6.4. Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.7. Evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7.1. Evaluaci´on de los alumnos . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7.2. Evaluaci´on del profesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7.3. Evaluaci´on del proyecto de innovaci´on . . . . . . . . . 69
4.8. Conclusiones y perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5. Reflexi´ on final
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6. Referencias
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7. Anexos
74
7.1. Anexo I: Actividades de activaci´on de ideas previas . . . . . . 74
7.2. Anexo II: Actividades de iniciaci´on-motivaci´on . . . . . . . . . 75
7.3. Anexo III: Actividades de desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.4. Anexo IV: Actividades de ampliaci´on . . . . . . . . . . . . . . 77
7.5. Anexo V: Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.6. Anexo VI: Actividades de acabado . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.7. Anexo VII: Actividades de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . 80
7.8. Anexo VIII: Actividades de recuperaci´on . . . . . . . . . . . . 82
7.9. Anexo IX: Actividad dise˜ nada para el manejo de los pol´ıgonos telesc´opicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.9.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.9.2. Manipulaci´on de los pol´ıgonos telesc´opicos . . . . . . . 84
7.9.3. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
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´ 1 INTRODUCCION
1.
Introducci´ on
En este documento presento mi Trabajo Fin de M´aster del M´aster Universitario en Profesorado en la especialidad de Matem´aticas que he realizado en el curso 2011/2012 en la Universidad de La Rioja. Mi tutor en la realiza´ ci´on de este trabajo es Roberto Castellanos Fonseca, miembro del Area de Did´actica de la Matem´atica en el departamento de Matem´aticas y Computaci´on en la Universidad de La Rioja.
Cabe destacar tres partes de este trabajo: la propuesta de un marco te´orico para la ense˜ nanza de Matem´aticas en la Educaci´on Secundaria; un extracto de mi memoria de pr´acticas realizada durante el M´aster, donde hay que destacar la unidad did´actica que he dise˜ nado; y mi proyecto de innovaci´on que trata sobre lo que he denominado “los pol´ıgonos telesc´opicos”.
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´ 2 MARCO TEORICO
2.
Marco te´ orico
2.1.
Los estudiantes y la adolescencia
Piaget present´o el estadio de las operaciones formales, etapa que se inicia con la adolescencia (11-12 a˜ nos), lo que permite a las personas el desarrollo del pensamiento cient´ıfico a trav´es del m´etodo hipot´etico-deductivo, esto es, aprendizaje por descubrimiento. En esta fase, los seres humanos son capaces de pensar en abstracto, formular hip´otesis, concebir lo posible, usar la combinatoria y utilizar la l´ogica proposicional. Con esto, la asignatura de Matem´atica comienza en la etapa de Educaci´on Secundaria a ser de forma progresiva cada vez m´as formal.
Se pretende que el alumno encuentre una motivaci´ on intr´ınseca, que fije su inter´es por el estudio o trabajo, demostrando siempre superaci´on y responsabilidad en la consecuci´on de sus fines, y en sus metas. Para que as´ı realicen las actividades por el placer y la satisfacci´on que uno experimenta mientras aprende, explora o trata de aprender algo nuevo. Por tanto hay que tratar de realizar clases participativas y dise˜ nar actividades amenas.
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2.2 El proceso de ense˜ nanza-aprendizaje
2.2.
´ 2 MARCO TEORICO
El proceso de ense˜ nanza-aprendizaje
Los dos procesos de ense˜ nanza-aprendizaje m´as practicados en la educaci´on son el conductismo y el constructivismo.
El proceso de ense˜ nanza-aprendizaje conductista es el proceso cl´asico, aplicado desde el origen de la ense˜ nanza y ve al alumno como un elemento pasivo que recoge la informaci´on del docente. El docente es un mero transmisor de conocimientos y evaluar´a al alumno en funci´on de una prueba objetiva.
Un proceso de ense˜ nanza-aprendizaje constructivista, ve al docente como un facilitador de conocimientos y debe propiciar la construcci´on activa de los conocimientos por el estudiante, facilitando los aprendizajes significativos teniendo una funci´on de facilitaci´on y ayuda. Pretende que el alumno se autorregule en su aprendizaje. Busca el logro de un cambio en el mismo: favorecer nuevas formas de concebir la realidad. La evaluaci´on consiste en la adquisici´on de conocimientos relevantes para su disciplina y su aplicaci´on a la pr´actica. De esta forma, se trata de conseguir que el alumno realice un aprendizaje significativo, para lo cual sus nuevos aprendizajes
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2.2 El proceso de ense˜ nanza-aprendizaje
´ 2 MARCO TEORICO
los obtiene vinculando su estructura cognitiva anterior, modific´andola. Las actividades deben dise˜ narse para que los alumnos conjeturen y demuestren hip´otesis.
Realmente, no se aplican estos procesos de manera estricta o de forma separada. Son procesos que se pueden solapar y que el profesor puede adaptarlos a su estilo, preferencia o experiencia. El proceso constructivista actualmente es m´as recomendado, ya que una de sus ventajas es la b´ usqueda de la motivaci´on y el entretenimiento del alumnado. El modelo conductista goza de peor cr´ıtica. El principal ejemplo de conductismo en el aula es el profesor con el libro de texto como paradigma en sus sesiones.
Personalmente, considero ambos procesos interesantes para extraer las ventajas de cada uno. Veo necesario el cambio hacia el constructivismo, en las generaciones m´as j´ovenes los adolescentes cada vez son menos conformistas y se convierte en necesario motivarlos en el aprendizaje. A esto se le puede a˜ nadir la experiencia de cada profesor, que cada docente tenga su “propio proceso”.
Los recursos que el profesor puede usar para captar a los alumnos son m´ ultiples, como el humor, la tecnolog´ıa, las an´ecdotas, etc., todos ellos apli9
2.2 El proceso de ense˜ nanza-aprendizaje
´ 2 MARCO TEORICO
cables si se conoce bien al grupo.
En una asignatura como Matem´aticas, en la cual la resoluci´on de ejercicios y problemas es primordial, realizar ejercicios y problemas y corregirlos en el aula es una buena organizaci´on de actividades. Con un grupo activo y curioso este sencillo m´etodo puede ser muy beneficioso.
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.
Memoria de pr´ acticas
3.1.
Introducci´ on
En este apartado presento un resumen de mi memoria en la realizaci´on del pr´acticum. Las pr´acticas las he realizado en el I.E.S. Comercio, con la tu´ torizaci´on de Miguel Angel Cabez´on Ochoa, profesor y jefe del Departamento de Matem´aticas en el centro. Mi tutor en la universidad, para la realizaci´on del pr´acticum ha sido Roberto Castellanos Fonseca.
El periodo de pr´acticas dur´o 8 semanas (del 13 de febrero al 4 de abril de 2012), en las que descubr´ı el funcionamiento de un centro de Educaci´on Secundaria, me introduje en la labor de un docente (tanto dentro como fuera del aula), e incluso ejerc´ı de profesor en clases de E.S.O. y de Bachillerato.
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.2 An´alisis del centro
3.2.
An´ alisis del centro
3.2.1.
Contexto general del centro
El I.E.S. Comercio est´a situado en el noreste de Logro˜ no, en los barrios de Madre de Dios y San Jos´e Obrero. El centro est´a situado en la calle Paseo del Prior, integrado en el Parque de la Ribera.
Es una zona de expansi´on de Logro˜ no con muchas viviendas recientes, que prolongan la parte m´as antigua de estos barrios.
Cerca del centro hay dos colegios p´ ublicos de Educaci´on Primaria, el colegio Madre de Dios y el colegio Caballero de la Rosa, de los cuales provienen gran parte del alumnado del centro que cursa Educaci´on Secundaria. Aun as´ı, el centro es de influencia cero, por lo que pueden matricularse alumnos de cualquier zona. En este curso, han empezado a asistir a este centro alumnos de Villamediana, municipio situado en las afueras de Logro˜ no.
El centro dispone de una plantilla de 102 profesores, 14 trabajadores de administraci´on y servicios, y 1 auxiliar t´ecnico educativo.
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.2 An´alisis del centro
El equipo directivo del centro est´a constituido por la directora, la jefa de estudios, los jefes de estudios adjuntos, el jefe de estudios nocturno y la secretaria.
En el centro hay representantes de la junta directiva, de profesores, de la asociaci´on de madres y padres, y de la asociaci´on de alumnos. Tambi´en hay un representante del ayuntamiento, y otro de la F.E.R.
Cada departamento tiene su propio jefe, que ejerce de representante del mismo. Hay 20 departamentos: Actividades Complementarias y Extraescolares; Administraci´on; Artes Pl´asticas; Ciencias Naturales; Cl´asicas; Comercio y Marketing; Educaci´on F´ısica; Filosof´ıa; F´ısica y Qu´ımica; Franc´es; Geograf´ıa e Historia; Ingl´es; Inform´atica; Lengua y Literatura; Matem´aticas; M´ usica; Orientaci´on; Tecnolog´ıa; Econom´ıa; y F.O.L.
El centro naci´o el 3 de octubre de 1942 como Escuela de Comercio, y su primer curso acad´emico fue el de 1942-43, ubicado en la calle Portales. Proporcion´o los primeros titulados mercantiles a las empresas riojanas. Debido al ´exito en el n´ umero de alumnos matriculados apareci´o un problema de espacio y se traslad´o al inmueble del actual I.E.S. Sagasta.
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.2 An´alisis del centro
Con el aumento de demanda el centro se traslad´o a la calle Luis de Ulloa en 1973 y en el curso acad´emico 1973-74 comenzaron los estudios de Formaci´on Profesional. En 1979 el centro acogi´o la Escuela Universitaria de Estudios Empresariales. M´as adelante esta escuela fue ubicada en el lugar que hoy ocupa (Edificio Quintiliano de la Universidad de La Rioja).
Con el desarrollo de la L.O.G.S.E., el centro se transforma en el I.E.S. COMERCIO a partir del curso 1996-97. Con la impartici´on de la E.S.O. el n´ umero de alumnos aument´o considerablemente y se ocuparon plazas del colegio universitario situado junto al instituto, hasta el curo 1999-2000.
El 2004 se inagur´o el edificio del I.E.S. COMERCIO, el actual emplazamiento del centro, situado en la calle Paseo del Prior. Un a˜ no m´as tarde se construy´o el Polideportivo como un edificio anexo al centro.
3.2.2.
Proyecto Educativo de Centro
El centro marca los objetivos con el fin de ejercer la Educaci´on como un proceso de maduraci´on humana, que estimule el inter´es por el estudio y el esp´ıritu de superaci´on, y que fomente la integraci´on social y la contribu-
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.2 An´alisis del centro
ci´on individual, tanto intelectual como laboral, de los alumnos a la sociedad espa˜ nola.
El Instituto, como patrimonio com´ un, es responsabilidad de todos, sin que nadie pueda considerarse al margen de este compromiso. La dignidad de la persona, los derechos individuales que le son inherentes, el libre desarrollo de la personalidad y el respeto a los derechos de los dem´as ser´an el fundamento de la convivencia en el centro.
El centro fundamenta la actividad educativa en los siguientes fines, orientados por los principios constitucionales y de conformidad con las leyes vigentes:
1. El pleno desarrollo de la personalidad del alumno. 2. La formaci´on en el respeto de los derechos y libertades fundamentales y en el ejercicio de la tolerancia y de la libertad, dentro de los principios democr´aticos de convivencia. 3. La adquisici´on de h´abitos intelectuales y de t´ecnicas de trabajo, as´ı como de conocimientos cient´ıficos, t´ecnicos, human´ısticos, hist´oricos y est´eticos, estimulando el pensamiento creativo como estrategia de so15
´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.3 Estudio de los grupos-clase
luci´on de problemas. 4. La capacitaci´on para el ejercicio de actividades profesionales, fomentando la utilizaci´on de las nuevas tecnolog´ıas como medio para optimizar el rendimiento en la formaci´on continua y en el propio puesto de trabajo. 5. La preparaci´on para participar activamente en la vida social y cultural. 6. La formaci´on para la paz, la cooperaci´on y la solidaridad entre las personas y pueblos, con especial atenci´on a la integraci´on de las diversas culturas y a la igualdad efectiva entre sexos. 7. La conexi´on del alumno con la realidad de su entorno. 8. La creaci´on de un ambiente de convivencia que facilite, a todos los miembros de la comunidad educativa, la consecuci´on de su propia felicidad personal.
3.3.
Estudio de los grupos-clase
Los grupos-clase en los que desarroll´e las pr´acticas son los mismos a los que mi tutor en el centro imparte clases. Son 4 grupos-clase y en todos ellos ense˜ na matem´aticas: 16
´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.3 Estudio de los grupos-clase
1o E.S.O B: grupo de 20 alumnos, con 9 chicas y 11 chicos. Hay 1 repetidor. Tienen entre 12 y 14 a˜ nos. Hay 4 alumnos que asisten a P.R.O.A. 1o E.S.O. E: grupo de 21 alumnos, con 8 chicas y 13 chicos. Hay 3 repetidores. Tienen entre 12 y 14 a˜ nos. Hay 2 alumnos que asisten a P.R.O.A. 4o E.S.O. A/B: es una clase mixta de los 2 grupos de 4o E.S.O. en el que se imparte Matem´aticas B. La clase tiene 25 alumnos, con 7 chicas y 18 chicos. Hay 1 repetidor y 3 alumnos con las Matem´aticas pendientes de otros a˜ nos. Tienen entre 15 y 17 a˜ nos. 2o Bachillerato de Ciencias Sociales: grupo de 11 alumnos, con 8 chicas y 3 chicos. Hay 2 repetidores. Hay 1 alumno con Matem´aticas pendiente del 1er curso de Bachillerato. Tienen entre 17 y 20 a˜ nos.
Todos los alumnos de los grupos en los que he ejercido las pr´acticas son adolescentes, aunque en distintas etapas de la adolescencia, ya que el intervalo de edad de todos estos alumnos va de 12 a 20 a˜ nos. As´ı se pueden apreciar las caracter´ısticas del estadio de las operaciones formales (Piaget), que es
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.3 Estudio de los grupos-clase
emergente en el inicio de la etapa adolescente (11-12 a˜ nos) y se consolida a los 14-15 a˜ nos de edad. En este estadio se puede apreciar la capacidad de pensar en abstracto, la capacidad para formular hip´otesis, la capacidad para concebir lo posible, el uso de la combinatoria, y el uso de la l´ogica proposicional.
De forma m´as concreta, a continuaci´on hago una valoraci´on personal y generalizada de los distintos grupos-clases:
En los dos grupos de 1o E.S.O. los alumnos son poco disciplinados y est´an muy mal adoctrinados al trabajo acad´emico: falta de atenci´on, escaso trabajo en clase y en casa, realizaci´on de ex´amenes sin ning´ un tipo de preparaci´on, poco respeto entre compa˜ neros y al profesor... El grupo de 4o E.S.O. de Matem´aticas B es mucho m´as maduro en este aspecto. La labor docente es mucho m´as c´omoda. Los alumnos participan bastante en las clases y en cada sesi´on se avanza mucho. A pesar de esto, el nivel de la clase no es alto, pero se prev´e un alto porcentaje de aprobados. Hay 4 alumnos con un gran potencial en matem´aticas.
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.3 Estudio de los grupos-clase
El grupo de 2o Bachillerato de Ciencias Sociales tiene un nivel muy bajo, aunque en el comportamiento de los alumnos se nota madurez y respeto al profesor y a su labor. El mayor problema en este grupo es la falta de trabajo personal de la asignatura.
En estos grupos no se ha detectado alumnos con problemas especiales o en el aprendizaje.
Las caracter´ısticas sociol´ogicas de la poblaci´on de la zona en la que est´a ubicado el centro es de clase media trabajadora, residentes en la edificaciones modernas del lugar, aunque en el barrio tambi´en hay zonas de construcciones antiguas habitadas por personas de clase media baja con mucha poblaci´on inmigrada de pa´ıses pobres. En el alumnado de Educaci´on Secundaria del centro se refleja este hecho.
Las familias de la zona son j´ovenes, por lo que hay mucha poblaci´on en edad escolar.
Este curso han empezado a asistir alumnos residentes en Villamediana, municipio cercano a Logro˜ no en cuya poblaci´on hay gran cantidad de familias j´ovenes de caracter´ısticas similares a las de la zona del instituto. 19
´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.3 Estudio de los grupos-clase
Los aspectos sociol´ogicos de los alumnos de los 4 grupos-clases con los que he practicado refleja estas caracter´ısticas sociol´ogicas.
El porcentaje de alumnos inmigrantes o cuya familia es de origen extranjero en los 4 grupos es cercano al 20 %. Los lugares de procedencia de estos alumnos son principalmente pa´ıses magreb´ıes y sudamericanos.
Los principales condicionamientos socioculturales que podemos hallar en los centros de Educaci´on Secundaria son el idioma y el nivel curricular, ya que hay un considerable n´ umero de alumnos inmigrados de pa´ıses cuyos idiomas son distintos y/o en los que los niveles de educaci´on son pobres.
En los cuatro grupos estos condicionamientos no aparecen, ya que la gran mayor´ıa de los alumnos inmigrantes han nacido en Espa˜ na (sus familias son inmigrantes) o residen aqu´ı desde la primera etapa de su infancia.
Los tres aspectos que considero m´as importantes en el ´exito de los estudiantes y que marcan las diferencias son los siguientes que analizo bas´andome en mi experiencia en el centro:
Actitud: los alumnos est´an dispuestos a participar de manera activa en
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
las clases, aunque hay alguna excepci´on. Este hecho es muy positivo para realizar una ense˜ nanza constructiva, aunque en los cursos m´as bajos se corre el riesgo de perder el control del aula. Potencial: a priori puede parecer el aspecto m´as diferenciador, pero tiene que ser completado con los otros dos aspectos. Trabajo: en mi opini´on es el aspecto m´as importante. Un alumno con h´abito de trabajo continuar´a sus estudios con comodidad y gran probabilidad de ´exito. Este es el aspecto con m´as carencia en general y en mi pr´actica he podido comprobar que el trabajo marca diferencias en los resultados de los alumnos.
3.4.
Unidad did´ actica T´ıtulo Pol´ıgonos y circunferencias. Introducci´ on Esta unidad es la que introduce el bloque de geometr´ıa en este curso, 1o de E.S.O. En la unidad se trabajar´a principalmente con los pol´ıgonos 21
´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
y las circunferencias junto con sus elementos. El estudio de las formas geom´etricas, y m´as concretamente de los pol´ıgonos y las circunferencias es vital en el desarrollo matem´atico y humano de los alumnos. Nos encontramos constantemente con formas geom´etricas y pueden llegar a ser un sistema de informaci´on, como es el caso de las se˜ nales de tr´afico. El origen de la Geometr´ıa fue la medida de tierras (su propio nombre nos lo indica; geo: tierra; metro: medida) y este aspecto actualmente sigue siendo muy importante para cosas tan cotidianas como interpretar un plano o un mapa. Esta unidad did´actica ocupar´a nueve sesiones y una m´as para la prueba objetiva escrita de la evaluaci´on final de la unidad. Objetivos • Clasificar los pol´ıgonos seg´ un sus lados y seg´ un sus ´angulos. • Reconocer las rectas y puntos notables de un tri´angulo. • Construir tri´angulos, dados algunos de sus elementos. • Aplicar el teorema de Pit´agoras en la resoluci´on de problemas geom´etricos y de la vida real. 22
´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica • Clasificar un cuadril´atero.
• Aplicar las propiedades de los paralelogramos en la resoluci´on de problemas. • Distinguir entre circunferencia y c´ırculo. • Reconocer las distintas posiciones que pueden tener una recta y una circunferencia, y dos circunferencias. • Describir los elementos de los pol´ıgonos regulares: centro, radio y apotema.
Competencias
1. Competencia en comunicaci´on ling¨ u´ıstica. 2. Competencia matem´atica. 3. Competencia en el conocimiento y la interacci´on con el mundo f´ısico. 4. Tratamiento de la informaci´on y competencia digital. 5. Competencia social y ciudadana. 6. Competencia cultural y art´ıstica. 7. Competencia para aprender a aprender. 23
´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
8. Autonom´ıa e iniciativa personal.
En esta unidad se trabajar´an las siguientes competencias: • Identificar, analizar, describir y construir figuras planas presentes tanto en el medio social como natural, y utilizar las propiedades geom´etricas asociadas a los mismos en las situaciones requeridas. En este ´ıtem se desarrollan todas las competencias b´asicas a excepci´on de la (5) y la (6). • Visualizar objetos geom´etricos tridimensionales sencillos, obteniendo distintas representaciones planas, actuando con habilidad y creatividad. Aqu´ı se trabajan las competencias b´asicas (2), (4), (6), (7) y (8). • Utilizar instrumentos, t´ecnicas y f´ormulas, individual y grupalmente, para medir longitudes, a´ngulos, a´reas y vol´ umenes de figuras y cuerpos geom´etricos. Las competencias b´asicas que implicadas en este punto son todas menos la (3) y la (6).
Contenidos La unidad constar´a de los siguientes contenidos:
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica • Pol´ıgono. Tipos de pol´ıgonos. • Tri´angulos: clasificaci´on. • Elementos de un tri´angulo. • Teorema de Pit´agoras. • Cuadril´ateros: clasificaci´on. • Paralelogramos: propiedades.
• Rectas y circunferencias. Posiciones relativas. • Posiciones relativas de dos circunferencias. • C´alculo del a´ngulo central de un pol´ıgono regular. • Obtenci´on del a´ngulo interior de un pol´ıgono regular. Estrategias de intervenci´ on y adaptaciones curriculares Para llevar a cabo la actividad docente de esta unidad did´actica, utilizar´e las siguientes estrategias: • De las actividades propuestas a los alumnos se deducir´a qu´e conceptos trabajar, de acuerdo con los objetivos y competencias de esta unidad.
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
• La rigurosidad matem´atica en la notaci´on y en la nomenclatura de los elementos geom´etricos ir´a paulatinamente en aumento a medida que avanza la unidad. • Despu´es de cada sesi´on se propondr´a por lo menos un ejercicio relacionado con lo que se ha impartido. • Se mostrar´a el uso y la potencia de las aplicaciones inform´aticas en el tema relacionado. En este unidad se muestra con GeoGebra c´omo construir tri´angulos y sus rectas y puntos notables. • Se controlar´a el trabajo diario del alumno. Para alumnos con necesidad de adaptaci´on curricular se tendr´an en cuenta los siguientes objetivos: • Comprender el concepto de pol´ıgono. Reconocer y clasificar los tipos de pol´ıgonos. • Clasificar tri´angulos seg´ un sus lados y a´ngulos. Reconocer y dibujar las principales rectas y puntos de un tri´angulo. • Comprender el teorema de Pit´agoras. • Comprender el concepto de cuadril´atero. Reconocer y clasificar los tipos de cuadril´ateros. 26
´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
• Distinguir entre circunferencia y c´ırculo. • Comprender el concepto de pol´ıgono regular. Clasificar los pol´ıgonos regulares y sus caracter´ısticas.
Metodolog´ıa La metodolog´ıa usada en esta unidad se basa en ciertos principios pedag´ogicos, desarrollados a partir de estrategias y t´ecnicas docentes que son llevadas a la pr´actica gracias a unos recursos. En la L.O.E. se alude a estas orientaciones metodol´ogicas. • Individualizaci´ on: adaptar los m´etodos y diferenciar las actividades a cada alumno para conseguir los objetivos dentro de sus potenciales. • Comprensividad: todo alumno debe cursar las ense˜ nanzas. • Funcionalidad: que los conocimientos que aprendan los alumnos sean u ´tiles en su vida cotidiana y en la aplicaci´on de otras materias. • Aprendizaje significativo: el docente ejerce de gu´ıa en el proceso de ense˜ nanza-aprendizaje. El alumno adquiere el aprendizaje por
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
s´ı mismo. Esto da importancia a la evaluaci´on inicial que se lleva a cabo al inicio de la unidad did´actica. • Motivaci´on y autoestima: el rendimiento acad´emico est´a condicionado por el nivel de motivaci´on y de autoestima del alumnado. La motivaci´on del alumno aumenta si percibe la utilidad de los contenidos que va adquiriendo. La autoestima mejora con la superaci´on de retos. Teniendo en cuenta que los alumnos de este curso est´an en el inicio de la etapa educativa de la Educaci´on Secundaria, este ´ıtem adquiere especial importancia. • Interacci´on social grupo-clase y profesor-alumno: esta interacci´on es necesaria para fomentar la relaci´on del docente con sus alumnos y viceversa. • Educaci´ on en valores: aprender de los errores, af´an de superaci´on, curiosidad, autoconocimiento... • Interdisciplinaridad: las materias no est´an aisladas, se complementan. En este caso, las matem´aticas nutren a la gran mayor´ıa de las asignaturas de car´acter cient´ıfico. • Concepci´on constructivista: condicionar el proceso de ense˜ nanza-
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
aprendizaje para que sea el alumno quien observe, construya, modifique y enriquezca los conocimientos que se imparten.
Actividades En el desarrollo de la unidad did´actica encontraremos los siguientes tipos de actividades, que se llevar´an a cabo en distintos momentos, clasificadas seg´ un su finalidad: • De activaci´ on de ideas previas: se describen los conceptos que se han estudiado y se da un ejemplo tras cada explicaci´on. Establecen la toma de contacto de los contenidos. Ver Anexo I. Por ejemplo, tras explicar las posiciones relativas de un punto y una circunferencia.
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
• De iniciaci´ on-motivaci´ on: sirven para motivar al alumno y para comprobar sus conocimientos previos. Ver Anexo II. Por ejemplo: ¿Qu´e es un tri´angulo rect´angulo? • De desarrollo: para que los alumnos alcancen los objetivos de la unidad. Estas actividades est´an enfocadas en el aprendizaje del alumno, y a trav´es de ellas se adquieren las competencias propuestas en la unidad. Ver Anexo III y Anexo IX. Por ejemplo: El ´angulo obtuso de un tri´angulo is´osceles obtus´angulo mide 120o . ¿Cu´anto miden los otros ´angulos del tri´angulo? • De ampliaci´ on: van dirigidas a los alumnos que hayan alcanzado el nivel exigido en los objetivos de la unidad, con el fin de ampliar sus conocimientos. Ver Anexo IV. Por ejemplo: ¿Qu´e ocurre con los valores de los ´angulos interiores y centrales de un pol´ıgono regular a medida que aumentamos el n´ umero de lados? • De refuerzo: van dirigidas a los alumnos que muestren dificultades en alcanzar el nivel exigido en los objetivos de la unidad. Ver Anexo V.
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
Por ejemplo: Clasifica los siguientes cuadril´ateros.
• De acabado: sirven para consolidar el aprendizaje. Consisten en la realizaci´on de un resumen del tema, y en la recopilaci´on de los ejercicios realizados, f´ormulas y m´etodos de resoluci´on usados en la unidad. Se realizar´an ejercicios de preparaci´on para el examen. Como ejemplo de este tipo de actividad, he preparado un esquema con los contenidos que se ver´an en la unidad para entreg´arselo a los alumnos; y as´ı concienciarles de la importancia de resumir y organizar los contenidos, proponi´endoles que lo realicen ellos en futuras unidades. Ver Anexo VI. • De evaluaci´ on: tienen por objeto valorar el grado de consecuci´on de los objetivos de la unidad. Ver Anexo VII. El principal representante de este tipo de actividad son las pruebas escritas objetivas, estableciendo para cada parte de la prueba unos criterios de calificaci´on. • De recuperaci´ on: van dirigidas a los alumnos que no hayan al31
´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
canzado los objetivos de la unidad. Ver Anexo VIII. Una serie de ejercicios a realizar como tarea por los alumnos junto a una prueba escrita objetiva m´as flexible es un ejemplo de este tipo de actividad.
Evaluaci´ on Los criterios de evaluaci´on para los alumnos de la unidad son los siguientes:
1. Reconocer y clasificar los tipos de pol´ıgonos. 2. Clasificar los tri´angulos seg´ un sus lados y seg´ un sus a´ngulos. 3. Obtener las rectas y puntos notables de un tri´angulo. 4. Utilizar el teorema de Pit´agoras en el c´alculo del lado de un tri´angulo rect´angulo, conocidos los otros lados, y en la resoluci´on de problemas reales. 5. Clasificar un cuadril´atero. 6. Resolver problemas aplicando las propiedades de los pol´ıgonos. 7. Reconocer los elementos de la circunferencia.
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
8. Distinguir las posiciones de una recta y una circunferencia, y de dos circunferencias. 9. Describir los elementos de los pol´ıgonos regulares.
Para los alumnos con dificultades para alcanzar los objetivos de la unidad se han seleccionado los siguientes criterios de evaluaci´on m´ınimos:
1. Reconocer y clasificar los tipos de pol´ıgonos. 2. Clasificar los tri´angulos seg´ un sus lados y seg´ un sus a´ngulos. 3. Aplicar el teorema de Pit´agoras. 4. Clasificar un cuadril´atero. 5. Reconocer los elementos de una circunferencia 6. Describir los elementos de los pol´ıgonos regulares.
La evaluaci´on a cada alumno se lleva a cabo mediante la observaci´on diaria de su trabajo en clase, atendiendo a ciertos aspectos: participaci´on en clase y en las actividades en grupo; preguntar lo que no entiende; atenci´on y silencio durante las explicaciones; y voluntariedad. Hay 3 tipos de evaluaci´on, clasificadas en funci´on del momento en el que se aplican, que se complementan. 33
´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
• Diagn´ ostica: se realiza al inicio de la unidad y sirve para valorar el grado de conocimientos previos de los alumnos. Para ello se usan actividades de iniciaci´on-motivaci´on. Con los resultados obtenidos el docente elige los procedimientos adecuados para la ense˜ nanza y se adapta a las condiciones iniciales del alumnado. • Formativa: se realiza durante el transcurso de la unidad para valorar los progresos o dificultades de los alumnos. Para ello se usan actividades de desarrollo. Seg´ un la situaci´on individual de cada alumno se pueden utilizar actividades de refuerzo y de ampliaci´on. Con los resultados obtenidos el profesor puede adaptarse en el momento a la realidad educativa de la clase. • Sumativa: se realiza al final de la unidad y sirve para determinar si los alumnos han alcanzado los objetivos. Para ello se realizan pruebas objetivas que incluyan muestras de todos los objetivos del curr´ıculo. De esta evaluaci´on se obtienen las calificaciones. Esta evaluaci´on ser´a completada con actividades de acabado que realice el alumno como trabajo personal, y la calificaci´on ser´a ponderada con la prueba objetiva, una actividad de acabado con varios ejercicios y el trabajo diario (70, 20 y 10 respectivamente). Pa34
´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.4 Unidad did´actica
ra los alumnos que no superen los objetivos de la unidad se les evaluar´a con actividades de recuperaci´on, aplicando los objetivos m´ınimos.
Materiales y recursos de apoyo a la docencia Para la realizaci´on de esta unidad did´actica he utilizado y se necesitan los siguientes materiales y recursos: • Libro de texto: Matem´aticas 1 ESO, Editorial Santillana, Proyecto La Casa del Saber, 2007. • Libro programaciones did´acticas y estuche TIC: Biblioteca del Profesorado, Gu´ıa y recursos, Matem´aticas 1 ESO, 2007. • Programas de geometr´ıa din´amica: GeoGebra y Cabri. • Pol´ıgonos telesc´opicos. • Ordenador y proyector del aula. • Pel´ıcula: “Donald en el Pa´ıs de las Matem´agicas”.
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.5 Reflexi´on y conclusiones finales
3.5.
Reflexi´ on y conclusiones finales
La docencia es un oficio muy serio que exige gran cantidad de preparaci´on formativa previa al ejercicio de la profesi´on, e incluso durante su etapa activa. Es necesario que la sociedad respete y valore a este gremio tan importante en una sociedad democr´atica.
En los u ´ltimos a˜ nos se ha producido un cambio contundente en el papel que juega el profesor en el proceso de ense˜ nanza-aprendizaje. Esto supone que el docente deja de ser un transmisor para convertirse en un conductor del aprendizaje. La intenci´on de este cambio es clara, un aprendizaje significativo por parte de los alumnos junto con una creciente amenidad en la interacci´on profesor-alumno. Este cambio exige que los docentes tengan que prepararse m´as las sesiones, aunque una buena relaci´on corporativa puede hacer esto m´as sencillo si los miembros de este gremio comparten materiales y experiencias.
Por otro lado, hay que tener en cuenta que uno de los principales objetivos de la educaci´on, incluso el principal, que es la formaci´on de ciudadanos para la integraci´on en la sociedad. Por ello el docente debe impartir valores y procurar el desarrollo de la calidad humana de sus alumnos, mostrando
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´ 3 MEMORIA DE PRACTICAS
3.5 Reflexi´on y conclusiones finales
respeto al alumnado y promovi´endolo entre ellos. La convivencia en el centro debe colocarse en un primer plano.
El principal problema al que se enfrenta la educaci´on en la actualidad es el alto porcentaje de fracaso escolar. Si nos centramos en las asignaturas de Matem´aticas este fracaso es mayor. La tendencia actual se˜ nala a los profesores como los culpables de esta situaci´on. Por indicar culpables, se puede se˜ nalar varios, como pueden ser las familias pasivas en la educaci´on de sus hijos, una etapa educativa primaria con un bajo nivel curricular, etc. Olvid´andome de buscar culpables hay un aspecto que en esta experiencia de pr´acticas de la docencia en un instituto he comprobado, y es la falta de h´abito de trabajo personal por parte de los alumnos. Si volvemos a centrarnos en las asignaturas de Matem´aticas, este hecho se agrava, unido al clich´e general establecido por gran parte del alumnado que confirma que “las Matem´aticas no se estudian, se entienden”, lo cual empeora esta situaci´on.
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.
Proyecto de innovaci´ on
4.1.
Introducci´ on
El estudio de la geometr´ıa, y m´as concretamente de los pol´ıgonos es vital en el desarrollo matem´atico y humano de los alumnos. Nos encontramos constantemente con formas geom´etricas, y ´estas pueden llegar a ser un sistema de informaci´on, como sucede con las se˜ nales de tr´afico.
Estudiar los pol´ıgonos supone principalmente el aprendizaje de sus clasificaciones (por su n´ umero de lados, por c´omo son sus a´ngulos...) y de sus propiedades (teselaci´on del plano, trigonometr´ıa...).
El curr´ıculo de la E.S.O. (Orden de la Consejer´ıa de La Rioja) recoge lo siguiente con respecto a la geometr´ıa en la presentaci´on de la asignatura de Matem´aticas:
(...) La geometr´ıa, adem´ as de un conjunto de definiciones y f´ ormulas para el c´ alculo de superficies y vol´ umenes, consiste, sobre todo, en describir y analizar propiedades y relaciones, y en clasificar y razonar sobre formas y estructuras
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.1 Introducci´on
geom´etricas. El aprendizaje de la geometr´ıa debe ofrecer continuas oportunidades para construir, dibujar, modelizar, medir o clasificar de acuerdo con criterios libremente elegidos. Su estudio ofrece excelentes oportunidades de establecer relaciones con otros ´ ambitos, como la naturaleza o el mundo del arte, que no deber´ıa quedar al margen de atenci´ on.
La utilizaci´ on de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del pensamiento del alumno es siempre aconsejable, pero cobra especial importancia en geometr´ıa donde la abstracci´ on puede ser construida a partir de la reflexi´ on sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida de la observaci´ on de objetos f´ısicos. Especial inter´es presentan los programas de geometr´ıa din´ amica, ya que permiten a los estudiantes actuar sobre las figuras y sus elementos caracter´ısticos, facilitando la posibilidad de analizar propiedades, explorar relaciones, formular conjeturas y validarlas. (...)
En mi propuesta innovadora destaco dos partes de este texto:
1. La geometr´ıa como actividad de construcci´on. 2. La importancia del uso de recursos manipulativos en la geometr´ıa.
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.1 Introducci´on
Tambi´en se˜ nalo los siguientes objetivos de la ense˜ nanza de las Matem´aticas que marca el citado curr´ıculo:
Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de argumentaci´ on las formas de expresi´ on y razonamiento matem´ atico, tanto en los procesos matem´ aticos o cient´ıficos como en los distintos ´ ambitos de la actividad humana, con el fin de comunicarse de manera clara, concisa y precisa.
Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matem´ aticas adquiridas a situaciones de la vida diaria.
Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en t´erminos matem´ aticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos m´ as apropiados.
Identificar las formas planas o espaciales que se presentan en la vida diaria y analizar las propiedades y relaciones geom´etricas entre ellas, adquiriendo una sensibilidad progresiva ante la belleza que generan.
Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modos propios de la actividad matem´ atica, tales como la exploraci´ on
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.1 Introducci´on
sistem´ atica de alternativas, la precisi´ on en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la b´ usqueda de soluciones. Elaborar estrategias personales para el an´ alisis de situaciones concretas y la identificaci´ on y resoluci´ on de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en funci´ on del an´ alisis de los resultados y de su car´ acter exacto o aproximado. Manifestar una actitud positiva muy preferible a la actitud negativa ante la resoluci´ on de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con ´exito y adquirir un nivel de autoestima adecuado, que le permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, est´eticos y utilitarios de las matem´ aticas. Integrar los conocimientos matem´ aticos en el conjunto de saberes que se van adquiriendo desde las distintas ´ areas de modo que puedan emplearse de forma creativa, anal´ıtica y cr´ıtica.
Tras estas referencias, presento mi proyecto de innovaci´on. La idea consiste en construir pol´ıgonos f´ısicamente con aristas telesc´opicas para poder variar sus longitudes, y v´ertices articulados posibilitando cambios en las medidas de sus ´angulos. El elemento b´asico de esta herramienta son las aristas 41
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.1 Introducci´on
telesc´opicas, que pueden ser enlazadas entre s´ı por los extremos para as´ı crear elementos poligonales, aunque lo m´as interesante ser´a construir pol´ıgonos con ellas. Los enlaces entre aristas permiten rotaciones, para angular dos aristas conectadas de la forma deseada. Otro tipo de piezas que se van a usar, son los ´angulos fijos. Estas piezas se ajustan a los v´ertices y fijan el valor del ´til un transportador a´ngulo de ese v´ertice (30o , 60o , 90o ...). Tambi´en ser´ıa u que se ajuste bien en lo v´ertices para poder medir a´ngulos c´omodamente.
Mi propuesta consiste en la construcci´on de estas piezas usando el material m´as adecuado: madera, metal, pl´astico... Ante la dificultad que me supone construir estas piezas, por ausencia de recursos y de conocimientos, pondr´e en pr´actica un modelo m´as sencillo, pero en esencia el mismo. Este modelo consiste en utilizar pajitas para beber; usando como aristas pajitas r´ıgidas, y pajitas flexibles para que ejerzan de v´ertices articulados. El efecto telesc´opico de las aristas se consigue, usando distintos grosores en los dos tipos de pajitas para poder introducir las de una clase en las de la otra. Los a´ngulos fijos ser´an construidos con las pajitas flexibles, fijando la zona maleable con cola de carpintero, y as´ı tener ´angulos est´aticos de medidas usuales. La propuesta inicial por el momento es te´orica.
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.1 Introducci´on
Los siguientes bocetos muestran de manera gr´afica esta idea de innovaci´on educativa:
Figura 1: En orden, de izquierda a derecha: arista telesc´opica, tri´angulo telesc´opico, y cuadril´atero telesc´opico con un a´ngulo fijo de 90o .
En la siguiente imagen se aprecia un tri´angulo telesc´opico, donde las pajitas verdes hacen de v´ertices articulados y las pajitas ralladas hacen de aristas:
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.2 Contextualizaci´on
4.2.
Contextualizaci´ on
Ya ha sido mencionada la importancia que tiene en el aprendizaje de la geometr´ıa el uso de recursos manipulativos, siendo los programas de geometr´ıa din´amica el principal tipo de recurso manipulativo utilizado. A priori, la idea de los pol´ıgonos telesc´opicos (pol´ıgonos f´ısicos en los que se puede variar las medidas de sus aristas y de sus a´ngulos) puede parecer in´ util, ya que esto se puede realizar f´acilmente con los programas de geometr´ıa din´amica.
Mi intenci´on con los pol´ıgonos telesc´opicos es un aprendizaje significativo de los contenidos geom´etricos que se puedan abarcar (en este punto la imaginaci´on de los docentes juega un papel fundamental); aprovechando que son objetos palpables para trabajar distintas capacidades (como la espacial) de una forma distinta, y que se pueden usar para plantear actividades l´ udicas en grupo que incrementen la motivaci´on y el trabajo cooperativo y colaborativo.
Con este tipo de peque˜ nos cambios se pretende una mejora continua en el sistema educativo. La intenci´on innovadora de los pol´ıgonos telesc´opicos es un aumento de la calidad del proceso de ense˜ nanza-aprendizaje. Esta innovaci´on educativa est´a en el a´mbito de proceso educativo, ya que son un recurso y
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.2 Contextualizaci´on
un material para el aprendizaje.
La innovaci´on en el proceso de aprendizaje implica diversos aspectos que conducen a la b´ usqueda de un aprendizaje significativo, autosugestivo, integral y metacognitivo. El aprendizaje visto bajo esta o´ptica constituye el n´ ucleo central de la propuesta cognitiva del aprender a aprender.
La innovaci´on en la ense˜ nanza significa acompa˜ namiento, mediaci´on y coparticipaci´on en la construcci´on de conocimiento. Plantea la ense˜ nanza como:
Un proceso planificado. Una construcci´on conjunta. Una tarea creativa. Una pr´actica sujeta al aprendizaje.
El proceso de este proyecto comienza con la idea o descubrimiento, la posibilidad de construir este tipo de herramienta. Contin´ ua con la etapa de desarrollo, que ser´a llevado a cabo en este documento. Su producci´on tam-
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.3 Objetivos del proyecto
bi´en ser´a ejecutadas en este trabajo, una prueba experimental; y su difusi´on ser´a posterior dependiendo del ´exito que tengan los pasos anteriores.
4.3.
Objetivos del proyecto
Como todo proceso de innovaci´on el principal objetivo es mejorar la calidad de la educaci´on. Se trata de una herramienta educativa con intenci´on de hacer m´as ameno el estudio de la geometr´ıa y de generar un aprendizaje significativo.
Tambi´en encontramos los siguientes objetivos:
1. Promover actitudes positivas en toda la comunidad educativa en funci´on de un comportamiento permanente, abierto a la necesidad del cambio y sus implicaciones, a la adecuaci´on del curr´ıculo y a las necesidades e intereses de los alumnos y alumnas. Supone una novedad que puede romper la rutina t´ıpica de trabajo en las aulas. 2. Crear espacios y mecanismos en las instituciones educativas para identificar, valorar, sistematizar, normalizar, aplicar y difundir las experien-
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.3 Objetivos del proyecto
cias novedosas que contribuyan a la soluci´on de problemas educativos que est´en afectando la calidad de los aprendizajes de los estudiantes. Es una idea abierta a las opiniones e innovaciones de otros docentes. 3. Animar el desarrollo de propuestas educativas v´alidas que respondan a la realidad de nuestro pa´ıs y que rescaten la creatividad, la riqueza humana y los recursos naturales y culturales que provee nuestro medio. Para el manejo de este recurso, la creatividad de alumnos y profesores jugar´a un papel importante. 4. Promover transformaciones curriculares flexibles, creativas y participativas, acordes con las necesidades de los sujetos y de su comunidad, procurando una educaci´on de calidad y de aprendizajes significativos. Trata de trabajar la geometr´ıa de una manera novedosa. 5. Implementar la aplicaci´on de teor´ıas, procesos, m´etodos y t´ecnicas administrativas y docentes reconocidamente v´alidos, congruentes con las necesidades de la instituci´on y de la comunidad, en su prop´osito de buscar una mejor calidad de la educaci´on. Se pretende estudiar si supone una mejora en el estudio de los pol´ıgonos, teniendo en cuenta el desarrollo de las distintas capacidades de los alumnos.
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.3 Objetivos del proyecto
6. Estimular la investigaci´on como un elemento cotidiano determinante de la formaci´on profesional continua de los y las docentes a partir de su propia pr´ actica educativa. Este proyecto se sostendr´a en un principio por unas peque˜ nas investigaciones. 7. Recuperar y sistematizar experiencias del personal docente, directivo, asesor y supervisor. La recopilaci´on de informaci´on de todos los roles de la comunidad educativa estar´a al servicio de este proyecto. 8. Compartir y transferir a otras escuelas y docentes las experiencias educativas innovadoras para ampliar y generalizar la experiencia. Este proyecto en un principio se basa en una idea, no supone un recurso caro, as´ı que ser´a de manera sencilla compartido y transferido. 9. Crear condiciones permanentes para que las experiencias innovadoras se conviertan en una pr´ actica institucionalizada, es decir, en cultural organizacional. En este proyecto pretendo seguir las pautas y guiones establecidos para las innovaciones educativas.
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.4 Marco te´orico
4.4.
Marco te´ orico
La innovaci´on educativa trata de mejorar las actividades que habitualmente hacemos; ya sea consiguiendo los mismos resultados que antes pero con menos esfuerzo, o consiguiendo con el mismo esfuerzo mejores resultados.
Piaget present´o el estadio de las operaciones formales, etapa que se inicia con la adolescencia (11-12 a˜ nos), lo que permite a las personas el desarrollo del pensamiento cient´ıfico a trav´es del m´etodo hipot´etico-deductivo, esto es, aprendizaje por descubrimiento. En esta fase, los seres humanos son capaces de pensar en abstracto, formular hip´otesis, concebir lo posible, usar la combinatoria y utilizar la l´ogica proposicional.
Se pretende que el alumno encuentre una motivaci´ on intr´ınseca, que fije su inter´es por el estudio o trabajo, demostrando siempre superaci´on y responsabilidad en la consecuci´on de sus fines, y en sus metas. Para que as´ı realicen las actividades por el placer y la satisfacci´on que uno experimenta mientras aprende, explora o trata de aprender algo nuevo.
Un proceso de ense˜ nanza-aprendizaje constructivista, ve al do49
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.4 Marco te´orico
cente como un facilitador de conocimientos y debe propiciar la construcci´on activa de los conocimientos por el estudiante, facilitando los aprendizajes significativos teniendo una funci´on de facilitaci´on y ayuda. Pretende que el alumno se autorregule en su aprendizaje. Busca el logro de un cambio en el mismo: favorecer nuevas formas de concebir la realidad. La evaluaci´on consiste en la adquisici´on de conocimientos relevantes para su disciplina y su aplicaci´on a la pr´actica.
De esta forma, se trata de conseguir que el alumno realice un aprendizaje significativo, para lo cual sus nuevos aprendizajes los obtiene vinculando su estructura cognitiva anterior, modific´andola.
Para este proyecto innovador, se dise˜ nar´an actividades en las que se trabajen las competencias b´ asicas.
1. Competencia en comunicaci´on ling¨ u´ıstica. Las matem´aticas tienen su propio lenguaje, y la geometr´ıa llega a ser un sistema de informaci´on: se˜ nales de tr´afico, mando de la videoconsola Play Station... 2. Competencia matem´ atica. Es un proyecto de innovaci´on educativa matem´atica. 50
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.4 Marco te´orico
3. Competencia en el conocimiento y la interacci´on con el mundo f´ısico. Las formas poligonales aparecen en la naturaleza (los panales de miel, los cristales de roca...) y en nuestro entorno (las tuercas, la secci´on de algunos lapiceros y bol´ıgrafos...). 4. Tratamiento de la informaci´on y competencia digital. Se dise˜ nar´an actividades para que los alumnos recojan datos y traten de realizar sus propias conjeturas. Trabajando la geometr´ıa puede ser necesario apoyarse en programas de geometr´ıa din´amica. 5. Competencia social y ciudadana. Se dise˜ nar´an actividades participativas y en algunas se trabajar´a en grupo o por parejas. 6. Competencia cultural y art´ıstica. Los pol´ıgonos telesc´opicos est´an ideados originalmente para ser un material educativo, pero pueden ubicarse como un juego de construcci´on en el que los alumnos trabajen la creatividad. 7. Competencia para aprender a aprender. Por las t´ecnicas heur´ısticas que el alumno desarrolla y por el hecho de potenciar en el alumno actitudes y destrezas tales como la autonom´ıa, la perseverancia, la sistematizaci´on, la reflexi´on cr´ıtica, la observaci´on de regularidades o la deducci´on 51
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.4 Marco te´orico
de propiedades. 8. Autonom´ıa e iniciativa personal. Se entrena al alumno en la b´ usqueda de soluciones, la planificaci´on de estrategias y an´alisis de resultados
La teor´ıa de las inteligencias m´ ultiples es un modelo propuesto por Howard Gardner en el que la inteligencia no es vista como algo unitario que agrupa diferentes capacidades espec´ıficas con distinto nivel de generalidad, sino como un conjunto de inteligencias m´ ultiples, distintas e independientes. Gardner define la inteligencia como la “capacidad de resolver problemas o elaborar productos que sean valiosos en una o m´as culturas”.
Gardner y su equipo de la Universidad Harvard han identificado varios tipos de inteligencias, de las que las siete siguientes.
1. Inteligencia ling¨ u´ıstica. El don del lenguaje es universal, y su desarrollo en los ni˜ nos es sorprendentemente similar en todas las culturas. Incluso en el caso de personas sordas a las que no se les ha ense˜ nado expl´ıcitamente un lenguaje por se˜ nas, a menudo inventan un lenguaje manual propio y lo usan espont´aneamente.
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.4 Marco te´orico
2. Inteligencia l´ ogica-matem´ atica. En los individuos especialmente dotados de esta forma de inteligencia, el proceso de resoluci´on de problemas a menudo es extraordinariamente r´apido: el cient´ıfico competente maneja simult´aneamente muchas variables y crea numerosas hip´otesis que son evaluadas sucesivamente y, posteriormente, son aceptadas o rechazadas. 3. Inteligencia espacial. La resoluci´on de problemas espaciales se aplica a la navegaci´on y al uso de mapas como sistema notacional. Otro tipo de soluci´on a los problemas espaciales, aparece en la visualizaci´on de un objeto visto desde un ´angulo diferente y en el juego del ajedrez. Tambi´en se emplea este tipo de inteligencia en las artes visuales. 4. Inteligencia musical. Los datos procedentes de diversas culturas hablan de la universalidad de la noci´on musical. Incluso, los estudios sobre el desarrollo infantil sugieren que existe habilidad natural y una percepci´on auditiva (o´ıdo y cerebro)innata en la primera infancia hasta que existe la habilidad de interactuar con instrumentos y aprender sus sonidos, su naturaleza y sus capacidades. 5. Inteligencia corporal cinest´ esica. La evoluci´on de los movimientos
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.4 Marco te´orico
corporales especializados es de importancia obvia para la especie; en los humanos esta adaptaci´on se extiende al uso de herramientas. El movimiento del cuerpo sigue un desarrollo claramente definido en los ni˜ nos y no hay duda de su universalidad cultural. 6. Inteligencia intrapersonal. La inteligencia intrapersonal es el conocimiento de los aspectos internos de una persona: el acceso a la propia vida emocional, a la propia gama de sentimiento, la capacidad de efectuar discriminaciones entre ciertas emociones y, finalmente, ponerles un nombre y recurrir a ellas como medio de interpretar y orientar la propia conducta. 7. Inteligencia interpersonal. La inteligencia interpersonal se constituye a partir de la capacidad nuclear para sentir distinciones entre los dem´as, en particular, contrastes en sus estados de a´nimo, temperamento, motivaciones e intenciones. Esta inteligencia le permite a un adulto h´abil, leer las intenciones y los deseos de los dem´as, aunque se los hayan ocultado. Esta capacidad se da de forma muy sofisticada en los l´ıderes religiosos, pol´ıticos, terapeutas y maestros. Esta forma de inteligencia no depende necesariamente del lenguaje.
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.4 Marco te´orico
Dise˜ nando las actividades adecuadamente, este proyecto puede abarcar que los alumnos trabajen las distintas capacidades, aunque la inteligencia musical se prev´e complicado. Pero en este aspecto quiero dar importancia a las inteligencias espacial y corporal cinest´esica. Los pol´ıgonos telesc´opicos son un recurso tangible y manipulativo. Con ello, es previsible que los alumnos con estas capacidades m´as desarrolladas que la l´ogico-matem´atica trabajen c´omodamente.
Atendiendo al modelo de las inteligencias m´ ultiples puedo justificar este proyecto, ya que la idea de crear pol´ıgonos que podamos variar la longitud de sus aristas o el a´ngulo que forman sus v´ertices se realiza sencillamente con programas de geometr´ıa din´amica. ¿Por qu´e? La inteligencia espacial se trabaja principalmente con el sentido de la vista, sin embargo el tacto tambi´en entra en juego en esta capacidad, y para las personas invidentes este sentido es b´asico en la percepci´on espacial. ¿Puede un alumno invidente trabajar la geometr´ıa con los programas de geometr´ıa din´amica? ¿Podr´ıa hacerlo con los pol´ıgonos telesc´opicos?
Para finalizar este apartado, indico que esta herramienta se basa en una idea personal, y tras investigar y no encontrar nada con la misma esencia,
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.5 Tipo de modelo procesual
comienzo a desarrollar los pol´ıgonos telesc´opicos. Ya he comentado que los programas de geometr´ıa din´amica permiten hacer cosas parecidas, pero de otra forma. Hay distintos juegos de construcci´on de pol´ıgonos y poliedros, parecidos, pero en los que las variaciones de longitud de las aristas y de apertura de los a´ngulos es discreta, no es continua como en esta idea personal. Tambi´en se han realizado construcciones de pol´ıgonos y poliedros con pajitas, pero siendo figuras fijas.
4.5.
Tipo de modelo procesual
Este proyecto de innovaci´on es un modelo de investigaci´on y desarrollo. Este tipo de modelo ve el proceso de innovaci´on educativa como una secuencia racional de fases, por la cual una invenci´on se descubre, se desarrolla, se produce y se disemina entre el usuario o consumidor. La innovaci´on no se analiza desde el punto de vista del usuario, quien se supone que es pasivo; ni tampoco la investigaci´on comienza como un conjunto de respuestas exactas a problemas humanos espec´ıficos, sino como un conjunto de datos y teor´ıas que son luego transformados en ideas para productos y servicios u ´tiles en la fase de desarrollo. El conocimiento se produce, por u ´ltimo, masivamente, y
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.6 Descripci´on
se procura por todos los medios difundirlo entre aquellos a los que pueda ser de utilidad.
Las cuatro fases de un modelo de investigaci´on y desarrollo son las siguientes:
1. Descubrimiento. La idea de construir los pol´ıgonos telesc´opicos. 2. Desarrollo. En este documento y en la prueba con los pol´ıgonos telesc´opicos construidos con pajitas. 3. Producci´ on. Realizar actividades en aulas de 1o de E.S.O. 4. Difusi´ on. Para un futuro si las fases anteriores son exitosas.
4.6.
Descripci´ on
4.6.1.
Alumnos a los que va dirigido
Cualquier etapa educativa en la que se estudien los pol´ıgonos puede usar los pol´ıgonos telesc´opicos (Primaria, E.S.O. y Bachillerato). Me voy a centrar en la etapa de E.S.O. y har´e especial hincapi´e en el primer curso, ya que lo 57
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.6 Descripci´on
considero el momento en el que m´as utilidad pueden tener: los alumnos se inician de manera m´as formal en la geometr´ıa y en especial en las propiedades de los pol´ıgonos.
En las asignaturas de dibujo, la geometr´ıa est´a muy presente, de manera que los pol´ıgonos telesc´opicos tambi´en podr´ıan ser usados. Por ejemplo, para hacer pruebas de teselaci´on del plano y dise˜ nar mosaicos. Puede ser interesante tratar de buscar otros ´ambitos en los que usar esta herramienta, como el arte o la f´ısica.
4.6.2.
Metodolog´ıa
Para poner en pr´actica los pol´ıgonos telesc´opicos se realizar´an actividades que gu´ıen a los alumnos a su manipulaci´on, de manera que despu´es puedan conjeturar y demostrar propiedades de los pol´ıgonos.
El modelo de actividad que propongo tiene tres partes:
1. Introducci´on, presentaci´on o reflexi´on sobre las propiedades de los pol´ıgonos que se van a estudiar.
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´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.6 Descripci´on
2. Manipulaci´on guiada de los pol´ıgonos telesc´opicos para conjeturar resultados. 3. Sacar conclusiones y/o demostrar las propiedades estudiadas.
En el Anexo IX, presento un ejemplo de actividad basada en las partes del modelo tipo.
4.6.3.
Caracter´ısticas t´ ecnicas
Para trabajar con los pol´ıgonos telesc´opicos considero necesarios o convenientes los siguientes elementos y caracter´ısticas:
Aula que permita agrupamiento: quiero enfocar actividades en grupo o por parejas, y que los grupos o parejas puedan intercambiar informaci´on y opiniones. Equipo inform´ atico conectado a un proyector que tenga instalado un programa de geometr´ıa din´ amica: para que el docente presente im´agenes que puedan ser de apoyo a los alumnos. Tambi´en es
59
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.6 Descripci´on
u ´til para que los alumnos usen el software como otra v´ıa alternativa para llegar a las conclusiones de las actividades. Pol´ıgonos telesc´ opicos: las actividades se enfocar´an para que sean manipulados.
4.6.4.
Contenidos
Los contenidos m´ınimos que se trabajar´an con los pol´ıgonos telesc´opicos por cursos en la E.S.O., recogidos del curr´ıculo de la E.S.O. (Orden de la Consejer´ıa de La Rioja).
1o de E.S.O. • Contenidos comunes. 1. Utilizaci´on de estrategias y t´ecnicas simples en la resoluci´on de problemas, tales como el an´alisis del enunciado o la resoluci´on de un problema m´as simple, y comprobaci´on de la soluci´on obtenida. 2. Expresi´ on verbal del procedimiento que se ha seguido en la resoluci´on de problemas. 60
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.6 Descripci´on
3. Interpretaci´on de mensajes que contengan informaciones sobre cantidades y medidas o sobre elementos o relaciones espaciales. 4. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matem´aticas y tomar decisiones a partir de ellas. 5. Perseverancia y flexibilidad en la b´ usqueda de soluciones a los problemas. 6. Utilizaci´on de herramientas tecnol´ogicas para facilitar los c´alculos de tipo num´erico, algebraico o estad´ıstico, las representaciones funcionales y la comprensi´on de propiedades geom´etricas. • Geometr´ıa. 1. Elementos b´asicos de la geometr´ıa del plano: l´ıneas, segmentos, ´angulos. Utilizaci´ on de la terminolog´ıa adecuada para describir con precisi´on situaciones, formas, propiedades y configuraciones del mundo f´ısico. 2. An´ alisis de relaciones y propiedades de figuras en el plano empleando m´etodos inductivos y deductivos. Paralelismo y per61
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.6 Descripci´on
pendicularidad entre rectas. Relaciones entre ´angulos. Construcciones geom´etricas sencillas: mediatriz, bisectriz. Propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ´angulo. 3. Descripci´on de las figuras planas elementales: tri´angulos, cuadril´ateros, pol´ıgonos regulares. 4. Clasificaci´on de tri´ angulos y cuadril´ateros a partir de diferentes criterios. Estudio de sus propiedades caracter´ısticas y relaciones en estos pol´ıgonos. 5. Medida y c´ alculo de ´angulos en figuras planas. 6. C´alculo de ´areas y per´ımetros de las figuras planas elementales. C´alculo de ´areas por descomposici´on en figuras simples. 7. Empleo de herramientas inform´ aticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geom´etricos. 2o de E.S.O. • Contenidos comunes. 1. Utilizaci´on de estrategias y t´ecnicas en la resoluci´on de problemas, tales como el an´alisis del enunciado, el ensayo y error 62
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.6 Descripci´on
o la divisi´on del problema en partes, y comprobaci´on de la soluci´on obtenida. 2. Descripci´on verbal de procedimientos de resoluci´on de problemas utilizando t´erminos adecuados. 3. Interpretaci´on de mensajes que contengan informaciones de car´acter cuantitativo o sobre elementos o relaciones espaciales. 4. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matem´aticas y tomar decisiones a partir de ellas. 5. Perseverancia y flexibilidad en la b´ usqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. 6. Utilizaci´on de herramientas tecnol´ogicas para facilitar los c´alculos de tipo num´erico, algebraico o estad´ıstico, las representaciones funcionales y la comprensi´on de propiedades geom´etricas. • Geometr´ıa. 1. Tri´angulos rect´angulos. El teorema de Pit´ agoras. Justificaci´on geom´etrica y aplicaciones. 63
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.6 Descripci´on
2. Idea de semejanza: figuras semejantes. Ampliaci´on y reducci´on de figuras: raz´on de semejanza y escalas. Raz´on entre las superficies de figuras semejantes. 3o de E.S.O. • Contenidos comunes. 1. Planificaci´on y utilizaci´on de estrategias en la resoluci´on de problemas, tales como el recuento exhaustivo, la inducci´on o la b´ usqueda de problemas afines, y comprobaci´on del ajuste de la soluci´on a la situaci´on planteada. 2. Descripci´on verbal de relaciones cuantitativas y espaciales y procedimientos de resoluci´on utilizando la terminolog´ıa precisa. 3. Interpretaci´on de mensajes que contengan informaciones de car´acter cuantitativo o simb´olico o sobre elementos o relaciones espaciales. 4. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matem´aticas y tomar decisiones a partir de ellas. 64
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.6 Descripci´on
5. Perseverancia y flexibilidad en la b´ usqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. 6. Utilizaci´on de herramientas tecnol´ogicas para facilitar los c´alculos de tipo num´erico, algebraico o estad´ıstico, las representaciones funcionales y la comprensi´on de propiedades geom´etricas. • Geometr´ıa. 1. Aplicaci´on de los teoremas de Tales y Pit´agoras a la resoluci´on de problemas geom´etricos y del medio f´ısico. 2. Estudio de formas, configuraciones y relaciones geom´etricas. 3. C´alculo de ´areas y vol´ umenes. 4o de E.S.O. • Contenidos comunes. 1. Planificaci´on y utilizaci´on de procesos de razonamiento y estrategias de resoluci´on de problemas, tales como la emisi´on y justificaci´on de hip´otesis o la generalizaci´on. 2. Expresi´ on verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales y procedimientos de resoluci´on con la precisi´on y 65
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.6 Descripci´on
rigor adecuados a la situaci´on. 3. Interpretaci´on de mensajes que contengan argumentaciones o informaciones de car´ acter cuantitativo o sobre elementos o relaciones espaciales. 4. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matem´aticas y tomar decisiones a partir de ellas. 5. Perseverancia y flexibilidad en la b´ usqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. 6. Utilizaci´on de herramientas tecnol´ogicas para facilitar los c´alculos de tipo num´erico, algebraico o estad´ıstico, las representaciones funcionales y la comprensi´on de propiedades geom´etricas. • Geometr´ıa. 1. Aplicaci´on de la semejanza de tri´angulos y el teorema de Pit´agoras para la obtenci´on indirecta de medidas. Resoluci´on de problemas geom´etricos frecuentes en la vida cotidiana. 2. Utilizaci´on de otros conocimientos geom´etricos en la resoluci´on de problemas del mundo f´ısico: medida y c´alculo de lon66
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.7 Evaluaci´on
gitudes, ´areas, vol´ umenes, etc.
Tambi´en se podr´a trabajar otros contenidos geom´etricos tales como:
1. Teselaci´on del plano. 2. Pol´ıgonos estrellados. 3. Trigonometr´ıa.
4.7.
Evaluaci´ on
4.7.1.
Evaluaci´ on de los alumnos
Criterios que se valorar´an de los alumnos:
Asistencia. Realizaci´on de las pruebas y actividades. Estrategias empleadas. An´alisis verbal. 67
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.7 Evaluaci´on
Ponderaci´on de factores: • Individuales (60 %): ◦ Participaci´on. ◦ Actitud. ◦ Creatividad. ◦ Implicaci´on. ◦ Conocimientos adquiridos. • Colectivos (40 %): ◦ Trabajo en equipo. ◦ Predisposici´on. ◦ Colaboraci´on. ◦ Liderazgo. ◦ Implicaci´on y preocupaci´on. ◦ Exposici´on.
4.7.2.
Evaluaci´ on del profesor
Criterios que se valorar´an de los docentes: 68
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.7 Evaluaci´on
Puntualidad. Claridad en la exposiciones. Resoluci´on de dudas de los alumnos. Empleo del material adecuado. Trato con los alumnos. Resoluci´on de conflictos en el aula.
Es recomendable que el docente prepare tras cada actividad un informe de autocr´ıtica del trabajo realizado y que mencione las dificultades que ha encontrado en el proceso de ense˜ nanza-aprendizaje.
4.7.3.
Evaluaci´ on del proyecto de innovaci´ on
Por falta de tiempo, no ha sido posible realizar una actividad con los pol´ıgonos telesc´opicos en un aula. En en Anexo IX hay una propuesta de actividad para que alumnos de 1o de E.S.O. trabajen con los pol´ıgonos telesc´opicos.
69
´ 4 PROYECTO DE INNOVACION
4.8 Conclusiones y perspectivas
Para las actividades que se lleven a cabo, ser´a conveniente que los docentes realicen informes de evaluaci´on de la actividad realizada, para que valoren en que medida se trabaja cada competencia b´asica, el grado de satisfacci´on de los alumnos, si se cubren los objetivos de la innovaci´on educativa...
4.8.
Conclusiones y perspectivas
Con los pol´ıgonos telesc´opicos pretendo que lo alumnos usen una herramienta que los alumnos traten de disfrutar al manipularla. Entretener y motivar a los alumnos se ha convertido en una necesidad vital para ejercer una ense˜ nanza de calidad.
Los marcos te´oricos m´as modernos para los procesos de ense˜ nanza-aprendizaje inciden en las distintas capacidades de los alumnos, por lo que para seguir estos modelos es necesario trabajar con los alumnos de distintas maneras, con distintos recursos y evitando la monoton´ıa.
Veo necesario realizar una evaluaci´on de este proyecto, porque creo que es u ´til, divulgativo e integrador.
70
´ FINAL 5 REFLEXION
5.
Reflexi´ on final
En este trabajo se recogen todos los a´mbitos de estudio del M´aster de Profesorado. Con la elaboraci´on de este documento culmino el M´aster y me siento m´as capacitado para ejercer la docencia. He adquirido competencias para la profesi´on. En mi opini´on, la mejor parte ha sido la experiencia de pr´acticas en un instituto, ya que es enriquecedora, y me ha hecho ver que es una profesi´on muy bonita, aunque mostr´andome tambi´en la realidad de la dureza que conlleva ejercerla.
71
6 REFERENCIAS
6.
Referencias Gu´ıa para el proyecto de innovaci´on: La innovaci´on educativa en Matem´aticas. Jes´ us Murillo Ram´on, Departamento de Matem´aticas y Computaci´on en la Universidad de La Rioja (2012). Gu´ıa para la realizaci´on de las pr´acticas: Gu´ıa de pr´acticas. Jes´ us Murillo Ram´on, Departamento de Matem´aticas y Computaci´on en la Universidad de La Rioja (2012). Material de la asignatura Innovaci´on docente e iniciaci´on a la investigaci´on educativa en Matem´aticas: Innovaci´on Docente e Iniciaci´on a la Investigaci´on Educativa. Clara Jim´enez Gestal, Departamento de Matem´aticas y Computaci´on en la Universidad de La Rioja (2012). Material de la asignatura Aprendizaje y Desarrollo de la Personalidad: Modelos de aprendizaje cognitivos, Teor´ıa de Piaget sobre el desarrollo, La adolescencia: Desarrollo Cognitivo, La motivaci´on, y La interacci´on alumno-profesor. Marta Santar´en Rosell, Departamento de Ciencias de la Educaci´on en la Universidad de La Rioja (2012). Publicaciones sobre la teor´ıa de las inteligencias m´ ultiples:
72
6 REFERENCIAS • La Teor´ıa de las inteligencias m´ ultiples. Howard Gardner, Fondo de Cultura, M´exico (1987). • Inteligencias m´ ultiples. La teor´ıa en la pr´actica. Howard Gardner, Paid´os, Barcelona (1998).
73
7 ANEXOS
7.
7.1.
Anexos
Anexo I: Actividades de activaci´ on de ideas previas
Figura 2: Construcciones con GeoGebra de tri´angulos con sus rectas y puntos notables para mostrar en la sesi´on pertinente.
Figura 3: Modelo creado con Cabri para la demostraci´on de la suma de los a´ngulos de un tri´angulo. Se realizar´a esta actividad con un tri´angulo de papel.
74
7.2 Anexo II: Actividades de iniciaci´on-motivaci´on
7.2.
7 ANEXOS
Anexo II: Actividades de iniciaci´ on-motivaci´ on
Esta actividad se puede realizar de forma oral con el grupo completo. Un ejemplo de cuestiones que se le puede plantear al grupo al comenzar la unidad.
1. ¿Qu´e tipos de tri´angulos existen seg´ un sean sus lados? 2. ¿Qu´e es un paralelogramo? 3. ¿Qu´e es un hex´agono?
7.3.
Anexo III: Actividades de desarrollo
Estas actividades se realizar´an en clase. He aqu´ı varios ejemplos.
1. Dibuja un oct´ogono y un ene´agono regular, y calcula la suma de sus ´angulos. 2. En un tri´ angulo rect´angulo, un ´angulo mide 30o . ¿Cu´anto miden los otros dos ´angulos?
75
7.3 Anexo III: Actividades de desarrollo
7 ANEXOS
3. Dibuja varios tri´angulos rect´angulos, traza sus alturas y halla su ortocentro. ¿D´ onde se encuentra situado? 4. En un tri´ angulo rect´angulo, un cateto mide 7 cm y la hipotenusa 25 cm. ¿Cu´anto mide el otro cateto? 5. En un rect´angulo la suma de sus lados vale 20 cm. Sabemos que un lado mide 6 cm, calcular la medida de los otros lados. 6. Calcula la diagonal mayor de un rombo de lado 50 cm y diagonal menor 28 cm. 7. Dibuja una circunferencia de radio 4 cm, y se˜ nala sobre ella un di´ametro, un radio, un arco y una cuerda. ¿Cu´anto mide el di´ametro? 8. ¿Qu´e posici´on relativa tiene el di´ametro de una circunferencia con respecto a la circunferencia? 9. Determina lo que miden los ´angulos interiores y central de un pol´ıgono de 9 lados.
76
7.4 Anexo IV: Actividades de ampliaci´on
7.4.
7 ANEXOS
Anexo IV: Actividades de ampliaci´ on
Para los alumnos que superen los objetivos de la unidad de manera r´apida y sencilla se les puede proponer la siguiente actividad para que trabajen por su cuenta de forma voluntaria.
1. En el siguiente dibujo las semirrectas r y s son paralelas. Calcula la ˆ B, ˆ Cˆ y D. ˆ suma de los ´angulos A,
2. Leer y comprender la siguiente demostraci´on geom´etrica del Teorema de Pit´agoras.
3. Halla el n´ umero de diagonales de un pol´ıgono de 20 lados.
77
7.5 Anexo V: Actividades de refuerzo
7.5.
7 ANEXOS
Anexo V: Actividades de refuerzo
Para los alumnos que muestren dificultad para completar los objetivos de la unidad, esta actividad est´a centrada en la superaci´on de los objetivos m´ınimos de la unidad. Para estos alumnos es necesario que realicen esta actividad.
1. Dibuja un tri´angulo, un cuadril´atero, un pent´agono, un hex´agono, un hept´agono, un oct´ogono, un ene´agono y un dec´agono. 2. Dibuja un cuadrado y traza una diagonal en ´el.
¿En cu´antas partes se ha dividido el cuadrado? ¿Qu´e figura se ha formado? Nombra todos los lados y a´ngulos. Indica el valor de los a´ngulos.
3. Comprobar el teorema de Pit´agoras en los siguientes tri´angulos rect´angulos.
78
7.5 Anexo V: Actividades de refuerzo
7 ANEXOS
Hipotenusa a
Cateto mayor b
Cateto menor c
5
4
3
26
24
10
2
1
1
a2 = b 2 + c 2
4. Un paralelogramo tiene sus 4 a´ngulos iguales.
¿Qu´e tipo de paralelogramo es? ¿Puede ser de varios tipos? Dib´ ujalos.
5. Traza con un comp´as una circunferencia de 5 cm y dibuja: a) El centro O.
c) Una recta tangente t.
e) Un di´ ametro d.
b) Una cuerda AB con su arco.
d) Un radio r.
f ) Una semicircunferencia.
6. Pon un ejemplo de pol´ıgono irregular tal que todos sus lados son iguales. Pon otro ejemplo de pol´ıgono irregular, tal que todos sus ´angulos son iguales.
79
7.6 Anexo VI: Actividades de acabado
7.6.
7 ANEXOS
Anexo VI: Actividades de acabado
Esta actividad est´a planteada para realizarla en la u ´ltima fase de la unidad.
1. Recopila todas las definiciones que se han visto en la unidad. 2. Apunta las f´ormulas que se han usado en la unidad. 3. Dise˜ na un ejercicio de la unidad y resu´elvelo.
7.7.
Anexo VII: Actividades de evaluaci´ on
Esta actividad forma parte de la calificaci´on. Todos los ejercicios tienen el mismo valor para la calificaci´on de esta prueba.
1. Los centros de 2 circunferencias de radios 7 cm y 6 cm distan 10 cm. ¿Qu´e posici´on relativa tienen las 2 circunferencias? Realiza un dibujo aclaratorio. (Este ejercicio abarca los criterios de evaluaci´on (7) y (8)). 2. Define pol´ıgono c´oncavo y dibuja un ejemplo. (Criterio (1)).
80
7.7 Anexo VII: Actividades de evaluaci´on
7 ANEXOS
3. Dibuja un tri´angulo escaleno, traza sus bisectrices y nombra el punto notable obtenido. (Criterios (1), (2) y (3)). 4. Comprueba si existe un tri´ angulo cuyos lados miden 15, 8 y 20 cm. En caso de existir, clasif´ıcalo seg´ un sus lados. ¿Es un tri´ angulo rect´angulo? (Criterios 1, 2 y 4). 5. Dibuja y describe los distintos tipos de trapecios. (Criterios (1) y (5)). 6. Tenemos una caja rectangular plana de 1.1 m. de largo y 0.8 m. de ancho, y un bast´on que tiene una longitud de 1 m. y 40 cm. ¿Es posible introducir el bast´on en la caja? (Criterios (1), (4), (5) y (6)). 7. Define ´angulo central. Calcula el ´angulo central de un pol´ıgono de 30 lados. (Criterios (1) y (9)). 8. Una circunferencia y una recta que se cortan en un punto son: a) Secantes. b) Tangentes. c) Interiores. b) Exteriores. (Criterio (8)).
81
7.8 Anexo VIII: Actividades de recuperaci´on
7 ANEXOS
9. Si un tri´angulo tiene 2 lados que miden 4 y 7 cm, da un valor al lado restante y justif´ıcalo. (Criterios (1), (2) y (4)).
7.8.
Anexo VIII: Actividades de recuperaci´ on
Esta actividad forma parte de la calificaci´on para aquellos alumnos que por distintas razones no han superado los objetivos de la unidad. Todos los ejercicios tienen el mismo valor para la calificaci´on de esta prueba.
1. El segmento que une el centro de una circunferencia con un punto cualquiera de la circunferencia se llama: a) Radio. b) Cuerda. c) Di´ametro. b) Arco. (Este ejercicio abarca el criterio de evaluaci´on m´ınimo n´ umero (5)). 2. Define cuadrado y dib´ ujalo. (Criterios m´ınimos (1) y (4)). 3. Clasifica un tri´ angulo cuyos lados midan 10, 10 y 5 cm. (Criterios m´ınimos (1) y (2)). 82
7.9 Anexo IX: Actividad dise˜ nada para el manejo de los pol´ıgonos telesc´opicos 7 ANEXOS 4. Dibuja un hex´agono regular y sus radios. (Criterios m´ınimos (1) y (6)). 5. ¿Es rect´angulo un tri´angulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm? En caso de ser as´ı indica cu´al es el cateto menor, cu´al es el cateto mayor y cu´al es la hipotenusa. (Criterios m´ınimos (1) y (3)). 6. ¿Cu´antas diagonales tiene un tri´angulo? Realiza un dibujo aclaratorio. (Criterio m´ınimo (1)).
7.9.
Anexo IX: Actividad dise˜ nada para el manejo de los pol´ıgonos telesc´ opicos
Suma de los ´angulos de un pol´ıgono.
Esta actividad se realizar´a tras haber presentado los pol´ıgonos, sus elementos y su clasificaci´on seg´ un su n´ umero de aristas.
7.9.1.
Introducci´ on
Los pol´ıgonos su pueden clasificar por su n´ umero de lados: tri´angulo si tiene 3 lados; cuadril´atero si tiene 4 lados; pent´agono si tiene 5 lados... En un 83
7.9 Anexo IX: Actividad dise˜ nada para el manejo de los pol´ıgonos telesc´opicos 7 ANEXOS
pol´ıgono hay tantos v´ertices como lados tiene, y en cada v´ertice encontramos una amplitud entre las aristas (el ´angulo). Si sumamos los ´angulos de un pol´ıgono, ¿cumplen alguna propiedad?
La presentaci´on de la actividad es corta y da claros indicios de lo que se va a intentar demostrar: si hay alguna propiedad que relacione el n´ umero de lados de un pol´ıgono con la suma de sus ´angulos. Esta actividad se realizar´a por parejas, tratando de buscar la heterogeneidad, para que cada alumno trabaje de manera colaboradora con otro compa˜ nero. Se incitar´a a la interacci´on entre parejas, las m´as pr´oximas por ubicaci´on. Para esta actividad es necesario un aula que permita agrupamiento, un equipo inform´atico con proyector y que tenga instalado un otro programa de geometr´ıa din´amica, y un piezas para la construcci´on de los pol´ıgonos telesc´opicos (aristas telesc´opicas, o las pajitas). Para esta actividad es necesario que los alumnos conozcan los pol´ıgonos y sus elementos.
7.9.2.
Manipulaci´ on de los pol´ıgonos telesc´ opicos
Para cada construcci´ on que realices, apuntad los datos necesarios: ´angulos que forman las aristas, comentarios... 84
7.9 Anexo IX: Actividad dise˜ nada para el manejo de los pol´ıgonos telesc´opicos 7 ANEXOS 1. Construid un tri´ angulo con un ´angulo recto y dos ´angulos de 60o , ¿qu´e ocurre? 2. Construid un tri´ angulo con dos ´angulos de 60o , ¿c´omo tiene que ser el tercer ´angulo? 3. Construid un tri´ angulo con un ´angulo de 30o y otro de 60o , ¿c´omo tiene que ser el tercer ´angulo? 4. Construid tres tri´ angulos cualesquiera y anotad los datos necesarios. Realizad la suma de los ´angulos de cada tri´angulo que hayas construido.
En esta actividad los alumnos construyen tri´angulos y anotan sus caracter´ısticas. La intenci´on de este apartado es que empiecen a sospechar, que la suma los a´ngulos de un tri´angulo es siempre 180o .
7.9.3.
Demostraciones
Realizad las siguientes actividades. En el proyector se mostrar´an dibujos que pueden guiaros a la realizaci´on de las actividades.
1. Construid tres tri´ angulos iguales, y colocad los tres v´ertices distintos 85
7.9 Anexo IX: Actividad dise˜ nada para el manejo de los pol´ıgonos telesc´opicos 7 ANEXOS
juntos, haciendo coincidir los lados de igual medida. Realiza esta actividad 3 veces, esto es, construyendo cada vez otros tres tri´angulos iguales distintos a los ya utilizados. ¿Qu´e observ´ ais? En esta actividad se pretende que los alumnos vean c´omo los tres ´angulos de un tri´angulo forman un ´angulo llano. Como apoyo se mostrar´a la siguiente imagen para que les ayude en la construcci´on de la actividad:
Figura 4: Dibujo explicativo de la actividad realizado con GeoGebra.
2. Construid dos tri´ angulos con una arista de igual longitud y unirlos haci´endolos coincidir, ¿qu´e figura obten´eis? ¿Podr´ıais calcular la suma de los ´angulos de un cuadril´atero sin usar el transportador? En esta actividad se inicia un proceso inductivo para obtener el resul86
7.9 Anexo IX: Actividad dise˜ nada para el manejo de los pol´ıgonos telesc´opicos 7 ANEXOS
tado. La siguiente figura ser´a mostrada para ayudar a los alumnos:
Figura 5: Dibujo explicativo de la actividad realizado con GeoGebra.
3. Construid un pent´agono cualquiera y trazad todas las diagonales de uno de sus v´ertices, ¿qu´e figuras obten´eis? ¿Podr´ıais calcular la suma de los ´angulos de un cuadril´atero sin usar el transportador? Realiza lo mismo con un hex´agono y un hept´agono. La siguiente figura ser´a mostrada para ayudar a los alumnos:
Figura 6: Dibujo explicativo de la actividad realizado con GeoGebra.
87
7.9 Anexo IX: Actividad dise˜ nada para el manejo de los pol´ıgonos telesc´opicos 7 ANEXOS
4. ¿Podr´ıais relacionar el n´ umero de lado de un pol´ıgono y la suma de sus ´angulos interiores? Empezad tratando de averiguar el n´ umero de tri´angulos que forman un pol´ıgono cuyos ´angulos suman los del pol´ıgono, seg´ un el n´ umero de lados del pol´ıgono. La siguiente figura ser´a mostrada para ayudar a los alumnos:
Figura 7: Dibujo explicativo de la actividad realizado con GeoGebra.
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