TRABAJO FIN DE ESTUDIOS MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO, BACHILLERATO, FP Y ENSEÑANZA DE IDIOMAS MATEMÁTICAS

Técnicas motivacionales para la asignatura de Matemáticas

Jaime Martín Fernández Cestau

Tutor: Roberto Castellanos Fonseca Facultad de Letras y de la Educación Curso 2010-2011

Técnicas motivacionales para la asignatura de Matemáticas, trabajo final de estudios de Jaime Martín Fernández Cestau, dirigido por Roberto Castellanos Fonseca (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported. Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright.

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El autor Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2012 publicaciones.unirioja.es E-mail: [email protected]

     

Máster en Profesorado de la Universidad de La Rioja   

Técnicas motivacionales  para la asignatura de  Matemáticas  Proyecto Fin de Máster  Jaime M. Fernández Cestau   

2010/2011

   

ÍNDICE     

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………….. 3   

MARCO TEÓRICO………………………………………………………………………………….4    

Teorías sobre el aprendizaje ………………………………………………………………....5 



Perspectiva Pedagógica ………………………………………………………………….….….8 



Perspectiva Psicológica ……………………………………………………………………..…11 



Perspectiva Sociológica …………………………………………………………………..…...13   

UNIDAD DIDÁCTICA 3º E.S.O: SUCESOS ALEATORIOS Y  PROBABILIDAD………………………………………………………………………………….14      

Eje Organizador………………………………………………………………………………………….14 



Objetivos……………………………………………………………………………………………………15 



Contenidos………………………………………………………………………………………………...16 



Competencias Básicas………………………………………………………………………………..18 



Actividades…………………………………………………………………………………………………19                  De Iniciación y Motivación…………………………………………………………….....19   

De Desarrollo y Aprendizaje………………………………………………………..……21 

 

De Refuerzo y Ampliación…………………………………………………………….....23 

 

De Resumen y Síntesis……………………………………………………………………..26 

 

De Evaluación……………………………………………………………………………………28 



  Recursos materiales…………………………………………………………………………………29 



Metodología……………………………………………………………………………………………30 



Educación en valores e interdisciplinariedad……………………………………………32 



Criterios de evaluación…………………………………………………………………………….33 

1   

   

PROYECTO DE INNOVACIÓN………………………………………………………………34    

Objetivos e Iniciación Educativa…………………………………………………………………………..36 



Metodología………………………………………………………………………………………………………..41     

Realización de Juegos y experimentos probabilísticos………………………………….42 

 

Los inicios de la probabilidad. Fermat y Pascal……………………………………….……..45 

 

Lectura de textos divulgativos y debate posterior…………………………………….….49 

 

Metodología de trabajo para el profesor……………………………………………………...51 

 

Metodología de trabajo para el alumno…………………………………………………..……52 

  

Evaluación………………………………………………………………………………………………………….53 

 

REFLEXIONES FINALES………………………………………………………………………60   

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………….61                         

2   

   

INTRODUCCIÓN   

Este  proyecto  pretende  aportar  técnicas  más  o  menos  novedosas  para  aumentar  el  interés de los alumnos hacia la asignatura de matemáticas. Con las ideas explicadas se  pretende  trabajar  más  competencias  básicas  y  en  mayor  profundidad  que  sólo  ciñéndonos al método clásico de enseñanza. No obstante, no es un método sustitutivo  de  la  idea  clásica  del  proceso  de  enseñanza‐aprendizaje,  sino  que  explicamos  unas  técnicas que pueden sumarse a las tradicionales para mejorar dicho proceso.  Para realizar la defensa, este proyecto se ha dividido en tres partes.  En  la  primera  de  ellas,  se  realiza  un  estudio  del  marco  teórico  en  el  que  se  basará,  atendiendo  a  criterios  pedagógicos,  psicológicos  y  sociológicos.  A  continuación,  se  reproduce una unidad didáctica correspondiente a la Educación Secundaria Obligatoria  para terminar con el proyecto de innovación que consiste en unas técnicas que pueden  sumarse  a  la  unidad  didáctica  del  apartado  anterior  para  una  mejora  del  método  de  enseñanza.         

       

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MARCO TEÓRICO   

 

A la hora de planificar y ejecutar una unidad didáctica o toda una programación 

de  aula  a  un  grupo  de  alumnos,  afrontamos  una  decisión  difícil  de  tomar.  Y  es  que  existen varias teorías pedagógicas y, seamos o no conscientes de su existencia, nuestra  manera de impartir clases se acercará en mayor o menor medida a una de ellas.   

Como es lógico, un docente estará mejor preparado para su labor en el aula si 

conoce  los  diferentes  enfoques  desde  los  que  se  puede  estructurar  la  enseñanza,  siendo  a  su  vez  capaz  de  realizar  un  análisis  crítico  a  los  mismo.  Esta  capacidad  le  permitirá elegir el enfoque que mejor se ajuste a las características de su alumnado en  cada momento, teniendo en cuenta el contexto educativo en el que se encuentre.   

Este  proyecto  intenta  aumentar  la  motivación  que  sienten  los  alumnos  por  la 

asignatura de matemáticas. La falta de motivación es, en nuestra opinión, la principal  razón de los casos de fracaso escolar que se dan en nuestros centros de estudio, por lo  que intentaremos explicar cómo afrontar este problema, concretando nuestro modelo  a la unidad didáctica de Sucesos Aleatorios y Probabilidad de 3º E.S.O.    

Para  evaluar  el  modelo  tanto  sociológico,  como  pedagógico  y  psicológico  del 

alumnado, se tomará en cuenta los grupos de 3º A y 3º B del IES Duques de Nájera, por  ser en los que se impartió la unidad didáctica correspondiente durante el periodo de  prácticas correspondientes al Máster en Profesorado de la Universidad de La Rioja.     

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Teorías sobre el aprendizaje   

 

Aunque  las  creencias  acerca  de  la  enseñanza  en  matemáticas  que  cada  uno 

tenemos influyen, como es lógico, en nuestra manera de impartir clase a un grupo de  alumnos,  podemos  hablar,  principalmente,  de  dos  diferentes  teorías  sobre  el  aprendizaje: la teoría conductista o de absorción y la teoría constructivista.  Modelo conductista   

 

La  teoría  de  la  absorción,  como  su  propio  nombre  indica,  se  basa  en  la 

memorización  de  conceptos.  El  conocimiento  es  adquirido  por  almacenamiento  de  información  aislada  entre  sí.  Esta  teoría  se  basa  en  la  repetición  de  procesos  mecánicos y por un aprendizaje acumulativo.    

El día a día en el aula, suele ser una sucesión de clases magistrales por parte del 

profesor, donde la participación del alumnado es escasa. Además, en la evaluación se  premia  la  respuesta  correcta  y  no  el  camino  que  se  ha  seguido  para  llegar  a  esa  conclusión.    

Por último, cabe destacar, que el libro de texto es un arma muy poderosa para 

los seguidores de esta teoría, ya que funciona como saber oficial y como organizador  de las unidades didácticas a impartir.  Críticas al modelo   

 

Los críticos a esta teoría argumentan que prima el individualismo y la pasividad 

del alumno. Se prefiere una mecánica y rápida, que un proceso lógico‐argumentativo  para llegar a una conclusión. Además, como se basa en la acumulación de conceptos, 

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en  ocasiones  es  complicado  diferenciar  aprendizaje  con  simple  memorización  y,  por  tanto, el alumno puede responder mecánicamente a algunas preguntas sin que haya  una  comprensión  real  del  conocimiento  implicado  en  su  solución.  Por  último,  cabe  señalar, que esta teoría concibe la enseñanza como una ciencia aplicada y al docente  como un portador de conocimientos especiales sobre ella, dando excesiva relevancia al  libro  de  texto,  como  si  fuera  del  libro  no  hubiera  cosas  que  mereciesen  la  pena  ser  aprendidas.  Modelo constructivista   

 

El constructivismo expone que el individuo es una construcción propia que se 

va  produciendo  día  a  día  por  la  interacción  del  ambiente  y  de  sus  disposiciones  internas.  Según  esta  teoría,  la  enseñanza  no  es  solamente  una  transmisión  de  conocimientos, sino que es una organización de métodos de apoyo que permitan a los  alumnos construir su propio saber. Por tanto, trata a alumno como alguien que tiene  comprensión  y  medios  suficientes  para  abordar  situaciones  novedosas.  Es  lógico  pensar  por  lo  ya  expuesto,  que  un  buen  ambiente  para  el  proceso  de  enseñanza‐ aprendizaje será aquel en el que exista una interacción dinámica entre los alumnos y  los profesores, siendo esencial la existencia de actividades dentro de esa relación que  den la oportunidad al alumnado de crear su propia verdad. Se pretende que el nuevo  conocimiento  se  adquiera  pensando,  construyendo,  creando  relaciones  con  un  conocimiento  previo,  a  ser  posible  incentivando  la  curiosidad  del  alumnado  y  proponiendo retos interesantes. Como esta teoría asume que cada individuo construye  su  conocimiento  de  manera  diferente,  la  atención  a  la  diversidad  es  un  elemento  esencial que disminuye el impacto del libro de texto. A la hora de evaluar se tiene más 

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en  cuenta  el  camino  recorrido  que  la  solución  a  la  que  se  llegue,  valorando  así  la  argumentación y el pensamiento.  Críticas al modelo   

 

Los críticos a esta teoría, argumentan que presupone la autonomía del alumno 

y  su  voluntad  por  aprender  y  minimiza  el  papel  del  esfuerzo  y  la  memoria  en  el  aprendizaje,  vaciando  de  contenido  significativo  los  aprendizajes  y  reduciéndolos  a  sólo procedimientos. También, se le achaca que su fruto no es inmediato ni sencillo de  medir, y que el contemplar cada alumno como un mundo es difícil de llevar a cabo sin  invertir  una  enorme  cantidad  de  tiempo  y  recursos  de  los  que  raramente  se  suele  disponer, o sin fomentar la disgregación en el aula. Pese a que en los últimos años se  ha intentado la implantación de esta teoría de aprendizaje en varios países europeos,  recientemente  está  en  entredicho  a  raíz  de  importantes  críticas  que  ha  sufrido  por  parte  de  varios  pedagogos  que  han  llevado  a  que  por  ejemplo  el  Reino  Unido  haya  desterrado este modelo de sus sistemas de enseñanza.               

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PERSPECTIVA PEDAGÓGICA     

Como ya hemos dicho, los grupos en los que impartimos la unidad didáctica de 

Sucesos Aleatorios y Probabilidad en el IES Duques de Nájera fueron 3º A y 3º B. En la  memoria  de  prácticas  de  mi  estancia  en  este  centro,  había  un  apartado  donde  se  describía  a  cada  uno  de  los  grupos  en  los  que  impartí  clase.  Así  pues,  recopilamos  aquella información, para describir pedagógicamente los grupos de 3º A y de 3º B.   

3º A – E.S.O.     

El grupo de 3º A de E.S.O. está formado por 31 alumnos, de los cuales 18 son 

chicos y 13 chicas. De los 31 estudiantes, 6 se encuentran repitiendo curso.   

En  general,  es  un  grupo  donde  impartir  clase  es  una  tarea  complicada.  Si 

decíamos  que  en  el  grupo  anterior  había  tres  alumnos  que  interrumpían  las  explicaciones,  molestaban  a  sus  compañeros  y  no  mostraban  mucho  respeto  por  las  normas cívicas que se deben seguir en un aula, en este grupo, ese número de alumnos  que dificultan el proceso de enseñanza‐aprendizaje es bastante superior. En torno a un  tercio  de  los  alumnos,  o  no  siguen  las  explicaciones,  o  hablan  continuamente  con  el  compañero, o interrumpen haciendo comentarios jocosos, o combinan las actuaciones  anteriores.   

Pese  a  todo,  es  un  grupo  de  alumnos  capaz  de  absorber  con  facilidad  nuevos 

conocimientos y creo que con un poco más de atención en las explicaciones de clase y  potenciando la confianza en ellos mismos se reduciría el alto nivel de suspensos que  obtienen en sus calificaciones. Durante el tiempo que impartí la unidad didáctica que  se explicará más adelante en esta memoria, contestaban bien a las cuestiones que les  lanzaba y realizaban preguntas desafiantes e inteligentes. 

8   

   

 

No  obstante,  el  número  de  alumnos  que  han  dejado  de  trabajar  en  clase  es 

preocupante  y,  de  hecho,  en  los  exámenes  que  realizaron  durante  mi  estancia  en  el  instituto, siempre había seis o siete alumnos que optaban por no contestar a ninguna  pregunta.   

De todas formas, así como decíamos que un tercio de los alumnos son bastante 

alborotadores,  también  hay  varios  alumnos  realmente  interesados  por  la  asignatura,  que estudian, se esfuerzan y tienen inquietudes para con las matemáticas. Cuando les  fotocopié  el  artículo  publicado  en  El  País  titulado  “El  ‘anumerismo’  también  es  incultura”,  algunos  de  estos  alumnos  reconocieron  haberlo  leído  y  me  preguntaron  cuestiones,  que  quizás  escapaban  al  nivel  matemático  adecuado  para  su  edad,  pero  que demostraban su interés por las matemáticas.   

3º B – E.S.O.   

 

Este grupo, a principio de curso, estaba formado por 30 alumnos, pero a lo largo del  mismo  cuatro  alumnos  cambiaron  de  centro  de  estudios  y  un  alumno  se  incorporó  durante  mi  sexta  semana  en  el  instituto.  Así  pues,  ahora  mismo  son  un  grupo  de  27  alumnos,  de  los  cuales  3  están  repitiendo  curso.  Hay  un  número  de  alumnas  que  duplica  al  de  alumnos  (y  con  ese  dato  el  lector  podrá,  fácilmente,  saber  el  número  exacto  de  chicos  y  de  chicas).  En  el  grupo  hay  tres  alumnos  inmigrantes  y,  como  ya  venía  observando  en  experiencias  anteriores  en  un  aula,  el  respeto  que  muestran  estos alumnos por sus profesores es magnífico.   

Es  un  grupo  que,  a  diferencia  de  sus  compañeros  de  curso,  muestra  un 

comportamiento  intachable.  Siempre  atentos,  muestran  mucho  interés  por  la  asignatura, y realizan preguntas inteligentes y con sentido.   

No obstante, pese a que es un grupo trabajador, no tienen la misma facilidad 

para absorber conocimientos como el grupo anterior, pero subsanan ese problema con  su  esfuerzo,  entrega  y  ganas  de  aprender.  Este  esfuerzo  al  que  hacemos  referencia  hace que el porcentaje de aprobados en esta clase sea superior que en la otra, siendo  las pruebas a las que se enfrentan, en muchos casos idénticas.  9   

   

 

Como única pega que se le puede poner a este grupo de 3º E.S.O. es que son un 

poco  dependientes  de  la  figura  del  profesor  en  su  aprendizaje.  No  es  algo  muy  preocupante a su edad, pero en ocasiones lanzaban preguntas antes de que mi tutora  o  yo  mismo  hubiésemos  terminado  la  explicación.  Siempre  es  de  agradecer  la  participación en clase, pero creo que antes de preguntar una cuestión hay que esperar  a escuchar la explicación entera, por si en ella se halla respuesta a la misma.   

Pero, como decíamos, es un grupo magnífico, donde dar clase se convierte en 

una tarea mucho más sencilla gracias a su comportamiento, su interés y su motivación.                           

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PERSPECTIVA PSICOLÓGICA   

 

Los grupos a los que impartimos docencia, como ya hemos dicho, pertenecen a 

grupos de tercero de ESO, por lo que nos encontramos mayoritariamente con alumnos  de  entre  catorce  y  quince  años.  Esto  provoca  un  desajuste  de  los  chicos  y  las  chicas  pertenecientes  a  los  grupos,  ya  que  mientras  que  los  primeros  se  encuentran  finalizando  en  su  mayoría  la  fase  de  adolescencia  temprana,  las  segundas  ya  habrán  alcanzado la adolescencia media.   

Teniendo  en  cuenta  este  hecho,  es  importante  que  conozcamos  las 

características más relevantes de estas dos etapas, que hemos obtenido del material  didáctico que recibimos a lo largo del máster en el que nos encontramos:  Adolescencia temprana:   

Durante la adolescencia temprana los cambios físicos provocan desconcierto y 

es usual que se produzca decepción, disgusto y sentimiento de rechazo por el nuevo  aspecto  físico.  A  nivel  afectivo,  la  vitalidad  y  la  energía  favorecen  la  inclinación  entusiasta  por  casi  todo  y  la  conducta  apasionada,  pero  también  el  desequilibrio  emocional y la aparición de reacciones emocionales primarias como son la inquietud,  la ira o el miedo. Socialmente tienden a distanciarse de la familia y a abrirse al mundo  que hay fuera de ella, y es normal que aparezcan malos modales y faltas de respeto.   

La  respuesta  educativa  recomendada  incluye  el  establecimiento  de  normas  y 

límites  e  intentar  entender  el  fenómeno  de  la  pubertad  y  aceptar  al  adolescente  tal  como  es.  Se  debe  mantener  la  serenidad  y  no  dramatizar,  y  objetivar  las  nuevas  conductas viéndolas como manifestaciones normales del desarrollo evolutivo, además  11   

   

de  dar  un  trato  diferenciado  en  función  del  sexo,  tipo  de  carácter, edad,  aptitudes  e  intereses y escuchar lo que tenga que decir, creando un ambiente de adaptación a sí  mismo y a la realidad en la que vive.    Adolescencia media:   

Durante la adolescencia media, por el contrario, los cambios psíquicos son más 

profundos: se produce el descubrimiento del yo, el adolescente se observa y analiza a  sí  mismo.  Esta  etapa  se  caracteriza  por  la  introspección  y  el  autoconocimiento  al  advertir  la  diferencia  entre  lo  que  es  y  lo  que  quisiera  ser,  además  de  ser  capaz  de  autoevaluar  su  pensamiento,  formular  hipótesis  y  contrastarlas  con  la  realidad  para  deducir  sus  consecuencias.  Nace  además  el  sentido  del  deber,  favorecido  por  la  evolución  moral  y  por  el  hecho  de  que  las  normas  ya  no  sean  vistas  como  algo  coercitivo, sino como valores a respetar.   

En  esta  etapa,  la  respuesta  educativa  debe  basarse  en  la  aceptación  del 

adolescente,  animándole  a  que  actúe  con  sus  propias  conductas,  sin  sustituirlo  en  la  forma de decisiones y valorando esos comportamientos y sus soluciones. También hay  que exigir que afronten las consecuencias de sus actos, debe acostumbrarse a pensar y  a informarse antes de decidir mediante la participación en situaciones en las que tenga  que  valerse  por  sí  mismo,  además  de  aprender  a  sustituir  la  confrontación  por  el  diálogo y la negociación.      12   

   

PERSPECTIVA SOCIOLÓGICA     

 

También explicamos en la memoria de prácticas correspondiente a la estancia 

en el centro, cómo era el contexto socio‐económico‐cultural del alumnado.      

Pudimos  trazar,  por  los  resultados  de  la  encuesta,  un  perfil  medio  del 

alumnado. El alumno medio vive en una familia de clase media compuesta por cuatro  miembros,  ambos  padres  tienen  estudios  medios  (aunque  hay  un  porcentaje  significativo con estudios universitarios), trabajan y van de viaje con sus hijos. Poseen  vivienda en propiedad, equipada con biblioteca y medios informáticos.                   

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UNIDAD DIDÁCTICA 3º ESO:  SUCESOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD     

 

EJE ORGANIZADOR     

El lenguaje cotidiano está lleno de expresiones que hacen referencia al lenguaje 

probabilístico:  “por  suerte”,  “es  previsible  que”,  “casi  seguro  que”…  El análisis  de  las  condiciones  que  deben  darse  en  una  situación  cercana  a  los  alumnos  para  que  sea  factible cuantificar las diferentes posibilidades que pueden surgir es una buena manera  de presentar los contenidos de la unidad. Los alumnos se sorprenden de que contextos  en  los  que  interviene  el  azar  sean  susceptibles  de  tratamiento  matemático  por  asignación  de  la  correspondiente  probabilidad.  Con  ello  adquieren  una  mayor  capacidad  de  abstracción,  incorporan  a  su  lenguaje  habitual  los  términos  y  propiedades  del  cálculo  de  probabilidades  y  pueden  adoptar  actitudes  críticas  ante  determinados fenómenos en los que interviene el azar.  Las  posibles  dificultades  de  los  contenidos  planteados  en  la  unidad  son  fundamentalmente  de  tipo  conceptual,  ya  que  los  procedimientos  incorporan  operaciones aritméticas muy sencillas y los conocimientos previos no van más allá de  un  relativo  dominio  de  las  operaciones  con  fracciones,  de  los  porcentajes  y  de  las  propiedades de la proporcionalidad numérica. Por ello insistiremos en cada momento  en los conceptos clave, analizando su significado en cada actividad que se proponga,  para facilitar su comprensión.    14   

   

OBJETIVOS    

Distinguir experiencias deterministas de experiencias aleatorias. 



Reconocer  sucesos  elementales,  los  sucesos  seguro  e  imposible,  y  el  suceso  contrario de otro dado en un experimento aleatorio. 



Valorar cuantitativamente la probabilidad de que ocurran determinados sucesos. 



Asignar probabilidades a sucesos asociados a experimentos aleatorios. 



Reconocer  sucesos  equiprobables  y,  en  su  caso,  aplicar  la  regla  de  Laplace  para  calcular su probabilidad. 



Aplicar las propiedades para determinar la probabilidad del suceso contrario, de la  unión de dos sucesos, compatibles o incompatibles, y de otros casos sencillos. 



Utilizar  el  lenguaje  propio  de  la  probabilidad  para  describir  la  posibilidad  de  que  ocurra un determinado suceso. 

                              15   

   

CONTENIDOS    Conceptos  

Experimento aleatorio. 



Espacio muestral. 



Sucesos elemental y compuesto. 



Sucesos seguro, imposible, contrario. 



Espacio de sucesos. Unión e intersección.  



Sucesos compatibles e incompatibles. 



Frecuencias absoluta y relativa de un suceso. 



Probabilidad de un suceso. 



Regla de Laplace. 



Propiedades de la probabilidad. 



Sucesos compatibles e incompatibles. Probabilidad de la unión de sucesos.  



Experimentos compuestos. 



Sucesos dependientes e independientes. 



Probabilidad experimental 



Números aleatorios y simulación 

Procedimientos  

Obtención  del  espacio  muestral,  de  los  sucesos  elementales,  del  suceso  seguro  y  del suceso imposible de un experimento aleatorio.  



Cálculo de operaciones con sucesos. 



Detección de sucesos compatibles, incompatibles y contrarios. 



Utilización de la regla de Laplace para determinar la probabilidad de un suceso. 



Utilización  de  las  propiedades  del  cálculo  de  probabilidades  para  determinar  la  probabilidad de un suceso. 



Asignación  de  probabilidades  a  la  unión  de  dos  sucesos,  compatibles  o  incompatibles. 



Asignación de probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos compuestos. 



Cálculo  de  la  probabilidad  de  la  intersección  de  dos  sucesos,  dependientes  o  independientes. 

16   

   

Actitudes    

Reconocimiento  de  la  aplicación  del  cálculo  de  probabilidades  cuando  se  tienen  que predecir resultados de fenómenos relacionados con situaciones cotidianas. 



Interés por describir de forma precisa y con el lenguaje adecuado los resultados de  un experimento aleatorio. 



Valoración  crítica  de  la  información  recibida  sobre  experiencias  en  las  que  interviene el azar. 



Valoración  positiva  del  trabajo  en  equipo  al  planificar  y  desarrollar  actividades  relacionadas con el cálculo de probabilidades.  



Valoración de la matemática como un instrumento necesario en el conocimiento y  desarrollo de otras áreas del pensamiento humano.  

 

                             

17   

   

COMPETENCIAS BÁSICAS     

-

Analizar  las  características  de  un  experimento  para  determinar  si  los  sucesos  son  aleatorios o no. (C2) 

-

A partir del conocimiento de la probabilidad de un suceso comprender la mecánica  de los juegos de azar. (C2, C3) 

-

Relacionar  el  cálculo  de  probabilidades  con  la  predicción  de  ciertos  fenómenos  habituales como el clima, las enfermedades, las tendencias de moda…. (C2, C3, C6) 

-

Conocer  el  lenguaje  específico  del  cálculo  de  probabilidades  para  analizar  correctamente los sucesos aleatorios. (C2, C4)  

-

Tener  sentido  crítico  ante  las  informaciones  que  recibimos  diariamente  y  que  contienen términos probabilísticos. (C2, C4, C5, C8) 

    C2: Competencia Matemática.  C3: Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.  C4: Tratamiento de la información y competencia digital.  C5: Competencia social y ciudadana.  C6: Competencia cultural y artística.  C8: Autonomía e iniciativa personal.                    18   

   

ACTIVIDADES      Actividades de iniciación y motivación     

Las actividades de iniciación y motivación se llevarán a cabo de manera 

espaciada entre las sesiones de la unidad didáctica, como ya hemos explicado en la  metodología. No obstante, la mayoría de ellas se plantearán en la primera sesión para  captar la atención del alumnado.  Actividades   

1.‐ Dos señores han apostado 4 euros cada uno a un juego que consiste en lanzar una  moneda y cada vez que sale cara el primero de ellos gana una partida y, por el  contrario, si sale cruz es el otro señor el que gana una partida. Habían pactado que el  primero que ganara 10 partidas sería el ganador del juego y, por tanto, se llevaría todo  el dinero, pero el juego se interrumpe cuando el primero de los dos señores lleva 8  partidas ganadas y el segundo 7. ¿Cómo deben repartirse el dinero?   

2.‐ El Caballero de Meré escribió una carta a los matemáticos Pascal y Fermat  preguntándoles a cerca de la siguiente cuestión: Si lanzamos un dado cuatro veces,  ¿debo apostar a que no saldrá ningún seis o por el contrario, a que si saldrá algún seis  en alguna de las tiradas?    3.‐ Demuestra que la probabilidad de que dos personas asistentes a una comida en la  que hay 23 comensales cumplan años el mismo día del año es superior al 50%.         

19   

   

4.‐ Un verdugo aficionado al juego le explica a un preso un juego del que dependerá su  vida. El verdugo pone a disposición del preso dos urnas vacías y posteriormente 5  bolas blancas y 5 negras. El preso debe colocar las bolas dentro de las urnas de tal  manera que, primero haciendo una selección al azar entre las dos urnas y luego  introduciendo la mano y sacando una bola al azar de la urna seleccionada, si obtiene  una bola blanca salvará su vida mientras que por el contrario, si la bola extraída es  negra será condenado a muerte. ¿Cómo debe el preso organizar las bolas en las urnas  para que sus posibilidades de supervivencia sean mayores?                                         

20   

    Actividades de desarrollo y aprendizaje     

Las actividades de desarrollo son la base de la unidad, pues ejercitan los 

contenidos de la misma. La selección de las actividades se ha realizado en función al  tipo de conocimiento trabajado y en lo atractivas que pueden resultarles a los  alumnos.    Actividades   

1.‐ Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios:     

Número de personas que suben a un autobús en una parada.  Aplicar el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo.  Conocer el ganador de la Liga de Campeones.  Calcular la raíz cuadrada de un número. 

  2.‐ Se lanza un dado cúbico. Indica el espacio muestral. Indica también los sucesos  elementales que forman cada uno de estos sucesos.      

Sacar un múltiplo de 3.  Sacar un número menor que cuatro.  Sacar un cero.  Sacar un número primo mayor que 3.  Sacar un número menor que 7. 

3.‐Sonia tiene 2 pantalones de deporte, 4 camisetas y 3 pares de zapatillas. ¿De  cuántas maneras se puede vestir para hacer ejercicio?  4.‐En una urna hay 30 bolas numeradas del 1 al 30. Se extrae una bola al azar. Calcula  la probabilidad de que la bola extraída:     

Sea un número par.  Sea un número que termina en 0.  Sea un múltiplo de 5.  No sea múltiplo de 3. 

21   

   

5.‐Se lanza un dado al aire y se consideran estos sucesos:   

A=”sacar un número par”. 

 

B=”sacar menos que 3”. 

 

C=”sacar un cinco”. 

Forma los siguientes sucesos y halla su probabilidad      

A U B  B Λ C  Ᾱ U B U C  A U B Λ C  B Λ Ᾱ 

  6.‐Una bolsa contiene 4 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Se extraen, sin devolución, 2  bolas de la bolsa. Calcula la probabilidad de estos sucesos.     

Se extraen las dos rojas.  No se extrae ninguna bola verde.  Se extraen dos bolas del mismo color.  Se extraen dos bolas de distinto color considerando que ha habido  devolución a la urna de la bola extraída. 

7.‐ ¿De cuántas formas diferentes se pueden rellenar los quince partidos de una  quiniela con 1, X, 2?  8.‐ En una bolsa hay seis monedas de 50 céntimos, 4 de un euro y 5 de dos euros.  Sacamos una moneda al azar y, sin devolverla a la bolsa, sacamos una segunda  moneda. Calcula la probabilidad de sacar en total:   Cuatro euros.   Más de un euro.   Menos de cuatro euros.  9.‐ En una nevera hay 6 tomates verdes, 4 tomates rojos, 3 limones y 5 naranjas.  Sacamos una pieza al azar. Halla la probabilidad de:   Sacar un tomate verde   No sacar un tomate   Sabiendo que es un tomate, que sea rojo.    22   

    Actividades de refuerzo y ampliación   

Responden a las medidas de atención a la diversidad que hay que poner en 

 

práctica a la hora de explicar una unidad didáctica. No todos los alumnos tienen la  misma facilidad y con este tipo de actividades habrá que conseguir motivar a los  alumnos que adquieren conocimientos con facilidad y a la vez potenciar las aptitudes  de los alumnos que hayan tenido más dificultados con los conceptos explicados.    Actividades de refuerzo   

1.‐ Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas y se consideran los  sucesos:  A=”sacar una copa”.  B=”sacar un rey”.  C=”sacar una carta menor que cinco”.  Determina estos sucesos y calcula sus probabilidades:       

A U B, A U C y B U C.  A Λ B, A Λ C y B Λ C  A U B U C y A Λ B Λ C  El suceso contrario de C  El suceso contrario de la unión de los sucesos A y B.  La unión del suceso contrario de A y del suceso contrario de C. 

  2.‐ Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 2 negras.  ¿Cuál es la probabilidad de que no sea negra?    3.‐ Calcula la probabilidad de obtener un as o un oro al extraer una carta de una baraja  española.    23   

   

4.‐ ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una ficha de dominó al azar, la suma de sus  puntos sea 12?¿Y de que sea 5?¿Y de que no aparezca el 6 en ninguno de los dos  cuadrados?    5.‐ Se lanza una moneda tres veces. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:   Sacar 3 cruces.   Obtener al menos una cara.                                         

24   

    Actividades de ampliación   

1.‐ En una lotería primitiva se extraen de un bombo bolas numeradas del 1 al 49. Se  extrae la primera bola.   ¿Es más probable que acabe en 5 que en 10?   ¿Es más probable que sea un número par o que sea menor que 24?   ¿Es más probable que sea un número de dos cifras que empiece por tres o que  sea un número múltiplo de tres?    2.‐ Sean A y B dos sucesos tales que P(A)=0.3 y P(B)=0.2. ¿Es posible que P(A U B)=0.6?    3.‐ Calcula la probabilidad del suceso A, sabiendo que 2*P(A) + P(Ᾱ)=1,4.    4.‐ Si A y B son dos sucesos tales que P(A)=2/3, P(B)=1/2 y P(Ᾱ Λ B)=1/5, calcula P(A U  B).    5.‐ Lanzamos dos dardos sobre una diana de forma cuadrada que tiene dibujada su  circunferencia inscrita. Cuando el dardo entra dentro de la circunferencia obtenemos  un punto, y si entra en el cuadrado pero no en la circunferencia obtenemos dos  puntos. Calcula la probabilidad de obtener tres puntos.     

Cabe señalar que las actividades que incluimos como de motivación, encajan 

también en el perfil de ampliación. Al fin y al cabo, la labor fundamental de las  actividades de ampliación es la de motivar a los alumnos con mayor facilidades a la  hora de absorber los conocimientos de la unidad didáctica.        25   

    Actividades de resumen y síntesis   

Son las actividades cuya función es la de potenciar el aprendizaje adquirido a lo 

 

largo de la unidad didáctica. La selección de estas actividades debe cubrir todos los  contenidos expuestos y los objetivos marcados en esta unidad.    Actividades   

1.‐ Se lanza un dado. Determina la probabilidad de que haya salido un 2, sabiendo que  ha salido un número menor que cinco.    2.‐ En un garaje hay 4 coches de la marca A, de los cuales 2 son negros, y 6 coches de la  marca B, de los cuales 4 son negros. Calcula la probabilidad de que al elegir un coche al  azar:       

Sea de la marca A  Sea negro  Sea negro de la marca A  Sea de la marca B, pero no negro  Sabiendo que es negro, sea de la marca B.  Sabiendo que es de la marca A, sea negro. 

  3.‐ Un bombo tiene 3 bolas numeradas del 1 al 3 y un segundo bombo tiene 5 bolas  numeradas del 1 al 5. Se saca una bola del primer bombo y, a continuación, una bola  del segundo. Calcula la probabilidad de que salga:   El número 34.   Un número mayor que 15.   Un número menor que 30.    4.‐ Calcula la probabilidad de obtener un as o un oro al extraer una carta de una baraja  española.    26   

   

  5.‐ Una urna contiene 8 bolas rojas, 5 verdes y 9 azules. Determina la probabilidad de  que al extraer una bola al azar:   Sea verde.   Sea roja o azul.    6.‐ Expresa el espacio muestral y el espacio de sucesos asociado a cada uno de estos  experimentos aleatorios:   Se lanza una moneda y se anota el resultado de su cara superior.   Se lanza un dado de quinielas que tiene tres caras con un 1, dos con una X y una  con un 2, y se anota el resultado de la cara superior.   Se extrae, sin mirar, una bola de una urna que contiene ocho bolas numeradas  del 1 al 8.    7.‐ Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6 y se anota el número de la cara  superior. Determina estos tres sucesos y sus contrarios.    8”. 

A=”salir impar”, B=”salir número menor que 4” y C=”salir número mayor que 

Se extrae una carta de una baraja española, y se lanza un dado tetraédrico y una  moneda. ¿Cuántos resultados diferentes podemos obtener?                     

27   

    Actividades de evaluación   

Un modelo de prueba para medir los conocimientos adquiridos por los alumnos a lo  largo de la unidad didáctica sería el siguiente:  Actividad 1(1,5 puntos): Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios.  1. 2. 3. 4.

El resultado de un partido de baloncesto  El lanzamiento de un dado.  El cálculo del área de la superficie de un triángulo.  El precio de una llamada de teléfono. 

Actividad 2(1,5 puntos): En un experimento aleatorio que consiste en sacar una carta de una  baraja española, se consideran los siguientes sucesos:   

A=”sacar un rey”, B=”sacar una copa” y C=”sacar un número menor que 3”. 

Determina estos sucesos y calcula sus probabilidades:     

El contrario de C  A U B  B Λ C  A Λ C 

Actividad 3(1,5 puntos): Una pareja tiene tres hijos. Halla la probabilidad de estos sucesos:     

Los tres son chicos  El mayor es chico y los otros dos chicas  El segundo es chico  Sabiendo que uno de ellos es chico, que el mayor sea chica. 

Actividad 4(1,5 puntos): Si A y B son dos sucesos tales que P(B)=0.4, P(Ᾱ)=0.3 y P(A Λ B)=0.2,  calcula  P(A U B).  Actividad 5(2,5 puntos): Considera los números de 5 cifras.     

¿Cuántos son capicúas?  ¿Cuántos son impares?  ¿Cuántos tienen las cinco cifras distintas?  ¿Cuántos son pares, capicúas y mayores que 50000? 

Actividad 6(1,5 puntos): En una caja hay un número desconocido de bolas blancas y una bola  negra. Se extraen de la caja simultáneamente dos bolas al azar, sin reemplazamiento. Si la  probabilidad de que ambas sean blancas es 0,5, calcula el número de bolas blancas que hay en  la caja.      28   

   

RECURSOS MATERIALES   

    

Libro de texto.  Pizarra y tizas.  Urnas y pelotas de pimpón blancas y negras.  Artículo de El País: El ‘anumerismo’ también es incultura añadido en el anexo II.  Ordenador y proyector de video. 

                                            29   

   

METODOLOGÍA     

En la primera sesión, lo primero que hacemos es dictarles los dos problemas 

históricos con los que algunos historiadores opinan que nació la probabilidad y que  están explicados en la sección de actividades de motivación dentro de esta misma  unidad didáctica. Les explicamos que una vez estudiada esta unidad, podrán ser capaz  de resolverlos.   

A lo largo de las seis primeras sesiones, alternaremos las explicaciones de los 

contenidos ya expuestos, con la resolución de las actividades de iniciación y  motivación y las actividades de desarrollo y aprendizaje. En una de esas sesiones,  mandamos a un tercio de nuestro alumnado realizar una pequeña biografía de Laplace,  a otro tercio de Fermat y al último tercio de Pascal.   

Aprovechando que una de esas sesiones estaba programada para un día que 

era viernes, ocupamos la última media hora realizando el ejercicio del verdugo y el  preso (explicado en la sección de actividades de refuerzo y motivación), resolviendo los  dos problemas históricos planteados, leyendo las biografías de los tres matemáticos ya  citados, y leyendo y comentando el artículo de El País añadido en el anexo II.   

La séptima sesión va destinada a realizar las actividades de resumen y síntesis. 

Además, se utiliza el ordenador y el proyector para visualizar una escena de la serie de  televisión Numbers, en la que aparece el problema de Monty Hall, que en el artículo de  El País, lo titulan Saber y Ganar.   

Por último, en la última sesión se terminan las actividades de refuerzo y 

ampliación para las que no hemos tenido tiempo en sesiones anteriores y se realiza  30   

   

una batería de preguntas cortas con el objetivo de que los conceptos teóricos  aprendidos se aprendan mejor.                             

31   

   

EDUCACIÓN EN VALORES E INTERDISCIPLINARIEDAD    Recurso matemático   

 

El aprendizaje de los contenidos expuestos, supone adquirir herramientas  muy 

utilizadas en otras ciencias y ramas del conocimiento como pueden ser la física, la  química, la biología, la psicología, la medicina, la economía…etc.    Nociones históricas   

 

Al estudiar esta unidad didáctica, los alumnos conocen la figura de tres 

matemáticos ilustres como son Laplace, Fermat y Pascal, pudiéndolos localizar en el  tiempo y al realizar sus biografías, conocer un poco del convulso periodo de la historia  francesa en el que le tocó vivir al primero de ellos.                         

32   

   

CRITERIOS DE EVALUACIÓN   

1. Distinguir  experimentos  aleatorios  de  los  que  no  lo  son.  Obtener  el  espacio  muestral  utilizando  técnicas  de  recuento  y,  en  su  caso,  describir  los  sucesos  elementales que conforman un suceso.  2. Realizar operaciones con sucesos.  3. Asignar  probabilidades  a  un  suceso  basándose  en  la  regla  de  Laplace  y  en  las  propiedades del cálculo de probabilidades.  4. Determinar  la  probabilidad  de  sucesos  en  experimentos  compuestos  para  casos  sencillos.  5. Distinguir  cuándo  dos  sucesos  son  dependientes  o  independientes,  y  asignar  probabilidades a sucesos en ambos casos.                                       

33   

   

PROYECTO DE INNOVACIÓN   

 

Es  frecuente  encontrarse  ante  grupos  de  alumnos  que  han  perdido  la 

motivación  por  la  asignatura  de  matemáticas.  Son  muchos  los  estudiantes  que  consideran  las  matemáticas  como  un  ente  cerrado,  estático,  aburrido  y  sin  utilidad  práctica, lejos de mi creencia de que las matemáticas son una ciencia y un arte cuya  presencia se nota en la mayoría de ramas del conocimiento humano, siendo a su vez  una ciencia en continuo cambio y/o ampliación.   

La idea para la realización de este trabajo de innovación me surgió recordando 

una  experiencia  que  tuve  con  un  alumno  durante  mi  periodo  de  prácticas  en  el  IES  Duques de Nájera. Este alumno opinaba que en matemáticas no había nada nuevo que  descubrir y que no servían para nada. Su segunda afirmación fui refutándola durante  las siguientes jornadas lectivas con problemas de la vida cotidiana que se resolvían con  matemáticas,  más  concretamente  con  resultados  probabilísticos  ya  que  esa  era  la  unidad didáctica en la que nos encontrábamos. Para hacerle ver lo equivocada de su  primera afirmación le mandé buscar la biografía de Kurt Gödel y más concretamente  que leyera acerca de sus dos teoremas de incompletitud. Mostrar a este alumno que  se puede demostrar matemáticamente que existen problemas expresados en lenguaje  matemático  que  no  se  pueden  demostrar  con  matemáticas  me  pareció  una  bonita  manera de hacerle ver su error.   

Por  eso  mismo,  en  este  trabajo  de  innovación  la  historia  de  las  matemáticas 

juega  un  papel  importante,  porque,  en  mi  opinión,  a  menudo  la  asignatura  de  matemáticas se reduce a aprender fórmulas, hacer ejercicios y realizar problemas, sin 

34   

   

entrar  a  valorar  el  porqué  de  las  cosas  ni  el  cómo  surgieron,  cuestiones  que  me  parecen fundamentales para un buen aprendizaje de cualquier conocimiento.   

A  parte  de  la  historia  de  las  matemáticas,  usamos  otras  dos  herramientas 

principales para intentar aumentar la motivación de los alumnos. Uno es el empleo de  juegos, siempre que sea posible, para cubrir los contenidos conceptuales, actitudinales  y  procedimentales  de  la  unidad  didáctica.  El  otro  es  la  lectura  de  algunos  textos  divulgativos, con lo que intentaremos aumentar la participación y fomentar el interés  por el tema que nos ocupa.                        

35   

   

OBJETIVOS E INTENCIÓN EDUCATIVA   

 

Como hemos comentado en la introducción de este proyecto de innovación, lo 

que buscamos con él es aumentar la motivación de los alumnos en la asignatura de  matemáticas.    

Este ambicioso objetivo, lo intentaremos cumplir mediante el uso de tres 

técnicas principales: juegos donde aparezcan contenidos de la unidad didáctica,  análisis del surgimiento de la probabilidad e interpretación de los matemáticos que  aparecen más fuertemente ligados al inicio de esta rama de las matemáticas, y lectura  y posterior debate en torno a determinados textos divulgativos que sean ricos en  cuanto a conclusiones extraíbles de ellos y que, obviamente, sean apropiados para el  nivel de 3º E.S.O. que es el que nos ocupa.    Uso de juegos :   

El uso de juegos como elemento para el proceso de enseñanza‐aprendizaje es 

un recurso con el que buscaremos una mayor atención por parte del alumnado al  desarrollo de la clase. A menudo, las matemáticas se ven en desigualdad de  condiciones frente a otras asignaturas científicas como son la física, la química o la  biología debido a que en la ciencia que nos ocupa no se suelen hacer trabajos de  laboratorio y eso reduce la motivación del alumnado. Los juegos nos permiten  igualarnos a esas materias a las que hacíamos referencia anteriormente.   

Si tomamos un problema y pedimos a los alumnos que busquen una solución 

por medio de los canales tradicionales (bolígrafo y papel) obtendremos, en general,  36   

   

peores resultados que si presentamos ese mismo problema como un juego ya que el  aprendizaje se realizará de una manera más atractiva para el alumno.    

En ese sentido, podemos, como profesores, aprovecharnos de la 

competitividad que tienen los alumnos entre sí a estas edades, y fomentar así una sana  competitividad por obtener la solución a un problema. Además, los juegos en los que  interviene el azar son una importante medida de atención a la diversidad ya que en  ocasiones alumnos que tradicionalmente obtienen malos resultados pueden ganar a  los que destacan en la asignatura.   

Es importante, bajo nuestro punto de vista, realizar los experimentos en clase 

ya que, por la unidad didáctica en la que nos encontramos, van a ser juegos donde no  se gane seguro, sino que el objetivo será tener las mayores probabilidades de ganar.  Esto nos inicia en la teoría de la decisión y hará ver a los alumnos que una buena  decisión nos puede llevar a una derrota y una mala decisión nos puede llevar a la  victoria. Es fundamental que esta idea cale en las mentes del alumnado porque es un  principio básico de la probabilidad.   

No obstante, el uso de juegos o la realización de experimentos no deben ser 

tomados como una receta mágica contra la falta de motivación del alumnado y no  debemos, por tanto, abusar de su uso. Pero combinar las explicaciones con la  resolución de problemas y la realización de experimentos en su justa medida, hará que  el alumno aprenda mientras se divierte.     

37   

   

Análisis del inicio de la probabilidad :   

Creemos que cuando se estudia una teoría o una rama del conocimiento es 

importante saber cómo esta surgió. No es necesaria una explicación detallada de los  inicios de la probabilidad moderna, pero es interesante que los alumnos adquieran  conocimientos históricos básicos de las matemáticas ya que así se muestra el aspecto  humano de las mismas. Además, dar una idea de los inicios de la probabilidad nos  permite dar una idea de lo dinámicas que son las matemáticas y también establecer  una relación interdisciplinar entre nuestra materia y otras que estudian nuestros  alumnos. Así, por ejemplo, se puede mencionar la Revolución Francesa al hablar de la  ley de Laplace y al comentar la relación que hubo entre este matemático y Napoleón  Bonaparte se huye de esa idea preconcebida y falsa que nuestros alumnos pueden  tener de que las matemáticas están totalmente alejadas del resto de materias que  estudian.   

No obstante, la explicación histórica del inicio de la probabilidad no será el eje 

transversal de este punto, sino que lo que buscaremos será que nuestros alumnos se  pongan en la piel de los considerados padres de la probabilidad: Fermat y Pascal. Lo  que se pretende es, a parte de desentrañar los dos problemas del caballero de Meré,  explicar el modo de actuar de Fermat con otros matemáticos de la época. Como éste  tenía por afición enviar cartas a otros pensadores coetáneos suyos, retándoles a que  resolvieran problemas para los que él ya tenía la solución, intentaremos motivar a  nuestros alumnos de la misma manera, alternando ellos el papel de retador (Fermat) y  retado (Pascal).    38   

   

Lectura de textos divulgativos y debates posteriores:   

En general, el tiempo ajustado y la necesidad de cumplir con un programa dado 

en ese tiempo hace complicado que en clases de matemáticas se puedan dar  discusiones acerca de determinados temas, conceptos o problemas. Los alumnos  pueden tener la idea preconcebida de que en matemáticas no hay debate, sino que  hay problemas y soluciones, acertadas o erróneas, a esos problemas. Lo que se  pretende con la incorporación de estos textos divulgativos al desarrollo de la unidad  didáctica de probabilidad es que el alumnado deje de pensar que su opinión no cuenta  frente a la opinión del profesor y que piensen sobre los conceptos adquiridos de una  manera más pura que utilizándolos para la resolución de actividades y problemas.    

Creemos que la comprensión de los textos aquí seleccionados o de otros que 

los alumnos hayan podido encontrar, hará mucho más fuerte la asimilación de  conceptos por parte del alumnado, y además permitirá un enriquecimiento personal,  no sólo de los alumnos, sino también del profesor al escuchar y valorar las opiniones  del resto de participantes en el debate.   

Además, se intenta fomentar otra idea que consideramos de vital importancia, 

que es que los alumnos sepan “hablar en matemáticas”, incrementando así su  capacidad lingüística, dado que deberán entender textos matemáticos y saber  expresar sus propias ideas de manera oral para que otros compañeros puedan  asimilarlas.   

Por último, pero no por ello menos importante, la probabilidad es una rama de 

las matemáticas que está muy presente en nuestro día a día. Es muy común, que  veamos un telediario o abramos un periódico y nos aborden con porcentajes y cifras  39   

   

que tienen su origen en datos estadísticos. Con la incorporación de estos textos se  intenta que los alumnos adopten un mayor cumplimiento de competencias básicas  como son el tratamiento de información, fomentando una predisposición crítica ante  cualquier información que reciban haciendo con ello que estén mejor formados como  ciudadanos. No se pretende realizar una crítica gratuita al trabajo de otros gremios,  pero sí estar alerta ante el posible mal uso, por desconocimiento o con alevosía, de las  matemáticas en general y de la probabilidad en particular por algunos individuos que  se dedican a determinadas profesiones.   

Además, con todo esto, se fomenta la lectura a una generación nacida ya en la 

era digital.                      40   

   

METODOLOGÍA     

El  modelo  que  se  presenta  en  este  trabajo  concibe  el  proceso  de  enseñanza‐

aprendizaje  como  una  interacción  fluida  entre  los  alumnos  y  entre  los  alumnos  y  el  profesor a través de determinadas actividades que en principio serán diseñadas por el  docente,  todo  ello  para  alcanzar  los  objetivos  marcados  en  una  unidad  didáctica  de  una manera más amena y divertida que con el método tradicional.   

La búsqueda de este objetivo se realiza mediante el intento de incrementar la 

motivación que los alumnos tienen por la asignatura de matemáticas, ya que opinamos  que el proceso de aprendizaje es mucho más fluido si los alumnos están interesados en  el tema a estudiar, y eso llevará a una mayor motivación del docente para realizar de  una manera óptima su labor educativa.   

Como ya hemos comentado con anterioridad, pero creemos que es importante 

remarcarlo, no es un modelo sustitutivo al método tradicional de enseñanza, sino que  en este trabajo pretendemos dar armas a los docentes para aumentar la motivación de  los  alumnos.  Si  todas  las  clases  de  la  asignatura  de  matemáticas  se  convierten  en  la  realización  de  actividades  como  las  que  mostraremos  más  adelante,  probablemente  las  técnicas  que  aquí  se  presentan  para  aumentar  la  motivación  del  alumnado  perderán su potencia y propósito.    

No vamos a ser, por tanto, muy estrictos en lo que a la metodología se refiere, 

sino que plantearemos técnicas que el futuro docente puede implementar a su antojo  en función del contexto educativo en el que se encuentre. 

41   

   

 

Ya  hemos  explicado  en  el  apartado  anterior,  que  intentaremos  buscar  ese 

aumento de la motivación por la asignatura de matemáticas en nuestros alumnos con  tres técnicas.   

1.­ REALIZACIÓN DE JUEGOS Y EXPERIMENTOS PROBABILÍSTICOS     

La  realización  de  experimentos  y  el  uso  de  los  juegos  matemáticos  puede  ser 

enfocada  de  diversas  maneras.  El  docente  que  lleve  a  la  práctica  esta  técnica  de  motivación tendrá que valorar, en función de las características de su alumnado, cómo  realizar la organización de estos juegos.   

En  mi  caso,  durante  mi  estancia  de  prácticas  en  el  I.E.S.  Duques  de  Nájera 

contaba con dos cursos de 3º E.S.O. Para la realización de los experimentos y juegos en  el grupo de 3º A, opté porque la mayoría de los experimentos fuesen realizados en la  mesa  del  profesor  y  los  alumnos  saliesen  al  frente  de  la  clase  para  probar  sus  estrategias frente a los problemas propuestos. En cambio, en las clases con el grupo de  3º  B,  los  alumnos  se  distribuyeron  en  parejas  o  en  grupos  de  varios  estudiantes  (dependiendo del juego) y yo, como docente en prácticas, me iba desplazando por los  distintos grupos aconsejando y escuchando sus ideas.   

Esta  variedad  de  estrategias  se  debía  al  mal  comportamiento  que  en  general 

mostraban  los  alumnos  del  grupo  A,  por  lo  que  temía  que una  clase  planteada  en el  grupo  A  con  la  misma  organización  que  en  el  grupo  B  se  convirtiera  en  un  caos  absoluto.  No  obstante,  nos  inclinamos  a  pensar  que  el  modelo  de  organización  del  grupo B es mejor para la labor que nos ocupa.  42   

   

JUEGO 1: LA CARRERA DE F1   

Este es un juego pensado para cuatro jugadores, por lo que organizaremos a los 

alumnos en grupos de cuatro. No obstante, no hay inconveniente en que algún grupo sea de  3 ó 5 estudiantes. Es un juego que cubre varios de los objetivos programados para la unidad  didáctica explicada en este trabajo.  

Dado un tablero como el que se muestra, dos dados cúbicos y cuatro fichas de coches  de carreras, cada jugador elegirá un número de los que hay en el tablero teniendo en  cuenta que cada vez que se tire el dado y la suma de lo obtenido en ambos dados sea  ese número, la ficha que haya en ese número avanzará una casilla. Gana el jugador  que primero llegue a la meta. 

12 

  

  

  

  

META 

7 

  

  

  

  

META 

13 

  

  

  

  

META 

1 

  

  

  

  

META 

6 

  

  

  

  

META 

2 

  

  

  

  

META 

9 

  

  

  

  

META 

4 

  

  

  

  

META 

10 

  

  

  

  

META 

3 

  

  

  

  

META 

8 

  

  

  

  

META 

11 

  

  

  

  

META 

5 

  

  

  

  

META 

   

 

        43   

   

JUEGO 2: TRES DADOS DIFERENTES   

Este  es  un  juego  para  dos  jugadores  y,  al  igual  que  el  anterior,  es  un  juego 

donde la estrategia es fundamental. También cubre varios de los objetivos que hemos  marcado para la unidad didáctica.  Tenemos tres dados de distinto color: el rojo tiene en sus caras los números 2, 4 y 9,  los tres duplicados; el azul los números 3, 5 y 7, también duplicados, y el blanco los  números 1, 6 y 8, repetidos los tres como en los otros dos dados. El juego, para dos  jugadores,  consiste  en  elegir  un  dado  cada  uno  y  luego  tirar  los  dados  elegidos  ganando el que obtenga mayor puntuación.  JUEGO 3: LOS TRES PISTOLEROS   

Este es un juego para tres jugadores en el que los alumnos tienen que descubrir 

cuál es la estrategia ganadora para su “supervivencia”. Cada alumno en cada grupo de  tres se pondrá en la piel de un pistolero y decidirá su estrategia para vivir. El juego se  modeliza con un dado cúbico. A acierta si obtiene un 5 o un 6, B acierta si obtiene un 3,  un 4, un 5 o un 6 y C acierta siempre.  Tres pistoleros A, B y C se retan en un duelo a tres bandas. Han decidido que como A  es el menos hábil con la pistola ya que acierta una de cada tres veces sea el primero  en disparar. B, que acierta dos de cada tres veces, será el segundo en disparar a no  ser  que  haya  muerto  cuando  llegue  su  turno  y  C  que  es  un  hábil  tirador  y  acierta  siempre  será  el  último  en  caso  de  llegar  su  turno.  El  duelo  termina  cuando  sólo  quede un pistolero vivo.    44   

   

2.­ LOS INICIOS DE LA PROBABILIDAD. FERMAT Y PASCAL.     

Con esta técnica motivacional pretendemos que los alumnos vean el aspecto 

humano de las matemáticas y con ello incrementar sus ganas por aprender. Además, el  desarrollo histórico ayuda a ordenar los temas en el currículo y, es posible, que los  alumnos sientan bienestar al realizar la comprensión de conceptos y no sólo mediante  problemas y actividades.   

Es interesante en el tema que nos ocupa, que los alumnos entiendan que el 

inicio de la teoría de la probabilidad es la primera vez en la historia de la humanidad en  la que se hicieron predicciones acerca del futuro con verdadera base científica aunque  esas predicciones eran sólo referidas a cómo terminarían determinados juegos de azar.   

Y es que los juegos de azar siempre han sido muy populares. Ya desde la 

Antigüedad se conocen representaciones preciosas de juegos de dados. Con frecuencia  se jugaba por dinero, y con frecuencia entre victorias y derrotas se desenvolvía una  reñida pugna.   

En el siglo XVII surgió la siguiente pregunta: si un juego consistente en varias 

rondas se interrumpe antes de tiempo, ¿cómo se reparten las apuestas? Esta cuestión  la planteó Antoine Gombaud, conocido como el Caballero de Méré, en el año 1654, y  para ello se topó con la persona idónea, Blaise Pascal, el cual debatió ese interrogante  durante un célebre intercambio epistolar con Pierre de Fermat, en el curso del cual se  establecieron las bases de la teoría de la probabilidad. 

45   

   

 

Una vez contado el inicio de la probabilidad, nos parece importante contar 

algunas anécdotas sobre el tema que, creemos, hará que aumente la atención de los  alumnos hacia el profesor.   

Así, se puede contar que el matemático italiano Girolamo Cardano ya había 

intentado un siglo antes dar solución a este problema basándose en los aciertos que  llevaba cada uno de los jugadores.   

También se puede contar que tanto Fermat como Pascal “aparecen” en la 

película española “La habitación de Fermat”, intentando fomentar así el gusto del  alumno por otras artes.   

Y por último, es importante decir que el matemático Pierre de Fermat se 

divertía en su tiempo resolviendo problemas y retando por correspondencia a otros  matemáticos (principalmente ingleses) a que los resolvieran.   

Esta última anécdota es importante porque nos introduce en lo que hemos 

llamado el juego del retador contra el retado. Organizando a los alumnos por parejas,  daremos a cada uno de ellos un problema de los que se mostraran a continuación. Así,  para el problema que le ha sido asignado el alumno tomará el papel de Fermat o  retador, mientras que el otro alumno será Pascal o el matemático retado. Cada alumno  tiene que resolver dos problemas, el que le han asignado para no ser cazado por su  compañero si este consigue la solución, y el que le han asignado a su compañero para  ser capaz de dar una solución al problema con el que le han retado.   

Estos problemas pueden quedar pendientes como trabajo para el alumno fuera 

del aula y así estos pueden disponer de más tiempo para su resolución que el que 

46   

   

tendrían en clase. No obstante, es importante que los alumnos luego intenten explicar  sus soluciones al resto de la clase, ya que un objetivo de estas técnicas es el  enriquecimiento de la capacidad lingüística en matemáticas de los estudiantes.   

A continuación, mostramos tres parejas de problemas que pueden servir como 

ejemplos para la realización de este juego, aunque sería ideal que los alumnos,  motivados por esta técnica de trabajo, inventaran o buscaran sus propios problemas  para retar a sus compañeros.  PAREJA NÚMERO 1: LOS PROBLEMAS DEL CABALLERO DE MÉRÉ  a) ¿Es o no ventajoso jugar apostando cantidades iguales a que, por lo menos,  aparece un seis en cuatro tiradas de un dado?    b) Dos personas se juegan 10 euros cada uno a un juego que consiste en lanzar  una moneda, anotándose un punto el primer jugador en caso de salir cara, y  haciendo lo propio el segundo jugador al salir cruz. El juego debe terminar  cuando uno de los dos llegue a los 10 puntos, pero, por diversas causas, se  interrumpe al llevar el primer jugador 8 puntos y el segundo 7. ¿Cómo deben  repartirse el dinero?       

PAREJA NÚMERO 2: DE APUESTAS Y ANIVERSARIOS 

  a) Un jugador apuesta siempre a par o impar en una ruleta ( si acierta gana una  cantidad  igual  a  lo  apostado  y  si  pierde  se  queda  sin  lo  apostado)  y  decide  jugar de la siguiente forma: empieza con 100 euros y decide apostar 10 veces  47   

   

una cantidad de 10 euros cada vez. Si el resultado es que gana en cinco de las  ocasiones, ¿tendrá más, menos o el mismo dinero con el que empezó?    b) ¿Cuál  es  la  probabilidad  de  que  en  una  fiesta  que  reúne  a  23  personas,  al  menos dos de ellas cumplan años el mismo día del año?      PAREJA NÚMERO 3: EL PRISIONERO Y EL CONCURSO    a)

En el Castillo de If, un preso condenado a muerte puede salvar su vida  jugando a un juego de azar. El verdugo ofrece al reo dos urnas y 12 bolas, 6 de  ellas blancas y 6 rojas. El preso ha de organizar las bolas en las urnas a su  antojo, sabiendo que, con los ojos vendados, tendrá que elegir primero una  urna y luego obtener una bola de esa urna. Si el preso obtiene una bola blanca  salva la vida mientras que si obtiene una roja será ejecutado. ¿Cómo ha de  ordenar las bolas en las urnas?   

b)

En un concurso de televisión, un concursante se enfrenta a un reto de  elección. Tiene que elegir entre tres puertas sabiendo que detrás de dos de  ellas hay una calabaza y detrás de la otra puerta hay un millón de euros. Una  vez hecha su elección, el presentador elimina una de las puertas que no ha  elegido el concursante y dónde no se encuentra el premio, y le ofrece al  concursante la posibilidad de volver a elegir entre las dos puertas restantes.  ¿Hay alguna estrategia que le permita al concursante incrementar sus  posibilidades de llevarse el dinero?  48 

 

   

3.­ LECTURA DE TEXTOS DIVULGATIVOS Y DEBATE POSTERIOR   

 

Con esta técnica motivacional se pretende que el alumno pase a tener un rol 

diferente al que tiene asignado en el transcurso de una clase impartida de manera  tradicional.   

Además, se intenta buscar la motivación del alumnado mediante textos que 

relaten hechos curiosos que fomenten las ganas del estudiante por seguir  aprendiendo.   

Aunque consideramos que la elección de los textos debe ser llevada a cabo por 

un docente ya que es una labor que quizás escape al conocimiento del alumno,  fomentamos que el profesor intervenga lo menos posible en el debate posterior a la  lectura del texto, ejerciendo el rol de moderador o de guía en caso de ser necesario.   

No obstante, como, por su edad, los alumnos pueden mostrar cierto rechazo a 

expresar sus ideas en público por miedo a un fallo, hemos preparado un cuestionario  básico sobre el texto titulado “Casualidades” de John Allen Paulos, el cual se encuentra  entre los documentos anexos a este trabajo.            

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CUESTIONARIO GUÍA PARA EL TEXTO “CASUALIDADES” DE JOHN ALLEN PAULOS   ¿Has sido protagonista en alguna ocasión de una casualidad como la que  comenta el autor que le ocurrió al encontrarse con ese individuo de  Seattle?   ¿Te ha convencido el autor al argumentar que esas casualidades no son  tan fascinantes como en principio creíamos?   ¿Qué opinas sobre el resultado de saber la probabilidad de que al  menos dos personas de un grupo de 23 cumplan años el mismo día del  año? ¿Te lo esperabas? En caso negativo, ¿por qué crees que no  esperabas ese resultado?   ¿Crees que un mayor conocimiento matemático te hace menos  vulnerable a ser engañado por “televangelistas, curanderos, etc” como  opina el autor?   ¿Estás en desacuerdo con alguna de las ideas que presenta el autor en el  texto?   Otras observaciones               

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    Metodología de trabajo del profesor:     

En esta técnica de trabajo, el profesor tiene tres roles principales: 

 

El primero de ellos será plantear y organizar los juegos, recopilar problemas 

para el juego de retador contra retado y buscar y seleccionar los textos divulgativos  acorde con el tema estudiado y con el nivel de los alumnos. Es un rol, no obstante, que  puede ser ejercido por determinados alumnos. Es más, si un alumno busca juegos para  realizar en clase, inventa o selecciona problemas para retar a sus compañeros e,  incluso, lee textos sobre el tema e invita a la clase a debatir sobre ellos, sabremos que  con ese alumno habremos conseguido nuestro objetivo de motivación.   

El segundo rol principal del profesor es guiar a los alumnos en las actividades 

propuestas, ya sea dando pistas en la búsqueda de estrategias ganadoras para los  juegos y problemas como realizando preguntas a la clase para fomentar la  participación de los estudiantes en los debates.   

El tercero de sus roles va ligado al proceso de evaluación. Y es que el docente 

deberá recopilar datos sobre la participación de sus alumnos en los debates, sobre su  esfuerzo por resolver los problemas y por encontrar estrategias ganadoras a los juegos  planteados para que el proceso de evaluación sea completo. Deberá también, como es  obvio, estudiar las soluciones que plantean los alumnos y resolver las cuestiones que  hagan surgir dudas en ellos.     

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    Metodología de trabajo del alumno:     

Los alumnos deberán, ya sea en grupo o individualmente dependiendo del 

contexto en el que nos encontremos, resolver las propuestas del profesor. En caso de  que surgiesen bloqueos, deberán hacer partícipe de ello al docente para tratar de  reconducir tal situación. Para que las técnicas explicadas tengan éxito, es fundamental  que el alumno se involucre en ellas, facilitando el desarrollo de las clases. Por último,  los alumnos deberán evaluar el proceso de aprendizaje experimentado así como la  actuación docente del profesor.                                    52   

   

EVALUACIÓN   

 

El proceso de evaluación es una parte fundamental de cualquier proceso de 

enseñanza‐aprendizaje. En líneas generales, es usado por el alumno para reorientar su  programación de estudio, y en ese sentido es un arma muy poderosa en manos de un  buen docente que quiera fomentar un aprendizaje más ambicioso o un cambio en las  conductas de su alumnado.   

El método que hemos presentado, como ya hemos dicho, no es un método 

sustitutivo de la manera tradicional de impartir clases, pero sí que creemos que es un  buen complemento a esta estrategia pedagógica con el fin de motivar a los alumnos.  No obstante, por diversas presiones, y aunque es una lástima, el alumno, en general,  dará más importancia a lo que le suponga un mayor beneficio en la nota final, y esto  hay que tenerlo en cuenta a la hora de programar nuestro sistema de evaluación  utilizando el proyecto de innovación ya explicado.   

Por tanto, programaremos nuestro sistema de evaluación teniendo muy en 

cuenta la participación del alumno en las diversas actividades motivacionales que  hemos explicado en el apartado de metodología. No tendría sentido de otra forma ya  que el sistema que hemos ideado se basa en el trabajo diario y en la actitud del  alumno frente a la asignatura de matemáticas.   

En la unidad didáctica en la que hemos implantado nuestro proyecto de 

innovación no es especialmente importante realizar una evaluación diagnóstica que  mida los conocimientos previos del alumnado, ya que estos se reducen al manejo de 

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los quebrados y sus operaciones, conceptos que son exigibles a un alumno que curse la  asignatura de matemáticas de 3º ESO.    

 

La evaluación que vamos a llevar a cabo en esta unidad didáctica será 

formativa, sumativa y continua.    

Será formativa porque lo que queremos averiguar es si los objetivos de la 

enseñanza están siendo alcanzados. No tiene sentido una evaluación formativa como  proceso no continuo ya que el docente debe ir adecuando las actividades a las  aptitudes que los alumnos vayan adquiriendo. Por tanto, la participación en los  debates, la entrega de las memorias de los experimentos, la buena respuesta a las  actividades de retador vs. retado, y, en general, la participación y buena actitud en las  clases será muy tenida en cuenta y valdrá un 35% de la nota asignada a los alumnos en  esta unidad didáctica. El otro 65% de la nota dependerá de un examen final, en el que  habrá actividades y problemas de una dificultad similar a los realizados en clase, por lo  que los alumnos que hayan seguido diariamente la asignatura no deberían tener  excesivas dificultades. Además, el hecho de que ese examen no equivalga a la nota  final total, hará que el alumnado se sienta más relajado a la hora de realizarlo, ya que  es frecuente encontrarse con alumnos que dominan los conceptos pero que el día del  examen, por nervios, presión u otros problemas, no lo demuestran. Por lo ya  explicado, queda claro que será una evaluación sumativa, ya que es necesario una  calificación numérica para juzgar el conocimiento adquirido por los alumnos, pero esta  calificación también reflejará su esfuerzo y su actitud en la asignatura.   

Para medir el grado de satisfacción tanto del alumnado como de los docentes 

hacia la incorporación de estas técnicas descritas en el proceso de enseñanza‐ 54   

   

aprendizaje, hemos realizado unos cuestionarios que tienen como objetivo detectar las  carencias y reforzar los puntos fuertes que existen en el sistema.                                 

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EVALUACIÓN: CUESTIONARIO PARA EL ALUMNO     ¿Qué te ha parecido el hecho de realizar experimentos y juegos en las clases?       ¿Qué ventajas y qué inconvenientes ves en esta forma de resolver problemas,  frente a la manera tradicional de hacerlo?       ¿Crees  que  tu  aprendizaje  se  ha  visto  reducido  frente  a  otras  unidades  didácticas  explicadas  por  métodos  más  tradicionales,  o  por  el  contrario  has  asimilado mejor los conceptos que en esta unidad se explicaban?       ¿Crees  que  te  ha  sido  útil  conocer  el  origen  de  la  probabilidad?  ¿Te  ha  resultado interesante el juego de retador vs. retado?        56   

   

 ¿Te han resultado interesantes los textos seleccionados por el profesor para la  realización de los posteriores debates?       ¿Crees que los debates posteriores a la lectura de los textos, te han ayudado a  entenderlos mejor?       Escribe otras observaciones que quieras hacer:                   

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EVALUACIÓN: CUESTIONARIO PARA EL PROFESOR     ¿Crees  que  la  respuesta  del  alumnado  ha  sido  positiva  ante  las  técnicas  implementadas en el desarrollo de la unidad didáctica?       ¿Te ha resultado excesivamente costoso preparar los experimentos y los textos  teniendo en cuenta la aceptación que han despertado en el alumno?       ¿Crees  que  los  alumnos  han  asimilado  mejor  los  conceptos  que  con  métodos  empleados en anteriores ocasiones, o por el contrario no ha habido diferencia  o el aprendizaje ha sido peor?       ¿Has  notado  un  cambio  de  actitud  para  mejor  de  los  alumnos  frente  a  las  matemáticas?     

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 ¿Crees  que  el  sistema  de  evaluación  es  equilibrado  y  refleja  bien  tanto  las  actitudes como las aptitudes del alumno?       ¿Han  mejorado  los  resultados  obtenidos  por  los  alumnos  frente  a  sus  calificaciones en otras unidades didácticas?       Escribe otras observaciones que quieras hacer:                   

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REFLEXIONES FINALES     

Pese a que algunas de las técnicas explicadas en el proyecto de innovación no 

las hemos llevado a la práctica, podemos prever algunos posibles puntos fuertes y  débiles que pudieran producirse.     

Si los alumnos consideran que se han divertido aprendiendo, si consideran que 

han aprendido más que con el método tradicional de enseñanza, si las lecciones les  han resultado más interesantes y si, en definitiva, se ha producido un fenómeno de  mayor aprendizaje unido a mayor diversión por parte del alumnado, estas técnicas  habrán tenido el resultado que esperábamos.      

No obstante, hay que tener en cuenta algunas dificultades que pudieran surgir, 

como es la ralentización del ritmo del profesor, que puede ocasionarle un desajuste en  su programación de aula. También es posible que el grupo de alumnos se volviera más  difícil de controlar, por lo que el docente tiene que interpretar en cada contexto qué  técnicas de las aquí explicadas son adecuadas y cómo llevarlas a cabo. Por último, la  selección de problemas y textos requiere un mayor esfuerzo por parte del docente.   

 

   

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REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA     Material recibido durante el curso 2010‐2011 del Máster en Profesorado de la  Universidad de La Rioja   Material recibido por el I.E.S. Duques de Nájera durante el periodo de prácticas  del Máster en Profesorado de la Universidad de La Rioja en el curso 2010‐2011.  

José R. Vizmanos, Máximo Anzola, Manuél Bellón y Juan Carlos Hervás. Libro Esfera  para Matemáticas 3º E.S.O. Editorial SM. 

 Jordi Deulofeu. Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes. Editorial RBA.   Enigmas y juegos de ingenio. Para romperte la cabeza. Traducción de Emilio  Muñiz.   Michael Blastland y Andrew Dilnot. El tigre que no está. Un paseo por la jungla  de la estadística. Colección Noema.   Albrecht Beutelspacher. Matemáticas: 101 preguntas fundamentales. Alianza  editorial.   John Allen Paulos. El hombre anumérico. Tusquets Editores S.A.   John Allen Paulos. Más allá de los números. Meditaciones de un matemático.  Tusquets Editores S.A.   Simon Singh, El enigma de Fermat.   Otros títulos que pueden encontrarse en http://www.librosmaravillosos.com/       

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          ANEXOS 

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Coincidencias

Las coincidencias nos fascinan. Parece como si nos obligaran a buscarles un significado. Sin embargo, más a menudo de 10 que alguna gente piensa, son completamente esperables y no precisan una explicación especial. Seguramente no se puede extraer ninguna conclusión cósmica del hecho de que hace poco y por pura casualidad me encontrara a alguien en Seatt1e cuyo padre había jugado en el mismo equipo de béisbol del instituto de Chicago que el mío, y cuya hija tiene la misma edad y se llama igual que la mía. Por improbable que fuera este suceso particular (como lo son siempre los sucesos particulares), es muy probable que algún suceso de esta clase tan vagamente defmida se produzca de vez en cuando. Concretando más, puede demostrarse, por ejemplo, que si dos extraños se sientan juntos en un avión, más del 99 O/o de las veces estarán unidos de alguna manera por dos o menos intermediarios. (La relación con el compañero de curso de mi padre era más sorprendente. Sólo había un intermediario, mi padre, y contenía otros elementos.) Quizá, por ejemplo, .e1 primo de uno de los pasajeros conozca al dentista del otro. La mayoría de las veces la gente no descubre estas relaciones porque en una conversación casual nadie suele hacer un repaso de sus aproximadamente 1500 conocidos ni de los conocidos de .sus conocidos. (Imagino que al popularizarse cada vez más los ordenadores de sobremesa podrían comparar sus respectivas bases de datos personales y también los de las personas conocidas. Quizás intercambiar bases de datos podría convertirse pronto en algo tan corriente como dejar la tarjeta de presentación. Tejiendo una red electrónica. Infernal.) Sin embargo, hay una tendencia a buscar conocidos comunes. Tales conexiones se descubren pues con una frecuencia su-

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ficiente, de modo que los chillidos de sorpresa que siguen a esos descubrimientos son injustificados. Igual de poco convincente es el sueño «profético» que tradicionalmente sale a la luz después de que se haya producido algún desastre natural. Si tenemos en cuenta que Estados Unidos tiene quinientos millones de horas de sueño cada noche -2 horas por noche por 250 millones de personas- es perfectamente esperable. O consideremos también el famoso problema del cumpleaños en teoría de la probabilidad. Habría que reunir 367 personas (una más que los días de un año bisiesto) para estar seguros de que al menos dos de ellas celebran el cumpleaños en el mismo día. Pero si se quiere tener sólo una probabilidad del 50 % de que esto ocurra basta con reunir 23 personas. En otras palabras, si imaginamos una escuela con . miles de clases, cada una de las cuales tiene 23 alumnos, entonces aproximadamente la mitad de las clases tiene dos estudiantes que nacieron el mismo día. No hay que perder ni un minuto en tratar de explicar el significado de estas u otras coiI)cidencias. Simplemente ocurren. Un ejemplo un poco distinto es el del editor de un boletín bursátil que manda 64 000 cartas en las que ensalza las posibilidades de su base de datos, sus contactos y sus sofisticados modelos econométricos. En 32 000 de estas cartas predice una alza de determinado índice bursátil para la semana siguiente, y en las 32 000 restantes predice una baja del mismo índice. Ocurra lo que ocurra, manda una segunda carta, pero sólo a los 32 000 que recibieron una «predicción» correcta. En 16000 de ellas predice una alza para la semana siguiente y en 16 000 una baja. y otra vez, ocurra lo que ocurra, habrá enviado dos predicciones correctas consecutivas a 16000 personas. Iterando este procedimiento de concentrarse exclusivamente en la lista reducida de personas que han recibido sólo predicciones acertadas, puede crear en ellos la ilusión de que sabe de qué va la cosa. Al fm y al cabo, las 1 000 personas que habrán recibido 6 predicciones acertadas y ninguna equivocada (por coincidencia) tienen buenos motivos para desembolsar los 1 000 dólares que les pide el editor del boletín: quieren seguir recibiendo estas declaraciones «proféticas». Repito que una cuestión importante que hay que tener en cuenta al hablar de las coincidencias es la distinción entre cla50

ses genéricas de sucesos y sucesos concretos. En muchas ocasiones la realización de un suceso particular es algo bastante raro -que a determinada persona le toque la lotería o que me llegue una determinada mano de bridge- mientras que el resultado genérico -que a alguien le toque la lotería o que salga esa mano de bridge- no tiene nada de extraordinario. Volvamos al problema del cumpleaños. Si sólo pedimos que 2 personas cumplan años el mismo día sin precisar cuál es este día particular, entonces bastan 23 personas para que el suceso tenga una probabilidad de 1/2. Por contra, hacen falta 253 personas para tener probabilidad 1/2 de que una de ellas tenga una fecha de cumpleaños determinada, el 4 de julio, pongamos por caso. Los sucesos concretos explicitados de antemano son, por supuesto, muy dificiles de predecir. Así pues, no es sorprendente que las predicciones de los televangelistas, curanderos, etc. suelan ser vagas y amorfas (hasta que se han producido los sucesos en cuestión, claro está, pues en ese instante los pronosticadores suelen afrrmar que precisamente esos resultados son los que habían predicho). Esto me recuerda el llamado efecto Jeane Dixon, por el cual las pocas predicciones acertadas (ya sea de los psíquicos, de los boletines bursátiles de pacotilla o de quien sea) se anuncian a bombo y platillo, mientras que las aproximadamente 9 800 predicciones fallidas hechas anualmente son óportunamente ignoradas. Se trata de un fenómeno muy general que contribuye a la tendencia que tenemos todos a dar a las coincidencias más importancia de la que en realidad merecen. Nos olvidamos de>todas las premoniciones fallidas de desastres que hayamos tenido y recordamos vívidamente las que parecen acertadas. Cualquier de nuestros conocidos ha oído hablar de ejemplos de telepatía; el número incomparablemente mayor de veces en los que no se ha producido es demasiado banal para ser tenido en cuenta. Hasta nuestra biología parece conspirar para que las coincidencias parezcan más significativas de lo que realmente son. Como el mundo natural de rocas, plantas y ríos no parece ofrecer muchas pruebas de coincidencias superfluas, el hombre primitivo tenía que ser muy sensible a todas las anomalías y sucesos improbables imaginables a medida que iba construyendo la ciencia y su progenitor, el «sentido común». Al fm y al cabo, las coincidencias «son» a veces muy importantes y significativas. Sin embargo, en nuestro complicado y, en gran parte, artificial mundo

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de hoy, la plétora de relaciones entre nosotros parece haber sobreestimulado la tendencia innata de mucha gente a notar la coincidencia y 10 improbable, y les lleva a postular causas y fuerzas allí donde no hay nada. La gente conoce más nombres (además de los de los familiares~ los de compañeros de trabajo y la gente famosa), fechas (desde artículos periodísticos hasta citas personales y programas), direcciones (ya sea de direcciones reales o números de teléfono, números de despacho, etc.) yorganizaciones y acrónimos (desde el FBI al IMF, del SIDA al ASEAN) que en ningún otro momento del pasado. Por tanto, aunque sea muy dificil de cuantificar, el ritmo al que se producen las coincidencias probablemente ha aumentado en el último siglo. Y, a pesar de todo, no tiene mucho sentido buscar una explicación a la mayoría de ellas. En realidad, la coincidencia más asombrosamente increíble que se pueda imaginar es la falta absoluta de coincidencias~ [Breves deducciones de los enunciados del cumpleaños (véase también la entrada sobre Probabilidad): (1) La probabilidad de que 2 personas tengan distinto cumpleaños es 364/365; la de que 3 personas tengan distinto cumpleaños es (364/365 x 363/365); la de que 4 personas (364/365 x 363/365 X 362/365); la de que 23 (364/365 x 363/365 x 362/365 x ... x 344/365 x 343/365), producto que resulta ser igual a 1/2. Por tanto, la probabilidad complementaria de que por 10 menos dos personas tengan el mismo cumpleaños es también 1/2 (1 menos el producto anterior). (2) La probabilidad de que alguien no cumpla los años el 4 de julio es 364/365; la probabilidad de que de 2 personas ninguna cumpla años el 4 de julio es (363/365)2; la probabilidad con 3 personas es (363/365)3, y con 253 personas es (363/365)253, que resulta ser 1/2. Por tanto, la probabilidad complementaria de que al menos una de las 253 personas cumpla años el 4 de julio es también 1/2, 1--(363/365)253.]

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