Trabajo No 1. Derivados Financieros Norman Giraldo G´ omez Escuela de Estad´ıstica - Universidad Nacional de Colombia [email protected] Marzo, 2010

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Introducci´ on

Este trabajo consiste de un punto asignado de los cuatro siguientes. La asignaci´on de los puntos est´a en una Tabla al final del tema.

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Problemas

1. Denote C(K) el precio de una OCE con un precio de ejercicio K. Se tienen dos OCE con la misma fecha de maduraci´on T y con precios de ejercicio K1 , K2 a) Compruebe usando un argumento de ausencia de arbitraje que si K1 < K2 entonces se debe tener que C(K2 ) < C(K1 ). Use la relaci´on de paridad putcall para obtener una desigualdad correspondiente con los precios de las OPE, P (K2 ) < P (K1 ). b) Un ”diferencial alcista”(bull-spread) es un tipo de derivado definido como la combinaci´on de dos OCE con distintos precios de ejercicio, K1 < K2 , id´entica fecha de vencimiento y sobre el mismo activo subyacente. Se forma comprando la OCE con el precio menor K1 , y vendiendo la OCE con precio mayor K2 . Entonces se tiene un portafolio que en t = 0 vale C(K1 ) − C(K2). Encuentre el valor de este portafolio en t = T . 2. Una OPE sobre una acci´on de Ecopetrol tiene precio de ejercicio K = $7000, y el precio de la acci´on es S0 = $7200. En la fecha de vencimiento, a los 4 meses, el precio de la acci´on es de ST = $6200, y por tanto se ejerce. La tasa de inter´es continua sin riesgo en la fecha de compra de la OPE es r = 0.1. Y la volatilidad anual en la misma fecha es σ = 0.15. Encuentre lo siguiente:

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a) La prima P pagada por el comprador. b) Balance neto en la fecha de vencimiento = Pago de la opci´on - Prima c) rendimiento de la opci´on al vencimiento = 100((Balance neto)/Prima - 1) d ) rendimiento de la prima colocada a la tasa de inter´es durante el per´ıodo de la opci´on. e) Note que la OPE estaba “otm” (ver la Notas). Repita los puntos anteriores para el caso de una OPE que hubiera estado “itm”, con S0 = $7200, K = $7500. f ) D´e una conclusi´on. 3. El precio de una acci´on es actualmente de S0 = $5000.00, su rentabilidad media logar´ıtmica anual es µ = 0.12 y su volatilidad anual es de σ = 0.3. Suponga una OPE con precio de ejercicio K = $5000 sobre esta acci´on, con vencimiento a 4 meses (T = 4/12). La tasa de rendimiento efectiva anual es de r = 0.08. Responder lo siguiente. a) Encuentre la prima de esta OPE. b) Cu´al es la distribuci´on de probabilidades del precio de esta acci´on dentro de 2 meses, S(2/12), si se asume el modelo Log-Normal con par´ametros (µ, σ). c) Calcule la media y la desviaci´on est´andar de este precio, E(S(2/12)), V ar(S(2/12)). d ) Encuentre la predicci´on del valor de la acci´on dentro de 2 meses, si al final del \ = primer mes el valor fu´e S(1/12) = $4700. Sugerencia: la predicci´on es S(2/12) E(S(2/12) | S(1/12)). e) Encuentre el precio de esta OPE al final del primer mes. Sugerencia: use la f´ormula BS pero cambiando el precio S(0) por S(1/12) y la duraci´on T = 4/12 por T = 3/12. 4. El precio de la carga de papa sabanera en la Bolsa Nacional Agropecuaria se modela con un modelo LogNormal(µ, σ) (ver f´ormula (1) en las Notas) tal que el rendimiento esperado efectivo anual es µ = 0.16 y la volatilidad anual es σ = 0.35. El precio actual es de $60.204. La tasa de inter´es continua anual es r = 0.1. a) Cu´al es la probabilidad de que una opci´on europea de venta (OPE) sobre la carga, con un precio de ejercicio de K = $62.320, y vencimiento a 6 meses, se ejerza? b) Calcule el valor de la prima BS de esta OPE. c) Calcule el valor esperado de la OPE, es decir, calcule E((K −S(T ))+ ). Sugerencia: una expresi´on para este valor esperado est´a en la f´ormula (4) en las Notas, pero para el modelo LogNormal con par´ametros (µ − σ 2/2, σ 2 ). Adapte esta expresi´on para el caso de una LogNormal con par´ametros (µ, σ 2) reemplazando µ por µ + σ 2/2 en la f´ormula (4). 2

d ) Descuente el valor anterior utilizando la tasa r, y compare con el valor que se obtiene por medio de la f´ormula de Black-Scholes para la OPE, obtenida en el numeral b). 5. El Banco de la Rep´ ublica comenz´o a vender Opciones de Venta (OPE) sobre el precio en pesos colombianos de 1 d´olar americano, a comienzos de 1999. Suponga los datos siguientes. El precio 1 USD en pesos colombianos (COLP) es hoy S(0) = 1916.14, la tasa continua sin riesgo en COLP es δ = 0.0453, y la tasa continua sin riesgo en USD es δA = 0.03. La volatilidad anual de la tasa de cambio es σ = 0.141. a) Encuentre el valor de P , si el plazo de la OPE es de 3 meses y el precio de entrega K, calculado por el Banco como el promedio del precio de compra durante las u ´ltimas 4 semanas, es K = 1923.7. Use la f´ormula (2) de las Notas, la cual corresponde a la f´ormula BS para divisas. b) Use la relaci´on de paridad para el precio C de una OCE, y el precio P de una OPE, sobre divisas: C + Ke−δT = P + S0e−δA T , para calcular C. c) Considerando que entre los clientes potenciales de estas OPE sobre USD se encuentran Importadores y Exportadores, a cu´al estar´ıa dirigida esta oferta del Banco? Es decir, a cu´al de los dos beneficia m´as?. 6. Suponga que el Municipio de Envigado requiere comprar el 10 de junio de 2010 equipos m´edicos para dotaci´on del Hospital MUA, por valor de USD 360.000. La tasa de cambio hoy es de 1916.14 COLP por 1 USD. El pago se debe efectuar el 7 de Septiembre de 2010. Es decir, en esta fecha el municipio debe comprar USD 360.000 a la tasa de cambio de esa fecha. Para enfrentar el riesgo de una subida del precio del dolar, el Municipio compra OCE a 6 meses con el Banco ABC. a) Para encontrar el valor de la OCE encuentre primero el valor de P de una OPE, con un precio de entrega K = 1923.7. Use la f´ormula (2) de las Notas. La tasa continua sin riesgo en COLP es δ = 0.0453, y la tasa continua sin riesgo en USD es δA = 0.03. La volatilidad anual de la tasa de cambio es σ = 0.141. b) Use la relaci´on de paridad para el precio C de una OCE, y el precio P de una OPE, sobre divisas: C + Ke−δT = P + S0e−δA T , para calcular C. c) Si cada contrato OCE sobre el dolar es por USD 1000, cu´antos contratos se deben comprar y cu´anto cuestan? 7. Consulte en libros y/o Internet acerca de la “sonrisa de volatilidad” (en ingl´es, “volatility smile”). Haga un resumen de lo que encontr´o, no m´as extenso de 1 p´agina.

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3.

Notas

1. El modelo LogNormal para los precios, o´ modelo de marcha aleatoria geom´etrica con rendimientos normales, con par´ametros (µ, σ) se define por S(t) = S(0) exp(µt + σX(t)),

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donde X(t) ∼ N (0, t). Un modelo alterno, equivalente es asumir que los par´ametros son (µ − σ 2/2, σ). En el primero se cumple que E(S(t)) = S(0) exp((µ + σ 2/2)t), mientras que en el segundo E(S(t)) = S(0) exp(µt). 2. Una OCE se dice que est´a “itm” (in-the-money) si S0 > K. Que est´a “atm” (at-themoney) si S0 = K, y que est´a “otm” (out-the-money) si S0 < K. De manera similar se hacen las definiciones para una OPE. 3. F´ormula de Black-Scholes para el precio C de una Opci´on de Compra Europea (OCE): C = S0 φ(d1 ) − Ke−rT φ(d2 ) donde r se define como una tasa tal que er − 1 = dtf , con dtf la dtf efectiva anual, σ es la volatilidad, K el precio de ejercicio, S0 el valor inicial del activo, y T es la duraci´on del contrato en fracci´on de a˜ no. ln(S0 /K) + (r + σ 2/2)T √ σ T ln(S0 /K) + (r − σ 2 /2)T √ = σ T

d1 = d2

4. La relaci´on de paridad OPE-OCE es C + Ke−rT = P + S0 . 5. F´ormula de Black-Scholes para el precio P de una Opci´on de Venta Europea (OPE): P = ke−δT φ(−d2 ) − S0φ(−d1 ) 6. La f´ormula Black-Scholes para una OPE sobre una divisa es: P = Ke−δT φ(−d2) − S0 e−δA T φ(−d1 ) ln (S0 /K) + (δ − δA + σ 2/2)T √ d1 = σ T √ d2 = d1 − σ T

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donde la tasa continua sin riesgo en COLP es δ, y la tasa continua sin riesgo en USD es δA . 7. La relaci´on de paridad para el precio C de una OCE, y el precio P de una OPE, sobre divisas es: C + Ke−δT = P + S0e−δA T . 4

8. El valor esperado de una OCE con base en el modelo LogNormal(µ−σ 2 /2, σ), est´a dado por la expresi´on   ln(S(0)/K) + (µ + σ 2/2)T µT √ E((S(T ) − K)+ ) = S(0)e φ σ T   ln(S(0)/K) + (µ − σ 2 /2)T √ + Kφ (4) σ T

4.

Presentaci´ on y Valor del trabajo

La presentaci´on se sugiere que sea con formato de art´ıculo, es decir, t´ıtulo, autores (nombre, carnet, carrera, resumen, en la primera p´agina y luego: desarrollo, conclusiones, bibliograf´ıa, con p´aginas numeradas. Elaborado en lo posible en world o latex. Se solicita no empastar (las pastas son un desperdicio de papel). El valor de este trabajo es 25 %. La fecha de entrega se fij´o en clase.

Referencias [1] Liang, Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing. World Scientific Press. [2] Ruppert, D. (2004). Statistics and Finance: An Introduction. Springer Verlag. New York.

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