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TRANSFERENCIA DE MASA II
CURVA DE SECADO
EJEMPLO DE CURVA DE SECADO
Para determinar la factibilidad de secar cierto producto alimenticio, se obtuvieron datos de secado con un secador de bandejas y flujo de aire sobre la superficie superior expuesta con área de 0.186 m2. El peso de la muestra totalmente seca es de 3.765 kg de sólido seco. Graficar la curva de secado y determinar el contenido de humedad en equilibrio y el contenido de humedad crítica.
DATOS DE SECADO Tiempo (h) 0 0.4
Peso (kg) 4.944 4.885
0.8 1.4 2.2
4.808 4.699 4.554
3.0 4.2
4.404 4.241
5.0 7.0 9.0 12.0
4.150 4.019 3.978 3.955
W WS X WS
kg.totales .de.agua kg.solido. sec o
X 2 X1 X 2
LS ( X 2 X 1 ) R A (t2 t1 )
t
Peso
X
Xprom
R
0 0.4 0.8 1.4 2.2 3 4.2 5 7 9 12
4.944 4.885 4.808 4.699 4.554 4.404 4.241 4.15 4.019 3.978 3.955
0.313 0.297 0.277 0.248 0.210 0.170 0.126 0.102 0.067 0.057 0.050
0.305 0.287 0.263 0.229 0.190 0.148 0.114 0.085 0.062 0.054
0.793 1.035 0.977 0.974 1.008 0.730 0.612 0.352 0.110 0.041
R
CURVA DE SECADO 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0.000 0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 X
R
CURVA DE SECADO 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0.000 x* xc 0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 X
TIEMPO DE SECADO EN EL PERÍODO DE VELOCIDAD CONSTANTE VELOCIDAD DE SECADO
VELOCIDAD CONSTANTE VELOCIDAD DECRECIENTE
RC
A
DD
E
A´
B
C
XC
X2
X1
HUMEDAD LIBRE
TIEMPO DE SECADO PARA EL PERIODO DE VELOCIDAD CONSTANTE
LS dX R A dt
LS tc A
X1
dX R X2
Ls X1 X 2 tC ARc
TIEMPO DE SECADO EN EL PERÍODO DE VELOCIDAD DECRECIENTE VELOCIDAD DE SECADO VELOCIDAD DECRECIENTE
B
C
RC
A
DD
E
XC
X2
X1
HUMEDAD LIBRE
PERIODO DE VELOCIDAD DECRECIENTE LINEAL Y TERMINA EN EL ORIGEN tD
X C LS X C RC Ls X C ln ln ARC ARC X2 R2
VELOCIDAD DE SECADO
R aX 0
X2
Xc
HUMEDAD LIBRE
PERIODO DE VELOCIDAD DECRECIENTE LINEAL Y TERMINA EN LA HUMEDAD EN EQUILIBRIO
Ls ( X C X ) X C X tD ln * ARC X2 X *
*
VELOCIDAD DE SECADO
X * X2
Xc
HUMEDAD LIBRE
PERIODO DE VELOCIDAD DECRECIENTE LINEAL tD
R1 Ls ( X 1 X 2 ) ln A( R1 R2 ) R 2
VELOCIDAD DE SECADO R1
R aX b
R2
X2 X1 Xc
HUMEDAD LIBRE
PERIODO DE VELOCIDAD DECRECIENTE COMO UNA EXPRESIÓN PARABÓLICA tD VELOCIDAD DE SECADO
X C (a bX f ) Ls ln aA X ( a bX ) f C
Rc
R = a X + b X2 Rf Xf
XC
HUMEDAD LIBRE
PERIODO DE VELOCIDAD DECRECIENTE CON DOS SUBREGIONES R=aX+b VELOCIDAD DE SECADO
R = a X + b X2 Xc
HUMEDAD LIBRE
TIEMPO DE SECADO PARA EL PERIODO DE VELOCIDAD DECRECIENTE LS tD A X
R
X1
dX X R 2
1/R 1/R
X2
X1
X
EJEMPLO
Se desea secar un lote de sólido húmedo cuya curva de velocidad es la que muestra la figura siguiente desde un contenido de humedad libre X1= 0.38 kg agua/kg sólido hasta X2= 0.045 kg agua/kg sólido seco. El peso de sólido seco es 399 kg y el área es de 18.58 m2. Calcule el tiempo de secado.
VELOCIDAD DE SECADO
VELOCIDAD CONSTANTE VELOCIDAD DECRECIENTE
C
RC=1.51
B
DD
X1=0.045 XC=0.195
X1=0.38 HUMEDAD LIBRE
Los datos para el período de velocidad decreciente son:
X
R
1/R
0.195
1.51
0.663
0.150
1.21
0.826
0.100
0.90
1.11
0.065
0.71
1.41
0.050
0.37
2.70
0.040
0.27
3.70
TIEMPO DE SECADO PARA EL PERIODO DE VELOCIDAD CONSTANTE
Ls X1 X C tC ARc 399 0.38 0.195 2.63h tC (18.58)(1.51)
TIEMPO DE SECADO PARA EL PERIODO DE VELOCIDAD DECRECIENTE
LS tD A
X1
dX 399 X R 18.58 (0.189) 4.06h 2
t t D tC
1/R
t 2.63 4.06 6.69h X2
X1
X
EJEMPLO
En un secadero de bandejas se secan 20 kg de un sólido húmedo con humedad de 50 % (base húmeda) y durante las dos primeras horas se secan con velocidad constante de secado a razón de 2.5 kg/h, disminuyendo después la velocidad de secado linealmente con la humedad. Calcular la humedad del sólido( base húmeda) después de las tres primeras horas del período de velocidad decreciente si la humedad en equilibrio en las condiciones de operación es 4 % (base húmeda) y se mantienen condiciones constantes de secado.
10 kg.agua Xi 1 10 kg.sólido. sec o 5 kg.agua XC 0.5 10 kg.sólido. sec o 4 kg.agua X 0.041 96 kg.sólido. sec o *
Ls X1 X C tC ARc
Ls tC 4 ARc ( X 1 X C ) (1 0.5) Se toma la ecuación que varía linealmente la humedad:
Ls ( X C X ) X C X tD ln * ARC X2 X *
*
Ls (0.5 0.041) 0.5 0.041 3 ln ARC X 2 0.041
EJEMPLO
En condiciones constantes de secado un sólido húmedo se seca desde la humedad del 30 % hasta el 10% en cuatro horas. Su humedad crítica es del 16 % y la de equilibrio es del 3% (expresadas las humedades en base húmeda). Calcular el tiempo necesario para secarlo desde la humedad del 10 % al 6 % empleando las mismas condiciones constantes de secado.
30 kg.agua X1 0.428 70 kg.sólido. sec o X2
10 kg.agua 0.111 90 kg.sólido. sec o
XC
16 kg.agua 0.190 84 kg.sólido. sec o
X
*
Xf
3 kg.agua 0.0309 97 kg.sólido. sec o
6 kg.agua 0.0638 94 kg.sólido. sec o
Ls X1 X C tC ARc * Ls ( X C X ) XC X tD ln * ARC X2 X *
tC t D 4 * LS Ls ( X C X ) XC X 4(1) ( X1 X C ) ln * ARC ARC X2 X *
Para efectuar el secado de 10 % al 6% en el período de velocidad decreciente Xf = X2 = 0.0638
Ls ( X C X ) X C X ln * ARC X2 X *
t D 6%
tD t D 6%
*
(2)
* LS LS XC X * X1 X C X C X ln * ARC ARC X2 X * * LS X C X XC X ln * ARC X2 X
* LS LS X X * C X1 X C X C X ln * ARC ARC X2 X 4 t D 6% LS X C X * X C X * ln * ARC X2 X
LS LS 0.190 0.0309 0.428 0.190 0.190 0.0309ln ARC ARC 4 0.111 0.0309 LS 0.190 0.0309 0.190 0.0309 t D 6% ln ARC 0.0638 0.0309
t D 6% 1.38
MÉTODO PARA PREDECIR EL TIEMPO DEL PERÍODO DE VELOCIDAD CONSTANTE
Durante este período de velocidad constante el sólido está tan mojado, que el agua actúa como si el sólido no existiera. El agua que se evapora de la superficie proviene del interior del sólido. La velocidad de evaporación en un material poroso se verifica por medio del mismo mecanismo que en un termómetro de bulbo húmedo.
Humedad a la superficie
Para deducir la ecuación de secado se desprecia la transferencia de calor por radiación hacia la superficie sólida y se supone además, que no hay transferencia de calor por conducción en las bandejas o superficies metálicas.
Gas
q
NA
T, H , y
Humedad a la superficie
Tw, Hw, yw
Suponiendo que la transferencia de calor sólo se verifica del gas caliente a la superficie del sólido por convección y de la superficie al gas caliente por transferencia de masa es posible escribir ecuaciones iguales a las que se obtuvieron para la temperatura del bulbo húmedo. Gas
q
NA
T, H , y
Humedad a la superficie
Tw, Hw, yw
La velocidad de transferencia convectiva de calor q en W desde el gas a T ºC a la superficie del sólido a Tw ºC.
q h(T Tw ) A
1
Donde h es el coeficiente de transferencia de calor en W/m2.K y A es el área de secado expuesta en m2. La ecuación del flujo específico del vapor de agua desde la superficie es:
MB H w H 2 N A k y ( yw y ) k y MA
La cantidad de calor necesario para vaporizar NA en kmol/s.m2 de agua despreciando los pequeños cambios de calor sensible:
q M A N Aw A
3
Donde w es el calor latente a Tw en J/kg. Igualando las ecuaciones 1 y 3:
h(T Tw ) q Rc k y M B (H w H ) Aw w La ecuación es idéntica a la ecuación para la temperatura de bulbo húmedo. Por tanto en ausencia de transferencia de calor por conducción y radiación, la temperatura del sólido está a la temperatura de bulbo húmedo del aire durante el período de velocidad constante.
VELOCIDAD DE SECADO Es más confiable usar la ecuación de transferencia de calor, puesto que cualquier error en la determinación de la temperatura interfacial Tw en la superficie afecta a la fuerza impulsora (T-Tw) mucho menos que sobre (Hw –H).
kgH2O h Rc ( ) (T Tw )(3600) 2 h.m w Donde: Rc es la velocidad de secado. .h es el coeficiente de transferencia de calor en W/m2.K
w es el calor latente a la temperatura de bulbo húmedo en J/kg Tw es la temperatura de bulbo húmedo en °C.
COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR Si el aire fluye paralelo a la superficie de secado y como la forma del borde de entrada de la superficie de secado causa más turbulencia, es posible usar la siguiente expresión para una temperatura del aire de 45 a 150 °C y una velocidad de masa G de 2450-29300 kg/h.m2o una velocidad de 0.61 a 7.6 m/s.
h 0.0204G
h = 0.0204 G0.8 0.8
G = v (kg/h.m2) y h está en W/m2.K
COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR Cuando el aire fluye perpendicularmente a la superficie para un valor de G de 3900-19500 kg/h.m2o una velocidad de 0.9 a 4.6 m/s.
h 1.17G
0.37
TIEMPO DE SECADO EN EL PERÍODO DE VELOCIDAD CONSTANTE Las tres ecuaciones son útiles para estimar la velocidad de secado en el período de velocidad constante. Luego para estimar el tiempo de secado en el período de velocidad constante se tiene:
Ls w X 1 X 2 tc Ah T TW
EFECTO DE LAS VARIABLES DEL PROCESO SOBRE EL PERÍODO DE VELOCIDAD CONSTANTE
1) EFECTO DE LA VELOCIDAD DEL AIRE: Cuando no hay transferencia de calor por conducción y radiación la velocidad Rc de secado en la región de velocidad constante es proporcional a h, y por tanto a G0.8. El efecto de la velocidad del gas es menos importante cuando si hay conducción y radiación.
EFECTO DE LAS VARIABLES DEL PROCESO SOBRE EL PERÍODO DE VELOCIDAD CONSTANTE 2) EFECTO DE LA HUMEDAD DEL GAS Si la humedad del gas H disminuye para un valor de T en el gas, la temperatura de bulbo húmedo también disminuye
T Tw2w1 H w2 H 2 Rc 2 Rc1 Rc1 T Tw1w2 H w1 H1
EFECTO DE LAS VARIABLES DEL PROCESO SOBRE EL PERÍODO DE VELOCIDAD CONSTANTE 3) EFECTO DE LA TEMPERATURA DEL GAS Si se eleva la temperatura del gas T, la temperatura de bulbo húmedo también aumenta algo, pero no tanto como el aumento de T.
T2 Tw2 H w2 H 2 Rc 2 Rc1 Rc1 T1 Tw1 H w1 H1
EFECTO DE LAS VARIABLES DEL PROCESO SOBRE EL PERÍODO DE VELOCIDAD CONSTANTE
4) EFECTO DEL ESPESOR DEL LECHO SÓLIDO QUE SE ESTÁ SECANDO Cuando sólo hay transferencia de calor por convección la velocidad de secado Rc es independiente del espesor x1 del sólido. Sin embargo, el tiempo t necesario para secar entre los contenidos de humedad X1 y X2 será directamente proporcional al espesor x1.
EJEMPLO
Un material granular insoluble se va a secar en una bandeja de 0.457 x 0.457m y 25.4 mm de profundidad y se puede considerar que los lados y el fondo están aislados. El calor se transfiere por convección de una corriente de aire, que fluye paralelo a la superficie de velocidad de 6.1 m/s. El aire está a 65.6 ºC y tiene una humedad de 0.010 kg H2O/kg aire seco. Estime la velocidad de secado para el período de velocidad constante.
SOLUCIÓN:
Para una humedad H = 0.010 y temperatura de bulbo seco de 65.6 ºC, de la gráfica de humedad se determina la temperatura de bulbo húmedo que es 28.9 ºC y al recorrer la línea de bulbo húmedo hasta llegar a la humedad saturada se obtiene HW = 0.026. Se calcula el volumen húmedo: 3
3
vH (2.83x10 4.56 x10 H )T
Humedad relativa 90
70 60 50
40
30
20
30 0.025
0.020
25
0.026
28.9
0.015
20
0.010 0.010
15 10
0.005
5 0 -5
-10 -10
-5
0
5
10
Humedad absoluta kg/kg aire seco
Carta psicrométrica
Tª bulbo seco ºC
35
65.6 40
0.000 45
50
55
60
vH (2.83x103 4.56 x103 x0.01)(273 65.6)
vH 0.974m / kgaire. sec o 3
La densidad de 1 kg de aire seco + 0.010 kg de agua es
1 0.010 1.037 kg / m 3 0.974 La velocidad de masa G es:
G v (6.1)(3600)(1.037) 22770kg / h.m
2
Calculando el coeficiente de transmisión de calor:
h 0.0204G 0.8 0.0204(22770)0.8 62.4W / m2 .K
De las tablas de vapor saturado para TW = 28.9 ºC
Se busca en : ENTALPÍA T(ºC) 28.9
L. SAT.
EVAP.
V. SAT.
2433 kJ/kg
h
62.45 RC (T TW )(3600) (65.6 28.9)(3600) W 2433x1000
RC 3.39kg / h.m
2
velocidad .evaporación RC A 3.39(0.457 x0.457) 0.708kgagua / h
EJEMPLO Utilizando las condiciones del ejemplo anterior para el período de secado de velocidad constante, hacer lo siguiente: a) Predecir el efecto sobre RC si la velocidad de aire es de 3.05 m /s. b) Predecir el efecto si la temperatura del gas se aumenta a 76.7 ºC y H es el mismo. c) Predecir el efecto en el tiempo t para el secado entre el contenido de humedad X1 a X2 si el espesor del material seco es de 38.1 mm en vez de 25.4 mm y el secado está aún en el período de velocidad constante.
DATOS DEL PROBLEMA DATOS Dimensiones bandeja Profundidad bandeja Velocidad del aire v1 Temperatura Humedad Volumen húmedo vH Densidad Velocidad másica G1 Velocidad de secado RC1
VALORES 0.457 m x 0.457 m 25.4 mm 6.1 m/s 65.6 ºC 0.01 kg agua/kg aire seco 0.974 m3/kg aire seco. 1.037 kg/m3 22770 kg/h.m2 3.39 kg agua/h.m2
a) 2 G2 v2 (3.05)(3600)(1.037) 11386kg / h.m
kgH2O h Rc ( ) (T Tw )(3600) 2 h.m w
h1
(T Tw )(3600)
RC1 w h2 RC 2 (T Tw )(3600)
w
0.8 1
0.0204G
RC1 w 0.8 0.0204G2 RC 2
w
(T Tw )(3600) (T Tw )(3600) 0.8 1 0.8 2
RC1 G RC 2 G RC 2
0.8 C1 2 0.8 1
R G G
(3.39)(11386) 0.8 (22770)
0.8
kg 1.94 2 h.m
Humedad relativa 90
70 60 50
40
30
20
30 0.025
0.020
25
0.026
31.1
0.015
20
0.010 0.010
15 10
0.005
5 0 -5
-10 -10
-5
0
5
10
Humedad absoluta kg/kg aire seco
Carta b) psicrométrica
Tª bulbo seco ºC
35
76.7 40
0.000 45
50
55
60
De las tablas de vapor saturado para TW = 31.1 ºC
Se busca en : ENTALPÍA T(ºC) 31.1
L. SAT.
EVAP.
V. SAT.
2427 kJ/kg
kgH2O h Rc ( ) (T Tw )(3600) 2 h.m w Rc 2
0.8 2
0.0204G
w
(T Tw )(3600)
0.0204(11386) Rc 2 (76.7 31.1)(3600) 2427 RC 2 c)
kg 4.22 2 h.m
Ls X1 X 2 tC ARc
Si se nota de la ecuación para la zona de velocidad constante si se aumenta el espesor aumenta Ls y por lo tanto aumenta el tiempo en la zona de velocidad constante tC .
TRANSFERENCIA DE CALOR POR COMBINACIÓN DE CONVECCIÓN, RADIACIÓN Y CONDUCCIÓN DURANTE EL PERÍODO DE VELOCIDAD CONSTANTE
Con frecuencia el secado se lleva a cabo en un gabinete cerrado, donde las paredes irradian calor al sólido que se está secando. Además en algunos casos, el sólido puede estar depositado en una bandeja metálica, y también existe una transferencia de calor por conducción a través del metal hacia el fondo del lecho metálico.
Superficie radiante caliente TR
Gas
Calor por radiación qR
Calor por convección qC
T, H , y zS
Superficie de secado
NA
SÓLIDO QUE SE SECA
TS, HS , yS
Bandeja metálica
zM Gas T, H , y
Superficie no sometida a secado
Calor de conducción qK
q qC qR qK Donde qC es la transferencia convectiva de calor desde el gas a T ºC hasta la superficie sólida a TS ºC en W. con un coeficiente convectivo hC y A es el área de la superficie expuesta en m2.
qC hC (T TS ) A hC 0.0204G
0.8
La transferencia de calor por radiación qK donde hR es el coeficiente de transferencia de calor por radiación desde la superficie a TR hasta TS en W:
qR hR (TR TS ) A Donde hR es el coeficiente de transferencia de calor por radiación: 4
TS TR 100 100 hR (5.676) TR TS
4
El calor por conducción es :
qK U K (T TS ) A Donde UK es el coeficiente de transferencia de calor por conducción, zM es el espesor del metal, kM es la conductividad térmica del metal en W/m.K, zS es el espesor del sólido en m y kS es la conductividad termica del sólido.
UK
1 zS 1 zM hC kM kS
La ecuación de velocidad de transferencia de masa:
NA ky
MB (H S H ) MA
La cantidad de calor necesario para vaporizar NA despreciando los cambios de calor sensible:
q M A N AW A Reescribiendo la ecuación anterior:
q M A N AS A Combinando todas estas ecuaciones se tiene:
(hC U K )(T TS ) hR (TR TS ) q RC k y M B (H S H ) AS S
La ecuación anterior da temperaturas de superficie TS mayores que las de bulbo húmedo TW . Además dicha ecuación también interseca a la línea de humedad saturada en TS y HS por lo que TS>TW. La ecuación debe resolverse por aproximaciones sucesivas. Para facilitar su resolución se puede reordenar:
H S H S hC / k y M B
UK 1 hC
hR (T TS ) (TR TS ) hC
Se demostró que la relación hC/kyMB se aproxima al calor húmedo c S:
cS (1.005 1.88H )1000 J / kg.K
EJEMPLO Un material granular insoluble humedecido con agua se seca en
un crisol de 0.457 x 0.457 m y de 25.4 mm de profundidad. El material tiene 25.4 mm de profundidad en el crisol de metal, que tiene un fondo de metal cuyo grosor es zM = 0.61 mm y cuya conductividad térmica es kM = 43.3 W/m.K. Gas T, H , y
Calor por radiación qR
Calor por convección qC
zS
SÓLIDO QUE SE SECA
zM
Bandeja metálica
NA
Gas T, H , y
Calor de conducción qK
La conductividad térmica del sólido puede considerarse como kS = 0.865 W/m.K. La transferencia de calor es por convección desde que una corriente de aire que fluye de manera paralela a la superficie secante superior y a la superficie de metal del fondo con una velocidad de 6.1 m/s y a una temperatura de 65.6 ºC y humedad H = 0.010 kg agua/kg aire seco. La superficie superior recibe la radiación directa de unas tuberías calentadas por vapor cuya temperatura superficial TR = 93.3 ºC. La emisividad del sólido es = 0.92. Estime la velocidad de secado para el período de velocidad constante.
SOLUCIÓN:
La velocidad, temperatura y humedad del aire son iguales del ejemplo anterior de predicción del secado a velocidad constante. Datos: T= 65.6 ºC, zS = 0.0254 m, kM = 43.3, kS= 0.865., zM = 0.0061 m, = 0.92, H = 0.010. La solución será por prueba y error con TS = 32.2 ºC superior a TW = 28.9 ºC de las tablas de vapor S = 2424 kJ/kg. Para predecir hR usar las temperaturas TR = 93.3+273.2 y TS = 32.2+273.2.
vH (2.83x10
3
4.56 x10
3
H )T
vH (2.83x103 4.56 x103 x0.01)(273 65.6)
vH 0.974m / kgaire. sec o 3
La densidad de 1 kg de aire seco + 0.010 kg de agua es
1 0.010 1.037 kg / m 3 0.974
La velocidad de masa G es:
G v (6.1)(3600)(1.037) 22770kg / h.m2 Calculando el coeficiente convectivo de transmisión de calor:
hC 0.0204G 0.8 0.0204(22770)0.8 62.4W / m2 .K
Calculando el coeficiente por radiación: 4
hR
TS TR 100 100 (5.676) TR TS 4
4
4
366.5 305.4 100 100 hR 0.92(5.676) 7.96W / m 2 .K 366.5 305.4 Calculando el coeficiente por conducción: 1 UK zS 1 zM hC kM kS
UK
1 22.04W / m 2 .K 1 0.00061 0.0254 62.45 43.3 0.865
cS (1.005 1.88H )1000 J / kg.K
cS (1.005 1.88x0.010)1000 1.024 x10 J / kg.K 3
Reemplazando: H S H S 1 U K hC / k y M B hC
hR ( T T ) (TR TS ) S hC
H S 0.01S 1 22.04 (65.6 T ) 1024
62.45
S
7.96 (93.3 TS ) 62.45
A partir de la gráfica de humedad para TS = 32.2 ºC, S = 2424 kJ/kg, la humedad de saturación es HS = 0.031, se sustituye en la ecuación anterior y se despeja TS dando TS = 34.4 ºC
Humedad relativa 90
70 60 50
40
30
20
30 0.025
0.020
25
Humedad absoluta kg/kg aire seco
Carta psicrométrica
0.031 0.015
20
0.010
15 10
0.005
5 0 -5
-10 -10
0.000 -5
0
5
10
Tª bulbo 32.2 seco ºC
35
40
45
50
55
60
Para un segundo tanteo se supone que TS = 32.5 ºC, S = 2423 x103 y HS =0.032, se sustituye en la ecuación anterior y se obtiene un valor de 32.8 ºC por lo que no hay cambio apreciable con la temperatura propuesta por lo que queda la temperatura de 32.8 ºC. Luego se calcula la velocidad de secado en el período de velocidad constante:
(hC U K )(T TS ) hR (TR TS ) RC S (62.45 22.04)(65.6 32.8) 7.96(93.3 32.8) RC (3600) 3 2423x10
RC 4.83kg / h.m2