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Capítulo 2 Transformaciones de Semejanza

1.- Las homotecias No todas las colineaciones ortogonales son transformaciones. de congruencia. Para ver esto basta considerar las transformaciones que transforman rectas en rectas paralelas. Si una transformación de este tipo es una traslación no tendrá puntos Fijos. Si tiene más de un punto fijo será necesariamente la transformación. idéntica dado que todas las rectas que pasan por un punto fijo han de ser rectas fijas. Por el contrario, una transformación de este tipo con un único punto fijo no es una transformación. de congruencia. Una tal transformación. viene determinada unívocamente por el punto fijo O y un par (A, A') de puntos correspondientes. Incluyendo la transformación. idéntica definimos: 1.1.- Homotecia Se llama homotecia de centro 0 y razón r, a la transformación puntual Hk definida así: H(O,k) A = A' ⇔ (OA' = k.OA). 1.2.- Definición Una transformación H tal que para toda recta r H(r)//r y que tiene al menos un punto fijo O se denomina homotecia. O es el centro de homotecia. De H(r)//r se deduce que las homotecias son colineaciones ortogonales. Un punto y su correspondiente están alineados con el centro, Si tenemos un sistema de coordenadas en el que una homotecia de centro O=(0,0) transforma el punto (1,0) en el (k,0) entonces se deduce que el punto P(A,0) se transforma en el P'(Ak,0). Los segmentos OA y OA' verifican OA'= |k|.OA y se puede probar aplicando el teorema de Thales que para todo segmento AB se tiene A'B' =|k|.AB. Se denomina razón de homotecia k∈R≠0. Una homotecia queda determinada por O y k. Si: |k| > 1 las figuras resultan ampliadas, |k| < 1 las figuras resultan reducidas, |k| = 1 da la transformación. idéntica, |k| = -1 la simetría puntual respecto a O. (Central) OA' OB' En la figura = =2 OA OB Como k.OA está en la misma recta que OA, un punto A y su transformado A’ están siempre alineados con el centro de homotecia. 1.3.- Definición. Llamaremos figura homotética de una figura F en la homotecia H, e indicaremos Por H(F), a la figura formada por los puntos de F transformados por H. (A´∈ ∈ H(F)) ⇔ (A’ = H(A) con A∈ ∈F). H(O, 2)(F) = F’. Una figura F y su homotética F’, en la homotecia de centro O y razón 2. Versión - Miguel Ángel De Carlo

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1.4.- Para k = 1 se obtiene la transformación idéntica I que transforma todo punto en sí mismo: H(O,1) = I (de modo que toda figura es homotética de sí misma), y fuera de este caso, el único punto fijo (o sea, transformado de sí mismo) de una homotecia, es el centro de homotecia O, y son rectas fijas (pero no rectas de puntos fijos) las que pasan por O y solo ellas. 1.5.- También consideraremos homotecias de razón negativa. Para r = -1 resulta la simetría central de centro O. H(O,-1) =SO 1.6.- Para k = 0 resulta A’ = 0 cualquiera sea el punto A; se obtiene la transformación constante C que transforma todo punto en un mismo punto 0: H(O,0) = C pero es habitual excluir esta transformación de entre las homotecias 1.7.- En la figura cabe observar una composición de homotecias del mismo centro que transforman a F en F’ por una homotecia de razón 3 y la misma que transforma F’ en F” por una homotecia de razón 2. Esto es consecuencia de la propiedad siguiente sobre lo. composición de homotecias o resultado de realizarlas sucesivamente. La composición Hr o Hs de dos homotecias del mismo centro O y razones r y s, es otra homotecia de igual centro y razón producto r.s: K(o,r) o H(o,s) = H(o,(r.s))

1.8.- Del enunciado anterior se deduce que: Si y solo si r ≠ 0, la homotecia R. de centro 0 y razón r admite una transformación inversa H(o,r)-1 que es la homotecia Hl/r de igual centro y razón l/r (inversa de la razón de Hr): H(o,r) o H(o,l/r) = H(o,1/r) o H(o,r) = 1 En efecto, si r = 0 se obtiene la transformación constante, que no tiene inversa pues cualquier transformación T, compuesta con ella a derecha, da ella misma: ToC=C 1.9.- La propiedad anterior muestra la ventaja de exc1uir e1 caso r = 0 de entre las homotecias y convendremos en hacer esto desde ahora, es decir, al considerar una homotecia K(o,r) de razón r, supondremos r ≠ 0. Todas las homotecias respecto al mismo centro forman un grupo respecto a la composición. Por el contrario, el conjunto de todas las homotecias no forma grupo, ya que la composición de una homotecia de razón k≠ 1 y otra de razón k-1 respecto a centros distintos es una traslación. Pero la unión de todas las homotecias y las traslaciones, si es grupo. Versión - Miguel Ángel De Carlo

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Si la composición H2 o H1, de dos homotecias es de nuevo una homotecia H3 los centros O1, O2 y O3, han de estar alineados, ya que H3 = H2 o H1 y como vimos en (1.8) k3 = k2.k1. 1.10.- Conservación de las razones. Del teorema de Thales “Si varias rectas paralelas se cortan con dos transversales r y s, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los segmentos correspondientes de la otra.” (Los segmentos de una de las transversales son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra). Y por “ Dos rectas p y p’ son paralelas si y solo si los segmentos que determinan sobre dos transversales concurrentes, a partir de su intersección son proporcionales.” Resulta que para toda homotecia Hr de razón r, vale: (H(o,r) A = A´ y H(o,r) B=B’) ⇒ (A’B’:AB= r y A'B’ // AB) Además, considerando un ángulo y su homotético, como. los lados correspondientes son paralelos y, o bien ambos del mismo sentido (si r>O), o bien ambos de sentidos contrarios (si r