,

T~~RIA D~ 1A~ ~~MBRA~ PUNTOS Y LÍNEAS BRILLANTES y

DEGRADAOIÓN DE TINTAS POR

A"fo"io 1to"ira y 1taba~~a ARQUITECTO ACADÉMICO

DE LA DE

BELLAS

ARTES

DE BARCELONA.

Y. CATEDRÁTICO DE

L~:.S

ASIGNATURAS EN LA. ESCUELA

DE

SO:UBRAfI,

SUPERIOR

y

PERSPECTIVA.,GNOHóNICA DE ARQUITECTURA.

DE LA. ta llegar á reunirse, [armando curva cerrada. '

"

- 40nea de intersecci6n bc, y en dir:ho punto, precisamente ~erdn tangentes la lineade sombra arrojada bc con la de intersecci6n mbn. Es evidente dicha propiedad, observando que la tangente en b á la curva mbn, está producida por la intersección del plano tangente á la esfera, con el que lo es al cili~dro, á lo largo de la generatriz,ab; mas la tangente en b a la curva bc se produce por la combinación de los planos tangente.s un~ á la esfera, y otro al cilindro oblicuo de los rayos lumInosos mas este último se confunde ó es.el mismo que el considerado como vertical y tangente al cilindro rect? á lo largo de la generatriz ab; luego inferimos, que los pnmeros planbs tangentes que producen la tang~nte en b á la curva mbn son los mismos que la que proporClOnan la tangente en el mi~~o punto b á la línea de sombra bc, y po: lo tanto, esta recta tangente lo será á la vez á las mbn: y a la bc, lueg~ estas Jíneas serán tangentes entre sí; lo mIsmo se demostrara

para el punto d.

. -.

Estos tres teoremas, aunque facÜes, son de ~ran Importancia y trascendencia, pues su aplicación permIte, en gran número de circunstancias, valernos tan s6lo de un numeroreducido de puntos de la línea de sombra, ya que de momento se tienen á mano los puntos de partida y de llegada, de modo que con uno ó dos intermedios, según la extensión d~ ~a curva, es permitido el trazar la curva, con toda la precls.I6n que desear sea, á la vez que acentuar su verdadero sentido, en sus movimientos.

---~

CAPITULO II

~ornbí'a

del ponto,

de la í'eeta y del plano

~.~~,-~.~

29. Sombra del punto.-Elpunto; la recIa y el plano han de ser, precisamente, los primeros elementos de que nos hemos de ocupar, toda vez que constituyen la base funda'mental de la terminación de los cuerpos. ,Ya en el párrafo 19-2.° con motivo de apreciar las ventajas del raye> luminoso, cuyas proyecciones forman ángulo de 45° con la línea de tierra, iniciamos el sencillísimo problema' de la sombra del punto que caía arrojada sobre uno cualquiera de los dos planos de proyección, y allí vimos cómo este punto de sombra era precisamente la traza del rayo de sombra (19-2, °) sobre el plano vertical ú horizontal, ya se tratase de uno ú otro de estos dos planos. Aquí, yen todós los ejemplos que van á seguir, no nos concretaremos f! que la luz venga dada por rayos luminosos de inclinación especial, como son los de 45° á que .nos hemos referido; sino que, y todo con el objeto de generalizar, admitiremos direcciones cualesquiera, así como también los rayos luminosos que provengan de 'luz artificial. . Sea el punto avah (fig. 25, lám. 2.") del cual quiérese en. contrar su sombra arrojada sobre uno de los dos planos de proyección; el que sea á propósito para ello. El rayo luminoso está dado por sus', proyecciones Rv Rh. Este rayo luminoso, conforme dijimos en el párrafo 19 al encontrar el punto a, le iluminará, deteniendo ya desde este momento su camino en el espacio; de ello resultará que hacia

~

42-

la parte posterior del punto quedará una línea recta privada de luz siguiendo la prolongación del rayo luminoso, siendo esta recta lo que .conocimos anteriormente con el nombre de rayo de sombra; si, pues, este rayo de sombra queda detenido en el espacio por oponerse á su marcha uno de los dos planos de proyección, como por ejemplo el vertical, claro está que al chocar sobre éste dejará impresa una huella ó punto privado de luz; éste será, pues, la sombra que se busca. Se infiere de esta ligera explicación que para encontrar la sombra del punto dado sobre el plano vertical, bastará imaginar un rayo de sombra que pase por el punto dado y buscar su traza vertical: así aB será la sombra del punto a sobre dicho plano vertical.' '. Ya desde luego se deduce que si hubiésemos querido la sombra sobre el plano horizontal tal como a B' hubiera sido necesario recurrir á la traza horizontal de la recta; mas como quiera que aquí, en este caso, esta traza cae en el plano horizontal, pero hacia la parte posterior del plano vertical, se desprende que si el problema ha de tener solución, precisa que prescindamos del plano vertical, como si 10 sacáramos de su sitio, ó cuando nó, suponerlo diáfano, de cristal', que en~ tOnces los dos puntos de sombra aB, aB', situado~ en el mismo rayo de sombra, darían satisfacción al problema. 30. Sombra de un punto sobre un plano cualquiera.Fig. 26. 'El punto del dato e¡; el á, y P el plano que ha de re-. cibir la sombra arrojada del primero, aquí, como en el caso anterior, la sombra que se busca vendrá producida por l,a intersección del rayo de sombra que pasa por el punto con el plano P. Es simplemente un problema de Geometríadescriptiva. Hágas~ pasar, pues, por el punto uilrayo luminoso R, búsquese la mtersección de 'él con el plano P y á este efecto hágase pasar por R el plano vertical ah ce' que lo proyecta horizontalmente; la intersección de este plano con el P resul. ta ser la recta d'c', luego sabido es que el punto de intersección,s' - s de esta intersección con la recta dada que aquí es . el rayo de sombra, será en definitiva la intersección del rayo de sombra con el plano P, y, por lo tanto, el punto de so'mbra que resuelve el problema, 31. Sombra del punto sobre un prisma.-El punto es el a (fig. 26), el prisma es el P; imaginemos ahora que por di-

- 43cho punto pasa un rayo luminoso, el cual,' prolongado hacia la parte posterior del' punto da el rayo de sombra; la intersección de éste con el prisma será con evidencia la sombra que buscamos. Es, pues, esta cuestión igual á aquella de Geometría descriptiva, cuando se trata de encontrar la intersección de una recta con un prisma. En su virtud, hagamos pasar por la recta R un plano cualquiera, .que para mayor facilidad escogeremos aquel que lEi:proyecta verticalmente, y cuya,traza vertical se confunde con la Rv. Búsquese luego la intersección de este plano proyectan te auxiliar con el prisma P; esta intersección la tenemos proyectada verticalmente en la recta b'f', y horizontalmente en el polígono beeld. En este estado, sabemos que el rayo luminoso y este polígono, encontrándose ambos en un mismo plano secante, se cortarán, en un punto s'- s', éste será precisamente la sombra que se busca. 32. Sombra del punto sobre la Esfera,-El punto es el aV ah (fig, 28), mientras que la 'esfera es la que está proyectada. en los dos círculos máximos Ev - Eh; considerando ahora el rayo luminoso que pasa por dicho punto, aquél originará su respectivo rayo tical, dicho plano corta al cono, y}o hace de tal modo, que toda la línea de corte vi,énese á confundir, en este caso espe - . cial con la misma traza vertical del plano de sombra A'C, ext~ndiéndose no más en el justo límite FC', pues el resto A'F es la arrojada sobre el mismo plano de proyección ver. tical: La curva del espacio, que aquí será una elipse, se proyec'

tará fácilmente en el plano horizontal, disponiendo en proyecciones horizontal y vertical un determinado púmero de generatrices del cono, y proyectando en ellas, los respectivos puntos E',F',C ya encontrados en E,F,C'. Mas el punto C C' siendo el que corresponde á la sombra arrojada del originario A-A', esto es, el último de la recta directriz A'.AL, se infiere. que el rayo luminoso se apoyará luego en la arista de frente A'B', y así obtendremos otro plano de sombra, que cortará al cono 6', según un pequeño arco elíptico C'D'-CD, cuyo último punto D'-D lo 'obtendremos con suma facilidad observando que A'B' y la generatriz VGtienen, respectivamente, por sombras arrojadas sobre el plano de proyección vertical, las QR y ze, y éstas cortándose en el punto S indica que si por contraproyección trazamos el rayo de sombra que parta de dicho punto S, ésta se apoyará á la vez en O"', en la arista A'E' y en D' de la generatriz VG, por lo tanto TImcae arrojado en D' y como á consecuencia en Si atención hecha á la poca extensióri que abarca la curva C'D', con estos dos puntos basta para el trazado de esta curva, cual puede dibujarse á mano, pues se advierte de momento por la situación especial del plano de sombra sector, hacia que lado . cae la concavidad de la línea. Inmediatamente el .rayo luminoso emprende dos caminos distintos en el rase, el uno siguiendo á lo largo de la generatriz, esto es, de D' hacia G; y el otro continuando apoyándose en la arista horizontal, desde el punto O'" hacia B'. Veareos el primero, y al efecto, observemos que con la sombra arrojada el punto N está producido por la intersección de las zl) y de la curva KML, sombras arrojadas respectivas de la generatriz VG y de la base circular del cono ~', parla tanto; en dicho punto N parte un rayo de sombra que se apoya en N"', sobre la generatriz VG, yen "en la base circular del cono ~', lo cual expresa que la sombra que arroja el trecho de generatriz N"'D' lo hace sobre la superficie cónica ~', siendo el último punto de la curva, mientras que el primero, será el S" á partir del cual aparecerá la otra curva e"'om"("¡¡,' elíptica, sombra arrojada sobre el mismo cono,~' de la arista que media desde Dm á pl, á partir del cual, la sombra de dicha arista horizontal, cae de lleno sobre el plano vertical en PRo Encontremos, pues, la curva Se"'o"'''(''It'á este fin, es~ojamos un punto cualquiera, tal como "(', situado entre D'" y P' en la arista A'B', y hagamos pasar por él un rayo de sombra para

- 1t6encontrar en seguida su punto de encuentro y" con el cono ~'. Observemos para obtenerlo, qtle si conducimos un plano por el rayo de sombra que pasa por y' y por el otro rayo de sombra que pasa por el vértice v del cono ~', tendremos así que este plano cuya traza horizontal es 6'th (tomando como á línea de tierra auxiliar la recta que pasa por la traza vertical del plano de las bases inferiores de los conos 6', ~:,) nos coro. tará al cono ~', según la generatriz av', y así la i"ntersección . de ésta con el rayo de sombra que parte de y', nos dará el punto de sombra y", 'que proyectaremos horizontalmente en y"'. Escogiendo, pues, nuevos puntos en la 'arista A'B', iríamos repitiendo iguales operaciones para el descubrimiento de otros puntos de la so'mbra arrojada. Aplicando el procedimiento para el pubto que esté situado en el plano meridiano del cono, el v'o', que á la vez es paralelo al rayo de luz, se obtetldrá aún con máyor brevedad el punto .0" en cuestión, pues,' que vendrá dado directamente por la intersección de la generatriz v'~. En este caso el plano secante dará hipérbola, y cuando degenera en tangente '"á la su'perficie, entonces ]a sección se co,!,pondrá de las dos generatrices . que pasen por él punto de contacto. ' Esta hiperboloide tiene centro. Esta variedad de superficie de 2.0 gradO' es de muy poco uso en las * aplicaciones. Las secciones producidas en ella por un plano pueden ser elipses, hipérbola y aun también parábola, en el caso de que el plano secante sea paralelo á una generatriz del cono asintótico. El hiperboloide á tres ejes desigual"s, admite dos direcciones que le producen en la sección circulas. Estas dos direcciones 'se confunden en una sola, cuando la superficie sea de revolución. ** Tampoco el paraboloide elíptico es de aplicaciÓn frecuente en las artes é industras, ó ya sea en estudios meramente especulativos. , Es susceptible de que sea seccionado por un plano por medio de elip~es y !',arábolas, por cuya propiedad se le designó con el nombre que se le conoce. Admite dos planos principales; estos dos planos se cortan en ángulo recto, pasan por el vértice, y en su intersección dan el.eje de la superficie. Esta superficie se convierte en de revolución, cuando las secciones principales son parábolas iguales. Todo plano secante, paralelo al eje, corta á la superficie según una parábola. Todo plano secante que corte al eje, produce en la superficie uná elipse, ó una . de sus casos particulares, esto es, un circulo, un punto. Esta superficie no tiene centro, ó si se quiere, s.~halla al infinito. El paraboloide hiperbólico es también una superficie reglada, así es que *** si se le corta por un plano de modo que éste, entre en él según una recta; ha de cortade en su salida también por medio de otra recta, Las secciones que puede producir al cortada por medio de pianos, son parábolas é hipérbolas, propiedad por lo cual se originó s. nombre.

- 184-

~

Además de estos cinco ejemplos de superficies de 2. o gra-'

do, pueden también clasificarse como á tales como casos dependientes de ellos. La esfera, oriunda del elipsoide, cuando los tres ejes son iguales. El cono, que tenga por base una curva de 2.0 grado, como caso particular de los hiperboloides.

,

El cilindro, teniendo por base una curva de 2. o grado como

caso particular de los paraboloides; aunque puede, ~onside'rarse también como un cono cuyo vértice está en el infinito. 1.13.- Teoremas fundamentales que facilitan la determi. nación de las sombras en las superficies de 2. o grado. á una 1. o La linea de contacto de un cono circunscrito superficie de 2.0 grado es' siempre plana, y su plano se e\'J,cuentra paralelo al diametral conjugado con la di. rección del diámetro que pasa por el vértice del cono. -Veamos la (fig. 108, lám. 13), en la cual ~ es la superficie de 2.° grado; aquí un elipsoide; V, un pu'nto exterior del cual se suponen se han trazado una serie, de tangentes á las curvas ACE, AC'E', AC"En producidas por secciones en la su-

,

Tiene dos secciones principales, las cuales pasan por el vértice de la superficie, y son respectivamente paralelas á los dos planos directores, seccionándola según parábolas. Todo plano que sea paralelo á uno de los principales, corta también á la superficie, según una parábola igual á la parábola principal á quien es paralela. Como sección muy notable y, característica de esta superficie puede citarse la que produce un plano conducido por el vértice perpendicularmente á los dos planos directores. EJ1tonces el plano secante es á la vez tangente á la superficie cortando al paraboloide según dos generatrices rectilíne"s, que pertenecen cada una de el1as á un sistema distinto. Sin embargo, este plano, no será plano principal, puesto que no divide al paraboloide en dos partes simétricas. Todo plano tangente corta también á la superficie, según dos rectas, que se cortan en el punto de contacto; cada una de el1as pertenece á una generatriz de sistema distinto. Los planos secantes, paralelos á un plano tangente, producen en la superficie hipérbolas semejantes. Los ejes de 'estas curvas son proporcionales. Cada uno de los planos trazados por el v~rtice, paralelo á uno de los planos di- , rectores, corta á la superficie en una sola recta. La segunda recta que había de producir semejante sección se traslada al in, . . , finito. El empleo de esta superficie es sumamente de importancia en las aplicaciones de la Estereotomía. Esta superficie uo tiene centro. '

185-

perficie de los planos que hemos hecho pasar por el diámetro va, dirigido desde el punto V. Estas tangentes siéndolo á dichas curvas lo serán á la superficie, y, por lo tanto, formarán un cono, cuyo vértice será el V, y cuya base será la línea de contacto, lugar geométrico de todos los puntos de tangencia E, E', E", etc. Esta curva, es pues necesario probar: 1.° que es plana, y 2.° que es paralelo su plano al diametral OEH] que es conjugado de la dirección av. A este efecto, concibamos el planodiametral EJH conju-' gado con VO, este plano cortará á dichos planos secantes según una serie de rectas, OE, OE', OE", que cada una de ellas será conjugada á su vez con la serie de cuerdas de la superficie, trazadas en dirección paralela á la misma VO. Así tendremos queOE y OA, OE' y OA, OE"y OA, etc., serán pares de diámetros ~onjugados, referentes á las elipses AEB, AE'B, AE"B, etc. En este estado, conduzcamos desde el punto V, á una de estas curvas la tangente VC, y obtenido que sea el punto de tangencia C, hagamos por el pasar un plano secante" paralelo al diametral E]H, cual plano cortará á la superficie según la elipse CKG (núm. 112, nota **, pág. 182) semejante á dicha E]H, y además á los planos secantes primitivos, según las rece tas OC, OC', aC", etc., respectivamente paralelas á las OE, OE', OE" etc., y además proporcionales, pues se trata de elipses homotéticas. Ahora bien; fijémonos ahora que todas las sécciones conducidas ,por el diámetro va son elipses que tienen un eje común cual es el va, que en todas ellas precisamente los puntos C, e, C", etc., corresponden á una misma abscisa 00', y, por lo tanto, según una propiedad analítica *, las subtangentes O'V, tomadas sobre el eje común, serán En etecto, la ecuación de la tangente á la elipse en el punto cuyas coordeua* 0000' yy' das sean 00', y', es-+ --'= 1. Encontremos ahora el punto 1 (fig. )12), ,~ ~ . en que esta tangente corta á uno cualquiera de los coordenadas, por ejemplo el de ~~ o en la ecuación de la tangente, y así tenPara conseguido habrá que hacer y

=

'

a' dremos a: = ;;-; este resultado, que es de fácil construcción, nos ,dice que es independiente de bjes decir, que describiwdo diferentes elipses ABA', ACA', ADA', etc , sobre un mismo eje AA', y razando tangentes á éstas en los puntos razando °, N, M .' etcétera, que tienen una misma abscis,!, todas estas tangentes cortaran al eje de las 00en un mismo punto l.

- 186.también comunes, y por lo tanto dichas tangentes serán las generatrices de un cono circunscrito á la superficie de vértice V, y de base paralela al plano diametral EJH. 114. 2.° La línea de contacto de un cono circunscrito á una esfera es un circulo menor, perpendicular á la recta que une el centro de la esfera con el vértice' del cono.Este teorema es una consecuencia del anterior (fig. 106) pues según él la sección aiametral AB, que ha de ser paralela al plano de la curva de contacto ab, sabemos que es conjugada con la dirección VO, más aquí por la regularidad de la esfera, á más de la conjugaci6n, existe la perpendicularidad, y, por lo tanto, seguirá la misma suerte la dirección del plano ab. Esta importante propiedad puede también comprobarse fácilmente y de una manera directa con sólo imaginar el giro alrededor dela recta VO, de un círculo máximo ADBC y su tangente Va trazada desde el punto V.

,

115. En la demostración del párrafo 112 hemos supuesto que ~ era un elipsoide, esto es, una de la superficie de 2." grado dotada de centro; pasemos ahora á generalizado, escogiendo al efecto un paraboloide (fig. 109) cual según ya hemos indicado carece de centro. Séa, á este efecto, el punto B el escogido para vértice del cono circunscrito, y conduzca-, mas por él la recta BO' paralela al eje 6 diámetro principal HO del mismo, más como sabemos que el centro al considerado al infinito, los diámetros han de ser paralelos, de aquí que la recta AO' continua siendo también un diámetro. Hagamos pasar por ella vár.ios planos, ellos cortarán al paraJ::¡o.loide según las CUrvas parabólicas ACD, AC'D', AC"D"". etc. . Concíbase ahora el plano tangente en A y luego otro plano paralelo al primero, pasando por un punto C' producido por P?r la tangencia de una de las secciones parab6licas, ejemplo, la AC'D' con la tangente á ella, conducida por .el punto exterior B. Entonces este último plano cortará á los planos de estas parábolas, según las rectas lC, lC', le" oo.etcétera, cuyas no serán otras que ordenadas de dichas parábolas, respectivamente paralelas á las AF, AF', AF" oo. etc. tangentes de dichas curvas en el punto A. En semejante disposición, vemos ya que se han formado una serie de parábolas que tienen un diámetro común, y á la vez una serie de puntosC,C',C" , etc., que referidos al cita-

- 187¡por do diámetro, las ordenadas Cl,C'l,e"l etc., tienen una misma abscisa Al; además de todas estas propiedades las tangentes en el extremo A son. respectivamente paraldas' á las ordenadas C,C',C" ... etc., luego en todas estas parábolas la subtangente Bl, referente á los puntos de contacto C C' ,e" , ". y, por lo tanto, las tangentes á dichas curvas sera comun ' '" por todos los indicados puntos, pasarán cuando se las prolongue suficientemente; por .el mismo punto B, formando así un cono. en que B será el vértice y la curva plana GCC'C" etc. '" la base, paralela al plano tangente en A la base. La circunstancia aquí del paralelismo, deL plano, de la c~rva con el tangente en A, sustituye á la condición de que dIcho plano de la curva fuese paralelo al diametral conjugado con AO' del párrafo 112, porque en este nuestro caso el plano diametral á que aludimos está á una distancia infinita. También en la fig. 108 hubiérase podido acudir á este último paralelismo de plano de curva con el diametral referido, pues tal propiedad subsiste del mismo modo. .

116. La curvade contacto de un cilindro circunscrito á una superficie de 2." grado es siempre plana, y su plano es diametral conjugado de la dirección del cilindro. Sea á este efecto en la (fig. 108) ~, la superficie y la recta . dlametral VO, la direcci6n del cilindro circunscrito; hagamos pasar por ella varios planos, cuales cortarán á ~, según las curvas ACB, AC'B, AC"B "OO'etc., todas curvas de 2.° grado con el diámetro común AB; dispongamos en esta situaci6n otro plano. secante diametral, pero cuya direcci6n sea conjugada cón la de AB; es evidente que este plano secante cortará al plano de las curvas antes producidas, según rectas * (Fig. 11I.) La ecuación de la tangente á la parábola, en el punto cuyas coor\

deuadas

sean x'y',

es

-

y

-=-y' 2 vertirá

=-

en fIJ

- -a/fIJ =

fIJ', lo que indica

1, si en esta ecuación hacemos r

que la tangente

. con-

= o se

corta al eje de las fIJ, en un pun.

to T, colocado en fa parte de las fIJnegativas y á una distancia OT igual á la abscisa OP del punto de contacto. Cual resultado' es origen de la siguiente propiedad: La subtangente es igual al doble de abscisa del punto de contacto, así tendremos TP = 2. OP. . Así es que si tenemos varias parábolas referidas á los mismos ejes X, Y Y escoge. mos en cada una de eIJas un punto como MI M', M" ... etc., que correspondaná una misma abscisa OP todas tendrán, para la respecdva tangente en M, M', M", la misma subtangente PT y, por lo tanto, todas dichas tangentes concurrirán en el punto 1.

:

- 189-

188-

se conduce un plano secante, paralelo á la dirección del ci1indro de los rayosJuminosos, este plano es evidente que nos dará una parábola tal como ECF; conduzcamos, ahora, á esta curva la tangente AD, paralela á la dirección del cilindro ó la de los rayos luminosos, 10 que es igual; tomemos ahora en consideración, el punto de tangencia A, y por élcondúzca. se un plano diametral. éste es, evidente, que cortará el paraboloide según una parábola BAC, y será tal que dividirá en dos partes iguaies á todas las cuerdas de la superficie que sean . respectivamente paralelas á la dirección AD, esto es, será un plano diametral conjugado con la dirección del cilindro. Precisamente por esta razón podremos ahora asegurar que si por cada uno de los puntos A',A',Am etc , de esta parábola se '"'' conducen rectas paralelasá la AD, todas ellas, A'It,, A"D" AmDm etc., serán tangentes á la sp-perficie, y, por lo tanto, formarán verdaderamente un cilindro circunscrito al paraboloide, siendo la curva de contacto plana y su plano diametritl. conjugado con la dirección del cilindro, que es lo que se trataba de probar. Estas dos demostraciones de los núms. 116 y 118 hubiéranse, sin pasar por nuevas figuras, deducido de las 'figuras núms. 108 y 109 suponiendo en ellas el vértice del cono, que se traslada al infinito, hasta convertirse dicho cono en uncilindro, aprovechando luego las consecuencias que se infieren de tal hipótesis.

OE,OE',OE" ..". etc., cuyas serán todas diámetros de aque~l~s secciones, y conjugados con el eje común AB, esto es,. dl;'ldiendo en dos partes iguales á las cuerdas de la superficIe, paralelas ála directión de AB; así, pues, podr-emos fácilmente inferir que las tangentes trazadas en cada uno de estos planos y por cada uno de los puntos E,E',E* etc., son todas paralelas á la dirección AB, y forman verdaderamente un cilindro circunscrito á~, cuya curva de contacto es la curva plana que pasa por E,E'E" etc., la c~al por ~ons' trucciones anteriores su plano es diametralconJugado con la dirección AB de nuestro cilindro, 1.1.7. La curva de contacto de un cilindro circunscrito á una esfera es un circulo máximo, cuyo plano es perpendicular á la dirección de dicho cilindro.-Si la superficie de 2.° grado es 111esfera, entonces resulta obvi.o qu~ sea ade~ás de conjugado el plano de la curva con la dIreCCIón