Trigonometr´ıa Edward Parra Salazar

˜ la trigonometr´ıa que se estudia esta´ basada principalmente en el triangulo ´ ´ En noveno ano, rectangulo. ´ ˜ de la Educaci´on Diversificada, donde se hace A diferencia de la trigonometr´ıa estudiada en el ultimo ano ´ anal´ıtico y de mayor profundidad de los angulos. ´ un estudio mas

1.

´ Angulos referidos a un sistema de coordenadas

´ 1.1. Angulos ´ Cualquier angulo tiene un lado inicial y un lado terminal. Si tomamos, por ejemplo, el ∠ABC, el lado −−→ −−→ inicial es BA y el lado terminal es BC, mientras que si consideramos ∠CBA, la orientaci´on cambia: el −−→ −−→ lado inicial es BC y el lado terminal es BA

´ Figura 1: Angulo

1.2.

´ Medida de angulos en radianes

´ La medida de los angulos puede realizarse con diferentes unidades. As´ı por ejemplo puede realizarse ´ utilizado en la matematica ´ ´ usando grados, radianes y gradianes. El mas superior es el radian. ´ 1.1 Un radian ´ es la medida del angulo Definicion ´ central que subtiende un arco cuya longitud es igual que el radio en una circunferencia cualquiera. Observaciones ´ ´ Cuando un angulo esta´ medido en radianes, su medida se representa solamente por un numero real y no escribiremos ninguna otra unidad. Para convertir de grados a radianes se multiplica por

π . 180◦

Para convertir de radianes a grados se multiplica por

180◦ . π

Ejemplo 1.1 Convierta las medidas de cada uno de los siguientes angulos ´ de grados a radianes, o viceversa.

1

´ 1 ANGULOS REFERIDOS A UN SISTEMA DE COORDENADAS

2

´ Figura 2: Radian

60◦ 60◦ = 60◦ 5π 3

π 60π π = = ◦ 180 180 3

5π 5π 180◦ 900◦ = = = 300◦ 3 3 π 3

´ ´ estandar ´ 1.3. Angulos en posicion ´ A partir de ahora, referiremos los angulos a un sistema de coordenadas, colocando el v´ertice sobre el punto (0, 0).

´ ´ Figura 3: Angulos en posici´on estandar

´ 1.2 Un angulo ´ estandar ´ Definicion ´ esta´ en posicion si su lado inicial coincide con el semieje x positivo. Observaciones ´ ´ Un angulo en posici´on estandar es positivo si su orientaci´on es en contra de las manecillas del reloj. ´ ´ Un angulo en posici´on estandar es negativo si su orientaci´on es a favor de las manecillas del reloj.

´ 1.4. Angulos cuadrantales ´ 1.3 Un angulo Definicion ´ en posici´on estandar ´ es cuadrantal, si su lado terminal coincide con algun ´ semieje. La medida de un angulo ´ cuadrantal es siempre un multiplo ´ de 90◦ o de π2 si esta´ en radianes. Trigonometr´ıa

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´ 1 ANGULOS REFERIDOS A UN SISTEMA DE COORDENADAS

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Ejemplo 1.2 Para los angulos ´ en posici´on estandar ´ con las siguientes medidas, determine si es cuadrantal. 2π 3 Dividiendo, 4 3

2π π 2π 2 4 ÷ = · = 3 2 3 π 3

´ no es entero, y el angulo no es cuadrantal.

12π

π 2 = 12π · = 24 2 π ´ ´ 24 es entero, entonces la medida de este angulo es un multiplo de ´ angulo cuadrantal. Como 12π ÷

π 2,

lo que quiere decir que es un

´ 1.5. Angulos coterminales ´ 1.4 Dos angulos Definicion ´ son coterminales si estan ´ en posici´on estandar ´ y sus lados terminales coinciden. Observaciones ´ Si α y β son coterminales, entonces α − β es un multiplo de 360◦ o 2π radianes.

´ 1.6. Angulos de referencia ´ Los angulos cuya medida no esta´ entre 0 y ´ adelante. relaciones mas

π 2

´ tienen un angulo de referencia que permitira´ establecer

´ 1.5 Para un angulo ´ Definicion ´ α no cuadrantal en posici´on estandar, ´ se define el angulo de referencia θ como el angulo ´ que se forma entre el lado terminal de α y el eje x. Ejemplo 1.3 Para los angulos ´ con las siguientes medidas encuentre la medida del angulo ´ de referencia. ´ La idea es primero encontrar el cuadrante al que pertenece el angulo y luego, determinar la medida del ´ angulo de referencia. 8π 8π ´ ´ . Podemos ver que el angulo esta´ en el tercer cuadrante, lo que quiere decir que el angulo da 7 7 8π π ´ ´ media vuelta, y le sobra un angulo cuya medida es θ = − π ⇒ θ = . Observe que es un angulo 7 7 ´ ´ agudo que se forma entre el lado terminal del angulo y el eje x, as´ı que esta´ es la medida del angulo de referencia.

1.7.

´ Repaso de las razones trigonometricas

´ 1.6 Razones Trigonom´etricas Definicion Sea α un angulo ´ agudo de un triangulo ´ rectangulo. ´ sin α =

cateto opuesto a α y se lee seno de alfa. hipotenusa

cos α =

cateto adyacente a α y se lee coseno de alfa. hipotenusa

tan α =

cateto opuesto a α y se lee tangente de alfa. cateto adyacente a α

Trigonometr´ıa

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´ 1 ANGULOS REFERIDOS A UN SISTEMA DE COORDENADAS

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´ ´ Figura 4: Triangulo rectangulo

De acuerdo con la figura 4, se tiene que a b a , cos α = tan α = c c b ´ 1.7 Sea α un angulo Definicion ´ agudo de un triangulo ´ rectangulo. ´ sin α =

csc α =

hipotenusa y se lee cosecante de alfa. cateto opuesto a α

sec α =

hipotenusa y se lee secante de alfa. cateto adyacente a α

cot α =

cateto adyacente y se lee cotangente de alfa. cateto opuesto a α

De aqu´ı podemos deducir las relaciones rec´ıprocas siguientes: 1 1 , sec α = sin α cos α ◦ Ejemplo 1.4 Encuentre el valor num´erico de tan 30 . csc α =

cot α =

1 tan α

´ ´ Figura 5: Triangulo especial semi equilatero ´ ´ Utilizando el triangulo especial semi equilatero. Entonces, ` 1 tan 30◦ = √ = √ ` 3 3 y racionalizando tenemos:

√ ◦

tan 30 = Trigonometr´ıa

3 3 Edward Parra S.

2

5

´ LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

´ La circunferencia trigonometrica

2.

Las definiciones de las razones trigonom´etricas trabajadas en la secci´on anterior, pierden su validez ´ cuando se trabajan con angulos que no son agudos. Para poder extender los conceptos trigonom´etricos se debe considerar lo siguiente: en el plano carte´ siano, la circunferencia trigonometrica es la circunferencia con el centro en el origen y radio uno.

Figura 6: Circunferencia Trigonom´etrica

Sabemos que sin α =

cateto opuesto a α y = = y, ya que la hipotenusa es el radio de la circunferencia. hipotenusa 1

Entonces, y = sin α. De igual modo, cos α =

2.1.

x cateto adyacente a α = = x. As´ı que x = cos α hipotenusa 1

´ ´ estandar ´ Seno y Coseno de angulos en posicion

´ 2.1 Seno y coseno. Definicion El seno de un angulo ´ en posici´on estandar ´ es la coordenada y de la intersecci´on del lado terminal del angulo ´ con la circunferencia trigonom´etrica. El coseno de un angulo ´ en posici´on estandar ´ es la coordenada x de la intersecci´on del lado terminal del angulo ´ con la circunferencia trigonom´etrica. En la figura 7, cos x = a y sin x = b

Figura 7: Seno y coseno

Observaciones ´ ´ Si α y β son angulos en posici´on estandar coterminales entonces sin α = sin β y cos α = cos β Trigonometr´ıa

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3

6

´ IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

´ ´ ´ Si θ es el angulo de referencia de un angulo en posici´on estandar α, entonces sin α = ± sin θ y cos α = ± cos θ

2.2.

Tangente, cotangente, secante y cosecante tan α =

y , x

cot α =

x y

sec α =

1 x

csc α =

1 y

Los signos de las razones trigonom´etricas dependiendo del cuadrante al que pertenece el lado terminal ´ de un angulo es: En el primer cuadrante todos son positivos. En el segundo es positivo solo el seno (cosecante). En el tercer cuadrante es positiva solo la tangente (cotangente). En el cuarto cuadrante es positivo solo el coseno (secante).

´ Identidades trigonometricas

3.

´ Una identidad trigonom´etrica es una igualdad que se cumple para cualquier valor del angulo en el que se est´e bien definida.

3.1.

´ Identidades basicas

´ bien definidas, entonces tan x = Si tan x o cot x estan ´ identidades basicas.

3.2.

sin x cos x y cot x = . Estas son llamadas las cos x sin x

Identidades rec´ıprocas

´ Para cualquier angulo de medida x en el que se est´en bien definidas las expresiones, se cumple: csc x =

1 , sin x

1 , tan x 1 cos x = , sec x

cot x =

3.3.

sec x =

1 cos x

1 cot x 1 sin x = csc x

tan x =

´ Identidades de angulos complementarios

´ Para cualquier angulo con medida x en el que est´en bien definidas las expresiones, se cumple: π  π  π  sin − x = cos x, cos − x = sin x, tan − x = cot x 2 2 2 π  π  π  cot − x = tan x, sec − x = csc x, csc − x = sec x 2 2 2

Trigonometr´ıa

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4

3.4.

7

´ FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

´ Identidades con angulos coterminales

´ Para cualquier angulo de medida x en radianes, en que se est´en bien definidas las expresiones, se cumple: sin (x + 2kπ) = sin x, cos (x + 2kπ) = cos x, tan (x + 2kπ) = tan x k∈Z cot (x + 2kπ) = cot x,

3.5.

sec (x + 2kπ) = sec x,

csc (x + 2kπ) = csc x

k∈Z

´ Identidades pitagoricas

Para cualquier valor de x en el que est´en definidas las expresiones, se cumple: sin2 x + cos2 x = 1,

3.6.

1 + cot2 x = csc2 x,

tan2 x + 1 = sec2 x

´ Identidades de angulos negativos

Para cualquier valor de x en el que est´en definidas las expresiones, se cumple: cos x = cos(−x)

3.7.

sin(−x) = − sin x

´ Identidades de angulos suplementarios

Para cualquier valor de x en el que est´en definidas las expresiones, se cumple: cos(π − x) = − cos x

sin(π − x) = sin x

Ejemplo 3.1 Simplificar la siguiente expresi´on. sin2 x · cot x cos x Sabemos que cot x =

cos x , la expresi´on es equivalente a sin x x sin2 x · cos sinx · cos x sin x = = sin x cos x cos x

4. 4.1.

´ Funciones trigonometricas El per´ıodo

´ ´ Una funci´on se dice periodica si existe un numero real p para el cual f (x + p) = f (x) para cualquier de x en el dominio de la funci´on. El per´ıodo de una funci´on es el menor valor positivo de p para el cual se cumple la relaci´on anterior.

4.2.

´ Seno Funcion

´ ´ A cada angulo x, cuya medida esta´ en radianes, le corresponde un unico valor sin x, entonces podemos definir una funci´on: f : R → R, f (x) = sin x ´ Observe que esta funci´on es peri´odica de per´ıodo 2π, porque cada 2π se obtienen angulos que tienen el mismo seno.

Trigonometr´ıa

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8

´ FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

´ Figura 8: Grafica de la funci´on sin x

4.2.1.

4.3.

´ sin x Caracter´ısticas de la funcion Dominio

´ Ambito

Per´ıodo

Intersecci´on Eje x

Intersecci´on Eje y

R

[−1, 1]

2π

(kπ, 0)

(0, 0)

Creciente (4k − 1)π (4k + 1) ( , ) 2 2

´ Coseno Funcion

´ ´ A cada angulo x, cuya medida esta´ en radianes, le corresponde un unico valor cos x, entonces podemos definir una funci´on: f : R → R, f (x) = cos x

´ Figura 9: Grafica de la funci´on cos x

4.3.1.

´ cos x Caracter´ısticas de la funcion Dominio R

4.4.

´ Ambito [−1, 1]

Per´ıodo 2π

Intersecci´on Eje x ( (2k+1)π , 0) 2

Intersecci´on Eje y (0, 1)

Creciente ((2k − 1)π, 2kπ)

´ Tangente Funcion

´ A diferencia de las funciones seno y coseno, la funci´on tangente no esta´ definida para cualquier angulo. (2k + 1)π ´ La tangente no esta´ definida para los angulos medidos en radianes que tienen la forma ,k∈Z 2 4.4.1.

´ tan x Caracter´ısticas de la funcion

Dominio n o R − (2k+1)π 2 Trigonometr´ıa

´ Ambito

Per´ıodo

Intersecci´on Eje x

Intersecci´on Eje y 

R

π

(kπ, 0)

(0, 0)

Creciente  (2k − 1)π (2k + 1)π , 2 2 Edward Parra S.

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´ ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

9

´ Figura 10: Grafica de la funci´on tan x

5.

´ Ecuaciones trigonometricas

Llamamos ecuaci´on trigonom´etrica a una igualdad entre expresiones trigonom´etricas, donde la inc´ogni´ ´ ta es un angulo. Resolver significa encontrar todos los angulos que hacen de esa igualdad una identidad. ´ Se resuelven principalmente en radianes, ya que lo que buscamos es un conjunto soluci´on de numeros reales. Ya que las funciones trigonom´etricas son peri´odicas, cada ecuaci´on tiene infinitas soluciones, ya ´ ´ soluci´on. Es por eso, que cuando resolvemos ecuaciones que sus angulos coterminales tambi´en seran trigonom´etricas solo consideramos el intervalo [0, 2π] (i.e. solo la “primera vuelta”). Para resolver ecuaciones trigonom´etricas: 1. Se despeja la parte trigonom´etrica. ´ 2. Se encuentra el angulo de referencia. 3. Se identifican los cuadrantes con base en los signos de la funci´on trigonom´etrica. ´ 4. Se determinan los angulos de la soluci´on. Ejemplo 5.1 Resuelva la siguiente ecuaci´on en el intervalo [0, 2π[ 2 cos x + 1 = 0

Despejando la parte trigonom´etrica, tenemos cos x =

−1 2

π . 3 El coseno es negativo en los cuadrantes II y III, y calculamos el valor de x sumando y restando el ´ angulo de referencia: π π x1 = π − , x2 = π + 3 3 2π 4π ⇒x= , 3 3 Escribimos el conjunto soluci´on:   2π 4π S= , 3 3

deducimos entonces θ =

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6.

10

EJERCICIOS RECOMENDADOS

Ejercicios recomendados ´ 1. Convierta la medida de cada uno de los siguientes angulos de grados a radianes, o viceversa. π 5

−2π 3

25π 4

2 π

270◦

´ 2. Determine si los angulos con las siguientes medidas son o no coterminales. 58π 9π y 7 7

9π −7π y 2 9

α y α − 4π

´ ´ 3. Encuentre un angulo positivo y un angulo negativo coterminales con: −30π 7

27π 5

−1280◦

20 ´ 4. Si α es un angulo agudo y sin α = xy , calcule csc α y sec(90◦ − α). ´ 5. Si el lado terminal de α en el segundo cuadrante interseca la circunferencia trigonom´etri
un angulo 2 ca en el punto x, 3 , determine el coseno y seno α. ´ 6. Si el lado terminal
de un angulo α en el cuarto cuadrante interseca la circunferencia trigonom´etrica −1 en el punto x, 4 , determine el coseno y seno α. ´ ´ 7. Si el lado terminal de un angulo β en posici´on estandar interseca la circunferencia trigonom´etrica  √ √  − 10 − 15 , determine el valor de sec β y cot β en el punto 5 , 5 8. Calcule los siguientes valores trigonom´etricos. sin

7π 3

sec 480◦

tan

20π 3

cot 330◦

cot

−7π 2

sin 38π

9. Simplifique: tan x −

sin x cos x + 1

csc x − cot x 1 − cos x tan x · cos x tan x sec x sec x(cos x + cos2 x) − 1 sin(y + 2π) · csc(y − 2π) Trigonometr´ıa

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CURIOSIDADES

11

10. Demuestre las siguientes identidades: 1 = sec x cos(6π + x) (cot2 x + 1) tan x = csc c · sec x sin2 x − 1 =

1 sec2 x

tan(−x) = − tan x 1 − cos x 1 = 2 cos x +1 sin x 11. Resuelva las siguientes ecuaciones: 2 cos x = cos x √

3 sin x +

√

3=0

cos x + 1 = 0 √

3 tan x − 1 = 0

tan2 x + 1 = 0

7. 7.1.

Curiosidades Trigonometr´ıa ´ Trigon → triangulo Metr´ıa → medida ´ Medida de triangulos

7.2.

¿Porque 360◦ ?

˜ constaba de 360 d´ıas. Este es Los caldeos dividieron el c´ırculo en 360 partes iguales, ya que en su ano el fundamento de los grados sexagesimales.

7.3.

El primer libro de Trigonometr´ıa

¨ Johannes Muller (1436-1476), conocido como Regiomontanus pues era nativo de K¨onigsberg (=Monterrey), escribi´o el libro De triangulis omnimodis libri V, que fue el primero dedicado exclusivamente a la Trigonometr´ıa.

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REFERENCIAS

7.4.

12

El origen de la palabra seno

El origen de la palabra seno(aqu´ı hacemos alusi´on a la funci´on sin x) es curioso. En una obra del ma´ tematico hindu´ Aryabhata(c. 510), aparentemente basada en las tablas de cuerdas de Ptolomeo, la media ´ cuerda(igual al seno) se llama djiva(=cuerda). En las traducciones arabes esta palabra fue corrompida ´ por transposici´on de vocales a la palabra arabiga dja´ıd, la cual significa pecho de mujer, al regresar a Europa cerca de 1150, e´ sta fue traducida al lat´ın como sinus (seno)1 .

7.5.

Sobre π

´ π es la raz´on entre la circunferencia y el diametro de un c´ırculo. El s´ımbolo π para denotar esta raz´on fue introducido por Leonhard Euler en 1737 (por ser la primera letra de περιφερεια=per´ımetro). Han habido intentos desde tiempos muy antiguos para calcular el valor num´erico de π. Un papiro egipcio de c. 2 1550 aec, sugiere tomar π = ( 16 o el m´etodo de agotamiento, aproxi9 ) = 3, 160493827 . . .. Arqu´ımedes us´ mando π por los per´ımetros de pol´ıgonos regulares de 96 lados inscritos y circunscritos al c´ırculo, para 22 355 ´ obtener las cotas 223 (c. 470) sugiri´o π = 113 = 3, 1415929203539823 . . ., 71 < π < 7 . El chino Tsu Chung-chih 10003 mejorado en 1900 por Ramanujan a 355 (1 − ) El persa Al-Kashi, astr´ o nomo de Sadarkand c. 1425, 113 3533 ´ de dio el valor (en notaci´on decimal) 3, 1415926535898732. Computadoras modernas han calculados mas 150000000 de cifras decimales.

7.6.

´ Sobre radian

´ para Luis Santal´o, Rey Pastor, y Julio Balanzat, en su libro “Geometr´ıa Anal´ıtiEl t´ermino radian, ´ bien, utilizan ca”(1974), es errado, ya que se trata de una mala traducci´on del t´ermino radiant, ellos mas el t´ermino radial, haciendo referencia aqu´ı al hecho y dependencia que este tiene con el radio de la circunferencia.

Referencias [Au]

˜ 1990 ´ escolar. Cultural S.A. Madrid, Espana. Aula. Curso de orientacion

[Ba]

Baldor, A. Geometr´ıa y Trigonometr´ıa.

[En]

Encarta Premium. Microsoft. 2006.

[Ga]

´ Gald´os, L. Consultor Matematico. Cultural S.A. 1989.

[Go]

´ G´omez, L. Matematica para bachillerato: teor´ıa, ejemplo y ejercicios. Pimas. San Jos´eCosta Rica. 2007.

[Sa]

´ ´ ´ de ArSanabria, Geovany. Las Funciones trigonometricas con el metodo de Exhausion ´ qu´ımedes: dos propuestas metodologicas. Tesis para optar al grado de Mag´ıster Scienticae en ´ Matematica. Universidad de Costa Rica. 2006.

[Sa]

Santal´o, L. Geometr´ıa Anal´ıtica. Argentina. 1974.

[Sw] Swokowski E. Algebra y trigonometr´ıa con geometr´ıa anal´ıtica. Tercera edici´on. Grupo Editorial Iberoamericana. [Va]

1

Varilly, J. Elementos de geometr´ıa plana. Editorial de la Universidad de Costa Rica, 1988. San Jos´e, Costa Rica.

V´ease el libro Elementos de geometr´ıa plana de Joseph Varilly.

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