Trigonometría 1. Ángulos: -

Ángulos en posición estándar: se ubican en un sistema de coordenadas XY. El vértice será el origen (0,0) y el lado inicial coincide con el eje X positivo.

-

Ángulos positivos: el lado terminal gira en sentido contrario a la manecillas del reloj.

-

Ángulos negativos: el lado terminal gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

-

Ángulos cuadrantales: si el lado terminal del ángulo coincide con un eje coordenado, el ángulo se llama Ángulo Cuadrantal.

-

Ángulos de referencia: para un ángulo θ en posición estándar, el ángulo de referencia α es el ángulo formado por el lado terminal de θ y el eje X. El ángulo de referencia siempre es agudo y positivo.

-

Ángulos Coterminales: son los ángulos en posición estándar que tiene el mismo lado terminal, es decir, tienen el mismo ángulo de referencia.

Por ejemplo: 240° y -120° son coterminales.

¿Cómo determinar si dos ángulos son coterminales? Sean α ∧ β los dos ángulos: 1. Calculo el valor absoluto de cada uno: α ∧ β . 2. Determino cuál de los valores absolutos es mayor, supongamos que α〉β . 3. Divido el mayor entre el menor de los valores absolutos, en este caso: α ÷β . 4. Si el resultado del punto 3 es entero entonces los ángulos, α ∧ β son coterminales, de lo contrario no. -

Ángulos de elevación y de depresión:

-

Notas: 9 9

Medida en radianes: un ángulo central de un círculo mide 1 radián cuando subtiende un arco de longitud igual al radio.

α Una rotación completa (360°) equivale a 2π radianes. Media rotación (180°) equivale a π radianes.

π

radianes. 2 9 Para determinar si dos ángulos dados en radianes son coterminales sigo el mismo procedimiento como si estuvieran dados en grados.

9

Un cuarto de rotación (90°) equivale a

Fórmulas de conversión: - De grados a radianes Ö multiplica el ángulo por

- De radianes a grados Ö multiplica el ángulo por

π 180°

180°

π

2. Trigonometría del triángulo rectángulo: sen = seno

csc = cosecante

cos = coseno

sec = secante

tan = tangente

cot = cotangente

Las razones trigonométricas dependen del ángulo: sen α = cateto opuesto hipotenusa

csc α = hipotenusa cateto opuesto

cos α = cateto adyacente hipotenusa

sec α = hipotenusa cateto adyacente

tan α = cateto opuesto cateto adyacente

cot α = cateto adyacente cateto opuesto

senα =

b a

csc α =

a b

cos α =

c a

sec α =

a c

tan α =

b c

cot α α=

c b

* Análogamente para β .

Note que:

csc α = -

1 senα

sec α =

1 cos α

tan α =

1 cot α

Triángulos especiales:

π 6

π 3

π 4

π 6

sen θ

3 2 2 2 1 2

π 6

π

4

3

Note que 30° equivale a Ángulo

π

π

, 60° equivale a

π 3

4

y 45° equivale a

π 4

.

cos θ 1 2

tan θ

csc θ

sec θ

cot θ

3

2 3 3

2

3 3

2 2 3 2

1

2

3 3

2

2

1

2 3 3

3

3. Funciones trigonométricas: Sea θ un ángulo en posición estándar y sea P(x,y) un punto en el lado terminal de θ .

θ

La distancia r es la distancia entre (0,0) y el punto P.

r = x2 + y2

(Pitágoras)

El ángulo α dentro del triángulo es el ángulo de referencia para el ángulo θ . El valor de cualquier función trigonométrica para θ es igual (en valor absoluto) al valor de esa función para el ángulo de referencia α , es decir: senθ = senα

Lo mismo para las otras funciones trigonométricas. Las seis funciones para θ se definen así: (se obtienen del triángulo con el ángulo de referencia):

y r x cos θ = r y tan θ = x senθ =

-

Signo de las funciones trigonométricas:

r y r sec θ = x x cot θ = y

csc θ =

Cuadrante I II III IV

Funciones Positivas Todas seno y cosecante tangente y cotangente coseno y secante

Indica el cuadrante en que las funciones trigonométricas son positivas, por ejemplo el seno y la cosecante son positivas en el I y II cuadrante en los demás son negativas. -

Proceso para encontrar el valor de una función trigonométrica de un ángulo θ :

1. 2. 3. 4. 5.

Ubicar el cuadrante donde queda el lado terminal de θ . Encontrar el ángulo de referencia α . Formar un triángulo rectángulo con el eje X que contenga a α . Determinar la función trigonométrica para α . Determinar el signo resultante de la función trigonométrica según el cuadrante donde quedó el lado terminal.

Ejemplos: 1. Hallar el valor de tan 300°. - Se ubica 300° en el sistema de coordenadas.

- Se dibuja el triángulo con el ángulo de referencia, que en este caso es de 60°. 360° − 300° = 60°

- En el triángulo de se determina el valor de la tangente.

tan 60° = 3 - Luego se asigna el signo respectivo según el cuadrante.

tan 300° = − 3 ⎛ − 9π ⎞ 2. Hallar el valor de cos⎜ ⎟. ⎝ 4 ⎠ -

Se ubica

− 9π en el sistema de coordenadas. 4

- Se dibuja el ángulo de referencia.

9π π − 2π = 4 4

- En el triángulo se determina el valor del coseno. cos

π 4

=

2 2

- Luego se asigna el signo respectivo según el cuadrante. 2 − 9π cos = 4 2

-

Valores en los ángulo cuadrantales:

Para hallar los valores de las Funciones trigonométricas en los ángulos cuadrantales es útil el Círculo Trigonométrico, un círculo con centro en (0,0) y radio 1.

En el Círculo Trigonométrico, se puede construir con el ángulo de referencia para cualquier ángulo θ , un triángulo rectángulo cuya hipotenusa siempre será 1, así se obtiene que:

sin θ = y cos θ = x y tan θ = x 1 csc θ = y 1 sec θ = x x cot θ = y

Note que para cualquier punto P en el Círculo Trigonométrico, P(x,y) equivale a P( cos θ , senθ ). Para determinar el valor de las funciones seno y coseno es un ángulo cuadrantal se procede así:

1. Se ubica el eje que corresponde al lado final del ángulo. 2. Identifica el punto que corresponde al Círculo Trigonométrico. 3. En ese punto, el valor de coseno corresponde al valor de la “X” y el valor del seno corresponde al valor de la “Y”. Ángulo

Punto en el Círculo Trigonométrico

0

(1,0)

0

1

Indefinida

Indefinida

1

0

(0,1)

1

0

0

1

Indefinida

Indefinida

(-1,0)

0

-1

Indefinida

Indefinida

-1

0

(0,-1)

-1

0

0

-1

Indefinida

Indefinida

(1,0)

0

1

Indefinida

Indefinida

1

0

π

2 π 3π 2 2π

sen

θ

θ

cos

tan

θ

4. Identidades Trigonométricas: 1. Identidades Recíprocas:

cot θ =

1 cos θ = tan θ senθ

csc θ =

1 senθ

sec θ =

1 cos θ

2. Identidades Pitagóricas: a. sen 2θ + cos 2 θ = 1

sen 2θ = 1 − cos 2 θ cos 2 θ = 1 − sen 2θ b. Se divide sen 2θ + cos 2 θ = 1 por cos 2 θ :

sen 2θ cos 2 θ 1 + = 2 2 cos θ cos θ cos 2 θ ⇒ tan 2 θ + 1 = sec 2 θ tan 2 θ = sec 2 θ − 1 1 = sec 2 θ − tan 2 θ

csc

θ

sec

θ

cot

θ

c. Se divide sen 2θ + cos 2 θ = 1 por sen 2θ :

sen 2θ cos 2 θ 1 + = 2 2 sen θ sen θ sen 2θ ⇒ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ

1 = csc 2 θ − cot 2 θ cot 2 θ = csc 2 θ − 1 3. Identidades de Ángulos Complementarios:

⎛π ⎞ sen⎜ − θ ⎟ = cos θ ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos⎜ − θ ⎟ = senθ ⎝2 ⎠

⎛π ⎞ tan ⎜ − θ ⎟ = cot θ ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot ⎜ − θ ⎟ = tan θ ⎝2 ⎠

* Nota: recuerde que igual si en lugar de

π 2

π 2

⎛π ⎞ csc⎜ − θ ⎟ = sec θ ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ sec⎜ − θ ⎟ = csc θ ⎝2 ⎠

= 90° por lo que las identidades anteriores funcionan

estuviera 90°.

4. Identidades del Ángulo Negativo: sen(− θ ) = − senθ csc(− θ ) = − csc θ

cos(− θ ) = cos θ sec(− θ ) = sec θ

tan (− θ ) = − tan θ cot (− θ ) = − cot θ

cos(θ ± 2π ) = cos θ sec(θ ± 2π ) = sec θ

tan (θ ± π ) = tan θ cot (θ ± π ) = cot θ

5. Identidades Periódicas: sen(θ ± 2π ) = senθ csc(θ ± 2π ) = csc θ

Notas: -

Para comprobar una identidad trigonométrica puede salir de cualquier lado de la igual (izquierdo o derecho) según conveniencia y facilidad. Primero se utilizan las identidades recíprocas para expresar todo en términos de senθ y cos θ . Para efectuar operaciones con fracciones primero se saca el común denominador y luego se simplifica.

Ejemplos:

tan 2 θ = cos θ sec θ En este caso empezaremos por el lado izquierdo. 1. Compruebe la identidad sec θ −

sen 2θ

sec θ −

2. Simplificar

tan 2 θ sec θ

=

2 − cos θ 1 cos θ cos θ 1 sen 2θ cos θ = − cos θ cos 2 θ 1 sen 2θ = − cos θ cos θ 1 − sen 2θ = cos θ cos 2 θ = cos θ = cos θ

1

1 + senx cos x + . cos x 1 + senx (1 + senx )2 + cos 2 x 1 + senx cos x + = cos x 1 + senx cos x(1 + senx ) 1 + 2 senx + sen 2 x + cos 2 x cos x(1 + senx ) 1 + 2senx + 1 = cos x(1 + senx ) 2 + 2senx = cos x(1 + senx ) 2(1 + senx) = cos x(1 + senx ) 2 = cos x = 2 sec x =

5. Ecuaciones Trigonométricas: Las soluciones de una ecuación trigonométrica se buscan en el intervalo [0,2π [ . Proceso a seguir:

-

Igualar a cero y factorizar. Despejar cada función trigonométrica. Encontrar el ángulo de referencia utilizando la función inversa (en la calculadora). - Ubicarse en los cuadrantes según el signo resultante de cada función. - Dibujar el triángulo rectángulo con el ángulo de referencia. - Determinar los ángulos solución en posición estándar. *Los ángulos solución siempre se van a dar en radianes. Ejemplos: 1. Resolver la ecuación 2 senθ + cos θ = 0 - Igualar a cero y factorizar:

cos θ (2 senθ + 1) = 0 - Despejar cada función trigonométrica: cos θ = 0

(1)

2 senθ + 1 = 0 −1 ⇒ senθ = 2

(2)

Note que si una función trigonométrica, seno o coseno, esta igualada a 0,1,−1 las soluciones van a ser ángulos cuadrantales. - Buscamos los cuadrantes donde cos θ da cero:

- Despejamos θ en senθ =

1 , para saber cual es el ángulo de referencia de senθ : 2 senθ =

1 ⎛1⎞ ⇔ θ = sen −1 ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⇒θ =

π

6 - Note que senθ 〈0 por lo que el lado terminal de θ estará en el III o IV cuadrante. -

Colocamos los ángulos de referencia en el sistema de coordenadas y dibujamos el triángulo rectángulo:

- Finalmente:

⎧π 3π 7π 11π ⎫ , S=⎨ , , ⎬ ⎩2 2 6 6 ⎭

(

)

2. Resolver la ecuación (tan θ + 1) 2 cos θ − 3 = 0 . - Note que ya esta factorizada e igualada a cero.

- Igualo cada factor a cero y despejo cada función trigonométrica: tan θ + 1 = 0 ⇒ tan θ = −1

2 cos θ − 3 ⇒ cos θ =

Se ubica en los cuadrantes II y IV. Ángulo de referencia:

θ = tan −1 θ (− 1) π ⇒θ =

3 2

Ángulo de referencia: ⎛ 3⎞ θ = cos −1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠

⇒θ =

4

π

2 cos θ = 3 ⇒ cos θ =

3 2

Se ubica en los cuadrantes II y III.

3π 4 7π θ2 = 4

θ2 =

θ1 =

π

6 11π θ2 = 6 ⎧ 3π 7π π 11π ⎫ S=⎨ , , , ⎬ ⎩4 4 6 6 ⎭

6

6. Ley de senos y cosenos: Ley de senos: Se utiliza en cualquier tipo de triángulo.

a b c = = senα senβ senδ

Ley de cosenos: Se utiliza para cualquier tipo de triángulo.

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos δ

7. Gráficas de las funciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, se su comportamiento se repiten cada cierto intervalo.

f ( x) = senx

Características: -

Dominio: R Rango: [− 1,1] ⇒ −1 ≤ senx ≤ 1 Intersecciones con el eje X: ..., (− π ,0 ), (0,0 ), (π ,0 ),... en general: {(kπ ,0) / k ∈ Z } Intersección con el eje Y: (0,0 ) Período: 2π

f ( x) = cos x

Características: -

Dominio: R Rango: [− 1,1] ⇒ −1 ≤ cos x ≤ 1

-

-

⎛ π ⎞ ⎛π ⎞ Intersecciones con el eje X: ..., ⎜ − ,0 ⎟, (0,0), ⎜ ,0 ⎟,... en general: ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎧⎛ (2k + 1)π ⎞ ⎫ ,0 ⎟ / k ∈ Z ⎬ ⎨⎜ 2 ⎠ ⎩⎝ ⎭ Intersección con el eje Y: (1,0 ) Período: 2π

f ( x) = tan x

Características: -

-

π π ⎫ ⎧ Dominio: R − ⎨...,− ,0, ,...⎬ en general: 2 2 ⎭ ⎩ ⎧ (2k − 1)π ⎫ R−⎨ ⎬, k ∈ Z 2 ⎭ ⎩ Rango: R Intersecciones con el eje X: ..., (− π ,0 ), (0,0 ), (π ,0 ),... en general: {(kπ ,0) / k ∈ Z } Intersección con el eje Y: (0,0 ) Período: π