1.1. PARALELOGRAMO Definición Un paralelogramo es un cuadrilátero con sus lados opuestos paralelos

o

Los paralelogramos gozan de las siguientes propiedades PROPIEDAD 1 En todo paralelogramo, los lados opuestos son congruentes

PROPIEDAD 2 En todo paralelogramo, las diagonales se bisecan

Observación: El punto de intersección de las diagonales es centro de simetría, ¿por qué? PROPIEDAD 3 En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son congruentes

 Demuestra las Propiedades 1, 2 y 3.

POLITECNICO

1

Los Cuadriláteros Matemática ¿Qué significa que sea necesario y suficiente?

Propiedades recíprocas Las propiedades anteriores, enuncian las condiciones necesarias de los cuadriláteros que son paralelogramos. ¿Serán suficientes? Es decir, si un cuadrilátero cumple con alguna de esas condiciones, el mismo,¿será paralelogramo?

Un ejemplo: El tomar 2l de agua diaria es una condición necesaria para tener una buena salud. Ahora, claro está que sólo de agua no vive el hombre. es decir que no es una condición suficiente. Investiga “Condición necesaria y suficiente” en Wikipedia y escribe un par de ejemplos cotidianos.

Actividad Nº 1: Traza un cuadrilátero abcd con lados opuestos congruentes. TEC (GeoGebra) Recurre a “Relación entre dos objetos”

Sugerencia: Para su construcción convendrá trazar primero dos lados consecutivos ab y bc , luego con la herramienta “Compás” traza dos circunferencias de radio ab y bc con centros en c y a respectivamente. En la intersección de ambas se encuentra el punto d. Comprueba que se trata de un paralelogramo

Justifica esta construcción

PROPIEDAD 4 Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces es un paralelogramo Actividad Nº2:  Traza los segmentos ac y bd

TEC (GeoGebra)

tales que se bisequen en un

punto o ¿Qué tipo de cuadrilátero resulta?

Podrás usar el comando “Compás”

 Prueba moviendo alguno de los vértices, ¿qué puedes concluir? PROPIEDAD 5 Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el mismo es un paralelogramo

2

POLITECNICO

Actividad Nº 3: Traza un cuadrilátero con ángulos opuestos congruentes. Sugerencia: Para su construcción, previamente prueba que si en un cuadrilátero los ángulos opuestos son congruentes, entonces sus ángulos consecutivos son suplementarios. PROPIEDAD 6 Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes entonces es un paralelogramo. CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES 

De las propiedades 1 y 4 resulta: Un cuadrilátero, es paralelogramo si y sólo si los lados opuestos son congruentes

En símbolos: abcd paralelogramo  ab  dc  bc  ad



De las propiedades 2 y 5 resulta: Un cuadrilátero, es paralelogramo si y sólo si las diagonales se bisecan

En símbolos: abcd paralelogramo  ao  oc  bo  od



De las propiedades 3 y 6 resulta: Un cuadrilátero, es paralelogramo si y sólo si los ángulos opuestos son congruentes

En símbolos:

POLITECNICO

3

Los Cuadriláteros Matemática 







abcd paralelogramo  a  c  b  d



Otra propiedad importante: Un cuadrilátero, es paralelogramo si y sólo si posee un par de lados opuestos congruentes y paralelos

En símbolos: abcd paralelogramo  ab  cd  ab // cd

Verifica usando el GeoGebra esta Propiedad y luego demuéstrala. Problemas 1) Demuestra que las bisectrices de dos ángulos opuestos de un paralelogramo son paralelas. 2) Demuestra que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares. d

3) Si x e y son los puntos medios de los lados opuestos de paralelogramo abcd y xy  ac  o, ¿será o punto de intersección de las diagonales? Justifica tu respuesta. a 4) H) abcd paralelogramo de  ab

b

x

d

f

c

e

b

fb  dc

T) de  fb Realiza la demostración

a

b

5) H) decf paralelogramo bc  ac

T) perímetro paralelogramo decf = Realiza la demostración

d

2 bc

e c

a f 4

POLITECNICO

c

y

6)

t

a

z

H) xyzt paralelogramo by  ta T) tbya paralelogramo Realiza la demostración.

x

b

y d



7) Sabiendo que xc es mediana del d b c y que eˆ bd  aˆdb ,, demuestra que abed es un paralelogramo

a

e

x

c

b

1.2. TRAPECIO Definición Un trapecio es un cuadrilátero que posee al menos un par de lados opuestos paralelos 1.2.1 TRAPECIO ISÓSCELES Definición Un trapecio que tiene el par de lados no paralelos congruentes se llama trapecio isósceles En símbolos: bc // ad  ab // cd  abcd trapecio isósceles  a ab  cd 

b

c

d

Observación A cualquiera de los lados paralelos se le llama base del trapecio isósceles.

POLITECNICO

5

Los Cuadriláteros Matemática

Propiedades: (I) (II)

En un trapecio isósceles, los ángulos de la base son congruentes. En un trapecio isósceles, las diagonales son congruentes.

Demostraremos la propiedad I. H) abcd trapecio isósceles, bc // ad 



T) a  d





y bc

D) Completa las proposiciones y así obtendrás la demostración Trazamos cm// ab , entonces abcm es un paralelogramo. ¿Por qué?............. Luego: (3) (3) (4)  (5)     ab  cm 1 c m d  d       cm  cd  c m d isósceles   ad  ab  cd 2     a  c m d (Por (6)) 



Ya demostramos que: a  d (*)

 

     a b  2R por ser conjugados internos en .......... .......... ... a b  c  d    bc       c  d  2R por ser conjugados internos en........ .......... ...  y(*)a  d  (1)……………………………………………………………………… (2)……………………………………………………………………… (3) Propiedad transitiva (4)………………………………………………………………………. (5) En todo triángulo, a lados congruentes se opones ángulos congruentes (6) Ángulos correspondientes en …………………………………………

6

POLITECNICO

Problemas 8) Demuestra la Propiedad II 9) Demuestra que si un trapecio posee el par de ángulos de una base congruentes, entonces el trapecio es isósceles. 10) En el paralelogramo abcd donde bc // ad , sea el punto m del lado ad y 





perteneciente a la bisectriz del ángulo interior b . Sabiendo que b  2 a , demuestra que el cuadrilátero bmdc es un trapecio isósceles. 1.3. BASE MEDIA BASE MEDIA DE UN CUADRILÁTERO Consideremos la siguiente definición: Base Media de un cuadrilátero es el segmento determinado por los puntos medios de dos lados opuestos

Simbólicamente: b p

p punto medio de ab

a

c q d

 pq base media del abcd q punto medio de cd  Construye la otra base media

POLITECNICO

7

Los Cuadriláteros Matemática

BASE MEDIA DE UN PARALELOGRAMO En el caso particular que el cuadrilátero es un paralelogramo pueden demostrarse que: La base media de un paralelogramo es paralela y congruente con los lados opuestos del paralelogramo d

c

m

H)

n

T) a

abcd es un paralelogramo mn base media

b

//

//

mn  ab ; mn  dc

D) Completando las proposiciones obtendrás la demostración

abcd es un paralelogramo

//

 ad  bc (1)

1  m................... de ad  md  ad (2)   2 mn base media   n.................... de bc  .........  1 .......(3)   2 //

De (1) ;(2) y (3)  md  nc por ser mitades de lados opuestos de un paralelogramo. //

md  nc  mdcn es un…………………… pues …………………………………………………………………………………….. //

mdcn paralelogramo  mn  dc //

 mn 

8

POLITECNICO

//

…….... 

………..

//

abcd paralelogramo  ab  dc BASE MEDIA DE UN TRAPECIO Cuando el cuadrilátero es un trapecio puede demostrarse que: El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a los otros dos lados y congruente con su semisuma a

b

H) abcd es trapecio con ab// cd mn base media

n

m d

c

T) ab // cd // mn ; mn 

 Completa las proposiciones para demostrar el teorema. Previamente efectuaremos una construcción auxiliar: 

ab  cd 2



por n trazamos una recta S paralela a ad y llamamos ab  S  q y dc  S  r S a

b q

m

n

d

r



c



Comparamos los triángulos b q n y n r c 

bqn

bˆ nq  rˆ nc por ...........................

y

qˆ bn  nˆ cr por ...........................



nr c

bn  nc





 b qn  r n c

pues .............

por ...........................

.........................................................................................................................................

POLITECNICO

9

Los Cuadriláteros Matemática 



b qn  r n c

bq  rc  qn  nr (1)

por ......................................................

aqrd es un paralelogramo por construcción

m punto medio de ad por H  mn es ......................................

n punto medio de qr por (1) //

//

//

De aqdr  mn  aq  mn  dr siendo aq  cr de donde mn // ab // cd

(Aquí se demuestra la primera parte de la Tesis)

Además mn  aq  mn  ab  bq mn  dr  mn  cd  rc 2 mn  ab  cd mn  ..................

(se demuestra la segunda parte de la tesis)

BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO Si se extiende la definición de base media de un cuadrilátero para un triángulo resulta: Base Media de un triángulo es el segmento que posee como extremos los puntos medios de dos lados

TEC (GeoGebra)

10

POLITECNICO

 Dibuja un triángulo y construye la base media respecto a uno de los lados y mide ambos segmentos. Mueve cualquier vértice de dicho triángulo, ¿puedes encontrar alguna regularidad? PROPIEDAD La base media respecto a un lado del triángulo, es paralela y congruente con la mitad del mismo Vamos a demostrarla   H) abc mp base media

mp // ac  T)  1 mp  ac  2 t ; luego trazo A // ac por el punto b, D) Trazo R // ab por el punto p, R  ac   A  R  q. Por construcción: abqt es un …………………………  bq  at (*) Por (1) Comparamos:   bp  ................... por dato  bqp        y bpq  ....... .......... por  bqp  tpc  bq  tc (**) y qp  pt (  )      tcp  qbp  .......... ......... por   Por (2)

Por (3)

m punto medio de ab por dato   mp es base media del paralelogramo abqt  p punto medio de qt por (  )   mp // at y mp  at (por (5))

Por (4)

mp // ac

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11

Los Cuadriláteros Matemática

De (*) y (**) y por propiedad transitiva:

1 at  tc  (ac  2at  mp  at )  ac  2mp  mp  ac 2 Por (5)

(1)………………………………. (2)……………………… (3) Elemento homólogo

(4) La base media de un paralelogramo es paralela e igual a la base (5)……………………………………………………………….. Problemas 11)Calcula la medida de la base media mn , en cada caso a)

b)

5

m

m

n

n 8

12 15

12) Calcula x e y si mn // pq // bc a

a) m

x

p 8

Sabiendo que:

n q

mn base media p a q

21

m

c n

p

q x



pq base media a b c

y

b



12

b

b)

mn base media pbcq

c 

13)

12

r, s y t son puntos medios de los lados del a b c cuyos lados miden: b

P O L I T E C sN I C O r c

ac  23 cm , bc  32 cm

y

ab  45 cm



Halla el perímetro del r s t 14) Si x, y, t son puntos medio de los lados ab , bc y ac respectivamente del 

a b c , demuestra que xyct es un paralelogramo

15)

a

e

e, f, g y h son los puntos medios de los lados consecutivos de un cuadrilátero no convexo de la figura. ¿Será efgh un paralelogramo?. Justifica tu respuesta.

d

f

c

h

g b

ACTIVIDAD Nº4 TEC



(GeoGebra)

Construye el triángulo abc , ubica el punto m, punto medio del lado ab y traza la recta R paralela al lado ac que pasa por m. Busca el punto de intersección de R con el lado bc y mide los segmentos bm y mc . Mueve cualquier vértice del triángulo. ¿Qué puedes conjeturar? PROPIEDAD Toda recta paralela a un lado de un triángulo trazada por el punto medio de otro de los lados, interseca al tercer lado en el punto medio de éste.

A continuación demostraremos la propiedad

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13

Los Cuadriláteros Matemática m punto medio de ab H)  R // ac , m R T) n punto medio bc

Trazamos qr // ab y bq // ar // mn  mnqb y mnra son paralelogramos, con lo que: nq  mb  am  rn  rn  nq  

D)





Ahora comparemos los triángulos b q n y c r n

    bqn b q n  ................ por....... .......... ......     y  rn  nq por     bqn  crn  bn  nc     crn bnq  .......... ......... por .......... .....    Por (1)

Por (2)

(1)……………………………………………….. ………………………………………………. (2)………………………………………………..

Problemas 16)Prueba que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio biseca a las dos diagonales.

14

POLITECNICO

17)Sea abcd un paralelogramo, e y f los puntos medios de los lados opuestos ab y cd respectivamente. Demuestra que de y fb dividen a la diagonal ac en tres segmentos congruentes.

2

PARALELOGRAMOS PARTICULARES Paralelogramos particulares son el rectángulo, el rombo y el cuadrado.

2.1

RECTÁNGULO Definición: Un rectángulo es un paralelogramo con un ángulo recto b

c

a

d

 Demuestra que EQUIÁNGULO

el

rectángulo

abcd

es

un

CUADRILÁTERO

Veamos una propiedad importante de los rectángulos: PROPIEDAD

Las diagonales del rectángulo son congruentes  Efectúa su demostración

Propiedad recíproca

Si un paralelogramo tiene sus diagonales congruentes es un rectángulo POLITECNICO

15

Los Cuadriláteros Matemática



2.2

Efectúa su demostración

ROMBO Definición b

a

Un rombo es un paralelogramo con dos lados consecutivos congruentes c

En la figura ab  bc d

 Demuestra que un rombo es un CUADRILÁTERO EQUILÁTERO Veamos una propiedad importante de los rombos: PROPIEDADES o Las

diagonales del rombo son perpendiculares. o Las diagonales del rombo son bisectrices de los ángulos opuestos.  Efectúa las demostraciones correspondientes Propiedades recíprocas o Si las diagonales de un paralelogramo son

16

perpendiculares, el paralelogramo es un rombo. o Si las diagonales de un paralelogramo son bisectrices de los ángulos opuestos , el P O L I T E Cparalelogramo NICO es un rombo

 2.3

Efectúa las demostraciones correspondientes

CUADRADO Definición: Un cuadrado es un cuadrilátero regular

 Completa: Un cuadrado es un rectángulo porque ..................................................................... Un cuadrado es un rombo porque............................................................................

 Veamos un diagrama que muestre la relación de inclusión entre los conjuntos T = {trapecios} P = {paralelogramos} R = {rectángulos} B = {rombos} C = {cuadrados}

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17

Los Cuadriláteros Matemática

SINTESIS NOMBRE

CUADRILÁTERO

PARALELOGRAMO CON:

RECTÁNGULO equiángulo

ROMBO equilátero

CUADRADO

equilátero y equiángulo

un ángulo recto

dos lados consecutivos congruentes

un ángulo recto y dos lados consecutivos congruentes

Problemas 18)Demuestra cada una de las siguientes proposiciones: a) Todo rombo es un paralelogramo b) Un rectángulo es un trapecio c) Un cuadrado es un paralelogramo d) Algunos paralelogramos son rombos e) Todos los cuadrados son rombos f) Las diagonales de un cuadrado se bisecan 18

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PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES -Se bisecan mutuamente -Son congruentes -Se bisecan mutuamente -Son perpendiculares -Bisecan a los ángulos opuestos -Se bisecan mutuamente -Son congruentes -Son perpendiculares -Bisecan los ángulos opuestos

g) Las rectas que incluyen a las diagonales de un rombo son eje de simetría del mismo 19)Responde y justifica: a. Un cuadrilátero que tenga un par de lados consecutivos congruenes, ¿es un rombo? b. Un cuadrilátero que tenga dos ángulos rectos, ¿es un rectángulo? 20) Utilizando el software GeoGebra, dibuja: a) b) c) d)

Un rombo que no sea cuadrado Un paralelogramo con diagonales perpendiculares Un cuadrilátero con diagonales perpendiculares y congruentes. Un trapecio isósceles con un ángulo recto.

21) b H) d punto medio de ab e punto medio de bc d

f punto medio de ac

e

ab = bc T) dbef rombo a

f

c

Realiza la demostración. 22) Si en la figura del problema anterior d; e y f son puntos medios de los lados ab ; bc y ac respectivamente y dbef es un rombo, ¿debe ser 

a b c necesariamente isósceles?. Justifica la respuesta.

23) Demuestra que la recta que une los puntos medios de los lados de un rectángulo es eje de simetría de la figura.

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19

Los Cuadriláteros Matemática

24) Demuestra cada propuesta con respecto al dibujo de la derecha: b

H) abcd paralelogramo e, f, g y h puntos medios de los lados. a T) efgh paralelogramo

f c

e g h d

25) (Para trabajar con GeoGebra) Considera un cuadrado abcd y en él determina los puntos m, p, q y r de modo que d q c mb  pc  qd  ra y p bp  cq  dr  am Demuestra que mpqr es un cuadrado r a

m

b

26) Demuestra que un paralelogramo inscripto en una circunferencia con diagonales perpendiculares es un cuadrado

20

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21

Los Cuadriláteros Matemática AUTOEVALUACIÓN f

1) En la figura es fb  ad , ec  ad , af  ed y fb  ec Demuestra que ae  fd

a

e

b

c

d

. 2) En el paralelogramo abcd traza las perpendiculares a la diagonal ac desde b y d y llama r y s a los respectivos pies de tales perpendiculares. Demuestra que rdsb es un paralelogramo. 3) Demuestra que los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se bisecan mutuamente. d

4) Sean x, y, z y t los puntos medios de los lados del rombo abcd. Demuestra que xyzt es un rectángulo.

y

z

a

c

x

t

b

5) En un paralelogramo abcd con ad  ab , la bisectriz ˆa corta a bc en g y la del ˆb interseca a ad en h. Demuestre que abgh es un rombo. BIBLIOGRAFIA  

22

Apunte “El Universo de los cuadriláteros” Hinrichsen-Buschiazzo-Cattaneo Impreso en el instituto Politécnico 1985 Geometría Serie Awli - Clemens - Editorial Addison Wesley Longman –Impreso en Mexico - Año 1998

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