´ Unicamente uso libro texto (no fotocopias) o tablas estad´ısticas y calculadora.1 acierto 1 pto.1 fallo, -0,25.

6. Una empresa de micro-chips tiene almacenados 5000 de ellos. Se seleccion´o una muestra de 150, sin reemplazamiento, entre los que se encontraron 6 defectuosos. ¿Cu´al es el error t´ıpico de estimaci´on de la proporci´on de defectuosos? a) 18.625 a) 0.016 b) 17.888 b) 0.0076 c) 19.526 c) 0.0008 2. En la biblioteca de 6 poblaciones se han 7. Una empresa que fabrica bombillas afircontabilizado el n´ umero de lectores, xi , en ma que la duraci´on media de las mismas miles de personas, y el de libros prestados, es de 8 meses. Para contrastar esta afiryi . Los resultados figuran en la tabla : maci´on, se estudia una muestra aleatoria simple de 36 bombillas, obteniendo una duPersonas xi 0.6 0.8 1.4 2 2.2 2.6 raci´on media de 7.76 meses, con una cuaLibros yi 160 175 240 285 300 340 sidesviaci´on t´ıpica muestral σ ˆ = 0.6 meses. Si acudiesen 1800 lectores, ¿cu´antos libros, ¿Con qu´e nivel de confianza podemos acepprevisiblemente, se prestar´ıan? tar la informaci´on del fabricante? a) 247 libros. a) Se acepta al 95 % pero no al 99 % b) 268 libros. b) Se acepta al 99 % pero no al 95 % c) 276 libros. c) No se acepta, ni al 95 % ni al 99 % 3. La eficacia de una nueva vacuna se va- 8. Para medir el rendimiento, de dos tipos lora entre 0 y 5. Para saber si la eficacia de motores, A y B, se realizan 100 experidepende del sexo del paciente, se prueba mentos con el motor A y 125 con el motor en un grupo de 180 mujeres y en otro de B, en las mismas condiciones, obteni´endose 140 hombres, elegidos al azar. Los datos un promedio de consumo de 4.2 lit/100 kms ¯ M = 3.8 ; σ obtenidos fueron X ˆM = 1.3 y para el motor A y 3.8 lit/100kms para el ¯ YM = 3.6 ; σ ˆM = 1.2. ¿Con qu´e riesgo puede B, con unas cuasidesviaciones t´ıpicas de afirmarse que la nueva vacuna tiene una in- σ ˆA = 0.7 y σ ˆB = 0.6 respectivamente. Con cidencia m´as favorable entre las mujeres? un nivel de confianza del 95 %, ¿cu´al es el a) 0.1562 intervalo de confianza para la diferencia de b) 0.0018 medias? a) Ic = (0.116; 0.432) c) 0.0764 b) Ic = (0.184; 0.372) 4. El n◦ de autobuses de cada modelo, A c) Ic = (0.228; 0.572) y B, que posee una empresa para realizar el trayecto a dos ciudades diferentes, X, e Y , 9. El valor que toma la trimedia para los figura en la tabla: siguientes datos, es: 2.2 1.4 1.0 1.4 1.0 1.8 1.4 1.4 2.2 2.5 Ciudad \ Bus A B Total X 4 16 20 1.4 1.0 1.4 2.2 1.0 2.2 1.8 1.4 1.0 1.4 Y 9 17 26 a) Tr = 1.5 Total 13 33 46 b) Tr = 1.4 La frecuencia de los autobuses A que realic) Tr = 1 zan el trayecto a la ciudad Y , es: a) 0.346 10. Se organiza un viaje a Francia en dos b) 0.196 autobuses, uno grande, G y otro mediano, M. El 60 % de los pasajeros ir´a en el autob´ us c) 0.692 G y el resto en el M. Se sabe que el 80 % de 5. Dados dos sucesos no disjuntos A y B, us G y el 30 % de los si P (A) = 0.3 y P (B) = 0.4, ¿es posible que los pasajeros del autob´ del M, saben franc´es. Se elige un pasajero al la P (A ∪ B) = 0.8? azar y se observa que no sabe franc´es, ¿cu´al a) S´ı, siempre es posible. es la probabilidad de que viaje en el autob´ us b) No, nunca es posible. M? c) S´olo a veces es posible. a) 0.8 b) 0.7 c) 0.9 1. La media recortada, al 10 %, de los datos siguientes, es: 18 14 16 23 17 48 17 21 18 20 19 17 35 2 19 22 20 7 19 18

´ METODOS ESTAD´ ISTICOS EN ANTROPOLOG´ IA. FEBRERO 09. EX C Calificaci´ on: Cuestiones correctas 1 punto. Err´ oneas -0.25 puntos 1. a) Ordenamos los valores de menor a mayor: 2

7

14

16

17

17

17

18

18

18

19

19

19

20

20

21

22

23

35

48

El 10 % del n´ umero total de datos, 20, es 2, por lo que se eliminan los dos valores menores y los dos mayores de la tabla anterior, es decir el 2; 7; 35 y 48. Por u ´ltimo la media recortada es la media aritm´etica de los 16 valores restantes: PN −r P18 xi 298 i=r xi x ¯r = = i=3 = = 18.625 N − 2r 20 − 4 16 2. b)

xi 0.6 0.8 1.4 2.0 2.2 2.6 9.6

yi 160 175 240 285 300 340 1500

x2i 0.36 0.64 1.96 4.00 4.84 6.76 18.56

yi2 25600 30625 57600 81225 90000 115600 400650

xi − x ¯ -1.0 -0.8 -0.2 0.4 0.6 1.0

yi − y¯ -90 -75 -10 35 50 90

P yj xi 9.6 1500 = = 1.6 ; y ¯ = N 6 N = 6 qP q xi 2 18.56 2 = 2 − x ¯ N 6 − 1.6 = 0.73 qP q yj 2 2 − y¯ = 400650 − 2502 = 65.38 N 6

(xi − x ¯)(yj − y¯) 90 60 2 14 30 90 286

P

x ¯= sx = sy =

= 250

El coeficiente de correlaci´on r es: r=

¯) · (yj − y¯) 1 286 286 1 X (xi − x = · = = 0.9987 n sx · sy 6 0.73 · 65.38 286.36

La ecuaci´on de la recta de regresi´on, es: y = y¯ + r

sy · (x − x ¯) ; y = 250 + 89.445(x − 1.6) sx

Si acudiesen 1800 lectores a la biblioteca, previsiblemente, se prestar´ıan: y = 250 + 89.445(1.8 − 1.6) = 267.889 ' 268 libros.

1

3. c) Si la eficacia es la misma en ambos grupos, la diferencia de medias mues¯M − X ¯ H , tiene una distribuci´on en el muestreo N (0; σ trales, X ˜ ) con error t´ıpico de estimaci´on: r 1.32 1.22 σ ˜= + = 0.14 180 140 ¯M − X ¯ H sea mayor que Si se rechaza la igualdad cuando la diferencia X 3.8 − 3.6 = 0.2, el riesgo lo mide el p-valor : [p-valor] = 1 − φ(0.2/0.14) = 1 − φ(1.43) = 1 − 0.9236 = 0.0764. 4. b) Seg´ un la tabla adjunta, la frecuencia de los autobuses A que realizan el trayecto a la ciudad Y , es: Ciudad \ Bus X Y Total

A 4 9 13

B 16 17 33

Total 20 26 46

· ¸ frec Bus A y ciudad Y A∩Y 9 = fr = = 0.346 frec ciudad Y Y 26 5. b) La probabilidad de la uni´on de sucesos no disjuntos, es: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) Si sustituimos los valores correspondientes a cada suceso, se tiene: 0.8 = 0.3 + 0.4 − P (A ∩ B) ; P (A ∩ B) = 0.3 + 0.4 − 0.8 = −0.1 Lo cu´al es imposible ya que una de las condiciones que debe de cumplir la probabilidad de cualquier suceso, S, es que 0 ≤ P (S) ≤ 1 6. a) La proporci´on muestral es pˆ =

6 150

= 0.04

El error t´ıpico de estimaci´on de p es: sµ r ¶ ³ n ´ p(1 − p) 150 0.04 · 0.96 = = 0.016 σ ˜= 1− 1− N n 5000 150 7. b) La estimaci´on de µ es µ ˆ = 7.76 y el error t´ıpico de estimaci´on es: 0.6 0.6 = 0.1 σ ˜=√ = 6 36 La regi´on de aceptaci´on al 95 %, es: Ic = (7.76 − 1.96 · 0.1; 7.76 + 1.96 · 0.1) = (7.564; 7.956)

2

Para el 99 %, la regi´on de aceptaci´on, es: Ic = (7.76 − 2.58 · 0.1; 7.76 + 2.58 · 0.1) = (7.502; 8.018). La duraci´on media indicada,µ = 8, pertenece a este u ´ltimo intervalo pero no al primero; luego se puede aceptar la informaci´on del fabricante con un nivel de significaci´on del 99 %, pero no del 95 %. 8. c) La diferencia entre las medias de los consumos de uno y otro motor, ¯A − X ¯B = µA − µB , se estima mediante la diferencia de medias muestrales X 4.2 − 3.8 = 0.4 lit/100 kms. El error t´ıpico de estimaci´on, del consumo de carburantes de ambos motores, es: 0.7 0.6 = 0.07 y σ ˜B = √ = 0.0536 σ ˜A = √ 100 125 La diferencia de medias, tiene un error t´ıpico de estimaci´on de: σ ˜=

p

0.072 + 0.05362 = 0.088

El intervalo de confianza para µA − µB ,con un nivel de confianza del 95 %, es: ¯A − X ¯ B −zα σ ¯A − X ¯ B +zα σ Ic = (X ˜; X ˜ ) = (0.4−1.96·0.088; 0.4+1.96·0.088) = = (0.228; 0.572) 9. a) Por no estar los valores agrupados, ordenamos, de menor a mayor, los 20 datos que tenemos: 1

1

1

1

1

1.4

1.4

1.4

1.4

1.4

1.4

1.4

1.4

1.8

1.8

2.2

2.2

2.2

2.2

2.5

Al haber un n´ umero par de datos, el primer cuartil ser´a la media aritm´etica de los datos x5 y x6 . es decir: x5 + x6 1 + 1.4 = = 1.2 2 2 Igualmente la mediana, o segundo cuartil, ser´a la media aritm´etica de los datos x10 y x11 . es decir: Q1 =

x10 + x11 1.4 + 1.4 = = 1.4 2 2 De la misma manera, el tercer cuartil ser´a la media aritm´etica de los datos x15 y x16 . es decir: Q2 =

Q3 =

x15 + x16 1.8 + 2.2 = =2 2 2

La trimedia es: Tr =

Q1 + 2 · Q2 + Q3 1.2 + 2.8 + 2 = = 1.5 4 4

3

10. b) Sean los sucesos: G “viajar en el autob´ us grande”; M “viajar en el autob´ us mediano”; F¯ “no saber franc´es” Seg´ un los datos del enunciado, la probabilidad de G es: P (G) = 0.6 y la de M es: P (M ) = 0.4. La probabilidad de no saber franc´es y viajar en el autob´ us grande es: P (F¯ ∩ G) = 0.2 · 0.6 = 0.12 y la probabilidad de no saber franc´es y viajar en el autob´ us mediano es: P (F¯ ∩ M ) = 0.7 · 0.4 = 0.28 Para hallar la probabilidad de que elegido un viajero al azar y observando que no sabe franc´es, viaje en el autob´ us mediano, debemos de aplicar la regla de Bayes. Es decir: P (F¯ ∩ M ) 0.4 · 0.7 0.28 P (M/F¯ ) = = = = 0.7 ¯ 0.4 · 0.7 + 0.6 · 0.2 0.4 P (F )

4