Unidad 1 Números Reales

Igual que han nos han ido apareciendo las distintas familias de números como ampliación de otras. Los enteros como complemento de los naturales. Los racionales de los enteros. Los números racionales no nos resuelven problemas como el cálculo de la hipotenusa de un triangulo rectángulo de catetos 1.Para resolver este tipo de situaciones aparecen los números irracionales (notación : I) Los números reales aparecen como unión de los números racionales e irracionales. Se les denota por R y se representa en la recta real.

N I Q

Z Q R I R

R

Ejemplo: 5 → Natural, Entero, Racional, Real -15 → Entero, Racional, Real

3 → Racional, Real 7

15 → Irracional, Real Ejercicios 1.- Clasifica los siguientes números 15,

31 , 25

-26,

25 ,

15 ,

27 , 3

14 , 1.652 9

1.- Representación de números reales En la siguiente figura aparecen sucesivas ampliaciones del campo numérico sobre la recta numérica, de manera que se va asignando un número a cada punto de la recta. Por ello, decimos que los números reales completan la recta numérica.

2.- Radicales Como ya sabemos de cursos anteriores:

Si x 2

9, entonces

x

9

porque 9 32

3,

y 9

( 3) 2

La raíz enésima de un número real a es otro número b que elevado a la potencia n, da como resultado el radicando. n

a

bn

b

a

Características de las raíces -. Si el índice de la raíz es par y a > 0, existen dos raíces enésimas reales opuestas y

n

a 4

16

2

y

2

-. Si el índice de la raíz es par ya a < 0, no tiene solución 4

16 no existe

-. Si el índice de la raíz es impar, existe una raíz enésima real que tendrá el mismo signo que a 7

128

2

7

128

2

-. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de un radical por el mismo número obtenemos radicales que representan al mismo. En este caso los radicales serán equivalentes. n

am

nk

am k

n

am

n/k

am/ k

n

a

Ejercicios: 2.- Halla las soluciones de los siguientes radicales

16

3

125

3

16

125

3.- Reduce a común índice buscando radicales equivalentes a)

6

4

32

3

b)

15

5

5

4

c)

6

a

ab d)

3

c2

a3

3.- Operaciones con Radicales con igual indice Multiplicación de Radicales n

a

n

b

n

a b

División de radicales - Con el mismo índice: da como resultado otro radical de igual índice y cuyo radicando es el cociente de los radicandos n n

a :n b

n

a:b

n

a b

n

a b

Potenciación y radicación de radicales Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a esa potencia n

a

m

n

a

m

La raíz de un radical es otro radical cuyo índice es el producto de los índices n m

a

nm

a

Ejercicios 4.- Realiza las siguientes multiplicaciones a)

4

9

b)

3

5

3

25

3

15

c) 3 2 5 12

5 1 8 ( 4) 3 2

d)

9.- Realiza las siguientes divisiones simplificando el resultado. a)

4

126 : 4 12 a 2b

b)

a 3b 2

72 e)

8

10.- Calcula las siguientes potencias: a)

3

12

2

4

3

c)

b) 5 15

5

3 5

d)

3

1 125

3

11.- Realiza las raíces y simplifica el resultado: a)

b)

3

8

5 4 3

c)

1200

d)

6

a 2b 3

3

4 25

5.- Potencias de exponente racional. La raíz enésima de un número,

n

a

a

1 n

n

a se puede expresar en forma de potencia.

pues

a

1 n

n

n

an

a1

a

Las operaciones con potencias de exponente racional siguen las mismas normas que las potencias estudiadas anteriormente.

an bn an am

an

bn

(a b) n an

m

(a b) n

an

am

(a n ) m

an

m

an m

Ejercicios 15.- Transforma los siguientes radicales en potencias de exponente fraccionario. 5

24

a)

b)

53

c)

2

d)

3

1 4

16.- Transforma las siguientes potencias en radicales: a) 4

1 3

5

1 c) 3

b) ( 3) 7

3 8

d) 5

6 5

17.- Escribe en forma de una sola potencia: a) 33 · 34 · 3 =

g) (82)3

(25)4 =

b) 57 : 53 =

h) (93)2

[(23 )4]0=

c) (53)4 =

i) 25 · 24 · 2 =

(272)5=

d) (5 · 2 · 3)4 =

j) 27 : 26 =

(43)2 =

e) (34)4 =

k) (22)4 =

f) [(53)4 ]2 =

l) (4 · 2 · 3)4 =

18.- Realizar las siguientes operaciones con potencias: a) (−2)2 · (−2)3 · (−2)4 =

f) 2−2 : 23 =

b) (−8) · (−2)2 · (−2)0 (−2) =

g) 22 : 2−3 =

c) (−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 =

h) 2−2 : 2−3 = 2

d) 2−2 · 2−3 · 24 =

i) [(−2)− 2] 3 · (−2)3 · (−2)4 =

e) 22 : 23 =

j) [(−2)6 : (−2)3 ]3 · (−2) · (−2)−4 =

19.- Realizar las siguientes operaciones con potencias: a) (−3)1 · (−3)3 · (−3)4 =

c) (−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 =

b) (−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)0=

d) 3−2 · 3−4 · 34 =

e) 52 : 53 =

h) 5−2 : 5−3 =

f) 5−2 : 53 =

i) (−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)−4 =

g) 5 2 : 5 −3 =

j) [(−3)6 : (−3)3] 3 · (−3)0 · (−3)−4 =

20.- Realiza las siguientes operaciones con potencias:

a)

f)

b)

g)

k)

l) c)

h) m)

d)

i)

e)

j)

6.- Porcentajes. Interés Simple y Compuesto. Los números reales se aplican con frecuencia un proporcionalidad y, concretamente, en la definición de porcentaje. Así mismo, el uso de los porcentajes y la regla de tres compuesta son usuales en el cálculo del interés simple y el compuesto.

Porcentajes o tanto por cientos Se denomina porcentaje o tanto por ciento (%) al valor de una magnitud relativo al valor 100 de otra magnitud. Por ejemplo, si decimos que una joya tiene el 25% de plata, estamos considerando dos aspectos: el peso de la joya y el peso de la plata. Esto significa que, por cada 100 gr del peso de la joya, hay 25 gr de plata. Tenemos varias maneras de ver o interpretar los porcentajes. Con fracciones decimales y números decimales

25%

25 100

0.25

Los problemas de porcentajes también los podremos resolver utilizando la regla de 3 simple. Según nuestra habilidad y el estilo de problema que estemos resolviendo utilizaremos un método u otro. Ejemplo: Al comprar un libro de 45€ me han hecho un descuento del 8%. ¿Cuánto me han descontado? Método 1: Utilizando fracciones

8 100

de 45

(45 8) : 100

3.6 Asi que me descuentan 3,6€ del precio del libro.

Método 2: Utilizando decimales

0.08 45

3.6

Método 3: Regla de 3

Total 100 45

% 8 x

x

8 45 100

3.6

Porcentajes encadenados Cuando nos hacen varios porcentajes seguidos sobre una primera cantidad. No podemos sumar todos esos porcentajes y calcular. Tenemos lo que se llama porcentajes encadenados. Veamos esto con un ejemplo: Un vendedor de bicicletas de piensa que si aplica un 16% de IVA y luego hace una rebaja del 16 consigue que la bicicleta cueste lo mismo que al principio. Pero no sabe si aplicar primero el impuesto o después la rebaja. Calculemos primero la rebaja y luego el impuesto

100 (1 0,16)

84

84 (1 0,16)

97.44

Si la bicicleta costaba 100€ al final tengo que pagar 97.44€

Calculemos primero el impuesto y luego la rebaja

100 (1 0,16) 116 116 (1 0,16) 97.44

Igual mente vemos que el precio final es 97.44€

Conclusiones: 1-. El precio final es distinto del inicial 2-. Da igual el orden en que apliquemos los porcentajes.

Ejercicios

20.- Calcula los siguientes porcentajes: a) 10% de 360 b) 80% de 170 c) 25% de 48 15 g) 1,5% de 70 h) 24,7% de 471

d) 2% de 600

e) 5% de 845

f) 32% de

21.- De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 22.- Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? 23.- Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? 24.- Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar? 25.- Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta. 26.- Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%. 27.- ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta? 28.- Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €. 29.- Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando se reduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes? 30.- Un cultivo de bacterias de un laboratorio tiene 120 000 bacterias y adquiere una enfermedad que produce la muerte del 16% de la población. Tratadas las bacterias supervivientes con un producto muy eficaz se consigue aumentar la población en un 14%. ¿Cuántas bacterias forman la población finalmente? 31.- Un apartamento está valorado en 80 000 €. Está previsto que se revalorice su precio un 5% por año. ¿Cuánto valdrá dentro de 3 años? 32.- En un anuncio de rebajas dice: Pijamas: Antes 15,75, ahora, 11,95. Zapatos: Antes 39,90, ahora 29,95. Se quiere saber: a) ¿Están rebajados estos artículos proporcionalmente? b) Si no es así, ¿cuál lo está más?

Interés Simple El interés es dinero que produce una cantidad inicial sometida durante un determinado tiempo aun tanto por ciento fijado.

Para calcular el interés simple utilizamos la regla de 3 compuesta que nos da la siguiente fórmula para calcularlo de manera rápida.

I

C r t 100

Donde C = Capital, r = tanto por ciento , t = tiempo del préstamo La anterior formula nos es válida si el tiempo en el que se calcula el interés es en años. Si utilizamos meses o días tenemos las siguientes fórmulas:

I

C r t 1200

meses

I

C r t 36000

Días

Ejemplos: -. Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30 000 €, al 6%.

-. Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%.

-. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €?

Ejercicios: 33.- Calcula el interés que producen 1200€ puestos al 6% durante 2 años. Calcular en años, mese y días. 34.- ¿Qué interés anual producen 10 000€ prestados a un tipo de interés anual de 3,5%? ¿Y al cabo de 5 años? 35.- ¿A qué tipo de interés debe prestarse un capital de 25 000E para producir un interés de 12 000€ al cabo de 12 años? 36.- ¿Cuánto tiempo tienen que estar 1500€ para que produzcan 337,5€ de interés al 7,5%?

37.- ¿Qué capital tengo que meter en el banco para que me den un interés de 1530€ si esta al 4,5% durante 4 años? 38.- ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €? 39.- Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés. 40.-Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado. 41.- ¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6%?

Interés Compuestos El interés compuesto representa el coste del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (Ci) a una de interés (R) durante un periodo de tiempo (t), en el cual intereses que se obtienen al finalizar cada periodo de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital final.

tasa los

La fórmula que vamos a utilizar para calcular el interés compuesto es la siguiente:

Cf

Ci

R 1 100

t

Si el tiempo lo utilizamos en meses o años, cambiaremos 100 por 1200 ó 36000, igual que hicimos las fórmulas del interés simple.

1.- Una persona pide prestada la cantidad de $800. Cinco años después devuelve $1.020. Determine la tasa de interés nominal anual que se le aplicó, si el interés es: a) Simple b) Capitalizado anualmente c)

Capitalizado trimestralmente

d) Compuesto mensualmente

con

2.- ¿Cuánto tiempo tardará una suma de dinero en quintuplicarse, si el interés a que está invertida es el 6% nominal anual compuesto ? 3.- Un capital de 10.000€ se acumula durante 30 años. El interés durante los primeros 10 años es del 5% efectivo. Durante los 10 años siguientes, el 6% y los últimos 10 años del 7%. ¿Qué capital tendrá al finalizar el tiempo?

Tasa Anual Equivalente (T.A.E.) La Tasa Anual Equivalente (TAE) es una referencia orientativa del coste real de una inversión o préstamo. La TAE es un indicador que, en forma de tanto por ciento anual, revela el coste o rendimiento efectivo de un producto financiero, ya que incluye el tipo de interés nominal, los gastos y comisiones bancarias y el plazo de la operación. O sea, que la TAE se diferencia del tipo de interés en que éste no recoge ni los gastos ni las comisiones; sólo la compensación que recibe el propietario del dinero por cederlo temporalmente. El cálculo de la TAE está basado en el tipo de interés compuesto y en la hipótesis de que los intereses obtenidos se vuelven a invertir al mismo tipo de interés. Ejemplo: Calcular el T.A.E. si tenemos 1200€ al 7.5% durante un año con intereses mensuales. Calculamos el capital final

Cf

1200 1

7.5 1200

12

1293,1591

Calculamos ahora el TAE, para ello volvemos a utilizar la fórmula del interés compuesto.

Cf

Ci

R 1 100

t

TAE 1293,1591 1200 1 100 1293,1591 TAE 1 1200 100 TAE 1.0776 1 100 1.0776 1 TAE 7,76% 100

1

Ejercicios 1

Calcular el tipo de interés anual equivalente al 4 % trimestral.

2 Determinar el tipo de interés anual equivalente al 12 % mensual. 3

Calcular el tanto por ciento a al 10 % nominal anual.