Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas

Etapa 1 - Resultados esperados

Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes aplicarán las funciones trigonométricas a la resolución de problemas con triángulos y explorarán las propiedades e inversa de las funciones trigonométricas. Desarrollarán y aplicarán definiciones de la función de seno y coseno, desarrollarán identidades fundamentales y resolverán problemas del mundo real. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre las propiedades e inversas de las funciones trigonométricas para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real. Estándares de contenido y expectativas Geometría G.FG.11.5.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos. G.FG.11.5.2 Desarrolla las identidades pitagóricas trigonométricas fundamentales de suma y diferencia, doble ángulos, funciones secante, cosecante, tangente y cotangente; los cuales utiliza para simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos. G.FG.11.5.3 Conoce los dominios restringidos de las funciones de seno, coseno y tangente, para poder definir sus inversas.

 Calcula los valores de las funciones trigonométricas inversas.  Define y traza la gráfica de las funciones trigonométricas inversas con dominios restringidos adecuadamente. G.FG.11.5.4 Resuelve triángulos rectángulos y usa los resultados para resolver problemas concretos.

G.FG.11.5.5 Desarrolla la Ley de Seno y la Ley de Coseno y las utiliza para hallar las medidas desconocidas de los lados y los ángulos en el triángulo. Junio 2012

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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas Ideas grandes/Comprensión duradera:

Preguntas esenciales:

 Las funciones trigonométricas resuelven los triángulos.  Las identidades pitagóricas trigonométricas simplifican las expresiones y resuelven los triángulos.  Las gráficas trigonométricas y sus inversas nos permiten tomar decisiones informadas.  Las medidas indirectas se basan en las propiedades de los triángulos rectángulos.

 ¿Por qué usarías funciones trigonométricas para resolver triángulos?  ¿Por qué son útiles las identidades trigonométricas pitagóricas?  ¿Cómo puedes comparar las gráficas de funciones de seno, coseno y tangente y su inversa?  ¿Cómo se usan los triángulos rectángulos para tomar medidas indirectas?

Contenido (Los estudiantes comprenderán...)

Destrezas (Los estudiantes podrán...)

 Conocer los dominios restringidos de la función de seno, coseno y tangente para definir sus inversas  La definición de la función de seno y coseno  Las identidades trigonométricas pitagóricas fundamentales de suma y resta, ángulos dobles, y funciones de secante, cosecante, tangente y cotangente  Los dominios restringidos de la función de seno, coseno y tangente para definir sus inversas  La gráfica de las funciones trigonométricas inversas con dominios restringidos  La ley de cosenos (c2 = a2 + b2 – 2ab cos C)  La ley de senos

 Desarrollar y aplicar la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos.  Desarrollar las identidades pitagóricas trigonométricas de suma y resta, doble ángulos, funciones de secante, cosecante, tangente y cotangente, que se utilizan para simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos.  Calcular los valores de las funciones trigonométricas inversas.  Definir y trazar la gráfica de las funciones trigonométricas inversas con dominios restringidos adecuadamente.  Resolver triángulos rectángulos y usa los resultados para resolver problemas concretos.  Desarrollar la ley de seno y la ley de coseno y utilizarlas para hallar las medidas desconocidas de los lados y los ángulos en el triángulo.

Vocabulario de contenido  ángulos dobles, dominios restringidos, funciones trigonométricas inversas, identidades trigonométricas pitagóricas, Junio 2012

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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas ley de cosenos, ley de senos

Etapa 2 – Evidencia de avalúo

Tareas de desempeño

Otra evidencia

Recorrido trigonométrico1 Los estudiantes demostrarán su conocimiento de las leyes de seno y coseno creando un recorrido trigonométrico.

Ejemplos de preguntas de examen/quiz 1. Demuestra la identidad trigonométrica: senθsecθ = (1 - cos²θ) / (senθcosθ). 2. ¿Cuál NO es una identidad? a. 1 + cos²θ = sen²θ b. csc²θ – 1 = cot²θ c. 1 + tan²θ = sec²θ d. 1-sen²θ = cos²θ 3. Escribe una oración compuesta que equivalga a cada ecuación. Pista: tu primera respuesta debe tener la forma x = ____y |y| ≤ ____.3 a. y=sen -1 x b. y=cos -1 x c. y=tan -1 x 4. Usando las ecuaciones a continuación crea una gráfica con el dominio restringido de (-1, 1) y una gráfica con el dominio restringido de todos los números reales. a. y=Sen -1 x b. y=Cos -1 x

Instrucciones: Tu tarea es crear un recorrido trigonométrico. Utiliza tu área inmediata* para crear un problema en el que haya que hallar una altura o distancia inaccesible. Tu problema debe ser tridimensional e incluir un triángulo rectángulo, así como el uso de las leyes de seno y coseno. Entrega el problema y su solución completa. Los estudiantes intercambian sus problemas para dar una caminata trigonométrica en que tomen medidas y resuelvan los problemas diseñados por los otros. *Nota: el maestro puede especificar o limitar el área en que los estudiantes pueden crear su recorrido trigonométrico.

1 Fuente: http://www.mrsantowski.com/MCR3U/Assignments/M11SB555.pdf

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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Laberinto de triángulo2 Los estudiantes demostrarán su comprensión de la ley de senos y la ley de cosenos por medio de la siguiente tarea en que trabajan como arquitectos paisajistas que han recibido la tarea de diseñar un laberinto al aire libre para un parque de diversiones. Tarea: El parque de diversiones quiere añadir un laberinto hecho de arbustos por el cual la gente pueda pasear. Han encontrado ejemplos de laberintos en otros parques que están formados por ángulos rectos únicamente, y otros de naturaleza circular. Para ser originales, les gustaría crear su primer laberinto compuesto completamente de formas triangulares sin ángulos rectos. Tú, el arquitecto paisajista, debes inventar un

c.

y=Tan -1 x

Diario 1. Comenzando por cos2x + sen2x=1 y usando tu conocimiento de las identidades por cociente y recíproca, deriva una identidad equivalente en términos de la tan x y la sec x. Muestra todo el proceso.4 2. Traza una gráfica para demostrar que y = sin -1 x es una relación y no una función. Explica por qué no es una función.5 Boletos de entrada/salida 1. Reescribe en términos de cosθ y simplifica: sen²θcot²θsecθ 2. Sea P(x, y) un punto en el cuadrante uno del círculo unitario, x2 + y2 = 1. Traza el segmento de línea OP. Sea θ el ángulo formado por OP y la porción positiva del eje de x. Ahora traza la perpendicular de P para que se encuentre con el eje de x en el punto M.6 a. Establece la razón de OP/MP en términos de θ. Establece la razón de

2 Fuente: www.curriculumframer.com 3 Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect07.pdf 4 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf 5 Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect07.pdf 6 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf

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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas plan para hacer un laberinto interesante de 1 acre que esté compuesto de secciones triangulares. Los triángulos estarán bordeados de arbustos altos, y el interior de los triángulos estará cubierto de agua para que la gente no intente saltar por encima de los arbustos. Propón un diseño para esta atracción con medidas de todos los lados y ángulos, así como el área interior de los triángulos. Puedes tener algunos ángulos con las mismas dimensiones, pero asegúrate de que el diseño tenga por lo menos cinco tipos diferentes de triángulos, la variedad suficiente para ser interesantes.

OP/OM en términos de θ. b. Establece las coordenadas del punto P en términos de θ. c. Sustituye tus coordenadas en la ecuación del círculo unitario para demostrar una de las identidades pitagóricas. d. Ahora escoge P en otro cuadrante y repite el proceso. ¿Sigue siendo cierta la identidad?

Procedimiento: 1. Haz un boceto de tu plan. Antes de finalizarlo, asegúrate de que los caminos que la gente escoja sean variados e interesantes. Algunos deben llevar a callejones sin salida. 2. Una vez hayas terminado tu diseño, crea una versión final de tu plan con todas las medidas rotuladas, haz varias copias y traza los caminos potenciales que puede tomar la gente por el laberinto, tanto largos como cortos. Estima cuán largos son estos caminos posibles, y estima cuánto tiempo se tomaría recorrerlos a un paso relajado. 3. Para hacerle la vida más fácil al Departamento de Terrenos, informa la longitud total de verjas de arbustos a las que hay que darle mantenimiento, así como el volumen total de agua en las Junio 2012

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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas piscinas que tendrán que mantener. Escribe un párrafo que describa las características del plan de forma tal que sirva para "venderle" tu propuesta al comité del parque. 4. Incluye todos los cálculos que respalden tu propuesta en un apéndice adjunto al final. 5. Opcional (puntos de bono) - Da la milla extra y crea una maqueta de tu plan para asegurarte de que el comité entienda tu visión del laberinto. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: 11.5 Tarea de desempeño - Rúbrica del Laberinto de triángulos).

Etapa 3 – Plan de aprendizaje

Actividades de aprendizaje  Funciones trigonométricas uno a uno7: Los estudiantes utilizarán el estudio previo de las funciones inversas para comprender que las funciones trigonométricas no tienen inversa a menos que restrinjamos su dominio. Primero, pídeles a los estudiantes que tracen la gráfica de y = sen x. ¿Cómo sabemos que se trata de una función? A continuación, pregúntales: ¿es una función uno a uno? ¿Tiene una función inversa?*8 Haz que los 7 Fuente: www.curriculumframer.com 8 *Nota importante: No todos los libros de texto son uniformes en cuanto al uso del término inversa. Algunos libros utilizan el

término inversa con el sentido de "función inversa" y señalarán que la inversa no existe si al intercambiar las variables de x y de y se cra una relación que no es una función. Otros libros utilizan el término inversa para describir la relación creada por el intercambio de variables, aun cuando no se trata de una función, con lo cual cabe preguntarse "¿es la inversa una función?”.

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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas estudiantes tracen la gráfica de la relación x = sen y. Obviamente no es una función. Reta a los estudiantes a hallar la porción mayor del sen x que sea uno a uno. Primero, pídeles que lo trabajen solos y después compara sus respuestas. ¿Cuán larga es? ¿Hay solo una respuesta posible? ¿Todo intervalo en x posee la calidad de ser uno a uno? Pídeles que hagan lo mismo para el coseno y el seno en parejas. Discútanlo como clase.  Tres funciones trigonométricas inversas9: Explícales las funciones trigonométricas inversas para funciones de seno, coseno y tangente, y su dominio y recorrido. Usa esta actividad para darle seguimiento a las funciones trigonométricas uno a uno. Refiérete a la discusión anterior de las funciones trigonométricas inversas de seno, coseno y tangente y haz hincapié en la diferencia entre x = sen (hallar todos los ángulos y para los cuales el seno de y = x no sea una función), y y = arcosen x (hallar el ángulo entre -π/2 y π/2 para el cual el seno de y = x).*10 Muéstrales a los estudiantes ambas convenciones para la escritura de funciones trigonométricas inversas: el uso de "arco-" y el uso del índice superior "-1". Haz hincapié en que no se trata de un exponente, y contrástalo con colocar sen x entre paréntesis con el exponente afuera como la forma correcta de elevar el seno a la potencia negativo uno. Modela ejemplos y pídeles a los estudiantes que practiquen usando los ejemplos para comprobar su habilidad para usar las funciones trigonométricas inversas básicas (seno, coseno y tangente inversos). No les pidas que hallen la inversa de la cosecante, secante y cotangente; esto se discutirá en la próxima actividad.  Funciones trigonométricas inversas11: En esta actividad, los estudiantes usarán su comprensión de la función trigonométrica inversa de seno, coseno y tangente para crear Comprueba la terminología del libro de texto que están usando tus estudiantes y guarda la coherencia terminológica con el libro para minimizar la confusión. En este documento, se utilizará el acercamiento anterior; así, el término inversa se refiere a que se trata de una función.

9 Fuente: www.curriculumframer.com 10 *Nota importante: En relación con la nota anterior sobre la falta de uniformidad en el uso del término "inversa", algunos

libros diferencian entre "Arcsen x" y "arcsen x", donde uno es la función y el otro es la no función que equivale a la relación x = sen y. Nuevamente, modifica tus explicaciones en clase para reflejar la convención usada en tu texto. En este documento, usaremos la convención de no poner mayúscula para diferenciar el uso, y arcsen x se referirá a la función con recorrido restringido, o "ángulo principal".

11 Fuente: http://www.mde.k12.ms.usACADIDCurriculumFramermath_pagesgrade_hsm.html

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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas funciones inversas de cosecante, secante y cotangente. Primero, pídeles que explique en sus propias palabras lo que significa "seno inverso de x". Recopila las ideas de los estudiantes y discútelas. A continuación, rétalos a crear funciones inversas basadas en y = csc x, y = cot x usando lo que han aprendido en actividades previas. Haz que compartan y discutan sus respuestas. Luego, rétalos a explicar por qué estas inversas son menos importantes y algunos libros no las incluyen. En concreto, diles que no necesitan una función cosecante inversa para hallar la cosecante inversa de 5/3, por ejemplo, y pídeles que averigüen por qué. Dales tiempo para que lo discutan en parejas.  Tengo...quién tiene12: Haz una lista de preguntas y respuestas del tema que quieras repasar. Haz dos columnas; la primera lleva "Tengo" de título y la segunda lleva "Quién tiene". La primera columna es para las respuestas y la segunda es para las preguntas (las repuestas son de la pregunta en la línea anterior). Para un ejemplo de esto con identidades trigonométricas básicas, ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje - Tengo, quién tiene. A continuación, crea tarjetas por cada pregunta y respuesta que hayas preparado; sin embargo, la tarjeta debe tener la respuesta de la próxima pregunta de la lista. En el ejemplo con identidades trigonométricas fundamentales, la tarjeta número dos dice: "Tengo cos A. ¿Quién tiene sen2A + cos2A?”. La tercera tarjeta dice "Tengo 1. ¿Quién tiene 1/sen A?" La respuesta a la pregunta en la tarjeta dos se halla en la tarjeta tres. Repárteles las tarjetas a los estudiantes al azar. Quédate con la primera tarjeta de la lista para que tú empieces y termines el ejercicio. Lee la primera tarjeta. El estudiante que tenga la respuesta a la primera pregunta entonces lee su tarjeta. El estudiante que tenga la respuesta a esa pregunta entonces lee su tarjeta, y así sucesivamente hasta que todos hayan leído la suya.  Rompecabezas de identidades trigonométricas13: Los estudiantes acomodan los dieciséis cuadrados para formar un cuadrado mayor en que todos los lados se pareen para formar identidades trigonométricas. (ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje Rompecabezas trigonométrico).  Identidades trigonométricas14: Utiliza una técnica de delegación gradual de la 12 Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/ihave.html 13 Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/trgcutup.html 14 Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246

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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas responsabilidad para modelar problemas y pedirles a los estudiantes que hagan problemas de práctica y crítica inmediata de su trabajo con la Identidad trigonométrica fundamental (ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje - Identidades trigonométricas).  Identidades de ángulo doble15: Los estudiantes toman nota de las identidades de ángulo doble y se les guía paso a paso con una serie de ejemplos. Pídeles que resuelvan algunos problemas de práctica por su cuenta; durante ese tiempo, date la vuelta por el salón para responder a sus preguntas (ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje Identidades de ángulo doble). Ejemplos para planes de la lección  Cómo cambiar el dominio de una ecuación trigonométrica16: En esta lección, se les guía paso a paso a los estudiantes para cambiar el dominio de las ecuaciones trigonométricas y se les dan problemas guiados de práctica (ver anejo: 11.5 Ejemplo para plan de lección Cómo cambiar el dominio de una ecuación trigonométrica).  Desarrollar ley de cosenos17: Primero, para repasar LAL y LLL, se les darán a los estudiantes varios datos sobre triángulos y se les pedirá que los tracen con regla y transportador. Compararán triángulos entre sí para ver con cuáles conjuntos de datos se obtiene un solo triángulo, así como ver que con ciertos ejemplos de LLL no se obtiene triángulo. Los estudiantes desarrollarán la ley de cosenos como extensión lógica de la fórmula pitagórica y nuestra definición de razón de coseno. A continuación, explorarán los escenarios donde resulte útil, y verán qué sucede cuando intentan aplicarlo a uno de los ejemplos de LLL imposibles de la actividad anterior (ver anejo: 11.5 Ejemplo para plan de lección - Desarrollo de la ley de cosenos).  Funciones trigonométricas inversas18: Se introduce a los estudiantes a la inversa de funciones trigonométricas con representación tanto gráfica como simbólica. A continuación, el maestro guía paso a paso a los estudiantes en el uso de las definiciones de 15 Ibídem. 16 Ibídem. 17 Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/units/template_233.html 18 Fuente: http://mrlangemath.com/calculus/MasterMathMentorcalculusab/Unit%2040-%20Inverse%20Trig%20Functions.pdf

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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas inversa para evaluar y trazar gráficas. Provee problemas adicionales de asignación. Para más información y materiales, dirigirse a: http://mrlangemath.com/calculus/MasterMathMentorcalculusab/Unit%2040-%20Inverse %20Trig%20Functions.pdf.  Las leyes de seno y coseno ¡simplificadas!19: Esta actividad está diseñada para expandir el conocimiento de trigonometría usando la ley de senos y la ley de cosenos. Los estudiantes elaborarán una herramienta de trigonometría de triángulos para ayudarlos a visualizar las leyes de trigonometría. A continuación los estudiantes reconstruirán los triángulos por su cuenta, intercambiarán las construcciones con otros grupos y hallarán las soluciones. Corroborarán sus soluciones usando un transportador y una regla de centímetros como herramientas de medir. Necesitarán un pedazo de cartulina de color claro, marcadores rojo/azul/negro, transportador, regla y tijeras. Los estudiantes ya deben conocer el teorema de Pitágoras, así como las relaciones trigonométricas de seno, coseno y tangente con respecto a un triángulo rectángulo. Instrucciones: 1. En esta actividad se les pide a los estudiantes que hagan su propio triángulo no rectángulo y lo completen con un código de colores y razones trigonométricas escritas en su triángulo. Esto les servirá como herramienta instructiva para que la utilicen cuando estén aprendiendo por primera vez sobre la ley de senos y la ley de cosenos. o Usando un escalímetro, los estudiantes trazan una línea por el lado diagonal de una cartulina. Se forman así dos triángulos rectángulos congruentes. Recorta por la línea diagonal. Deja un triángulo de lado para usarlo después. o Usando un escalímetro, traza una línea por el triángulo rectángulo hasta el lado opuesto, dividiendo así el ángulo recto de forma tal que ya no mida 90˚. Los estudiantes deberán tener ahora un triángulo no rectángulo. o Usando un marcador rojo, pídeles que rotulen un ángulo “ángulo A”. A continuación, haz que cada estudiante coloree el opuesto del ángulo A con el marcador rojo. Completa el mismo proceso para rotular el ángulo B, y luego el lado opuesto con un marcador azul. A continuación, rotula el ángulo C y el lado opuesto con un marcador negro. o Rotula cada ángulo con una letra mayúscula, y el lado opuesto de ese ángulo con la misma letra y color, pero en minúscula.

19 Fuente: http://www.uen.org/Lessonplan/preview?LPid=19845

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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas Pídeles que volteen el triángulo y dupliquen las marcas en el dorso. Pídeles que escriban la fórmula de la ley de senos en el centro de un lado del triángulo, y que en el otro lado del triángulo escriban las tres fórmulas de la ley de cosenos. 2. Provéeles triángulos con la medida de un ángulo dada, su lado opuesto (en cm) y otra medida que escojas. Los estudiantes deberán utilizar la ley de senos y la ley de cosenos para solucionar los triángulos. 3. En parejas o grupos pequeños, los estudiantes dibujarán unos seis triángulos, lo suficientemente grandes como para que ocupen toda la página. Infórmales que deben dibujar estos triángulos con cuidado y precisión usando un escalímetro. o Los estudiantes medirán tres de las 6 partes de cada triángulo y anotarán las medidas a la derecha del dibujo. o A continuación, intercambiarán su papel con otro compañero o grupo. En el nuevo papel, los estudiantes deberán hallar las partes que faltan de cada triángulo usando el conocimiento de trigonometría que posean. Pídeles a los estudiantes que muestren todos los pasos del proceso y no dejes que usen las herramientas de medir como muletilla. o o

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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas oUna vez los grupos hayan terminado, devuélvanle el papel al propietario original. o Usando un transportador y una regla de centímetros, pídele al propietario

original que corrija las respuestas. Recursos adicionales  http://profjserrano.wordpress.com/  http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/trigoecu.pdf  http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/trigodef.pdf  http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf  http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf  Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill  Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett  Algebra I de Glencoe Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.  Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer  El matemático del rey de Juan Carlos Arce  La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy  Trigonometric Delights de Eli Maor

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