Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes explorarán los métodos generales de hacer pruebas en la resolución de problemas y formularán justificaciones para los teoremas básicos de la geometría euclidiana. Investigarán las situaciones geométricas, pondrán a prueba su validez matemática, desarrollarán contraejemplos para refutar propuestas inválidas y comunicarán su razonamiento matemático de forma organizada. Aplicarán los métodos paramétricos para representar e interpretar el movimiento de los objetos en un plano, incluido el movimiento en una línea, el movimiento proyectil y el movimiento de los objetos en órbita. Convertirán además las ecuaciones paramétricas a una ecuación rectangular para interpretar una situación en contexto. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre los teoremas de la geometría euclidiana y las ecuaciones paramétricas para interpretar, predecir y resolver situaciones reales. Estándares de contenido y expectativas Teoremas de la geometría euclidiana G.FG.11.6.1 Establece conjeturas basadas en la exploración de situaciones geométricas con o sin tecnología. G.FG.11.6.2 Establece la prueba directa o indirecta para determinar si una proposición matemática es cierta. G.FG.11.6.3 Desarrolla un contraejemplo para refutar una proposición inválida. G.FG.11.6.4 Formula e investiga la validez del recíproco de proposiciones condicionales. G.FG.11.6.5 Organiza y presenta pruebas directas e indirectas utilizando tablas de dos columnas, párrafos y flujogramas. Geometría paramétrica G.LR.11.7.1 Utiliza ecuaciones paramétricas para representar situaciones que involucran movimiento en el plano, incluyendo el movimiento en una línea, el movimiento proyectil y el movimiento de los objetos en órbitas. G.LR.11.7.2 Traduce una par de ecuaciones paramétricas a una ecuación rectangular e interpreta la situación en el contexto. G.LR.11.7.3 Investiga curvas planas, incluyendo a aquellas en forma paramétrica.

Ideas grandes/Comprensión duradera:

Preguntas esenciales:

 Las proposiciones matemáticas tienen que ponerse a prueba. Junio 2012

 ¿Cómo se sabe si una proposición matemática es cierta? 1

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas  Las investigaciones incluyen la validez de la recíproca.  Las ecuaciones paramétricas son la matemática del movimiento.  Elaborar y comunicar argumentos de forma matemática es esencial para el estudio de la geometría (euclidiana).  La geometría euclidiana y la paramétrica se informan una de la otra.

 ¿Por qué se investiga la validez de la recíproca de las proposiciones condicionales?  ¿Cómo se describe el movimiento en términos matemáticos?  ¿Cómo se comunica el razonamiento en matemáticas?  ¿Cómo se relaciona la geometría euclidiana con la paramétrica?

Contenido (Los estudiantes comprenderán...)

Destrezas (Los estudiantes podrán...)

 Las proposiciones condicionales y su  Establecer conjeturas basadas en la recíproca exploración de situaciones geométricas con o sin herramientas tecnológicas.  Métodos directos e indirectos de elaborar una prueba  Establecer la prueba directa o indirecta para determinar si una proposición  Diferentes formas de organizar y presentar matemática es cierta. el razonamiento matemático (p. ej., en dos columnas, párrafos y flujogramas)  Desarrollar un contraejemplo para refutar una proposición inválida.  Forma paramétrica  Formular e investigar la validez del Vocabulario recíproco de proposiciones condicionales.  Teoremas de la geometría euclidiana:  Organizar y presentar pruebas directas e contraejemplo, proposición inválida, indirectas utilizando tablas de dos prueba directa, prueba indirecta, columnas, párrafos y flujogramas. recíproca de proposiciones condicionales,  Utilizar ecuaciones paramétricas para refutar, supuesto, validez representar situaciones que involucran  Geometría paramétrica: curvas del plano, movimiento en el plano, incluido el ecuación rectangular, forma paramétrica, movimiento en una línea, el movimiento movimiento de los objetos, movimiento proyectil y el movimiento de los objetos en el plano, movimiento en una línea, en órbitas. movimiento proyectil  Traducir un par de ecuaciones paramétricas a una ecuación rectangular e interpretar la situación en el contexto.  Investigar curvas planas, incluyendo a aquellas en forma paramétrica. Etapa 2 – Evidencia de avalúo

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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas Tareas de desempeño

Otra evidencia

Prueba euclidiana1

Ejemplos de preguntas de examen/quiz 1. Utiliza tu calculadora gráfica para trazar la gráfica de cada una de las curvas paramétricas. Usa WINDOW [‐3, 3] x [‐3, 3]. ¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre ellas?3 x = sin 2t; x = sen 3t y = 2 cos t; y = 2 cos t 2. Si 1 es un ángulo exterior de ∆ MNP,

Los estudiantes demostrarán su comprensión de cómo probar la geometría euclidiana usando pruebas de dos columnas por medio del análisis de la ubicación del Burger King. Tarea: Las casas de Raúl (R), Ángela (A) y Beto (B) forman un triángulo isósceles con RAB como ángulo de vértice. Entre las casas de

1 Fuente adaptada de "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). 3 Fuente: http://vhs.vale.k12.or.us/sites/vhs.vale.k12.or.us/files/u27/10-11Adv2/4-13Adv2.pdf

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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas Raúl y Beto se encuentra un Burger King. Ángela piensa que el Burger King se encuentra a mitad de camino entre las casas de Raúl y Beto. Si la línea imaginaria desde el Burger King hasta la casa de Ángela es el bisector de ángulo RAB, Ángela tiene la razón. Utiliza lo que sabes sobre la geometría euclidiana para probar el enunciado de Ángela. Asegúrate de incluir: 1. Un mapa rotulado de todos los edificios, la línea bisectora y medidas de los ángulos. 2. Una prueba de dos columnas. 3. Un resumen en forma de párrafo de tu trabajo en el que incluyas si Ángela tiene la razón o no.

demuestra que m 1 > m 4 y m 1 > m 3.4

Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).

2. Ines está intentando ver cuán lejos puede lanzar una flecha con su nuevo arco. Lanza la flecha a 3.5 pies sobre el suelo a un ángulo de 52° sobre la línea horizontal a una velocidad inicial de 30 pies por segundo. En el momento en que suelta la flecha, un viento de 2 m/hr (aproximadamente 2.933 pies/seg) sopla desde el este, oponiéndole resistencia a la flecha.6

Funciones paramétricas2 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las ecuaciones paramétricas al representar situaciones que impliquen movimiento en el plano y al traducir un par de ecuaciones paramétricas a una ecuación rectangular. Los estudiantes crearán un afiche que ilustre lo que saben.

M

N

P 1. Halla la ecuación rectangular equivalente de las ecuaciones definidas de forma paramétrica a continuación:5

Un piloto del Departamento de Manejo de 2 Fuente: Adaptado de "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). 4 Fuente: "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). 5 Ibídem. 6 Ibídem.

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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas Peces y Vida Silvestre abastece un área de peces al sobrevolar el área y soltar los animales. La ruta de los peces usa como modelo estas ecuaciones paramétricas: x = 120t (distancia horizontal -en metros- desde donde fueron liberados, t segundos después) y=80 - 4.0t2 (altura -en metros- sobre tierra, t segundos después). 1. Escribe una ecuación de y en términos de x. 2. ¿Qué distancia desde el lago deben estar los peces para ser liberados desde el avión para poder alcanzar el punto meta de 3 km de un lado a otro del lago? 3. ¡Oh no! Las lluvias de abril fueron anormalmente bajas este año y el diámetro es de 5 km menos de lo usual. Asumiendo que el punto meta es el punto equidistante del lago, ¿a qué altura hay que liberar los peces para que alcancen el punto meta en este nivel de agua anormalmente bajo? Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).

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a. Las ecuaciones paramétricas que representan la trayectoria de la flecha están dadas por x(t) = 15.537t, y(t) = 23.64t – 16t² + 3.5. Halla la ecuación rectangular equivalente para la trayectoria de la flecha. (Nota: Estas ecuaciones paramétricas son aproximaciones.) b. ¿Cuál es la altura máxima de la flecha? Diario 1. Describe una situación en que hayas tenido varias experiencias que te llevaron a hacer una conjetura verdadera. Describe una situación en que hayas tenido varias experiencias que te llevaron a una conjetura falsa. 2. Hoy aprendí ________________ sobre las funciones paramétricas. 3. Dudas que aún tengo sobre las funciones paramétricas: ___________________4. ¿Qué son las funciones paramétricas? Provee cinco ejemplos de cómo describen la vida real.

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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas 5. Discute la curva definida por las expresiones paramétricas:7 6. Hoy aprendí ________________ sobre la geometría euclidiana. 7. Dudas que aún tengo sobre la geometría euclidiana: ___________________. 8. Dado el siguiente enunciado: Si una figura fuese un triángulo, entonces tiene ángulos de 90˚ o menos. Indica si el enunciado recíproco es cierto o falso. Justifica tu respuesta. 9. x = 3t2 y = 2t cuando: -2 ≤ t ≤ 2. Boletos de entrada/salida 1. Traza la gráfica de la curva del plano en forma paramétrica por: 8 x = 8cosθ y = 4senθ Identifica la curva al eliminar el parámetro θ. 2. En un punto a diez yardas de un gol de fútbol, Roberto, quien está centrado con el gol, patea la bola justo en el centro (desde el suelo) a un ángulo de 20° sobre la línea horizontal y a una velocidad de 50 pies/seg directamente hacia el gol (véase la figura).

Las ecuaciones paramétricas que 7 Fuente: "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). 8 Ibídem.

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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas representan la trayectoria de la bola están dadas por x = 46.985t y = 17.101t – 16t² donde x y y están medidas en pies. (Nota: Estas ecuaciones paramétricas son aproximaciones.)9 a) Halla la ecuación rectangular equivalente para la trayectoria de la bola de fútbol. b) Si la bola de fútbol alcanza los 8 pies de altura, y no hay nadie protegiendo el gol (el jugador se encuentra practicando su pateada), ¿mete la bola en la red? 3. Utiliza las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria de una bola de béisbol bateada a 4 pies del suelo a un ángulo de 30°, si su velocidad es de 100 pies/seg.10

a. ¿Cuánto tiempo tomará para que la bola caiga al suelo? b. ¿Cuán lejos del bateador estará la bola cuando caiga al suelo? c. ¿Sobrepasará la bola una verja de 20 pies que está a 250 pies del bateador? 4. Después de dibujar varios polígonos convexos, indica la razón entre la suma de 9 Fuente: "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). 10 Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module5/problems_5D.pdf

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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas los ángulos exteriores. 11

Etapa 3 – Plan de aprendizaje

Actividades de aprendizaje  Tarjetas de repaso de funciones paramétricas12: Los estudiantes reconocerán y parearán funciones paramétricas básicas dada una gráfica o la notación simbólica de la función. (ver anejo: 11.6 Actividad de aprendizaje - Tarjetas de repaso de funciones paramétricas).  Carrera de gráficas de funciones paramétricas13: En parejas, los estudiantes practican a trazar gráficas de ecuaciones paramétricas. El maestro debe revisar cada gráfica antes de que el grupo pueda pasar al próximo conjunto de ecuaciones. Comienza con el número adecuado de gráficas en función del nivel de destreza que tengan los estudiantes y añade gráficas a medida que progrese la unidad. El primer grupo que termine con el número correcto de gráficas ¡gana! (ver anejo: 11.6 Actividad de aprendizaje - Carrera de gráficas de funciones paramétricas).  Enigma de razonamiento deductivo14: Los estudiantes trabajan en grupos pequeños para resolver el enigma de razonamiento deductivo. Recuérdales a los estudiantes las destrezas de razonamiento deductivo usadas por Sherlock Holmes para resolver misterios, por medio de la lectura de pasajes de las historias de Sherlock Holmes leídos por el maestro o por los estudiantes. No ayudes a los grupos a resolver el misterio. Una vez hayan estado trabajando en ello durante un tiempo, pídeles a los miembros de la clase que discutan las estrategias que emplearon para resolver el enigma. A continuación, dales a los estudiantes una copia del razonamiento deductivo con una cuadrícula y déjalos trabajar en el problema un poco más. Discutan el uso de gráficas y cómo pueden ser útiles. Discutan qué destrezas 11 Fuente: "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). 12 Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module5/Activity_5AB.pdf 13 Fuente: http://hollywoodhighschool.net/apps/pages/index.jsp? uREC_ID=116947&type=u&termREC_ID=&pREC_ID=210421

14 Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html Junio 2012

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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas o estrategias piensan los estudiantes que son necesarias para solucionar el problema y qué herramientas los ayudarán a resolverlo. En concreto, repasa con los estudiantes las tablas de dos columnas y los flujogramas que usaron en las pruebas geométricas previamente, puesto que las usarán de nuevo en esta unidad. (ver anejo: 11.6 Actividad de aprendizaje Misterio de razonamiento deductivo)  A divertirse con los ángulos15: Los estudiantes repasarán las relaciones entre ángulos formados por la intersección de dos líneas paralelas y una transversal. Provéeles una gráfica similar al Diagrama 1 (a continuación) en que las líneas a y b sean paralelas y un número que represente la medida del ángulo 1. Pídeles a los estudiantes que hallen la medida de todos los demás ángulos numerados en el diagrama y provee una justificación de cada medida hallada (p. ej., si la medida del ángulo 1 es 105˚, la medida del ángulo 5 es 105˚, puesto que los ángulos 1 y 5 son ángulos correspondientes). Los estudiantes entonces deberán proveer un argumento convincente de que los pares de ángulos son o congruentes o suplementarios (p. ej., dado que las líneas a y b son paralelas, prueba que los ángulos 1 y 7 son suplementarios), sin usar medidas de ángulos. Pueden elaborarse pruebas un poco más difíciles usando diagramas similares al Diagrama 2.

 Imágenes paramétricas16: Los estudiantes aprenden cómo usar la función "paramétrica" de sus calculadoras gráficas al crear una imagen usando funciones paramétricas. Pídeles a los estudiantes que tracen la gráfica de la calabaza a continuación en una calculadora gráfica primero; a continuación, deberán hacerla por su cuenta. Los estudiantes deberán crear una imagen usando por lo menos cuatro ecuaciones paramétricas y demostrar a) el conjunto de ecuaciones, b) ajustes necesarios en la gráfica, y c) un boceto de la imagen graficada con escalas. La imagen puede ser una que ellos escojan o una réplica de una imagen, como la 15 Ibídem. 16 Fuente: http://hollywoodhighschool.net/apps/pages/index.jsp? uREC_ID=116947&type=u&termREC_ID=&pREC_ID=210421

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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas calabaza de ejemplo aquí abajo. Ejemplo: Traza la gráfica de la imagen a continuación en una calculadora gráfica. Traza los puntos en modo paramétrico y desactiva los ejes. No uses Zoom Square.

tstep = 0.25 Proposiciones condicionales: Utiliza la técnica de Piénsalo-Emparéjate-Compártelo para introducir a los estudiantes en el concepto de las propuestas condicionales y su recíproca. Escribe una proposición condicional en la pizarra y la pregunta "indica si la recíproca es cierta o falsa. Justifica tu respuesta". Pídeles a los estudiantes que primero piensen en la respuesta a la pregunta de forma individual. A continuación, pídeles que discutan sus respuestas con un compañero (emparéjate); finalmente, pídeles que compartan sus respuestas con la clase (compártelo). Asegúrate de preguntarles a todos los grupos si usaron razonamientos o justificaciones distintos y dialoguen todos juntos sobre por qué si o por qué no. Ejemplos para planes de la lección  Hallar las medidas de segmento y ángulo de forma analítica17: Los estudiantes organizan y presentan sus medidas de segmento y ángulo halladas de forma analítica usando una tabla de dos columnas y un flujograma. Los estudiantes redactan entonces un párrafo en que describan su prueba. 1. Repasa el símbolo correcto para denotar la medida de un segmento de línea. Asegúrate de señalar las diferencias entre los símbolos y AB) y sus significados. 2. Introduce el Postulado de la suma de segmentos que establece que "si A, B y M son puntos colineales y M se encuentra entre A y B, entonces AM + MB = AB". Introduce también el teorema de los puntos equidistantes que establece que "si M es el punto medio de AB, entonces AM ≅ MB”. 3. Deben proveérseles varias oportunidades a los estudiantes para que hallen las medidas de segmentos que impliquen expresiones algebraicas al emplear el postulado de la suma de segmentos y el teorema del punto equidistante. Por ejemplo: Si A se encuentra entre C y T, CA = 2x + 5, AT = 5x − 2, y CT = 8x − 2, halla x y AT. Solución: Usando el postulado de la suma de segmentos, sabemos que CA + AT = CT, por lo que x = 5 y AT = 23 unidades. 17 Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html Junio 2012

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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas 4. Además de hallar las medidas de segmentos de forma analítica, los estudiantes deberán trabajar con el Postulado de la suma de ángulos que establece que “si R está en el interior de ∠PQS, entonces m ∠PQR + m ∠RQS = m ∠PQS”. Los estudiantes deben trabajar los problemas en que tengan que hallar las medidas de varios ángulos con y sin álgebra. Pídeles además que usen la definición de bisector de ángulo (si es un ángulo bisector de ∠RPS, entonces Q está en el interior de ∠RPS y ∠RPQ ≅ ∠SQP) para hallar las medidas de los ángulos usando álgebra. 5. Demuestra cómo se usa una tabla con dos columnas y un flujograma para que los estudiantes presenten sus hallazgos. Instruye a los estudiantes paso a paso sobre los elementos necesarios para redactar una descripción de sus hallazgos en forma de párrafo .  Pruebas con historias en cadena 18: Los estudiantes trabajan con pruebas al crear una historia matemática modificada para completar una prueba basada en geometría euclidiana. En esta lección, se hace hincapié en proveer un argumento convincente y fácil de seguir por medio de razones, en vez de usar un formato particular (flujograma o tabla). 1. Provee un par de ejemplos de pruebas con argumentos convincentes y fáciles de seguir y argumentos poco convincentes y rebuscados. Identifiquen elementos de los argumentos convincentes y fáciles de seguir juntos como clase. Diles a los estudiantes que su enfoque para el día será asegurarse de que los argumentos geométricos sean tanto convincentes como fáciles de seguir. 2. En grupos de tres a cuatro estudiantes, cada miembro debe tomarse turnos escribiendo un enunciado y una razón para la prueba. El primer miembro escribe el primer enunciado y razón. El segundo lee el enunciado de la primera persona y la razón y decide si es lógico. A continuación, él o ella añade su propio enunciado y razón. El proceso continúa hasta que se haya escrito toda la prueba. Cada vez que un miembro recibe la prueba, él o ella deberá leer la prueba completa para asegurarse de que está de acuerdo con la lógica y fluidez de esta. Si a alguna persona en el grupo le preocupa algo de la información previa, debe ayudar a su compañero(a) a corregir el enunciado y luego añadir su nueva información. Los grupos deben poder usar una prueba con dos columnas, una prueba en forma de párrafo o una prueba con flujograma. 3. Busquen que las pruebas estén correctas. Cuando la mayor parte de los grupos hayan completado sus pruebas, anímalos a que discutan sus ideas con otros grupos. En este punto, los estudiantes deben preguntarse los unos a los otros si piensan que hay errores en alguna parte de su trabajo. 18 Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html

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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas 4. Elige tres grupos distintos para escribir una prueba particular (correcta) en la pizarra. Discutan variaciones y semejanzas de las tres pruebas con toda la clase, y hablen de los pasos extra que podrían añadirse u omitirse.  Introducción a las funciones paramétricas19: Los estudiantes realizan una aplicación del mundo real y recopilan datos para el salón de clases. Los datos recopilados se usarán en el salón de clases para introducir de forma intuitiva las ecuaciones paramétricas. Se les pedirá a los estudiantes que saquen conclusiones sobre los datos y sus representaciones a partir de conocimiento previo. Se les mostrará además cómo pueden usarse las ecuaciones paramétricas en un modelo no lineal. Materiales: espacio grande como una cancha, cinta adhesiva protectora, hilo de tejer, dos cronómetros, cinta métrica de 100 pies, papel cuadriculado, hojas con tablas para anotar datos y tarjetas de tarea grupal (ver anejo: 11.6 Ejemplo para plan de lección - Introducción a las funciones paramétricas). Instrucciones: 1. En un espacio grande, como en una cancha, el maestro coloca una cuadrícula trazada en el suelo para que los estudiantes la usen antes de clase. 2. Asígnale un número a cada estudiante para que se dividan en cinco grupos. A cada grupo se le dará una tarjeta con la tarea de la actividad. (Alternativa: Si cuentas con más espacio, funcionaría mejor hacer que los estudiantes se separen en grupos de cinco en que cada persona tenga su propia tarea, en vez de que haya una tarea por grupo.) 3. Explícales lo siguiente: Estamos en una tarima. Los artistas de escenario tienen una cantidad limitada de recorridos. En la danza, el coreógrafo puede pedirle a dos bailarines que se crucen corriendo. En esta situación, cada bailarín debe conocer su trayecto para que no se choquen durante la danza. En el teatro, el director podría pedirles a dos actores que corran el uno hacia el otro. En algunas funciones se requiere que ambos actores caminen hacia atrás en el escenario para que puedan encontrarse. Nuevamente en ambos casos cada cual debe saberse su trayectoria. Vamos a trazar unos cuantos trayectos posibles que podrían recorrerse en un escenario. 4. Preguntas guiadas para esta actividad:  Los trayectos se cruzan, ¿pero significa esto que se chocarían?  ¿Cuáles son las variables que afectaron cada trayecto? (tiempo, distancia y velocidad) 5. En grupos, los estudiantes enumeran los datos recopilados en una tabla en la pizarra. 6. Introduce el término "paramétrico" y dales el contexto (x y y respecto de t aparte). Entonces se le presentará el siguiente problema a la clase: ¿cómo puedes usar esta información (punto inicial, punto terminal, tiempo) para crear un grupo de gráficas y 19 Fuente: http://parametricequationsintro-lessonstudy.wikispaces.com/

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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas ecuaciones que representen los datos? 7. La clase seleccionará un conjunto de datos y comenzará a trabajar en el problema en grupos. La clase tendrá unos 10 minutos para lidiar con el problema, intentando usar su conocimiento para hallar soluciones a la pregunta. 8. Tengan una discusión en clase del problema e ideas de técnicas para solucionarlo. 9. Los estudiantes combinan las ecuaciones paramétricas en una ecuación cartesiana y trazarán la gráfica de la ecuación en una gráfica aparte. 10. Conecta sus resultados con la actividad al comparar la gráfica cartesiana elaborada por ellos en su propia imagen de la gráfica del gimnasio. 11. Discutan los puntos intersecantes, así como si las personas que se desplazan se chocarían y qué determina si se chocan o no. (Tiempo como variable independiente, velocidad, d=r/t). 12. Se les dará otro conjunto de datos a los grupos para completarlo en clase.  Lanzamiento de los anillos: Esta lección está diseñada para introducir las ecuaciones paramétricas. Los estudiantes usarán una calculadora gráfica para generar valores numéricos y trazar gráficas de ecuaciones paramétricas para hacer modelos del movimiento de un anillo en un juego de lanzamiento de anillos. Para más información, dirigirse a www.dlt.ncssm.edu/AFM/lessons/ring_toss.doc.  Lanzamiento20: Esta lección sirve para realmente consolidar la comprensión de la distinción entre seguir la trayectoria de la bola frente a seguir su altitud, a la vez que se investiga una relación cuadrática. Puede que sea necesario ilustrar unos cuantos ejemplos a modo de repaso o introducción de las ecuaciones paramétricas y su significado antes de comenzar con esta actividad. Esto ayudará a solidificar la confianza y comprensión de los estudiantes en cuanto a las ecuaciones paramétricas. Asegúrate de discutir lo que cada una de esas variables y el parámetro representan en la situación. Pregúntales: Si se cambiara el valor constante de x, ¿cómo afectaría esto la altitud de la bola con respecto al tiempo? Asocia la situación física con la parte matemática. Ayúdales a los participantes a hacer la asociación de que en este caso la aceleración, debido a la gravedad, aparece nuevamente como las segundas diferencias. Las primeras diferencias muestran que la tasa de cambio no es constante, que esta está en cambio constante. La tasa de cambio, la velocidad, cambia a un ritmo constante, llamado aceleración. Para más información, dirigirse a: http://www.utdanacenter.org/highered/alg2/downloads/IV-B-CourseContentAlgII/AlgII_31-2.pdf

20 Fuente: http://www.utdanacenter.org/highered/alg2/downloads/IV-B-CourseContentAlgII/AlgII_3-1-2.pdf

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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas Recursos adicionales  http://profjserrano.wordpress.com/  http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf  http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf  Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill  Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett  Algebra I de Glencoe Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.  Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer  El matemático del rey de Juan Carlos Arce  La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy

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