UNIDAD 2 HIDRAÚLICA. GENERALIDADES Capítulo 2 PRESIONES EN LOS LÍQUIDOS : HIDROSTATICA

SECCIÓN 2 : EMPUJES SOBRE SUPERFICIES PLANAS Y CURVAS CÁLCULO DEL EMPUJE EN SUPERFICIES PLANAS Una superficie plana sumergida en un líquido con peso específico γ se encuentra sometida a una fuerza o empuje originado por la presión que actúa sobre ella. En cada elemento diferencial de superficie actúa una fuerza de presión normal a ella, de valor dF = pdS y por tanto paralelas entre sí, su resultante, cuyo valor vamos a calcular constituye el empuje F = E total del líquido sobre una superficie plana de área S, y a su punto de aplicación sobre ésta superficie le llamamos“centro de empuje”, que calcularemos mediante el momento de cada una de las presiones elementales que deberá ser igual al momento de la resultante. (Véase ejemplos) En este estudio vamos a considerar tres casos de progresiva complejidad para deducir finalmente el caso más general del problema. a) Consideremos una superficie horizontal S situada a una profundidad “ y “ de la superficie libre. en este caso la presión está repartida uniforme y su valor es: p=γy el valor de la resultante es E=F=pS=γyS su punto de aplicación coincide con el centro de gravedad de la superficie. b) Supongamos ahora una superficie vertical de área S (fig.2.12) En este caso la presión no es uniforme como anteriormente, varía según la profundidad tal como hemos estudiado en la figura 2.2

X

O

Y YC

X dS XC

C

Y

Fig.2.12

Para calcular el empuje consideremos un elemento dS de la superficie situado a una profundidad y. El empuje E valdrá: dE = pdS = γ y dS

∫

E = p dS = s

∫ γ ydS = λ ∫ ydS = γ M s

s

e

= γS y g

La última integral representa en mecánica la expresión de un momento estático, en este caso respecto al eje X, que equivale al producto de una superficie considerada por la distancia a su centro de gravedad S yg . Siendo yg la profundidad del centro de gravedad, por otra parte el producto γ yg es la presión, pg en el centro de gravedad , con lo que podríamos expresar el resultado anterior de la siguiente forma: E = pg . S Por tanto el empuje al que se encuentra sometida una superficie vertical S sumergida en un líquido de peso especifico γ y cuyo centro de gravedad se encuentra respecto de la SLL a una distancia yg vale c) Veamos el caso más general que es cuando la superficie sumergida forma un cierto ángulo con la SLL

O

SLL

α A

h

dE

y

E

yce

CE

dy

Y'

B

x

X

hce

Y Fig.2.13

AB representa una superficie plana cualquiera sobre la que actúa un fluido y que forma un ángulo α con la horizontal, tal como se observa en la figura fig.13. Tomamos un área horizontal infinitesimal de forma que todos sus puntos están situados a la misma distancia ‘y’ del punto ‘o’, por tanto a la misma profundidad h de la superficie libre del líquido, SLL. El empuje (fuerza) que actúa sobre esta área elemental dS es igual al producto de la presión p por el área dS,: dE = p dS = γ h dS

Sumando todas las fuerzas elementales y considerando que h = y sen α, E = ∫ γ h dS = ∫ γ ( y sen α ) dS = ( γ sen α ) ∫ y dS = ( γ sen α ) y G S

donde γ y α son constantes, como:

∫ y dS = y

G

S

además: h G = y G sen α

deducimos, simplificando sen α E = γ h GS

Para situar el empuje E mediante la coordenada yce, que llamaremos centro de empuje (c.d.e.), tomamos momentos, respecto del eje OX, perpendicular al papel y por tanto intersección del plano que contiene la superficie en estudio con la SLL (en la figura se observa el alzado y su abatimiento). Todas las distancias y, están referidas a este eje. La suma de los momentos de todos los empujes elementales respecto del eje OX es igual al momento del empuje E. ∫ dE y = E y ce

Pero

dE = γ h dS = γ y sen α dS

y

E = γ sen α y G S .

Por ello,

γ sen α ∫ y 2 dS = ( γ sen α )( y G S) y ce

∫y

2

dS = I xx '

, es el momento de inercia del área plana respecto del eje OX, simplificando

obtenemos:

I xx ' = yce y GS

y G S , es el momento estático Me de la superficie considerada respecto a XX’. y ce =

I xx ' M exx '

Recordando el Teorema de Steiner: I xx ' = IG + S y G2 y ce =

I G + S y G2 I I = G = G + yG y GS y GS y GS

Nos indica que la posición del empuje está siempre por debajo del centro de gravedad respecto a SLL, lo que es lo mismo, (yce – yG) > 0, puesto que IG es positivo. La coordenada xce del centro de empuje con respecto al eje YY’, la calculamos considerando el área elemental dS, cuyo valor es (dx dy). Tomando momentos respecto del eje YY’ y llamando xce a la distancia donde se encuentra situado el empuje E, repecto al eje YY’: E x ce = ∫ dE x ( γ h G S) x ce = ∫ p (dx dy) x = ∫ γ h (dx dy) x ( γ sen α)( y G S) x ce = ( γ sen α) ∫ xy (dx dy)

Como h = y sen α, la integral representa el producto de inercia del área plana respecto de los ejes X e Y, IXY. Por tanto, x ce =

I xy y GS

=

( I xy ) G y GS

+ xG

Si cualquiera de los ejes fuera un eje de simetría de la superficie plana, Ixy, sería nulo y la coordenada del centro de empuje, xce, estaría sobre el eje Y que pasa por el centro de gravedad, estaríamos en el caso particular anterior. Téngase en cuenta que el producto de inercia respecto de un sistema de ejes que pasa por el centro de gravedad (Ixy)G, puede ser positivo o negativo y xce, centro de presión, podría situarse a uno u otro lado del eje y. Ejemplos 2.6 Un depósito rectangular contiene 5400 litros de agua y la sección transversal del mismo es 3 x 1,2 m. Determinar: a). La profundidad del agua. b). El empuje en el fondo. c). Los empujes en las paredes laterales y el c.d.e.

Solución: a).Del volumen y de la superficie dadas, obtenemos la altura: V = S ·h

;

5,4 = 3 ·1,2 ·h

;

h = 1,5 m

b).Empuje en el fondo:

Efondo= γ · hG · S = 103·1,5·3·1,2 = 5400 Kp

c).Empuje en una pared de 1,5 x 3:

E1= 103· 0,75 · 3 · 1,5 = 3375 Kp

Empuje en la otra pared de 1,5 x 1,2:

E2= 103· 0,75 · 1,5 · 1,2 = 1350 Kp y ce =

2 2 h = 1,5 = 1 m 3 3

2.7 Calcular el empuje E y el c.d.e. debido a la acción del agua sobre la superficie plana rectangular AB de 6 m de altura y 3 m de ancho, situada a una profundidad de 4 m.

O1

SLL 4m

3m

A 6m B

Solución:

E = γh GS = 1000·( 4 + 3) ·( 6 · 3) = 126 ·103 Kp = 1236,1 kN

El empuje actúa sobre el centro de empuje, que está a una distancia yce del eje O1 y es igual a: 3 · 63 I y ce = G + y G = 12 + 7 = 7,43 m de O1 y GS 7 · 3· 6

Otra forma de obtener yce: 3 ·6 3 + 18 ·7 2 I y ce = O1 = 12 = 7,43 m de O 1 yGS 7 ·3 ·6

2.8 Calcular el c.d.e. de un triángulo isósceles, sumergido verticalmente en un líquido, con base horizontal coincidente con la superficie libre.

b C x'

B

x

yce h/3

y

G C

h

x

D

E

dy

A

Solución:

yG =

h 3

; IG =

bh 3 36

Aplicando el Teorema de Steiner obtenemos Ixx a partir de IG: 2

I xx ' =

bh 3 bh  h  bh 3 +   = 36 2 3 12 y ce =

; M exx ' =

bh h bh 2 = 2 3 6

bh 3 h y ce = 122 = bh 2 6

I xx ' M exx '

2.9 Calcular el c.d.e. (yce) de un triángulo ABD como el de la figura, conocido su IG .

SLL

x A

yce

x' c

h

GG C D

b

B

Solución: Momento de inercia respecto al c.d.g.: IG =

bh 3 36

;

distancia de G a xx’ = (2/3)h + c

Momento de inercia y estático respecto a XX’

I xx ' =

bh 3 bh  2  +  h + c 36 2 3 

M exx ' =

2

bh  2   h + c 2 3 

Centro de empuje yce y ce =

I xx ' M exx '

y ce = c +

h  4c + 3h    2  3c + 2h 

2.10 Calcular el c.d.e. (yce) de un círculo de radio r, sumergido verticalmente en un líquido, conocido su IG . y

x

x' r

yce

G

y' Solución:

Utilizando la ecuación general para calcular yce y ce =

I xx ' M exx '

=

I G + S y G2 Sd

Momento de inercia respecto al c.d.g. y momento estático respecto a XX’ IG =

πr4 4

yG = r

M exx ' = πr 2 r = π r 3

Centro de empuje yce: πr 4 + πr 2 r 2 5 y ce = 4 = r π r3 4

2.11 Determinar el empuje y el c.d.e. en una ataguía AB construida para cimentación, en los siguientes supuestos:

a). Se inunda una cara hasta 4,80 m. b). Se inunda una cara hasta 4,80 m y la otra a 2,80 m. (Se considera una longitud de 1 m).

a A

A A'

b'' 4,8 m

E C B

D

E' D

b

4,8 m b'

4,8 m

SLL'

ER d 1,95 m

3,2 m

4,8 m

SLL

B

0,93 m 2,8 m

SLL

D' 2,8 m

Solución:

a). El c.d.e. es:

y ce =

2 2 h = 4,8 = 3,2 m respecto de SLL (punto C). 3 3 E = γ h G S = 10 3 ·2,40 ·4,80 ·1 = 11,52 ·10 3 Kp

Se puede llegar al mismo resultado gráficamente: Llevamos BD = AB = 4,8 m. La superficie representativa del empuje E sobre la ataguía AB, es el área del triángulo rectángulo ABD, cuyo valor es: E=

1 4,8· 4,8·10 3 = 11,52 ·10 3 Kp 2

que actúa en AB, por 1 m de longitud. El punto de aplicación de E es C, que es el baricentro del triángulo 2/3 AB = 2/3 4,8 = 3,2 m. b). Empuje E cara izquierda: E = 11,52 · 103 Kp; C c.d.e. yce = 3,2 m Empuje E’ cara derecha: E’ = 103· 1,40 · 2,80 = 3,92 · 103 Kp y' ce =

2 ·2,8 = 1,87 m 3

1 ·2,8 ·2,8 ·10 3 = 3,92 ·10 3 Kp ; 2 2 y'ce = · 2,8 = 1,87 m , respecto a SLL’. 3

Gráficamente:

E' =

Empuje resultante, ER:

ER = E – E’ =11,52·103 - 3,92·103 = 7,6 · 103 Kp

La situación de ER, y 'ce' la calculamos tomando momentos respecto al punto B de la solera: 11,52 ·1,60 − 3,92 ·0,93 − 7,6 y 'ce' y 'ce' =

14,786 = 1,945 m ≅ 1,95 m 7,6

CALCULO DEL EMPUJE SOBRE SUPERFICIES CURVAS En una superficie curva, el sistema de fuerzas elementales de presión no puede reducirse a un vector único, sino una resultante que será el empuje. El cálculo del empuje o resultante en superficies curvas se reducirá al cálculo de una componente horizontal Eh y una componente vertical Ev, el empuje total será la resultante de ambos vectores. En ingeniería se manejan superficies de revolución con plano de simetría, destacan por su interés las cilíndricas con generatrices horizontales o verticales, en otro tipo de curvas no simétricas el problema será más complicado.

Empuje sobre una superficie curva, con el diagrama de presiones Fig. 2.14

En la superficie curva de la fig. 2.14 como en cualquier otra, existirá un empuje horizontal Eh cuyo cálculo es exactamente igual que si fuese una superficie plana en posición vertical. Eh = ½ γ h 2 y un empuje en dirección vertical Ev que será la resultante por una parte del peso del líquido que gravita sobre la superficie cilíndrica AA”O , que denominamos EOA y por otra parte el empuje vertical y hacia arriba que experimenta la superficie AA”OB, que calculamo por Arquímedes que denominamos EOB. Ev = EOA - EOB En el caso de superficies semicilíndricas o semicirculares, la superficie AA”O no existiría, con lo que solamente existiría el empuje

Ev que obtendremos por el principio de

Arquímedes, como vamos a ver en el ejemplo. El empuje total valdrá:

E=

E 2h + E 2v

Hay que tener en cuenta, que hemos considerado cilindros o superficies de longitud unidad, en caso contrario hay que multiplicar los empujes por L, largo de la superficie.

2.12 Calcular y situar, por metro de longitud, el empuje E y sus componentes Ex y Ey debido a la acción del agua sobre la compuerta de sector AB. A

C

X

6m

y ce Ex

B XG

Ey

Y

Solución: El empuje E actúa normalmente a la superficie AB, por tanto, podemos descomponer E en una componente horizontal Ex y una vertical Ey. Empuje actuante sobre la proyección vertical, Ex:

que actúa a:

6 E X = γh GSCB = 103 ·( 6 ·1) = 18 ·103 2 2 y ce = ·6 = 4 m de C 3

Kp

Empuje actuante sobre la proyección horizontal, Ey: Peso del volumen de agua desalojado por la compuerta de sector AB: E y = 103 ·

π · 62 = 28,27 ·103 4 ·1

Kp

situado en el centro de gravedad del volumen de líquido. El centro de gravedad del cuadrante de un círculo vale: xG =

4 r 3π

Por tanto: xG =

El empuje E valdrá:

4· 6 = 2,55 m 3π

E = E 2H + E 2y = (18 ·103 ) 2 + (28,27 ·103 ) 2 = 33,51·103

Kp

Observación: Como los empujes elementales dE, actúan en dirección normal a la curva AB, su línea de acción pasa por el eje C. La fuerza resultante E, también pasará por C. Para comprobarlo, basta con tomar momentos respecto de C, para obtener:

∑ M C = − (18 ·4) + (28,27 ·2,55) ≅ 0 Luego el punto C se encuentra en equilibrio. Esto implica que la compuerta no gira por los empujes considerados.