UNIDAD 2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN

Germán E. Rincón

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. Formas de describir un fenómeno  Tablas y gráficos  Números

2. Concepto de medida en Estadística 3. Objetivo de la medidas en Estadística 4. Repaso de los conceptos de parámetro y Estadístico

5. Clases de medidas en estadística  Medidas de tendencia central  Medidas de tendencia no central o de posición  Medidas de dispersión

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

6. Concepto de medidas de Tendencia Central 7. Concepto de Medidas de Tendencia no central o de posición 8. Concepto de Medidas de Dispersión

9. Cálculos diferentes para poblaciones y muestras 

Símbolos para parámetros y estadísticos

10. Cálculos para datos no agrupados y datos agrupados

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

11. Clases de medidas de Tendencia Central   

La media La mediana La moda

12. Clases de medias   

La media aritmética simple La media aritmética ponderada La media geométrica

13. Media aritmética simple  

Datos no agrupados Datos agrupados

MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE PARA DATOS NO AGRUPADOS

 Para poblaciones:  Para muestras:  EJEMPLO Las comisiones que un vendedor ha recibido en los 6 primeros meses del año se presentan en la siguiente tabla Ingresos MES

(Miles de $ )

Enero

800

Febrero

950

Marzo

920

Abril

1000

Mayo

830

Junio

900

MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE PARA DATOS NO AGRUPADOS

MES Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio SUMA

Ingresos (miles de $) 800 950 920 1000 830 900 5400

Concepto de promedio Interpretación: Es como si ………….

MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE PARA DATOS AGRUPADOS

Para poblaciones:

Para muestras: Ejemplo : Una muestra del valor de las facturas que se cancelan con tarjeta de crédito en un almacén Ventas / factura (Miles de $) 30 36 36 42 42 48 48 54 54 60 60 66 SUMA

No. De Facturas 25 38 49 51 32 29 224

MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE PARA DATOS AGRUPADOS Ventas / factura No. De (Miles de $) Facturas 30 36 25 36 42 38 42 48 49 48 54 51 54 60 32 60 66 29 SUMA 224

xi 33 39 45 51 57 63

xiFAi 825 1482 2205 2601 1824 1827 10764

Interpretación: Es como si…………………..

PRÁCTICA EN CLASE ( 1 )  

Funciones estadísticas de las calculadoras Ejemplo datos no agrupados La duración en horas de un componente electrónico se presenta en la siguiente tabla: 1005 1445

1482 1442

Calcular la media  Interpretar el resultado 

1486 1716

PRÁCTICA EN CLASE ( 2 ) 

Ejemplo datos agrupados El consumo de gasolina, en un día, de una muestra de 200 vehículos de servicio público Consumo/vehículo (Miles de pesos) 64 66 66 68 68 70 70 72 72 74 74 76 76 78

No. de vehículos 1 7 43 67 59 19 4 200

65 67 69 71 73 75 77

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

 Datos no ponderados Prueba Quiz No.1 Quiz No.2 Quiz No.3 Promedio

Nota 3,5 4,1 2,4 3,3

 Datos ponderados Asignatura Nota Final

Créditos

A

4,9

2

B

3,1

4

C

3,0

3

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Expresión para la media aritmética ponderada:

Aplicando al ejemplo: Nota Final Créditos Asignatura xi wi A 4,9 2 B 3,1 4 C 3,0 3 SUMA 9

xiwi 9,8 12,4 9,0 31,2

Interpretación: Es como si….

PRÁCTICA EN CLASE ( 3 )

En una fábrica se pagan los siguientes salarios por hora: Sección del taller Corte Armado Terminado Total

No. De operarios 12 29 46 87

Salario por hora $ 3.150 $ 2.734 $ 2.510

¿Cuál es el salario promedio por hora? Interpretación: Es como si……………..

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

 El cálculo de la media aritmética tiene en cuenta todos los valores de la variable en estudio registrados  A todas las variables cuantitativas se les puede calcular la media aritmética  Un conjunto de datos sólo tiene una media  La media permite hacer comparaciones entre poblaciones o muestras  La media se puede trabajar matemáticamente  La media es afectada por los valores extremos  No se puede calcular la media en distribuciones de frecuencias que tienen clase de extremo abierto

LA MEDIA GEOMÉTRICA

 Caso de presentación  Expresión de la media geométrica:

 Solución al caso de presentación  Usos de la media geométrica  Casos de la media geométrica: Valores en porcentaje Valores absolutos

EJEMPLO DE MEDIA GEOMÉTRICA (VALORES EN PORCENTAJE)

La rentabilidad de un título valor ha estado variando en las últimas semanas como se presenta en la siguiente tabla: Semana 1 2 3 4 5 6

Rentabilidad % 3 1 -2 0,7 1,5 1

¿A qué tasa promedio semanal ha estado variando la rentabilidad de este título?

EJEMPLO DE MEDIA GEOMÉTRICA (VALORES EN PORCENTAJE) Semana 1 2 3 4 5 6

Rentabilidad % 3 1 -2 0,7 1,5 1

FC 1,03 1,01 0,98 1,007 1,015 1,01

G = 1,008557 (Factor de crecimiento promedio)

Tasa promedio = (1,00857- 1)100 = 0,857 = 0,9% semanal

EJEMPLO DE MEDIA GEOMÉTRICA (VALORES ABSOLUTOS)

Ejemplo : Las ventas anuales de una empresa, en millones de pesos, se presentan en la tabla No.1. ¿A qué tasa promedio anual están variando las ventas de esta empresa? Año 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Ventas (Millones ) 68 75 32 59 73 92 108

EJEMPLO DE MEDIA GEOMÉTRICA (VALORES ABSOLUTOS) Año 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Ventas (Millones ) 68 75 32 59 73 92 108

FC

1,1029 0,4267 1,8438 1,2373 1,2603 1,1739

G = 1,08017 (Factor de crecimiento promedio) Tasa promedio = (1,08017 – 1)100 = 8,017%

MEDIA GEOMÉTRICA (CRECIMIENTO PROMEDIO EN UN INTERVALO DE TIEMPO)

 Expresión de la media geométrica para este caso:

 Ejemplo: Una persona invirtió $25 millones a 3 años, recibiendo al final de este periodo la suma de $33,306 millones ¿A qué tasa promedio mensual creció esta inversión?

MEDIA GEOMÉTRICA (CRECIMIENTO PROMEDIO EN UN INTERVALO DE TIEMPO)

(Factor de crecimiento promedio) Tasa promedio = (FC – 1)100 = (1,008 – 1)100 = 0,8% mensual

 Propiedad de la media geométrica La media geométrica siempre es menor o igual a la media aritmética

PRÁCTICA EN CLASE ( 4 ) Los precios de una materia prima han estado variando en los últimos 6 meses como se presenta en la siguiente tabla: Mes 1 2 3 4 5 6

 

Variación / Mes % 3,00 0,90 1,20 -2,00 -1,00 1,00

¿A qué tasa promedio mensual ha estado variando el precio de este material? Sí el precio el mes pasado del material fue de $2365 ¿A qué precio se podría conseguir este mes el material? ¿Por qué?

PRÁCTICA EN CLASE ( 5 )

El valor del metro cuadrado construido de apartamentos, en una ciudad, en los últimos 6 años se presenta en la siguiente tabla: Año 2006 2007 2008 2009 2010 2011



Valor / M2 (Millones) 2,3 3,3 2,9 3,1 3,4 3,6

¿A qué tasa promedio anual está variando el precio del metro construido de apartamentos en estos años?

PRÁCTICA EN CLASE ( 6 )

Un trabajador ganaba en el 2002, $450.000 mensuales y actualmente gana $820.000 mensuales. Otra empresa le ofrece un trabajo con una asignación mensual de $770.000 mensuales con el compromiso de aumentar su sueldo el 7,5% anual todos los años. ¿Qué le conviene mas a este trabajador? ¿Por qué?

LA MEDIANA  CONCEPTO DE MEDIANA Estudiante R. Martínez P. Ardila M. Castillo A. Manjarrés O. León

Nota 4,3 1,7 3,8 4,8 3,5

Estudiante L. Rueda J. Zárate G. Torres Z. Benítez

Nota 2,9 4,0 1,2 4,7

 Ordenados de menor a mayor

1,2

1,7

2,9

3,5

3,8

4,0

4,3

4,7

4,8

La mitad de los estudiantes obtuvieron nota inferior a 3,8

LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

 Símbolo de la mediana :  Cálculo de la mediana para datos no agrupados  Número impar de datos

Expresión :

Ejemplo: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 1,2 1,7 2,9 3,5 3,8 4,0 4,3 4,7 4,8

LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

 Mediana pata datos no agrupados Número par de datos

Expresión: Ejemplo: Una muestra de las estaturas, en metros, de 10 estudiantes de una clase se presentan en la siguiente tabla

LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Estudiante M. Rodríguez L. Sánchez D. Rojas J. Acevedo F. Díaz X1 1,57

X2 1,62

X3 1,65

estatura 1,75 1,68 1,81 1,65 1,73 X4 1,68

X5 1,69

Estudiante G. López H. Núñez T. García R. Orduz P. Pinzón X6 1,71

X7 1,72

estatura 1,69 1,57 1,77 1,62 1,71 X8 1,75

X9 1,77

X10 1,81

Interpretación : la mitad de los estudiantes mide mas de 1,70 metros

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

 Primer caso: La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta alguna de las clases, de la distribución de frecuencias, coincide con la cantidad total de datos dividida entre 2, es decir, ( n / 2) Ejemplo: Los ingresos en una semana, en millones de pesos, de una muestra de tabernas se presenta en la siguiente tabla:

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS Clase No.

1 2 3 4 5 6 7

Ventas / Taberna (Millones de $)

1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 3,1 3,4 SUMA

1,9 2,2 2,5 2,8 3,1 3,4 3,7

No. de Tabernas

6 11 18 25 29 20 11 120

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS Clase No. 1 2 3 4 5 6 7

Ventas / Taberna (Millones de $) 1,6 1,9 1,9 2,2 2,2 2,5 2,5 2,8 2,8 3,1 3,1 3,4 3,4 3,7 SUMA

No. de Tabernas 6 11 18 25 29 20 11 120

FAA 6 17 35 60 89 109 120

= Límite superior de la clase = $2,8 millones Interpretación:

 Segundo caso El cálculo del total de datos de la muestra dividido entre 2, n/2, no coincide con el valor de la frecuencia absoluta acumulada, FAA, de ninguna de las clases

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

Expresión para calcular la mediana:

Ejemplo : Los saldos de los depósitos al finalizar un mes en las cuentas de ahorro de un número de cuentahabientes, de los bancos locales, escogidos al azar, se presentan en la siguiente tabla: Práctica en clase

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

Clase No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Saldo /Cuenta (Miles de $) 0 300 300 600 600 900 900 1200 1200 1500 1500 1800 1800 2100 2100 2400 Mas de 2400

No. de cuentas 25 36 51 42 37 30 22 19 17 279

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

Clase No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Saldo /Cuenta No. de (Miles de $) cuentas 0 300 25 300 600 36 600 900 51 900 1200 42 1200 1500 37 1500 1800 30 1800 2100 22 2100 2400 19 Mas de 2400 17 279

Interpretación:

FAA 25 FAA inmediatamente superior a 61 n / 2 = 154 112 clase i -1 154 clase i 191 221 243 262 279

PRÁCTICA EN CLASE ( 7 )

Una muestra del peso de los lingotes de aluminio que salen de una fundición se presenta en la siguiente tabla: calcule la mediana e interprete el Peso / lingote No. de (Kilogramos) lingotes resultado 2,995 2,996 2,997 2,998 2,999 3,000 3,001

Formula

2,996 2,997 2,998 2,999 3,000 3,001 3,002

1 1 0 28 33 27 6 96

MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL O DE POSICIÓN

 Los cuartiles Son 3 números que dividen cualquier conjunto de datos ordenado en 4 partes iguales Q1 : Primer cuartil Q2: Segundo cuartil Q3: Tercer cuartil Ejemplo: El número de clientes que atendieron en un día once vendedores de un centro comercial escogidos al azar se presenta en la siguiente tabla:

LOS CUARTILES

NÚMERO DE CLIENTES ATENDIDO POR VENDEDOR

15

5

20

10

23

8

3

13

18

28

32

NÚMERO DE CLIENTES ATENDIDO POR VENDEDOR

3

5

8 Q1

10

13

15 Q2

18

20

23 Q3

28

 Por debajo de Q1 se encuentran el 25% de los datos Por debajo de Q2 se encuentran el 50% de los datos Por debajo de Q3 se encuentran el 75% de los datos Nótese que: Interpretación:

32

CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS

 Primer caso: La frecuencia absoluta acumulada hasta alguna de las clases coincide con el valor de la operación: Ejemplo :

Las utilidades por acción del portafolio de inversiones de una empresa se presenta en la siguiente tabla:

CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS

. Utilidad por acción 1300 1400 1400 1500 1500 1600 1600 1700 1700 1800 1800 1900 1900 2000

No. de acciones 100 175 230 190 150 130 125

CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS Utilidad por acción

1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900

1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000

Interpretación:

No. de acciones

100 175 230 190 150 130 125 1100

FAA

Cálculo del primer cuartil 100 275 505 695 845 975 275 coincide con la FAA hasta la 1100 segunda clase

CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS

 Segundo caso: La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta cualquiera de las clases no coincide con el valor de la operación : Expresión par el cálculo de Qi :

Utilizando el mismo ejemplo del primer caso: Práctica en clase

CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS

Utilidad por acción 1300 1400 1400 1500 1500 1600 1600 1700 1700 1800 1800 1900 1900 2000

No. de acciones 100 175 230 190 150 130 125 1100

Interpretación:

FAA 100 275 505 695 Clase i - 1 845 Clase i 975 1100

Cálculo de tercer cuartil:

FAA inmediatamente superior a 825 = 845

Práctica en clase

LOS PERCENTILES

 Concepto de percentil: Son valores que dividen cualquier conjunto de datos en 100 partes iguales, cuando este conjunto está ordenado de menor a mayor Un percentil, por lo tanto, es un valor por debajo del cual se encuentra un determinado porcentaje de los datos.  Símbolo de percentil:  Ejemplo: Significa que…………..

PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS

 Primer caso: La frecuencia absoluta acumulada hasta alguna de las clases coincide con el valor de la operación

Ejemplo: La siguiente tabla se refiere a una muestra, al azar, del tiempo que duraron las llamadas telefónicas realizadas por el personal de oficina de una empresa

PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS

Duración / llamada (Minutos) 0,0 2,0 2,0 4,0 4,0 6,0 6,0 8,0 8,0 10,0 Mas de 10,0

No. de llamadas 46 67 44 31 25 17 230

Calcular el percentil 20 e interpretar el resultado

PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS

Duración / llamada (Minutos)

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 Mas de

2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 10,0

No. de llamadas

46 67 44 31 25 17 230

FAA

46 113 157 188 213 230

46 es la FAA hasta la primera clase

Interpretación: El 20% de las llamadas de la muestra duraron menos de 2,0 minutos

PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS

 Segundo caso: La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta cualquiera de las clases no coincide con el valor de la operación

 Expresión para el cálculo del percentil

Práctica en clase

PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS

Ejemplo: El mismo ejemplo del caso anterior Duración / llamada No. de (Minutos) llamadas

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 Mas de

2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 10,0

46 67 44 31 25 17 230

FAA

46 113 157 188 213 230

Interpretación: ………..

Clase i-1 Clase i

La FAA inmediatamente Superior a 161 es 188

PRÁCTICA EN CLASE ( 8 – 9 )

El diámetro en centímetros de una muestra de cojinetes que salen de la línea de producción Diámetro /cojinete (centímetros) 1,434 1,509 1,509 1,584 1,584 1,659 1,659 1,734 1,734 1,809 1,809 1,884 1,884 1,959

Fórmula cuartil Fórmula percentil

No. de cojinetes 1 2 19 15 22 11 5 75 A Ejercicio



Calcular el tercer cuartil e interpretar el resultado

 ¿Cuál es el diámetro

mínimo del 35% de los cojinetes de la muestra?

PROPIEDADES DE LA MEDIANA CUARTILES Y PERCENTILES

• A la mediana, cuartiles y percentiles no los afectan los valores extremos • La mediana, cuartiles y percentiles se pueden calcular en distribuciones de frecuencias que tengan clases de extremo abierto • Los cálculos de la mediana, cuartiles y percentiles son más complejos que los de las demás medidas de tendencia central • La mediana, cuartiles y percentiles no se pueden operar matemáticamente • Para calcular la mediana, cuartiles y percentiles los datos deben estar ordenados

LA MODA

 Concepto: La moda, de un conjunto de datos, es el valor que más se repite dentro de ese conjunto.

 Símbolo:  Moda para datos no agrupados Cuando los datos no están agrupados la moda se establece a simple vista.

MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

 Ejemplo: Una muestra de las edades de la última promoción de graduados se presenta en la siguiente tabla

25 27 20 26 22 24

21 21 22 28 20 30

Establecer la moda

19 23 21 22 19 28

23 22 19 25 31 22

22 18 21 24 22 26

MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

 Ejemplo: Los puntajes alcanzados, en una escala de 100 puntos, en las pruebas de ingreso, por los aspirantes a trabajar en una empresa se presentan en la siguiente tabla: 71 36 57 68

68 51 85 39

70 57 50 45

55 68 49 57

57 40 68 25

Establecer la moda e interpretar el resultado

MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

 Ejemplo: El tiempo, en horas, que gastan los buses de una empresa de transportes en realizar el viaje entre dos ciudades determinadas, en una muestra de recorridos escogidos al azar, se presenta en la siguiente tabla:

6,8 5,7 7,0 6,5

5,5 6,3 7,4 6,7

6,1 5,6 6,6 5,8

6,4 5,1 6,0 5,9

6,2 6,9 5,4 7,5

Establecer la moda e interpretar el resultado

MODA PARA DATOS AGRUPADOS

 Primer caso: Datos de variable discreta agrupados en clases de amplitud igual a cero  Ejemplo: Una muestra del número de motocicletas que vende por semana un distribuidor se presenta en la siguiente tabla

MODA PARA DATOS AGRUPADOS

No. de motos

No. de semanas

0 1 2 3 4 5 6 Mas de 6

1 3 5 12 19 16 10 4

Establecer la moda e interpretar El resultado

MODA PARA DATOS AGRUPADOS

 Segundo caso: Moda para variable cualitativa  Ejemplo: Se preguntó a una muestra de profesionales, escogidos al azar, por la marca de celular que utilizan y el resultado se presenta en la siguiente tabla:

MODA PARA DATOS AGRUPADOS

Marca de celular

Sony Motorola L.G. Nokia Samsung iPhone Otras marcas

No. de profesionales

18 32 15 47 30 10 5

Establecer la moda e interpretar el resultado

MODA PARA DATOS AGRUPADOS

 Tercer caso: Datos de variable discreta o continua agrupados en clases de amplitud mayor que cero  Expresión para la moda:

 Ejemplo: Utilizando un radar de carretera los agentes de tránsito tomaron una muestra de la velocidad, en kilómetros por hora, a la que se desplazan los vehículos al pasar por un puente. Los resultados están en la siguiente tabla:

MODA PARA DATOS AGRUPADOS Velocidad (Kmts / hora )

Hasta 40 50 60 70 80 Mas de

No. de Vehículos

40 50 60 70 80 90 90

Interpretación: ……….

7 36 44 61 55 19 14

Clase modal: La que Tiene la mas alta Frecuencia = 61

PRÁCTICA EN CLASE ( 9 )

El diámetro en centímetros de una muestra de cojinetes que salen de la línea de producción Diámetro /cojinete (centímetros) 1,434 1,509 1,509 1,584 1,584 1,659 1,659 1,734 1,734 1,809 1,809 1,884 1,884 1,959

No. de cojinetes 1 2 19 15 22 11 5 75

¿ Cuál es el diámetro mas común de los cojinetes de la muestra?

PROPIEDADES DE LA MODA

• La moda se puede calcular en situaciones de variables cualitativitas y cuantitativas • A la moda no la afectan los valores extremos • La moda se puede calcular en distribuciones de frecuencias que tengan clases de extremo abierto • Existen conjuntos de datos que no tienen moda o que tienen más de una moda • La moda no se puede operar matemáticamente