Matemática I. Ciclo técnico profesional. ITSA Atlántico Profesor: Blas Torres Suárez. Versión 2.0

Unidad 3 ECUACIONES LINEALES O CUADRÁTICAS

Competencias a desarrollar: •

Identificar las características de una ecuación lineal o cuadrática.

•

Hallar el conjunto solución de una ecuación lineal o cuadrática, de diferentes formas.

•

Interpretar y resolver problemas mediante ecuaciones lineales o cuadráticas.

•

Proponer situaciones problemáticas factibles de representar y resolver mediante ecuaciones lineales o cuadráticas

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Unidad 3 Ecuaciones lineales y cuadráticas Ecuación lineal. Una ecuación en la variable x es lineal si puede escribirse en la forma ax + b = c,

en donde a, b y c son números reales, con a ≠ 0.

La ecuación lineal, en una variable, también se denomina ecuación de primer grado, ya que la potencia más alta en la variable es uno. Si la variable en una ecuación se reemplaza por un número real que hace que la proposición sea verdadera, entonces ese número es una solución de la ecuación. Por ejemplo, 8 es la solución de la ecuación y − 3 = 5, ya que al reemplazar y con 8 se obtiene una proposición verdadera. Una ecuación se resuelve determinando su conjunto solución, el conjunto de todas las soluciones. El conjunto solución de la ecuación y − 3 = 5 es {8}. Ecuaciones equivalentes: son ecuaciones con el mismo conjunto solución. Por lo general, para resolver las ecuaciones se inicia con una ecuación determinada y se produce una serie de ecuaciones equivalentes más sencillas. Por ejemplo, 8 x + 1 = 17, 8 x = 16 y x=2 Todas son una ecuaciones equivalentes, ya que cada una tiene el mismo conjunto solución, {2}.

Utilizamos las propiedades de suma y multiplicación de igualdades para producir ecuaciones equivalentes. Propiedades de la suma y la multiplicación de igualdades Propiedades de la suma de igualdades Para todos los números reales a, b y c, las ecuaciones a=b y a + c = b + c son equivalentes. O sea, si se suma (o se resta), el mismo número a ambos miembros de una ecuación, el conjunto solución no cambia Propiedad de la multiplicación de igualdades Para todos los números reales a, b y c , donde c ≠ 0, las ecuaciones a=b y ac = bc son equivalentes.

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O sea si se multiplican (o se dividen) ambos miembros de una ecuación por el mismo número diferente de cero, el conjunto solución no cambia. EJEMPLO Resuelva 4 x − 2 x − 5 = 4 + 6 x + 3 . Primero, reduzca términos semejantes de manera separada en ambos lados de la ecuación para obtener: 2x − 5 = 7 + 6x Luego, utilice la propiedad de la suma para obtener los términos con x en el mismo lado de la ecuación y los demás términos (los números) en el otro lado. Una manera de hacerlo consiste en sumar primero 5 a ambos miembros. 2x − 5 + 5 = 7 + 6x + 5 2 x = 12 + 6 x

Ahora reste 6 x a ambos lados. 2 x − 6 x = 12 + 6 x − 6 x − 4 x = 12

Por último, divida ambos entre -4 para obtener sólo la x en el lado izquierdo. − 4 x 12 = o sea x = −3 −4 −4 Para estar seguro de que -3 es la solución, verifíquela sustituyendo en la ecuación original (no en una intermedia).

4x − 2x − 5 = 4 + 6x + 3

4(− 3) − 2(− 3) − 5 = 4 + 6(−3) + 3 − 12 + 6 − 5 = 4 − 18 + 3 − 11 = −11

Ecuación dada. sea x = −3 Verdadera

Como se obtiene una proposición verdadera, -3 es la solución. El conjunto solución es {− 3} EJEMPLO: Resuelva 2(k − 5) + 3k = k + 6. Comience por utilizar la propiedad distributiva para simplificar y reducir términos del lado izquierdo de la ecuación. 2(k − 5) + 3k = k + 6 2k − 10 + 3k = k + 6

Propiedad distributiva

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5k − 10 = k + 6 Reduciendo términos semejantes. 5k − 10 + 10 = k + 6 + 10 Sumando 10 a ambos miembros 5k = k + 16 Reduciendo términos semejantes. 5k − k = k + 16 − k Restando k a ambos miembros 4k = 16 Reduciendo términos semejantes. 4k 16 = Dividiendo ambos miembros entre 4, 4 4 k = 4 Valor de k que satisface la ecuación

Verifique que el conjunto solución es ecuación original.

{4},

sustituyendo 4 por la k en la

x + 7 2x − 8 + = − 4. 6 2 Comience por eliminar las fracciones. Multiplique ambos lados por 6.

EJEMPLO: Resuelva

 x + 7 2x − 8  6 + = 6 ⋅ (− 4 ) 2   6  x + 7   2x − 8  6  + 6  = 6 ⋅ (−4)  6   2 

x + 7 + 3(2 x − 8) = −24 x + 7 + 6 x − 24 = −24 7 x − 17 = −24 7 x − 17 + 17 = −24 + 17 7 x = −7 7x − 7 = 7 7 x = −1

Verifique que {− 1} es el conjunto solución. EJEMPLO: Resuelva 0.06 x + 0 ⋅ 09(15 − x ) = 0.07(15) Como cada número decimal se da en centésimos, multiplique ambos miembros de la ecuación por 100, para trabajar sólo con enteros, 0.06 x + 0.09(15 − x ) = 0.07(15) 6 x + 9(15 − x ) = 7(15) 6 x + 9(15) − 9 x = 105 − 3 x + 135 − 135 = 105 − 135

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− 3 x = −30 − 3 x − 30 = −3 −3 x = 10 Verifique que el conjunto solución sea {10}. Cada una de las ecuaciones anteriores tiene un conjunto solución que contiene un elemento; por ejemplo, 2 x + 1 = 13 tiene el conjunto solución {6}, que contiene número 6. Una ecuación que posee un número finito (pero distinto de cero) de elementos en su conjunto solución es una ecuación condicional.

Algunas veces, una ecuación no tiene solución. En este caso, tal ecuación es una contradicción y su solución es φ (vacía). También es posible que una ecuación tenga un número infinito de soluciones. Una ecuación a la que satisface cada número para el cual se definen ambos lados se llama identidad. El ejemplo siguiente muestra cómo reconocer estos tipos de ecuaciones. EJEMPLO: Resuelva cada ecuación. Decida si es una ecuación condicional, una identidad o una contradicción. (a) 5 x − 9 = 4( x − 3) Trabaje como en los ejemplos anteriores. 5 x − 9 = 4 x − 12 5 x − 9 − 4 x = 4 x − 12 − 4 x x − 9 = −12 x − 9 + 9 = −12 + 9 x = −3 El conjunto solución, {− 3}, tiene un elemento, de modo que 5 x − 9 = 4( x − 3) es una ecuación condicional. (b) 5 x − 15 = 5( x − 3) Utilice la propiedad distributiva en el lado derecho. 5 x − 15 = 5 x − 15 Ambos miembros de la ecuación son exactamente iguales, de modo que cualquier número real hará a la ecuación verdadera. Por esta razón, el conjunto solución es el conjunto de todos los números reales, y la ecuación 5 x − 15 = 5( x − 3) es una identidad (c) 5 x − 15 = 5(x − 4) Utilice la propiedad distributiva. 5 x − 15 = 5 x − 20 5 x − 15 − 5 x = 5 x − 20 − 5 x

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− 15 = −20

Como resultado − 15 = −20 es falso, la ecuación no tiene solución. El conjunto solución es φ (vacío). La ecuación 5 x − 15 = 5( x − 4) es, pues, una contradicción. *** La solución de un problema en el algebra con frecuencia depende del uso de un enunciado matemático o fórmula, en la que se utiliza más de una letra para expresar una relación. Ejemplos de fórmulas son: A = π .r 2

L = 2π .r

y

P = 2 L + 2W .

El ejemplo siguiente muestra cómo despejar (o resolver) una fórmula para cualquiera de sus variable. Este proceso se conoce como resolución para una variable especifica. Observe lo similares que son los pasos utilizados en estos ejemplos a los empleados en la resolución de una ecuación lineal. Tenga presente que, cuando despejamos una variable específica, tratamos esa variable como si fuera la única, y tratamos a todas las demás como si fueran números. EJEMPLO: Despeje A de la fórmula P = 2 L + 2 A. Esta fórmula da la relación entre el perímetro de un rectángulo, P, la longitud del mismo, L, y su ancho, A . (Véase la figura)

Solución: Para empezar, reste 2 L a ambos lados. P = 2L + 2 A P − 2L = 2L + 2 A − 2L P − 2L = 2 A Ahora divida entre 2 P − 2L 2 A = 2 2 P − 2L O sea = A , que es el despeje deseado. 2

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EJERCICIOS

PROPUESTOS

Decida si el número dado es una solución de la ecuación. Escriba sí (s) o no (n) dentro del paréntesis. 2 1. − 6 x = −24 ; 4 ( ) 2. 8r = 56 ; 7 ( ) 3. 5 x + 2 = 3 ; ( ) 5 1 ( ) 5. 9 x + 2 x = 6 x ; 0 ( ) 6. − 2 p + 10 p = 7 p , 0 ( ) 4. 6 y − 4 = 4 ; 2 Resuelva la ecuación 9. 7 k + 8 = 1 10. 5m − 4 = 21 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31. 33. 35.

7 y − 5 y + 15 = y + 8 12 w + 15w − 9 + 5 = −3w + 5 − 9 2( x + 3) = −4( x + 1 3(2w + 1) − 2(w − 2) = 5 2 x + 3( x − 4 ) = 2(x − 3) 6 p − 4(3 − 2 p ) = 5( p − 4) − 10 − [2 z − (5 z + 2)] = 2 + (2 z + 7 ) 3x 5 x + = 13 4 2 x −8 8 x + =− 5 5 3 4t + 1 t + 5 t − 3 = + 3 6 6 x x +1 = + 4 2 5 0.02(50) + 0.08r = 0.04(50 + r )

11. 8 − 8 x = −16

12. 9 − 2r = 15

14. 2 x + 4 − x = 4 x − 5 16. − 4t + 5t − 8 + 4 = 6t − 4 18. 4( y − 9) = 8( y + 3) 20. 4( x − 2) + 2( x + 3) = 6 22. 6 y − 3(5 y + 2) = 4(1 − y ) 24. − 2k − 3(4 − 2k ) = 2(k − 3) + 2 26. − [6 x − (4 x + 8)] = 9 + (6 x + 3) 8y 2y 28. − = −13 3 4 2r − 3 3 r 30. + = 7 7 3 2 x + 5 3x + 1 − x + 7 32. = + 5 2 2 4x + 3 6x + 5 34. = 2 x − 3 3x + 2

Resuelva la fórmula para la variable que se especifica. d = rt ; para r (distancia) I = prt ; para r (interés simple) A = bh; para b (área de un paralelogramo) P = 2 L + 2 A; para L (perímetro de un rectángulo) P = a + b + c; para a (perímetro de un triángulo) V = LWH ; para W (volumen de un sólido rectangular) 1 42. A = bh; para h (área de un triángulo) 2 43. C = 2πr ; para r (perímetro de un círculo)

36. 37. 38. 39. 40. 41.

44. S = 2πrh + 2πr 2 ; para h (área de la superficie de un cilindro recto)

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Problemas que se resuelven mediante ecuaciones: Para resolver problemas mediante el uso de ecuaciones, se representa el (los) elemento(s) desconocido(s) del problema, por una(s) variable(s) y se representa la situación descrita en el problema mediante una ecuación. A continuación algunos ejemplos de cómo representar relaciones o situaciones utilizando variables: Expresión verbal La suma de un número y 7 6 más que un número 24 sumado a un número Un número incrementado en 5 La suma de dos números Un número menos 2 12 menos un número La diferencia de dos números Un número disminuido en 12 Un número restado de 10 16 veces un número Algún número multiplicado por 6 2/3 de algún número El doble (dos veces) de un número El producto de dos números El cociente de 8 y algún número Un número dividido entre 13 La razón de dos números, o el cociente de dos números

Expresión matemática x+7 x+6 x + 24 x+5 x+ y x−2 12 − x x− y x − 12 10 − x 16 x 6x 2 x 3 2x xy 8 x x 13 x y

Resuelve cada uno de los siguientes problemas: 45. La edad de A es 5 veces la de B, la suma de ambas es 54 años. Hallar las edades. 46. Hallar tres números naturales consecutivos cuya suma sea igual a 78. 47. El número de mujeres matriculadas en 1er. semestre de Electromecánica del ITSA, es la octava parte del número de hombres. Si el programa tiene un total de 72 estudiantes matriculados. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres? 48. El modelo matemático y = 420 x + 720 se aproxima a las pérdidas por fraude con tarjetas de crédito en todo el mundo, entre los años 1989 y 1993, donde x = 0 corresponde a 1989, x = 1 corresponde a 1990, etc., y y está en

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millones de dólares. Basado en este modelo, ¿Cuál sería la cantidad aproximada de pérdidas por fraude con tarjetas de crédito en 1994? ¿En qué año las pérdidas alcanzarían 3.660 millones de dólares (esto es, 3.660.000.000)? 49. De acuerdo con una investigación realizada por la Corporación de Mercadotecnia de las Bebidas, las ventas de té helado listo para beber han tenido un gran éxito en los últimos años. El modelo y = 310 x + 260 se aproxima a los ingresos generales, donde x = 0 corresponde a 1991 y y está en millones de dólares. Basándose en este modelo, ¿Cuál sería la ganancia generada en 1992? ¿En qué año los ingresos serían de 2,430 millones de dólares?

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Ecuaciones cuadráticas: Una ecuación cuadrática en una variable, es cualquier ecuación que se pueda escribir en la siguiente forma: ax 2 + bx + c = 0 , donde x es una variable y a, b y c son constantes.

A la anterior ecuación se le llama forma general o forma estándar para la ecuación cuadrática. 2

Ejemplos:

6 x − 19 x − 7 = 0 , 2

1 5  x+  = . 2 4 

2 x − 3x = 0 , 2

Solución por factorización Si los coeficientes a, b y c son enteros tales que ax 2 + bx + c se puedan escribir como el producto de dos factores de primer grado, con coeficientes enteros, entonces la ecuación cuadrática se puede resolver rápida y fácilmente. El método de solución por factorización se apoya en la propiedad del cero de los números reales. Propiedades del cero Si m y n son número reales, entonces, m.n = 0 si y sólo si m = 0 o n = 0 Ejemplo: Resuélvase por factorización, si es posible.

( A)

x 2 − 9 x − 10 = 0

(B )

x 2 − 8x + 6 = 0

(C )

2 x 2 = 3x

Solución

( A)

x 2 − 9 x − 10 = 0 (x − 10)(x + 1) = 0 (x − 10) = 0 ó (x + 1) = 0

por factorización por propiedades del cero

Luego despejando x en cada paréntesis, se obtiene: x = 10 ó x = −1 , estos dos valores son las soluciones de la ecuación.

(B ) (C )

x 2 − 8 x + 6 = 0 no se puede factorizar usando coeficientes enteros. Se deben utilizar otros métodos para resolver esta ecuación. 2 x 2 = 3x 2 x 2 − 3x = 0 x(2 x − 3) = 0 x = 0 ó 2x − 3 = 0

restando 3 x a ambos lados de la igualdad por factorización por propiedades del cero 3 Entonces x = 0 ó x = , son las soluciones de la ecuación. 2

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Solución por raíz cuadrada La solución de la ecuación ax 2 + c = 0 con a ≠ 0 , se puede obtener directamente de la definición de raíz cuadrada de un número real. Ejemplo: Resuélvase aplicando la definición de raíz cuadrada.

( A)

(B )

2 x − 3 =0 2

3 x + 27 = 0 2

(C )

2

1 5  x+  = 2 4 

Solución

( A)

2 x 2 − 3 =0 3 x2 = 2 3 x=± 2

(B )

3 x 2 + 27 = 0 x 2 = −9 x = ± −9

(C )

o

x = ±3i

2

1 5  x+  = 2 4  1 5 x+ =± 2 4 1 5 x=− ± 2 2 −1± 5 x= 2

Solución por completación de cuadrados Los métodos de la raíz cuadrada y de la factorización son generalmente rápidos cuando se pueden aplicar; sin embargo, existen ecuaciones como x 2 − 8 x + 6 = 0 (véase Ejemplo (B) página anterior) que no pueden resolver por estos métodos. Se debe desarrollar un método más general para resolver este tipo de ecuaciones. Tal método es el de compleción de cuadrados y se basa en el proceso de transformación de la ecuación cuadrática modelo. ax 2 + bx + c = 0

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En la forma

( x + A )2 = B Donde A y B , son constantes. Esta última ecuación se puede resolver fácilmente por el método de la raíz cuadrada ya descrito. Pero ¿cómo se transforma la primera ecuación en la segunda? El siguiente examen breve da la clave del proceso. ¿Qué número se suma a x 2 + bx para que el resultado sea el cuadrado de un polinomio de primer gado? Hay una regla sencilla para encontrar tal número que se basa en los cuadrados de los siguientes binomios:

(x + m )2 = x 2 + 2mx + m 2 (x − m )2 = x 2 − 2mx + m 2 En ambos casos se observa que, en el segundo miembro de la igualdad, el tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x que aparece en el segundo término. Esta observación conduce directamente a la regla de compleción de cuadrados: Para obtener el cuadrado en una expresión cuadrática de la forma x 2 + bx . Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x; es decir, se suma 2

2

b b b  2   . Así, x + bx +   = x +  2 2 2 

2

Ejemplo: Complétese al cuadrado en cada una de las siguientes expresiones:

( A)

(B )

x2 + 6x

x 2 − 3x

Solución: 2

6 Súmese   = 32 es decir , 9. 2 2 2 x + 6 x + 9 = ( x + 3)

( A)

x2 + 6x

(B )

 3 x − 3 x , Súmese    2 2

2

es decir,

9  3 x − 3x + =  x −  4  2

9 . 4

2

2

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(C )

x 2 + bx

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(C )

b x + bx , Súmese   2 2

b2  b x + bx + =x+  4  2

2

b2 es decir, . 4

2

2

Es importante observar que las reglas anteriores sólo se aplican a las formas cuadráticas donde el coeficiente del término de segundo grado es 1, ( a = 1 ). Ejemplo: Resuélvase completando cuadrados.

( A)

(B )

x 2 + 6x − 2 = 0

2x 2 − 4x + 3 = 0

Solución

( A)

x 2 + 6x − 2 = 0

x 2 + 6x = 2 x 2 + 6x + 9 = 2 + 9

( x + 3) 2

2x 2 − 4x + 3 = 0

3 =0 2 3 x 2 − 2x = − 2 3 x 2 − 2x + 1 = − + 1 2

x 2 − 2x +

(x − 1)2

1 2 1 x −1 = ± − 2

x =1 ±

sumamos 9 a ambos miembros para completar el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación

= 11

x + 3 = ± 11 x = −3 ± 11

(B )

Sumamos 2 a ambos miembros, para agrupar las x al lado izquierdo de la ecuación

=−

2 i 2

son las dos soluciones de la ecuación

Dividimos todos los términos por 2, para hacer que el coeficiente de x 2 , sea 1, ( a = 1 ) −3 Sumamos en ambos lados de la igualdad 2

2

 2 Sumamos   es decir 1, en ambos lados  2 Factorizando y reduciendo términos semejantes

Sacando raíz cuadrada Que finalmente son las raíces de la ecuación

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Solución por fórmula cuadrática Se considera ahora la ecuación general cuadrática con coeficiente no especificados.

ax2 + bx + c = 0

a≠0

y se resuelve al completar el cuadrado, exactamente como se hizo en los ejemplos precedentes, en los cuales los coeficientes están especificados. Para hacer que el coeficiente del término de segundo grado sea 1, dividimos todo por a , o sea, b c x+ =0 a a b c x2 + x = − a a 2 b b b2 c x2 + x + 2 = 2 − a 4a 4a a x2 +

b  b 2 − 4ac  x+  = 2a  4ac  2

x+

b b 2 − 4ac =± 2a 4a 2

b b 2 − 4ac ± 2a 2a 2 − b ± b − 4ac x= 2a

x=−

Dividiendo por a Sumando

−c , en ambos lados a 2

b2  b  sumamos   es decir 4a 2  2a  Factorizando el primer miembro

Resolviendo por el método de la raíz cuadrada. −b a ambos lados 2a Que es la llamada fórmula general para la solución de la ecuación cuadrática

Sumando

La última ecuación se denomina fórmula cuadrática. Debe ser memorizada y usada para resolver ecuaciones cuadráticas cuando fallan todos los otros métodos.

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EJERCICIOS

PROPUESTOS

Resuélvase por factorización si es posible. 1. x 2 + 7 x − 18 = 0 4. 3 x 2 + 7 x − 20 = 0 7. 15 x 2 − 12 = −8 x

2. x 2 − 5 x + 6 = 0 5. 2 x 2 − 3 x − 3 = 0 2x 5 18 8. + −4= 2 x+3 x x + 3x

3. x 2 − 5 x − 6 = 0 6. 7 x 2 − 5 x = 0 3x 1 4 9. + = 2 x−2 x+2 x −4

Resuélvase por el método de la raíz cuadrada 2

10. 3 x − 5 = 0 2

1 2  12.  x +  = 3 9 

11. 2 x + 8 = 0 2

Complétese el cuadrado en cada una de las siguientes expresiones: 13. x 2 + 10 x

14. x 2 + 5 x

15. x 2 + mx

Resuélvase completando cuadrados 16. 19.

x2 + 8x − 3 = 0 x 2 + 6x + 7 = 0

17. 20.

3 x 2 − 12 x + 13 = 0 4 x 2 − 12 x − 11 = 0

18.

2x 2 − 7 x + 5 = 0

Resuelva con la fórmula cuadrática 21. 24.

x 2 − 3x − 4 = 0 x 2 + 1 = 6x

22. 25.

2x + 2 = x 2 4 s 2 − 10 s + 5 = 0

23. 5 y 2 − 4 y − 2 = 0 26. x 2 + 2 x − 3 = 0

Despeja la variable dada 27. 29. 31.

2 gm para (s > 0) s2 3a 2 + 2b = 5b − 2a 2 x − 2 para a

K=

s e = s y 1 − rxy2 para s y (s y > 0 )

30.

2 V = πr 2 para (r > 0) 3 2 x − 6 xy + 5 y 2 = 0 para y

32.

s e = s y 1 − rxy2 para rxy

28.

Resuelve cada uno de los siguientes problemas: 13 . Determine los números. 6 9 2. El producto de dos números es 5. si su suma es , determine los 2 números.

1. La suma de un número y su recíproco es

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3. El largo de un rectángulo es 5 veces mas que el doble de su ancho. Si su área es 75 m2, determine sus dimensiones. 4. Determine el área de un cuadrado si su diagonal es igual a 8 cms.

5. Una piscina cuadrada de 21 pies x 21 pies esta rodeada por un camino de ancho uniforme. Si el área del camino es de 184 pies cuadrados, determine el ancho del camino. 6. Al medio día tomas salio del punto A caminando hacia el norte; una hora mas tarde, diego salio del punto A caminando hacia el este. Ambos muchachos caminaron a 4 millas por hora y llevaban un radio de comunicación con un alcance de 8 millas. ¿a qué hora perdieron contacto? 7. Se desea construir una caja sin tapa cortando cuadros de 3 pulgadas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble del ancho. ¿de qué tamaño debe ser una pieza de hojalata para hacer una caja que tenga un volumen de 60 pulgadas cúbicas? 8. Una bola de béisbol es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 64 m/s. El número de Pies S sobre el suelo después de t segundos, está dado por la ecuación S = −17t 2 + 64t . a) En cuanto tiempo alcaza la pelota una altura de 48 m sobre el suelo. b) Cuando (en que tiempo) regresará al piso.

9. Un fabricante de latas desea construir una lata cilíndrica circular recta de 20 cm. de altura y un volumen de 3000 cm3. Encuentre el radio interior r de la lata.

10. Se desea construir una caja de base cuadrada y sin tapa a partir de una pieza cuadrada de lámina. Se practicará un corte de 3 pulgadas en cada esquina y se doblarán los lados hacia arriba; si la caja debe tener un volumen de 75 pulgadas cúbicas, ¿de qué tamaño será la pieza de lámina?

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