Universidad de Pamplona Departamento de F´ısica y Geolog´ıa Laboratorios

Guias Editadas y organizadas por: Luis Joaquin Mendoza Herrera Con la colaboraci´ on de: Fanny Mojica Sep´ ulveda

Sede Villa del Rosario

Laboratorio de M´ecanica

C´ ucuta-6 de noviembre de 2010

1 ´ INTRODUCCION

El presente conjunto de practicas est´a basado en el curso te´orico de Mec´anica, y describe las pr´acticas fundamentales que deben realizarse en la mec´anica, ajuste de datos, que est´a enfocada a la determinaci´on de constantes en f´ısica, suma y composici´on de vectores, en la cual se estudia la suma de vectores(fuerzas), torque de una fuerza, en donde se estudia el equilibrio de los cuerpos rotaci´on y traslaci´on, velocidad media, en cuya pr´actica se analiza la diferencia entre la velocidad media y la velocidad instant´anea , movimiento parab´olico, donde se estudia la distancia horizontal y vertical recorrida por un cuerpo que es lanzado con una velocidad inicial en el plano, movimiento de ca´ıda libre, donde se calcula la aceleraci´on de la gravedad que es muy utilizada en la f´ısica, ley de Hooke, que se utiliza para calcular la constante de elasticidad de un resorte o de un conjunto de resortes agrupados en serie o en paralelo, segunda ley de Newton, en la cual se comprueba la relaci´on entre la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleraci´on del mismo, din´amica de un cuerpo r´ıgido y conservaci´on del momentun y de la energ´ıa

2 ´ ´ CREDITOS DE LAS PRACTICAS

Este documento comprende el conjunto de practicas de la materia Laboratorio de Mec´anica que se imparte en la Universidad de Pamplona sede Villa del Rosario, y conforman en total 12 practicas a realizar en el trascurso de un semestre. La practica correspondiente al ajuste de datos fue tomada de la practica original realizado por el profesor Alberto Pati˜ no, a la cual se le realizaron ajustes y se le a˜ nadieron las secciones correspondientes a como se debe realizar el ajuste con las herramientas (Calculadora y Matlab), para que el estudiante posee diferente enfoques de calculo para el ajuste de datos. Las practicas Vectores, Fuerzas paralelas y Velocidad media fueron tomadas del documento realizado en pamplona por los docentes del departamento de F´ısica, a estas practicas se les realizaron algunos ajustes para que coincidieran con los equipos que se poseen en la sede de Villa del rosarios de la Universidad de Pamplona. Las dem´as practicas(Ca´ıda libre, movimiento parab´olico, ley de Hooke, Segunda ley de Newton, Conservaci´on de la energ´ıa, conservaci´on del momentum en una colisi´on el´astica y determinaci´on del coeficiente de restituci´on, p´endulo bal´ıstico y din´amica de un cuerpo r´ıgido) est´an basadas en los manuales de los equipos adquiridos por la Universidad de Pamplona a PHYWE, correspondientes a laboratorios de F´ısica

3 ´Indice de Pr´ acticas

1. AJUSTE DE CURVAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. VECTORES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. FUERZAS PARALELAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4. VELOCIDADMEDIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5. CAIDA LIBRE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6. MOVIMIENTO PARABOLICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7. LEY DE HOOKE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. SEGUNDA LEY DE NEWTON. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9. CONSERVACION DE LA ENERGIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10. DINAMICA DE UN CUERPO RIGIDO. . . . . . . . . . . . . . . 65 11. PENDULO BALISTICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 12. CONSERVACION DEL MOMENTUM. . . . . . . . . . . . . . . . . 86

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1. Titulo: An´alisis gr´afico de datos 2. Objetivos: Representar gr´aficamente datos experimentales. Ajustar curvas a datos experimentales. Establecer un criterio para el an´alisis de gr´aficas de datos experimentales de acuerdo a la curva obtenida. 3. Marco Te´ orico: En el estudio de los fen´omenos f´ısicos se deben medir diferentes constantes, como por ejemplo la gravedad en una ubicaci´on especifica, el momento de inercia de un cuerpo solido, la relaci´on entre la carga y la masa de un electr´on, entre otros. Un m´etodo de medida de estas constantes consiste en medir ciertas variables, en cuya relaci´on se encuentra la constante a calcular y con estos datos determinar la constante deseada, en este caso se deben ajustar los datos obtenidos para calcular dicha constante. Uno de los m´etodos para ajustar estos datos y calcular la constante deseada es el m´etodo de m´ınimos cuadrados, el cual consiste en ajustar los valores a la relaci´on entre las variables generando con ello el menor error cuadr´atico posible. Para ilustrar el m´etodo supongamos que un cuerpo se mueve con velocidad constante v y parte desde una posici´on inicial x0 , en dicho experimento se realizan medidas de la posici´on del objeto en funci´on del tiempo y se obtienen los siguientes datos. t(s) x(m)

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 2.4 3.6 4.8 5.2 6.5 7.9

Tabla 3.1: Objeto con velocidad constante La ecuaci´on que relaciona las variables es: x = vt + x0

(3.1)

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en este caso las constantes de la ecuaci´on son la posici´on inicial x0 y la velocidad del objeto v y las variables son el tiempo t, el cual es la variable independiente y la posici´on x que es la variable dependiente, como se puede observar esta ecuaci´on es similar a la ecuaci´on de una l´ınea recta, la cual tiene la forma: y = mx + b,

(3.2)

donde por comparaci´on directa x0 = b, v = m, x = y y t = x, es decir que la nueva tabla de resultados es: x y

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 2.4 3.6 4.8 5.2 6.5 7.9

Tabla 3.2: Objeto con velocidad constante Con las parejas de valores de x y y, (xi , yi ), se pueden calcular las constantes m y b, para generar el menor error cuadr´atico posible, utilizando las siguientes expresiones:

m=

N

PN

i=1

N

xi yi −

PN

PN

2 i=1 xi −

xi

i=1

P

N i=1

PN xi

i=1  2

yi

PN ,

b=

i=1

x2i

PN

N

PN

i=1

yi −

2 i=1 xi −

PN

i=1

P

xi

N i=1

PN

xi

i=1 2

xi yi

(3.3) donde N es el n´ umero de mediciones tomadas, en este caso N = 6, adem´as 6 X

xi = 0,5 + 1,0 + 1,5 + 2,0 + 2,5 + 3,0 = 10,5

i=1 6 X

(3.4)

yi = 2,4 + 3,6 + 4,8 + 5,2 + 6,5 + 7,9 = 30,4

i=1 6 X

xi yi = 0,5 ∗ 2,4 + 1,0 ∗ 3,6 + 1,5 ∗ 4,8 + 2,0 ∗ 5,2 + 2,5 ∗ 6,5 + 3,0 ∗ 7,9 = 62,35

i=1 6 X i=1

x2i = (0,5)2 + (1,0)2 + (1,5)2 + (2,0)2 + (2,5)2 + (3,0)2 = 22,75

,

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Al remplazar estos valores en la ecuaci´on 3.3, se obtiene

m=

6 ∗ 62,35 − 10,5 ∗ 30,4 = 2,09 y 6 ∗ 22,75 − (10,5)2

b=

22,75 ∗ 30,4 − 10,5 ∗ 30,4 = 1,4 6 ∗ 22,75 − (10,5)2

Es decir que el valor que m´as se ajusta a la velocidad es v = m = 2,09m/s y el valor que m´as se ajusta a la posici´on inicial es x0 = b = 1,4m, con lo que la ecuaci´on que describe la posici´on del objeto es x = 2,09t + 1,4m. Estas ecuaciones que permiten calcular m y b se encuentran en la memoria de la mayor parte de las calculadores cient´ıficas, como por ejemplo en la CASIO fx-82MS. Para el ejemplo anterior los pasos para obtener m y b son: 1 Limpiar la memoria de la calculadora. 2 Oprimir la tecla MODE de la calculadora, donde aparecer´an varias opciones de las cuales se debe seleccionar el n´ umero correspondiente a la opci´on REG, que quiere decir regresi´on. Al seleccionar la opci´on Reg, le aparecer´an varias opciones de las cuales se debe seleccionar la opci´on Lin, que quiere decir lineal, al seleccionar esta opci´on la calculadora ya se encuentra en el modo regresi´on lineal lista para ingresar los datos. 3 Ingrese los datos. Para ingresar los datos ingrese el primer valor de x, seguido de la tecla marcada con una coma en su calculadora (,) y luego el primer valor de y. 4 Presione la tecla M + de su calculadora. Si al oprimir esta tecla su calculadora muestra en la pantalla n = 1, usted realizo el procedimiento correctamente. 5 Repita los pasos 3 y 4 para todos los datos al finalizar en este caso le aparecer´a n = 6. 6 Para buscar los resultados de m y b debe oprimir la tecla shift, seguida de la tecla S-VAR, donde le aparecer´an varias opciones de la que se debe seleccionar B para obtener m y A para obtener b. En el caso del programa Matlab esta regresi´on con su respectiva gr´afica se pueden realizar con el c´odigo que se muestra en la Figura3.1 y el resultado es m, b = 2,0914 1,4067 y la gr´afica ilustrada en la Figura3.2 Existen variables que se relacionan por una sola constante como es el caso de la deformaci´on x de un resorte producida por la aplicaci´on de una fuerza F , las

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Figura 3.1: C´odigo para determinar la regresi´on lineal y gr´afica

Figura 3.2: Gr´afica de la regresi´on lineal cuales est´an relacionadas por la ley de Hooke F = kx, donde k es la constante de elasticidad del resorte al cual se le aplica la fuerza. En un experimento de est´a naturaleza se obtuvieron las siguientes medidas: Como se puede notar en este caso la ecuaci´on que relaciona las variables es de la

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x(cm) F (N )

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 0 0.52 1.10 1.60 1.90 2.70

Tabla 3.3: Deformaci´on de un resorte forma y = mx, es decir en este caso el corte con el eje y es cero, la ecuaci´on 3.3, para m en este caso es de la forma: PN

m = Pi=1 N

xi y i

i=1

x2i

.

(3.5)

Para este caso tenemos F = y, x = x y k = m, donde la pendiente esta dada por: P6 xi yi 0 ∗ 0 + 1 ∗ 0,52 + 2 ∗ 1,1 + 3 ∗ 1,6 + 4 ∗ 1,9 + 5 ∗ 2,7 m = Pi=1 = = 0,52, 6 2 02 + 0,522 + 1,12 + 1,62 + 1,92 + 2,72 i=1 xi (3.6) es decir que la constante de elasticidad del resorte es k = 0,52N/cm, y la ecuaci´on del resorte es F = 0,52xN/cm Existen otras ecuaciones que aunque no poseen la forma est´andar de una l´ınea se pueden convertir en una l´ınea, con algunas sustituciones, este es el caso del crecimiento de una poblaci´on (ejemplo de moscas), cuyo crecimiento esta dado por la ecuaci´on P = P0 ekt , donde t es el tiempo en d´ıas, P es la poblaci´on en numero de moscas, P0 y k son constantes a determinar, las cuales corresponden a la poblaci´on inicial y la tasa de crecimiento de las moscas, las medidas realizadas al crecimiento de las moscas se resume en la Tabla3: t(h) P (N de moscas ) o

0 3.0 6.0 9.0 12 15 18 25 31 36 41 47 52 62

21 24 27 30 71 82 94 108

Tabla 3.4: Crecimiento de moscas Para convertir la ecuaci´on del crecimiento de las moscas en una ecuaci´on lineal le aplicamos el logaritmo natural a ambos lados de la ecuaci´on obteniendo ln P = kt + ln P0

(3.7)

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Comparando la ecuaci´on 3.7, con la ecuaci´on de una l´ınea recta 3.2, son iguales cuando: y = ln P,

x = t,

, m = k,

, b = ln P0

(3.8)

con lo cual la nueva Tabla de valores se convierte en x y

0 3.0 6.0 9.0 12 15 18 21 24 27 30 3.29 3.43 3.58 3.71 3.85 3.95 4.13 4.26 4.41 4.54 4.68 Tabla 3.5: Ajuste del crecimiento de moscas

Los valores de m y b son 0.0473 y 3.2704 respectivamente, reemplazando estos valores en 3.8, obtenemos P0 = 26,32 y k = 0,0473, con estos valores la ecuaci´on para el crecimiento de las moscas esta dado por P = 26,32e0,0473t , la gr´afica de los valores experimentales y los valores aproximados se muestra en la Figura3.3

Figura 3.3: Gr´afica de la regresi´on lineal

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Si en un momento dado se pregunta cual es el numero de moscas en un tiempo de 5 d´ıas este valor corresponde a P (5) = 26,32ee0,0473∗5 = 33 moscas. Como siguiente explicaci´on suponga que se tienen datos de la distancia entre dos cargas iguales de valor q y la fuerza F de repulsi´on entre ellas, en este caso la 2 ecuaci´on que relaciona est´as variables es la ley de Coulomb definida por F = ke qr2 , donde ke es la constante el´ectrica, en este caso la sustituci´on que se debe realizar para linealizar la ecuaci´on es y = F , x = r12 y m = ke q 2 4. Materiales, equipos e insumos: Equipos 1.Computador 1.Calculadora Materiales Sofware-Matlab 5. Procedimiento 1 En cierto movimiento de un cuerpo bajo la acci´on de una fuerza, el desplazamiento x y el tiempo t se dan en la siguiente tabla. t(s) x(m)

1 2 3 4 5 6 4.1 10.0 17.9 28.2 40.0 53.8 Tabla 3.6: Ejercicio 1

1) Dibujar la gr´afica de x en funci´on de t. 2) Se sabe que la ecuaci´on de este movimiento se da por x = 12 at2 + y0 . Deducir las constantes a y y0 . 3) Encuentre cuanto habr´a recorrido el objeto al cabo de un minuto. 2 Se aplica una fuerza constante F a un c´arrito de masa m y se mide su aceleraci´on a del movimiento producido. Se repite el procedimiento para otros valores de masa manteniendo siempre la misma fuerza. Los resultados se consignan en la siguiente tabla. 1) Dibujar la gr´afica a en funci´on de m. 2) Se sabe que F = ma. Deducir la constante F .

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m(Kg) a(m/s2 )

1 2 3 4 5 6 24.3 13.17 8.25 6.30 4.90 4.25 Tabla 3.7: Ejercicio 2

3) Encuentre la aceleraci´on cuando la masa del carrito es de 100Kg. 3 El ritmo al cual las mol´eculas de agua pasan por osmosis a trav´es de una membrana semipermeable desde un recipiente de agua pura a otro con una disoluci´on de az´ ucar puede medirse utilizando el marcado radiactivo de algunas de las mol´eculas de agua. El ritmo r a que se mueven las mol´eculas de agua a trav´es de la membrana viene dado en funci´on del tiempo t en la siguiente tabla: r(unidades arbitrarias) a(m/s2 )

100 59 38 25 17 11 7 4 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Tabla 3.8: Ejercicio 3 1) Represente los resultados en una gr´afica. 2) Admitiendo que la curva sigue una relaci´on de la forma r = r0 e−λt , determine por el m´etodo de m´ınimos cuadrados los valores de λ y r0 . 3) A que ritmo se mover´ıan las mol´eculas de agua por la membrana en estudio al cabo de 10h. a) ¿que sustituciones se deben realizar en uno de los siguientes casos, para linealizar las ecuaciones? 1) La velocidad de flujo de salida de un qfluido ideal por un orificio en el lado

de un tanque esta dada por: v = 2P . Donde v y P son las variables ρ medidas. 2) La ley de los gases para un gas ideal es P V = RT . Donde P y V son variables medidas. 3) Las longitudes de onda de las l´ıneas en la serie
de Balmer del espectro de hidr´ogeno est´an dadas por λ1 = R 41 − n12 . Donde λ y n son variables medidas. 4) La frecuencia de resonancia de un circuito LC en paralelo esta dada por 1 ω = √LC . Donde w y C son variables conocidas.

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q 5) La impedancia de un circuito RC en serie es Z = R2 + ω21C 2 . Donde Z y ω son variables medidas. 6) La variaci´on relativista de la masa con la velocidad es m = q m0v2 . 1−

Donde m y v son variables medidas. 6. Nivel de riego Nivel 1 (Bajo)

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1. Titulo: Vectores 2. Objetivos: Dise˜ nar y construir un sistema para comprender el an´alisis de vectores. Verificar experimentalmente las condiciones de equilibrio para un sistema de vectores. Verificar que los vectores (fuerzas) cumplen la definici´on de la adici´on de vectores. Encontrar fuerzas resultantes de vectores y determinar experimentalmente las componentes de uno o varios vectores. 3. Marco Te´ orico: Muchas cantidades f´ısicas, como la velocidad, la aceleraci´on, la fuerza, entre otras son cantidades vectoriales, por tal motivo se debe tener claridad en la notaci´on y representaci´on que vamos utilizada para los mismos. Suma de Vectores. Sean F~1 y F~2 dos vectores que representan dos fuerzas. La suma de estos dos vectores fuerza F~ = F~1 + F~2 se puede obtener seg´ un se ilustra en el tri´angulo de la Figura 3.4.a, dibujando un vector a continuaci´on del otro, o bien en el paralelogramo de la Figura 3.4.b grafic´andolos en un origen com´ un . Para determinar la magnitud del vector suma de los vectores F~1 y el vector F~2 aplicamos la Ley del coseno q F = F12 + F22 + 2F1 F2 cos (θ)

(3.9)

donde θ, es el ´angulo entre los vectores F~1 y F~2 . Si F1 y F2 son fuerzas que act´ uan sobre un cuerpo, F~ ser´a la fuerza resultante que act´ ua sobre el cuerpo. La fuerza que equilibre a est´a fuerza resultante se le llamara es F~e , la cual tiene la misma magnitud que que la fuerza resultante pero en sentido opuesto, es decir F~e = −F~ , tal y como se muestra en la Figura 3.5.

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Figura 3.4: M´etodos para la suma de vectores Descomposici´ on de Vectores. Cualquier vector F~ , puede expresarse como la suma de dos (o m´as) vectores. Este conjunto de vectores que al sumarse producen F~ , se les llama la componentes del vector F~ . Las coordenadas m´as utilizadas para expresar las componentes de un vector son las rectangulares, esto es, el vector se expresa como la suma de dos o tres vectores mutuamente perpendiculares, como se muestra en la Figura 3.6. El vector F~ en coordenadas rectangulares, puede expresarse como F~ = F~x + F~y , donde F~x = Fx~ux y F~y = Fy ~uy , son las componentes del vector F~ en las direcciones ~ux y ~uy respectivamente, con Fx = F cos α y Fy = F senα, en consecuencia F~ = F cos α~ux + F senα~uy

tan α = Fy /Fx

(3.10)

Este resultado se puede generalizar para encontrar el vector resultante de la suma de muchos vectores, en cuyo caso es muy extenso utilizar el tri´angulo o el paralelogramo, para este caso la suma de los vectores se define como

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Figura 3.5: Fuerza equivalente de dos vectores F~ = F~1 + F~2 + · · · , por lo que es conveniente utilizar el m´etodo de componentes rectangulares, de esto resulta Fx = F1x + F2x + · · · =

Fy = F1y + F2y + · · · =

n X

Fix =

n X

i=1

i=1

n X

n X

i=1

Fiy =

Fi cos αi

(3.11)

Fi senαi

(3.12)

i=1

Donde n es el numero de vectores a sumar, αi es el ´angulo que el vector F~i hace con el semieje positivo X y Fi cos αi y Fi senαi son las componentes de F~i a lo largo de los ejes X e Y. 4. Materiales, equipos e insumos: Materiales 1 Mesa de fuerzas

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Figura 3.6: Componentes rectangulares de un vector 3 Poleas 3 Tornillos 3 Hilos 1 Aro central 21 Pesas(5,10,20 y 50 g) 3 ganchos de 50 g 5. Procedimiento Montaje Experimental I: Suma de Vectores. 1 Realice el montaje de poleas y masas como se observa en la Figura 3.7, para ello desplace la polea 1 un ´angulo θ1 entre 0 y 90 grados seg´ un el goni´ometro de la mesa y reg´ıstrelo en la Tabla 3.9, como θ1 y sobre el porta pesas que pasa sobre ella coloque una masa entre 0 y 150 g, registre la masa colocada en la Tabla 3.9 como m1 .

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Figura 3.7: Montaje para el estudio de los vectores 2 Desplace la polea 2 un a´ngulo entre 90 y 180 grados seg´ un el goni´ometro de la mesa y reg´ıstrelo en la Tabla 3.9, como θ2 y en el porta pesas que pasa sobre esta polea coloque masa entre 0 y 150 g, registre la masa colocada en la Tabla 3.9 como m2 . 3 Ahora coloque un valor de masa en el porta pesas que pasa sobre la polea 3 y gire la polea 3 hasta lograr el equilibrio del sistema (el anillo quede centrado con el circulo dibujado sobre la mesa), en caso de no lograr obtener equilibrio cambie la masa colocada sobre el porta pesas 3 y repita el procedimiento; al lograr el equilibrio, registre la masa del porta pesas 3 como me en la Tabla 3.9, esta es la masa equilibrante. Tome el valor del ´angulo que se˜ nala la polea 3 y reg´ıstrelo en la Tabla de datos 1 como θe este es el a´ngulo equilibrante. Montaje Experimental II: Composici´ on de Vectores. 1 Coloque la polea 1 a 0 grados y sobre el porta pesas coloque una masa entre 0 y 150 gr, registre los datos en la Tabla 3.10, como θ1 y m1 , respectivamente.

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2 Coloque la polea 2 a un ´angulo de 90 grados y sobre el porta pesas coloque una masa entre 0 y 150 gr, registre los datos en la Tabla 3.10, como θ2 y m2 , respectivamente. 3 Coloque una masa sobre el porta pesas 3 y ajuste la polea 3 hasta que se equilibre el anillo con el c´ırculo dibujado sobre la mesa. Cuando se logre el equilibrio registre la masa del porta pesas 3 en la Tabla 3.10 como me y registre el ´angulo de la polea 3 seg´ un el goni´ometro de la mesa, en la Tabla 3.10 como θe . 1 Convierta a kilogramos las masas m1 , m2 y me registre estos datos en segunda columna de la Tabla 3.9. 2 A cada uno de los datos de masas anterior, multipl´ıquelos por el valor de la gravedad g = 9,8m/s2 , para encontrar las fuerzas F1 , F2 y Fe respectivamente y registre sus resultados en la tercera columna de la Tabla 3.9. 3 Obtenga la magnitud de la fuerza resultante de las dos fuerzas la cual es igual a la magnitud de la fuerza equilibrante, registre el valor de de est´a fuerza como Fr en la Tabla 3.9. 4 Obtenga la direcci´on de la fuerza resultante de las dos fuerzas, recuerde que la direcci´on de esta fuerza es 180o menor que la direcci´on de la fuerza equilibrante, registre la direcci´on de est´a fuerza como θr en la Tabla 3.9. 5 Los valores de mr , son iguales a los valores de me , debido a que las magnitudes de las fuerzas equilibrante y resultante son iguales. 6 En una hoja de papel milimetrado, grafique las fuerzas F~1 y F~2 de la Tabla 3.9, escogiendo para ello un escala adecuada, de tal forma que se puedan observar en forma clara y permita realizar la suma de estas fuerzas por cualquier m´etodo gr´afico (m´etodo del paralelogramo, m´etodo del tri´angulo, etc). Mida la magnitud y la direcci´on de la fuerza resultante encontrada mediante este m´etodo y gu´ardelos como Frt´eorico1 y θrt´eorico1 . 7 Tome las magnitudes de las fuerzas F1 y F2 , y mediante el m´etodo anal´ıtico encuentre sus componentes rectangulares. Luego s´ umelas y encuentre la magnitud y direcci´on de la fuerza, utilizando la ecuaci´on 3.10, guarde estos valores como Frt´eorico2 y θrt´eorico2 . 8 Calcule el error existente entre los valores experimentales de la magnitud de la fuerza resultante Fr y los valores te´oricos Frt´eorico1 y Frt´eorico2 .

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9 Calcule el error existente entre los valores experimentales de la direcci´on de la fuerza resultante θr y los valores te´oricos θrt´eorico1 y θrt´eorico2 . 10 Repita los item 1 al 5 para la Tabla 3.10, hasta obtener la fuerza resultante y su respectiva direcci´on 11 Calcule las componentes rectangulares del vector de fuerza del numeral anterior por el m´etodo anal´ıtico. 12 Calcule el error existente entre los valores experimentales y te´oricos de las componentes rectangulares. 6. Nivel de riego Nivel 1 (Bajo) 7. Anexos Cuestionario 1 ¿Qu´e es un vector y cual es su diferencia con un escalar? 2 ¿Qu´e operaciones se pueden realizar con escalares que con los vectores no se pueden realizar? 3 ¿Explique tres formas diferentes de indicar la direcci´on de un vector? 4 ¿Existen otros tipos de coordenadas? ¿Cuales?

Masa m(g) m1 m2 me mr

Fuerza=mg Masa m(Kg) s Newtons m1 F1 m2 F2 me Fe mr Fr

´ Angulo Grados θ1 θ2 θe θr

Tabla 3.9: Suma de vectores Preguntas de control 1 ¿Coinciden los valores experimentales y te´oricos de la resultante de la suma de dos vectores?.

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Masa m(g) m1 m2 mr me

Fuerza=mg Masa m(Kg) s Newtons m1 F1 m2 F2 mr Fr me Fe

´ Angulo Grados θ1 θ2 θr θe

Tabla 3.10: Composici´on de vectores 2 ¿Calculando la fuerza equilibrante se puede calcular la fuerza resultante de dos vectores?¿Como?. 3 ¿Como se pueden obtener experimentalmente las componentes rectangulares de un vector dado?.

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1. Titulo: Balanza de fuerzas paralelas 2. Objetivos: Comprender las condiciones de equilibrio de traslaci´on y de rotaci´on mediante la balanza de fuerzas paralelas. Afianzar el concepto de torque alrededor de un eje fijo. Establecer si bajo la acci´on simult´anea de varias fuerzas en diferentes posiciones con respecto al eje de rotaci´on de la balanza, esta se encuentra o no en equilibrio. 3. Marco Te´ orico ´ ESTATICA: La est´atica estudia los cuerpos que est´an en equilibrio, que es el estado de un cuerpo no sometido a aceleraci´on; un cuerpo, que est´a en reposo, o est´atico, se halla por lo tanto en equilibrio. Un cuerpo en equilibrio est´atico, si no se le perturba, no sufre aceleraci´on de traslaci´on o de rotaci´on, porque la suma de todas las fuerzas o la suma de todos los momentos que act´ uan sobre ´el son cero. Sin embargo, si el cuerpo se desplaza ligeramente, son posibles tres resultados: El objeto regresa a su posici´on original, en cuyo caso se dice que est´a en equilibrio estable. Por ejemplo, pelota colgada libremente de un hilo est´a en equilibrio estable porque si se desplaza hacia un lado, r´apidamente regresar´a a su posici´on inicial. El objeto se aparta m´as de su posici´on, en cuyo caso se dice que est´a en equilibrio inestable. Por ejemplo, un l´apiz parado sobre su punta est´a en equilibrio inestable; si su centro de gravedad est´a directamente arriba de su punta la fuerza y el momento netos sobre ´el ser´an cero, pero si se desplaza aunque sea un poco, digamos por alguna corriente de aire o una vibraci´on, habr´a un momento sobre ´el y continuara cayendo en direcci´on del desplazamiento original.

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El objeto permanece en su nueva posici´on, en cuyo caso se dice que est´a en equilibrio neutro o indiferente. Por ejemplo, una esfera que descansa sobre una mesa horizontal; si se desplaza ligeramente hacia un lado permanecer´a en su posici´on nueva. Condiciones de Equilibrio:

a) Condici´ on de equilibrio o ´ Condici´ on de equilibrio Traslacional. “La suma algebraica de fuerzas que act´ uan sobre un cuerpo debe ser igual a cero”. Cuando esta condici´on se satisface no hay fuerza desequilibrada o no balanceada actuando sobre el cuerpo, lo que implica que el sistema de fuerzas no tender´a a producir ning´ un cambio en el movimiento lineal de un cuerpo. b) Condici´ on de equilibrio o ´ Condici´ on de equilibrio Rotacional. “La sumatoria algebraica de los momentos provocados por fuerzas que act´ uan a determinada distancia de cualquier eje o punto centro de giro de referencia debe ser cero”. Cuando esta condici´on se satisface no hay torque no balanceado o momento actuando sobre el cuerpo, lo que implica que el cuerpo no tender´a girar o rotar. Si ambas condiciones se cumplen se dice entonces que un cuerpo se encuentra en equilibrio, es decir, no tiene movimiento traslacional ni rotacional. TORQUE O MOMENTO DE FUERZA Se define el torque o momento ~τ de una fuerza F~ que act´ ua sobre alg´ un punto del cuerpo rigido, en una posici´on ~r respecto de cualquier origen O, por el que puede pasar un eje sobre el cual se produce la rotaci´on del cuerpo r´ıgido, al producto vectorial entre la posici´on ~r y la fuerza F~ ~τ = ~r × F~

(3.13)

El torque es la magnitud vectorial, si θ es el a´ngulo entre ~r y F~ , su magnitud por definici´on del producto vectorial, es τ = rF senθ, mientras que su direcci´on es siempre perpendicular al plano de los vectores ~r y F~ .

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Generalmente se considera un toque positivo cuando tiende a producir rotaci´on en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en sentido de las manecillas del reloj. UNIDADES DE TORQUE Para el sistema internacional: M.K.S.⇒metro·Newton= N · m C.G.S.⇒cent´ımetro·dinas= d · cm 4. Materiales, equipos e insumos: Materiales 1 Pasador de sujeci´on + 2 tornillos 1 Balanza de fuerzas paralelas 9 Pesas de 10g-1kg 5. Procedimiento 1 Realice el montaje de la Figura 3.8. Aseg´ urese que la balanza gire libremente sobre su eje de rotaci´on. La balanza debe quedar alineada horizontalmente. 2 Coloque una masa entre 200 y 400 g en la tercera posici´on del lado izquierdo de la balanza. Registre este valor como Mi en Kg en la Tabla 3.11. 3 Coloque masas del lado derecho de la balanza en diferentes posiciones hasta que se equilibre horizontalmente. Registre el valor de las masas con las cuales se logro el equilibrio en la Tabla 3.11. 4 Realice un diagrama de la balanza colocando el sistema de referencia en el punto de la rotaci´on de la misma y ubique las fuerzas y sus respectivos radios en forma vectorial. 5 Coloque dos masas entre 100 y 200 g en la segunda y tercera posici´on de lado izquierdo de la balanza. Registre estos valores en Kg en la Tabla 3.12. 6 Coloque masas del lado derecho de la balanza en diferentes posiciones hasta que se equilibre horizontalmente. Registre el valor de las masas con las cuales se logro el equilibrio como Mi1 y Mi2 en la Tabla 3.12.

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1 Realice un diagrama de la balanza colocando el sistema de referencia en el punto de la rotaci´on de la misma y ubique las fuerzas y sus respectivos radios en forma vectorial. 2 Calcule la magnitud de cada una de las fuerzas que act´ ua sobre la balanza. ~ ~ = m~g . Registre Recuerde que el peso W es una fuerza y se calcula como W estos valores en la Tabla 3.11. 3 Tome como d la distancia entre las diferentes posiciones como se observa en la Figura. a) Calcule los torques ~τ en funci´on de la distancia d, efectuados por cada uno de estas fuerzas mediante la ecuaci´on y reg´ıstrelas en la Tabla 3.11. 4 Sume los torques que act´ uan sobre la balanza, teniendo en cuenta el signo de cada uno de ellos y compruebe la condici´on de equilibrio rotacional. 5 Realice un diagrama de la balanza colocando el sistema de referencia en el punto de la rotaci´on de la misma y ubique las fuerzas y sus respectivos radios en forma vectorial. 6 Calcule la magnitud de cada una de las fuerzas que act´ ua sobre la balanza. ~ es una fuerza y se calcula como W ~ = m~g . Registre Recuerde que el peso W estos valores en la Tabla 3.12. 7 Tome como d la distancia entre las diferentes posiciones como se observa en la Figura 3.8. b) Calcule los torques ~τ en funci´on de la distancia d, efectuados por cada uno de estas fuerzas mediante la ecuaci´on y reg´ıstrelas en la Tabla 3.12. 8 Sume los torques que act´ uan sobre la balanza, teniendo en cuenta el signo de cada uno de ellos y compruebe la condici´on de equilibrio rotacional. 6. Nivel de riego Nivel 1 (Bajo) 7. Anexos Cuestionario a) ¿Como se realiza el producto vectorial entre dos vectores? b) ¿Como se reduce un grupo de fuerzas paralelas a una sola fuerza?

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Figura 3.8: Montaje para fuerzas paralelas Preguntas de control a) ¿Ser´a posible predecir la fuerza y su punto de aplicaci´on que logra el equilibrio si solamente se conoce la masa que ha sido colgadas en un lado de la balanza?. Sustente su respuesta. b) ¿El montaje experimental usado en esta pr´actica podr´ıa ser usado para encontrar la masa de un cuerpo?. Explique. c) ¿Se puede relacionar el funcionamiento de una balanza romana con el

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presente experimento?. Sustente su respuesta.

Masa Lado izquierdo Mi [Kg]

M1 [Kg]

Masas del Lado Derecho M2 [Kg]

M3 Kg

Fuerza Lado izquierdo Fi = Mi · g[N ]

F1 [N ]

Fuerzas del Lado Derecho F2 [N ]

F3 [N ]

Torque lado izquierdo τi = 3d · Fi · sen(90o )

τ1 [N · m]

Torques del Lado Derecho τ2 [N · m] τ3 [N · m]

Sumatoria de torques del lado Derecho τ1 + τ2 + τ3 = Tabla 3.11: Torque de fuerzas paralelas Masas Lado izquierdo Mi1 Mi2

M1 [Kg]

Masas del Lado Derecho M2 [Kg]

M3 [Kg]

Fuerzas Lado izquierdo Fi1 Fi2

F1 [N ]

Fuerzas del Lado Derecho F2 [N ]

F3 [N ]

Torques Lado izquierdo τi1 τi2

τ1 [N · m]

Torques del Lado Derecho τ2 [N · m]

τ3 [N · m]

Sumatoria torques lado izquierdo τi1 + τi2

Sumatoria torques lado izquierdo τ1 + τ2 + τ3

Tabla 3.12: Torque de fuerzas paralelas

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1. Titulo: Velocidad Media 2. Objetivos: Entender el concepto de velocidad media e instant´anea en forma experimental y reportar estos resultados. Definir la velocidad media e instant´anea. Utilizar herramientas de an´alisis gr´afico para conocer la interpretaci´on f´ısica de la pr´actica. 3. Marco Te´ orico

Figura 3.9: Velocidad media

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Supongamos que en tiempo t1 un cuerpo se encuentra en la posici´on A, mas tarde en el tiempo t2 se encuentra en la posici´on B, como se muestra en la Figura 3.9. La velocidad media entre A y B se define por V¯ = ∆x/∆t,

(3.14)

donde ∆x = x2 −x1 es el desplazamiento de la part´ıcula y ∆t = t2 −t1 es el tiempo empleado para el realizar este desplazamiento. Por consiguiente se define que, la velocidad media durante un cierto intervalo de tiempo es igual al desplazamiento promedio por unidad de tiempo. Para determinar la velocidad instant´anea en un punto, tal como A, debemos hacer el intervalo de tiempo ∆t tan peque˜ no como sea posible, de modo que no ocurran cambios es el estado de movimiento durante ese peque˜ no intervalo, es decir, calcular el l´ımite de la fracci´on que aparece en la ecuaci´on (3.14) cuando el denominador ∆t tiende a cero, esto se escribe V = l´ım V¯ = l´ım ∆x/∆t ∆t→0

∆t→0

(3.15)

Esta es la definici´on de derivada de x con respecto al tiempo, esto es V =

dx dt

(3.16)

Por tanto, la velocidad instant´anea es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo. 4. Materiales, equipos e insumos: Equipos 1. Carril de aire -banco de coj´ın neum´atico 2m 1. Fuente a´ıre 115V/60Hz 1. Manguera de presi´on, long. 1,5m Materiales 1. Carrito din´amico para el Carril de aire 2. Soporte final para Parachoques con 2 tornillos c/u

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2. Parachoques-horquilla 1. Cable conex.para el carril de aire 2. Banderola de 10 cm y 1cm (Soporte y placa con enchufe) 1. Medidor de tiempo 1. Adaptador para el Medidor de tiempo 2. Fotoceldas con base negra 2. Cables de conexi´on, para las fotoceldas 1. Cron´ometro digital, 24 h, 1/100s /1s 5. Procedimiento

Figura 3.10: Montaje para determinar la velocidad media 1 Coloque los parachoques el´asticos en ambos extremos del riel como se observa en la Figura 3.9. 2 Conecte el compresor al toma de luz y enci´endalo, en el nivel 4 o´ 5, intensidad que se tendra durante todo su experimento. 3 Coloque el carrito deslizador sobre el riel. Utilizando los tornillos niveladores ajuste la inclinaci´on del riel hasta que el carrito deslizador se mueva con velocidad constante (es decir siempre con la misma velocidad que no se incremente ni dismunuya).

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4 Ubique el centro del riel y registre el punto como x1 en un Diagrama del montaje de laboratorio. (POR FAVOR NO RAYE EL RIEL DE AIRE). 5 Ubique las dos fotoceladas a una distancia de 1m, la una de la otra, centradas en el punto medio x1 . Colocando primero la fotocelda temporizadora principal. 6 Disponga el medidor de tiempo, presionando en el SMART TIMER la tecla 1 select measurement (tecla roja) active la opci´on TIME, luego con la tecla 2 seleccione Select Mode (tecla azul) active la opci´on Two Gate, de esta forma se medir´a el tiempo que tarde en recorrer el deslizador la distancia entre las dos fotoceldas, en este caso 1m. Realice varias pruebas soltando el carrito deslizador con la banderola de 10 cm para ver si funciona correctamente las fotoceldas temporizadoras. 7 Elija otro punto cerca del extremo superior del riel como el punto de partida para el carrito deslizador, m´arquelo en el diagrama del montaje como x0 . Mant´engalo fijo durante toda la practica. 8 La distancia D es la que hay entre los centros de las fotoceldas, de acuerdo a lo indicado en el item 5. 9 Coloque el carrito deslizador con la banderola de 10cm cobre el carril de aire. 10 Mida el tiempo que le toma al deslizador pasar a trav´es de las fotoceldas (el marcado por el medidor de tiempo). 11 Repita este procedimiento anterior cinco veces y registrelo en la Tabla 3.13. 12 Acerque las dos fotoceldas hacia el punto medio x1 5 cm cada una, aseg´ urese de acercarlas la misma distancia. Repita el proceso de la toma de daos del paso 3, y registre sus datos en la Tabla 3.13. 13 Contin´ ue disminuyendo la distancia de 5 cm en 5 cm, y repita la toma de datos hasta que la distancia entre las dos fotoceldas sea de 20 cm. 14 Para la toma de datos de 10 cm se utiliza una sola fotocelda, la cual medir´a el tiempo que tarde en pasar la banderola de 10 cm por esta fotocelda, para lograr esto ubique la fotocelda principal en el punto medio x1 y cambie el modo de operaci´on del SMART TIMER al modo GATE. 15 Ubique la banderola de 10 cm y mida el tiempo cinco veces y registre sus datos en la Tabla 3.14.

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16 Cambie la banderola por la de 1cm, mida el tiempo cinco veces y registre sus datos en la Tabla 3.14. 17 Gire la banderola de 1cm para obtener una banderola de 1mm, mida el tiempo cinco veces y registre sus datos en la Tabla 3.14. a) Calcule el promedio de cada una de las muestras de la Tabla 3.13 b) Calcule el promedio de cada una de las muestras de la Tabla 3.14 6. Nivel de riego Nivel 1 (Bajo) 7. Anexos Cuestionario a) ¿Qu´e diferencia existe entre velocidad media y velocidad instant´anea? Muestra D(m) 1 1 2 0.9 3 0.8 4 0.7 5 0.6 6 0.5 7 0.4 8 0.3 9 0.2

t1

t2

t3

t4

t5

Promedio

t5

Promedio

Tabla 3.13: Velocidad media Muestra D(m) 1 0.1 2 0.01 3 0.001

t1

t2

t3

t4

Tabla 3.14: Velocidad media Preguntas de control

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a) ¿Existe relaci´on entre los promedios de las muestras?, ¿Cual?. b) ¿Realice una gr´afica donde represente la distancia D en funci´on del tiempo promedio?. c) ¿Calcule la pendiente de la gr´afica realizada en el numeral anterior?. d ) ¿Qu´e significado f´ısico tiene la pendiente calculada en el numeral anterior?

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1. Titulo: Ca´ıda Libre 2. Objetivos Estudiar el movimiento de ca´ıda libre de un cuerpo. Determinar la magnitud de la aceleraci´on gravitatoria terrestre al nivel de Ciudad Universitaria Determinar las funciones cinem´aticas en el movimiento de ca´ıda libre. Analizar los datos de posici´on y tiempo y las gr´aficas correspondientes. 3. Marco Te´ orico El caso mas importante de movimiento uniformemente acelerado es el de ca´ıda libre, donde los cuerpos est´an sometidos u ´nicamente a la atracci´on de la Tierra. Despreciando por tanto fuerzas como la fricci´on del aire, un cuerpo se mueve cerca de la superficie terrestre con una aceleraci´on constante, donde esta es la aceleraci´on de la gravedad y esta dirigida verticalmente hacia abajo y tiene un valor muy cercano a g = 9,8m/s2 . Este valor es el mismo para todos los cuerpos, y puede considerarse independiente de la altura, mientras que no nos alejemos de la superficie terrestre, ya que la aceleraci´on de la gravedad disminuye a medida que la distancia sobre la superficie terrestre o bajo ella aumenta. En un movimiento uniformemente acelerado la posici´on de un cuerpo en cualquier instante de tiempo bajo aceleraci´on constante es 1 y = y0 + v0 t + at2 2

(3.17)

Ahora, si un cuerpo que cae bajo la acci´on de la gravedad y escogiendo la direcci´on verticalmente hacia arriba como negativa, definimos a = g y donde la velocidad inicial es cero, debido a que el cuerpo cae libremente, resulta 1 y = gt2 2

(3.18)

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De esto es posible determinar la aceleraci´on gravitacional si que conoce la altura a la cual se deja caer libremente el objeto y el tiempo que tarda en recorrer esta altura. De las ecuaciones de movimiento uniformemente acelerado, es posible encontrara la velocidad con que cae el cuerpo con la siguiente ecuaci´on, v=

p 2gy

(3.19)

4. Materiales, equipos e insumos: Equipos 1. Conmutador De impacto o´ Sensor de ca´ıda libre 1. Contador digital, 4 d´ecadas Materiales 1. Pie en A-PASS 6. Tornillos 2. Apoyos de pl´astico de altura regulable 1. Varilla cuadrada PASS-L 1000mm 2. Pasador de sujeci´on con 2 tornillos 1. Esfera de acero, Diam. 19 mm 3. Cabe de conexi´on 32 A, 1000mm 1. Disparador 1. Porta esfera max.12V con varilla 1. Soporte para regla con 1 tornillo 1. Regla graduada, L 1000mm. 2. Corredera para regla graduadas 1. Cable adaptador para el contador 5. Procedimiento 1 Ubique el disparador de bola y platillo interruptor sobre la barra de sujeci´on como indica la Figura 3.11.

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Figura 3.11: Montaje para estudiar la ca´ıda de un cuerpo

Figura 3.12: Disparador de bola y platillo interruptor 2 Conecte el disparador de bola utilizando dos cables, conect´andolos en el par de conectores hembra STAR/STOP, indicado por el numero 9 en la Figura 3.13, luego conecte el platillo interruptor utilizando los dos cables, conect´andolos en el par de conectores hembra STOP, indicados por el numero

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10 de indica la Figura 3.13.

Figura 3.13: Medidor de tiempo de ca´ıda 3 Conecte el contador digital a la red de corriente alterna. 4 Para la activaci´on del modo de funcionamiento TIMER se ha de pulsar la tecla FUNCTION, indicado por el n´ umero 7 de la Figura 3.13 hasta que se encienda el diodo rotulado TIMER y en la regleta de diodos electroluminiscentes situada sobre dicha tecla, luego pulsando la tecla TRIGGER, indicado por el numero 8 de la Figura 3.13, hasta que se encienda el diodo rotulado como se ilustra en la parte superior derecha de la Figura 3.13. 5 Cerci´orese que el disparador de bola y el platillo interruptor est´en alineados. 6 Ubique la esfera de acero en el disparador de bola y mant´engala con el cable del disparador, aseg´ urese que el platillo interruptor no este presionado, ya que esto indica que el platillo interruptor esta cerrado y no esta apto para una medici´on de tiempo. 7 Despu´es de haber realizados los pasos anteriores, presione la tecla RESET, indicado por el numero 3 como muestra la Figura 3.13. 8 Ubique el disparador junto con la esfera a la altura indicada en la Tabla 3.15, ubic´andola con ayuda de la escuadra al lado de este, presione STAR y suelte la esfera met´alica, dejando de presionar el cable disparador. 9 El tiempo que tarda en caer la altura determinada, se muestra en el indicador digital, indicado por el numero 13 de la Figura 3.13, este tiempo esta en milisegundos (ms), para obtener el tiempo de ca´ıda en segundos, se ha de

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presionar la tecla DISPLAY, indicado por el numero 6 de la Figura 3.13, hasta que se encienda el diodo rotulado que indica la opci´on s, la cual significa que el tiempo es en segundos, realice cada medida cinco veces y registre sus valores en la Tabla 3.15. a) Obtenga el promedio del tiempo de ca´ıda. b) Calcule el cuadrado del tiempo de ca´ıda. c) Grafique la altura vs el tiempo de ca´ıda. d ) Grafique la altura vs el tiempo al cuadrado de ca´ıda. e) Con los datos graficados anteriormente aplique m´ınimos cuadrados para calcular la aceleraci´on gravitacional con ayuda de la ecuaci´on (3.18). Nota: Recuerde que la ecuaci´on (3.18) no es una ecuaci´on lineal, por lo tanto hay que linealizar esta, por esto, es necesario convertir la ecuaci´on del movimiento, en la forma: y = mx donde, y =altura del cuerpo, m = 1/2g =pendiente y x = t2 6. Nivel de riego Nivel 1 (Bajo) 7. Anexos Cuestionario a) ¿Como es la dependencia de la gravedad con la altura? Altura 80 70 60 50 40

t1

t2

t3

t4

t5

tpromedio

t2promedio

Tabla 3.15: C´alculo de la gravedad Preguntas de control a) ¿Coincide el valor de la gravedad obtenida con el valor te´orico de la misma?

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b) ¿Qu´e tipo de movimiento es el que se analiza? Por que dicha conclusi´on? c) Describa las caracter´ısticas f´ısicas de una ca´ıda libre?

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1. Titulo: Movimiento parab´olico 2. Objetivos Encontrar la velocidad inicial de salida de un proyectil. Predecir y verificar el alcance de un proyectil lanzado a cierto a´ngulo θ. Analizar la influencia del a´ngulo de inclinaci´on θ, en el alcance horizontal de un proyectil. Analizar la influencia del ´angulo de la velocidad inicial v0 , en el alcance horizontal de un proyectil 3. Marco Te´ orico

Figura 3.14: Movimiento parab´olico de un cuerpo Se le denomina movimiento parab´olico cuando la trayectoria seguida por una part´ıcula es una par´abola. Para determinar la posici´on de la part´ıcula en cualquier instante de tiempo se utiliza la siguiente expresi´on

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1 ~r = ~r0 + ~v0 + ~at2 2

(3.20)

Una de la aplicaciones mas interesantes a este tipo de movimientos, es el lanzamiento de proyectiles. En este caso ~a = ~g =aceleraci´on de la gravedad, escogeremos el plano XY como se muestra en la Figura 3.14, que es plano definido por ~v0 y ~g . Como el eje Y hacia arriba positivo de modo que ~a = −g~uy . Tenemos ~v0 = v0x~ux + v0y ~uy ,

(3.21)

donde v0x = v0 cos θ, v0y = v0 senθ. Para encontrar la velocidad en funci´on del tiempo, tenemos ~v = v0x~ux + (v0y − gt)~uy ,

(3.22)

donde vx = v0x ,

vy = v0y − gt

(3.23)

A partir de la ecuaci´on (3.20), determinamos la posici´on de la part´ıcula en cualquier instante de tiempo 1 ~r = (x0 + v0x t)~ux + (y0 + v0y t − gt2 )~uy , 2

(3.24)

1 y = y0 + v0y t − gt2 2

(3.25)

donde x = x0 + v0x t, LANZAMIENTO HORIZONTAL Es una variaci´on del lanzamiento parab´olico, pero en este caso en a´ngulo de inclinaci´on con respecto a la horizontal es θ = 0. Para predecir donde caer´a el proyectil sobre el piso, cuando este es disparado desde cierta altura y0 , es necesario saber la distancia tanto horizontal como vertical recorrida por el proyectil. Si este

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es lanzado horizontalmente con una velocidad inicial v0 , la distancia horizontal recorrida, (si x0 = 0 para t0 = 0, ver ecuaci´on 3.23) ser´a x = v0 t

(3.26)

la distancia horizontal recorrida ser´a D o R, si la trayectoria seguida es A o B, ver Figura 3.15, donde t, es el tiempo que permanece el proyectil en el aire. La distancia horizontal recorrida cuando (v0y = 0 para t0 = 0, ver ecuaci´on 3.23) es 1 y = y0 − gt2 2

(3.27)

La velocidad inicial v0 del proyectil puede ser determinada midiendo las distancias x e y ver Figura 2 y 3. El tiempo de vuelo debe ser encontrado a partir de la ecuaci´on 3.25, s t=

−2(y − y0 ) g

(3.28)

Por lo que la velocidad inicial v0 puede ser determinada a partir de (3.24) con ayuda de la ecuaci´on (3.26), obtenemos v0 =

x t

(3.29)

para predecir el alcance horizontal (D o R, si la trayectoria seguida es A o B, ver Figura 3.16) del proyectil lanzado con una velocidad inicial v0 , con un ´angulo de inclinaci´on θ por encima de la horizontal, primero se predice el tiempo de vuelo utilizando la ecuaci´on para el movimiento vertical (ver ecuaci´on 3.23) 1 y = y0 + v0 senθt − gt2 , 2

(3.30)

donde y0 es la altura vertical inicial y t es el tiempo de vuelo. Luego el alcance horizontal es (ver ecuaci´on 3.21 y 3.23) x = v0 cos θt

(3.31)

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Mesa 1

Mesa 2

Piso

Figura 3.15: Lanzamiento Horizontal

Mesa 1

Mesa 2

Piso

Figura 3.16: Lanzamiento de un proyectil

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4. Materiales, equipos e insumos: Materiales 2. Esferas (madera y acero) 1. Medidor de velocidad 1. Plataforma de lanzamiento 2. Mesas 1. Regla graduada en mm 1. Hoja de papel carb´on 1. Hoja de papel bond 1. Cable adaptador para el Medidor 5. Procedimiento Lanzamiento Horizontal

1 Realice el montaje de la Figura 3.15, coloque el lanzador de proyectiles horizontalmente formando un ´angulo de cero grados. 2 Mida la distancia vertical desde el punto de salida del proyectil (centro del proyectil) hasta el piso. Reg´ıstrela en la Tabla 1. de datos de lanzamiento horizontal como y0 = a + b + c (ver Figura 3.15). 3 Cargue el lanzador de proyectiles asegur´andose que la esfera quede encajada en la catapulta y disp´arelo. a) Coloque sobre el punto en la mesa 2 o en el piso donde cay´o el proyectil la hoja de papel bond con el papel carb´on sobre ella. 4 Repita este procedimiento cinco veces para cada una de las tres velocidades que posee la catapulta y registre los valores medidos de la velocidad inicial v0 en la Tabla 1 con ayuda del sistema de medida de velocidad montado sobre la unidad bal´ıstica. Retire con cuidado el papel carb´on y mida la distancia horizontal (D = e + f o R = e + f + l, ver Figura 3.15), justo debajo de el punto e lanzamiento, hasta cada uno de los puntos marcados por el proyectil sobre el papel bond. 5 Registre estos datos en la Tabla 3.16, para el lanzamiento horizontal como x1 , x2 , · · · , x5 .

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Lanzamiento Parab´ olico ´ Parte A: Velocidad Inicial Fija y Diferentes Angulos. 1 Incline el lanzador de proyectiles a´ngulos de 30◦ , 45◦ y 60◦ como se muestra en la Figura 4 y reg´ıstrelos en la Tabla 2. 2 Mida la distancia vertical desde el punto de salida del proyectil (centro del proyectil) hasta el piso. Reg´ıstrela en la Tabla 2 de datos de lanzamiento como y0 . 3 Registre los datos de la velocidad inicial como v0A en la Tabla 3.17 4 Cargue el lanzador de proyectiles en la escala intermedia de las tres que posee, asegur´andose que la esfera quede encajada en la catapulta y disp´arelo. 5 Coloque sobre el punto en el piso donde cay´o el proyectil la hoja de papel bond con el papel carb´on encima. 6 Repita este procedimiento cinco veces para cada uno de los a´ngulos seleccionados. Retire el papel carb´on y mida la distancia horizontal (D = e+f o R = e+f +l, ver Figura 3.16) hasta cada uno de los puntos marcados por el proyectil sobre el papel bond. 7 Registre estos datos en la Tabla 3.17, para el lanzamiento correspondiente a cada ´angulo θ como x1 , x2 , · · · , x5 . ´ Parte B: Angulo Fijo y Diferentes Velocidades In´ıciales 1 Incline el lanzador de proyectiles un a´ngulo θ entre 0◦ y 60◦ como se muestra en la Figura 3.16. 2 Mida la distancia vertical desde el punto de salida del proyectil (centro del proyectil) hasta el piso. Reg´ıstrela en la Tabla 3.18 de datos de lanzamiento como y0 . 3 Cargue el lanzador de proyectiles, asegur´andose que la esfera quede encajada en la catapulta y disp´arelo. 4 Coloque sobre el punto en el piso donde cay´o el proyectil la hoja de papel bond con el papel carb´on encima.

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5 Repita este procedimiento cinco veces para cada una de las tres velocidades que posee la catapulta y registre los valores medidos de la velocidad inicial v0E en la Tabla 3.18 con ayuda del sistema de medida de velocidad montado sobre la unidad bal´ıstica. Retire con cuidado el papel carb´on y mida la distancia horizontal (D = e + f o R = e + f + l, ver Figura 3.16), justo debajo de el punto e lanzamiento hasta cada uno de los puntos marcados por el proyectil sobre el papel bond. 6 Registre estos datos en la Tabla 3.18, para el lanzamiento correspondiente a cada velocidad inicial v0E como x1 , x2 , · · · , x5 . a) Obtenga el promedio del tiempo de ca´ıda. b) Calcule el cuadrado del tiempo de ca´ıda. c) Grafique la altura vs el tiempo de ca´ıda. d ) Grafique la altura vs el tiempo al cuadrado de ca´ıda. e) Con los datos graficados anteriormente aplique m´ınimos cuadrados para calcular la aceleraci´on gravitacional con ayuda de la ecuaci´on (3.21). Nota: Recuerde que la ecuaci´on (3.21) no es una ecuaci´on lineal, por lo tanto hay que linealizar esta, por esto, es necesario convertir la ecuaci´on del movimiento, en la forma: y = mx donde, y =altura del cuerpo, m = 1/2g =pendiente y x = t2 6. Nivel de riego Nivel 1 (Bajo) 7. Anexos Cuestionario a) ¿Como afecta el ambiente un movimiento parab´olico? b) ¿Qu´e diferencia existe entre la trayectoria A y B de la Figura 3.15? 8. Preguntas de control a) ¿Coincide el valor de la gravedad obtenida con el valor te´orico de la misma? b) ¿Qu´e tipo de movimiento es el que se analiza? Por que dicha conclusi´on?

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v0E

y0 [cm]

Distancia horizontal, xpromedio [cm] tiempo R o´ D [cm] Exp. xmejor ± δx t [s] x1 x2 x3 x4 x5

v0 [m/s] % Error

te´orico

Tabla 3.16: Datos de Lanzamiento Horizontal v0E

Distancia horizontal, xpromedio [cm] tiempo y0 [cm] y [cm] R o´ D [cm] Exp. 0 xmejor ± δx t [s] x1 x2 x3 x4 x5

v0 [m/s] te´orico

% Error

Tabla 3.17: Datos para Lanzamiento Parab´olico (θ variable) v0E

Distancia horizontal, xpromedio [cm] tiempo y0 [cm] y [cm] R o´ D [cm] Exp. 0 xmejor ± δx t [s] x1 x2 x3 x4 x5

v0 [m/s] te´orico

Tabla 3.18: Datos para Lanzamiento Parab´olico (v0 variable) c) Describa las caracter´ısticas f´ısicas de una ca´ıda libre?

% Error

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1. Titulo: Ley de Hooke 2. Objetivos Estudiar experimentalmente el comportamiento de los resortes. Calcular la constante el´astica k del resorte. Verificar la existencia de fuerzas recuperadoras. 3. Marco Te´ orico Un cuerpo se denomina el´astico si al actuar una fuerza sobre el sufre una deformaci´on de tal manera que al cesar la fuerza recupera su forma original. Cuando una fuerza externa act´ ua sobre un material causa un esfuerzo o tensi´on en el interior del material que provoca la deformaci´on del mismo. En muchos materiales, ente ellos los metales y minerales, la deformaci´on es directamente proporcional al esfuerzo. Esta relaci´on se conoce como la ley de Hooke, que fue el primero en expresarla. No obstante si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es valida. El m´aximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina limite de elasticidad. La relaci´on entre el esfuerzo y la deformaci´on, denominada modulo de elasticidad, as´ı como el limite de elasticidad, est´an determinados por la estructura molecular del material. La distancia entre las mol´eculas de un material no sometido a esfuerzo depende de un equilibrio entre las fuerzas moleculares de atracci´on y repulsi´on. Cuando se aplica una fuerza externa que crea una tensi´on en el interior del material, las distancias moleculares cambian y el material se deforma. Si las mol´eculas est´an firmemente unidas entre si, la deformaci´on no ser´a muy grande incluso con un esfuerzo elevado. En cambio si las mol´eculas est´an poco unidas, una tensi´on relativamente peque˜ na causara una deformaci´on grande. Por debajo del l´ımite de elasticidad, cuando se deja de aplicar la fuerza, las mol´eculas vuelven a su posici´on de equilibrio y el material el´astico recupera su forma original. M´as all´a del l´ımite de elasticidad, la fuerza aplicada separa tanto las mol´eculas que no pueden volver a su posici´on de partida y el material queda permanentemente deformado o se rompe.

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Para un resorte sencillo, se determina la constante de elasticidad k como la fuerza F necesaria para estirarlo en una unidad de longitud ∆x (ver figura 3.17.a), es decir k = F ∆x. En el sistema MKS, la constante k se expresa en N/m. Cuando dos resortes de constantes k1 y k2 se unen por un extremo el sistema resultante (ver figura 3.17.b), como es de suponer, obedece tambi´en a la ley de Hooke, es 0 decir, es tambi´en un sistema el´astico o arm´onico, y su constante el´astica k obedece a la ecuaci´on 1 1 1 + 0 = k k1 k2

(a)

(b)

(3.32)

(c)

Figura 3.17: Configuraci´on de resortes para la ley de Hooke Para el caso de resortes en paralelo (ver figura 3.17.c) se cumple 0

k = k1 + k2 4. Materiales, equipos e insumos: Materiales

(3.33)

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1. Soporte para resortes 6. Resortes de diferente constante 6. Masas de diferente valor 1. Metro 5. Procedimiento

Figura 3.18: Montaje para la ley de Hooke Montaje 1. Calculo de la Constante de Elasticidad k

1 Realice el montaje de la Figura 3.17.a. Para ello cuelgue un resorte del brazo horizontal del soporte. 2 Mida la longitud inicial del resorte con ayuda de la escala m´etrica y reg´ıstrelo en la Tabla3.19 como X0 . 3 Cuelgue del extremo inferior del resorte una masa m. Registre este valor en la tabla de datos 1 como m1 . Mida la longitud del resorte y reg´ıstrelo en la Tabla3.19. Como Xf 1 .

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4 Vari´e el valor de la masa colgante cuatro veces y registre estos valores en la Tabla3.19. Como m2 , m3 , m4 y m5 . Tambi´en mida la longitud final del resorte en cada caso y reg´ıstrelos en la Tabla3.19 como Xf 2 , Xf 3 , Xf 4 y Xf 5 . 5 Cambie el resorte por otro de diferente dureza. Repita los pasos 1, 2, 3, y 4. Registre estos datos en la Tabla3.20. Montaje 2. Sistema de Resorte en Serie y en Paralelo.

1 Coloque los resortes 1 y 2 en serie seg´ un la figura 3.17.b. Y repita los pasos 2,3 y 4 del montaje 1. Registre estos datos en la Tabla3.21. 2 Coloque los resortes en paralelo seg´ un la figura 3.17.c. Y repita los pasos 2,3 y 4 del montaje 1. Registre estos datos en la Tabla3.22. a) Encuentre la fuerza aplicada al resorte como F = mg para cada masa colgante m1 , m2 , m3 , m4 y m5 . Registre estos datos en la Tabla3.19, como F1 , F2 , F3 , F4 y F5 . b) Grafique sobre una hoja de papel milimetrado, la fuerza aplicada en funci´on del alargamiento ∆x, para el resorte 1. Encuentre gr´aficamente la pendiente de la gr´afica encontrada. c) Repita los pasos 1 y 2 del procedimiento anterior para el segundo resorte. Registre estos datos en la Tabla3.20, como F1 ,F2 ,F3 ,F4 y F5 . d ) Repita los pasos 1, 2 y 3 para el caso de resortes en serie y de resortes en paralelo. 6. Nivel de riego Nivel 1 (Bajo) 7. Anexos 8. Preguntas de control a) Qu´e representa la pendiente de la gr´afica F vs. ∆X. b) Demuestre que para dos resortes en serie que obedecen la ley de Hooke, la constante el´astica est´a dada por la ecuaci´on 3.32

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c) Demuestre que para dos resortes en paralelo que obedece a la ley de Hooke, la constante el´astica est´a determinada por la ecuaci´on 3.33 d ) Discuta con su compa˜ nero si su sistema experimental obedece las dos ecuaciones anteriores. Escriba su comentario.

m1

Masa colgante m [Kg] m2 m3

m4

m5

F1

Fuerza aplicada F = mg [N] F2 F3 F4

F5

Xf 1

Longitud inicial del resorte X0 = Longitud final del resorte Xf Xf 2 Xf 3 Xf 4

Xf 5

Alargamiento del resorte ∆X = Xf − X0 ∆X1 ∆X2 ∆X3 ∆X4 ∆X5 Tabla 3.19: Medidas para el resorte 1

m1

Masa colgante m [Kg] m2 m3

m4

m5

F1

Fuerza aplicada F = mg [N] F2 F3 F4

F5

Xf 1

Longitud inicial del resorte X0 = Longitud final del resorte Xf Xf 2 Xf 3 Xf 4

Xf 5

Alargamiento del resorte ∆X = Xf − X0 ∆X1 ∆X2 ∆X3 ∆X4 ∆X5 Tabla 3.20: Medidas para el resorte 2

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m1

Masa colgante m [Kg] m2 m3

m4

m5

F1

Fuerza aplicada F = mg [N] F2 F3 F4

F5

Xf 1

Longitud inicial del resorte X0 = Longitud final del resorte Xf Xf 2 Xf 3 Xf 4

Xf 5

Alargamiento del resorte ∆X = Xf − X0 ∆X1 ∆X2 ∆X3 ∆X4 ∆X5 Tabla 3.21: Medidas para los resortes 1 y 2 en serie

m1

Masa colgante m [Kg] m2 m3

m4

m5

F1

Fuerza aplicada F = mg [N] F2 F3 F4

F5

Xf 1

Longitud inicial del resorte X0 = Longitud final del resorte Xf Xf 2 Xf 3 Xf 4

Xf 5

Alargamiento del resorte ∆X = Xf − X0 ∆X1 ∆X2 ∆X3 ∆X4 ∆X5 Tabla 3.22: Medidas para los resortes 1 y 2 en paralelo

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1. Titulo: Segunda ley de Newton 2. Objetivos Estudiar la segunda ley de Newton. Determinar que la aceleraci´on es una funci´on de la masa acelerada. Determinar que la aceleraci´on es una funci´on de la fuerza aplicada. Determinar la relaci´on entre la distancia recorrida y el tiempo. Determinar la relaci´on entre la velocidad y el tiempo. 3. Marco Te´ orico La ecuaci´on que describe el movimiento de una masa m, a la cual se le aplica una fuerza F~ , es la siguiente ecuaci´on

Figura 3.19: Montaje estudiar la segunda ley de Newton

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F~ = m~a,

(3.34)

conocida como la segunda ley de Newton, donde, d2~r , dt2

~a =

(3.35)

es la aceleraci´on de la masa m. La velocidad de la masa m como una funci´on del tiempo para una velocidad inicial ~v (0) = 0, es: F~ t, m

~v =

(3.36)

y la posici´on de la masa como una funci´on del tiempo, para una posici´on inicial ~r (0) = 0: ~r =

1 F~ 2 t 2m

(3.37)

Para el caso estudiado en la presente practica de laboratorio la fuerza es igual al peso de la masa colgante m1 ~ F = m1 g,

(3.38)

donde g es la aceleraci´on de la gravedad. Si la masa total del deslizador es m2 , entonces la ecuaci´on del movimiento es: (m1 + m2 ) |~a| = m1 g,

(3.39)

La velocidad es: m1 g t, m1 + m2

(3.40)

1 m1 g 2 t. 2 m1 + m2

(3.41)

|~v | ≡ v(t) = Y el espacio recorrido es: |~r| ≡ s(t) =

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En caso de conocer el espacio recorrido y el tiempo empleado en este recorrido, se puede calcular la aceleraci´on como: a=

2s . t2

(3.42)

4. Materiales, equipos e insumos: Equipos 1. Carril de aire -banco de coj´ın neum´atico 2m 1. Fuente de a´ıre 115V/60Hz 1. Manguera de presi´on, long. 1,5m Materiales 1. Carrito din´amico 1. Contador digital+ 6.conectores 1. Masas y porta masas 1. Cuerda 1. Polea 3. Banderolas 5. Procedimiento Montaje 1. Variaci´ on de la posici´ on

1 Nivele el deslizador junto con el riel 2 Realice el montaje de la Figura 3.20. 3 Ajuste el nivel de la fuente hasta antes que el deslizador inicie su movimiento, luego de este ajuste no cambie el valor de la fuente a lo largo del experimento. 4 Coloque la primera fotocelda en el punto de partida a una distancia de 60 cm(escala metrica del riel) y la segunda fotocelta a las distancias mostradas en la Tabla 3.23 5 Mida la masa colgante m1 6 Mida la masa del deslizador m2

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Figura 3.20: Montaje estudiar la segunda ley de Newton 6 Mida cinco veces los tiempos que tarda el deslizador en recorrer la distancia establecida y reg´ıstrelos en la Tabla 3.23 Montaje 2. Variaci´ on de la masa.

1 Repita el experimento del Montaje anterior pero en este caso deje constante la distancia entre las fotoceldas en 1m y var´ıe la masa colgante. Registre sus resultados en la Tabla 3.24 a) Calcule el promedio de los cinco tiempos b) Realice una gr´afica de ∆r vs. tpromedio . c) Realice una gr´afica de ∆r vs. t2promedio . d ) Calcule la pendiente de la recta del numeral anterior. e) Calcular el promedio de los cinco tiempos cuando se var´ıa la masa. f ) Calcule la aceleraci´on y registre su valor en la Tabla 3.25

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g) Calcule las dos fuerzas y registre sus valores en la Tabla 3.25 h) Calcule el error de las dos fuerzas y registre su valor en la Tabla 3.25 i ) Realice una gr´afica entre la fuerza neta y la aceleraci´on. 6. Nivel de riego Nivel 1 (Bajo) 7. Anexos m1 = r2 (cm) ∆r(m)

[Kg], t1

m2 = t2

[Kg], t3

r1 = 60cm t4 t5

tpromedio

Tabla 3.23: Posici´on en funci´on del tiempo

m1 (Kg) m2 (Kg)

t1

t2

∆r = 1m t3

t4

Tabla 3.24: Aceleraci´on dependiente de masa 8. Preguntas de control

t5

tpromedio

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Aceleraci´on

(m1 + m2 ) a F = m1 g

error %

Tabla 3.25: Aceleraci´on dependiente de masa a) Qu´e significado f´ısico tiene la pendiente calculada en el numeral 4 del an´alisis de datos. b) Se comprueba la segunda ley de Newton F = ma. ¿Quien es m?. c) Porque en el calculo de la fuerza neta solo se emplea m1 .

m

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1. Titulo: Conservaci´on de la energ´ıa 2. Objetivos Estudiar el concepto de energ´ıa cin´etica y potencial . Comprobar el teorema de conservaci´on de la energ´ıa. Reforzar los conocimientos adquiridos en el movimiento parab´olico. 3. Marco Te´ orico Cuando un cuerpo de masa m tal como un autom´ovil, una pelota se desplaza con una velocidad vposee energ´ıa llamada en este caso energ´ıa cin´etica Ec , est´a energ´ıa puede ser causada por la transformaci´on de otro tipo de energ´ıa por ejemplo, cuando se toma un cuerpo y se lleva hasta una altura h sobre el suelo, se debe realizar un trabajo para subir el cuerpo hasta la altura h, cuando el cuerpo se encuentra a la altura h posee energ´ıa que en este caso es potencial Ep . Al dejar caer el cuerpo este pierde altura ocasionando con ello una perdida de energ´ıa potencial; est´a energ´ıa potencial perdida se transforma en energ´ıa cin´etica a causa del incremento de la velocidad del cuerpo; cuando el cuerpo llega al suelo su energ´ıa potencial es cero por no poseer altura, en este caso su energ´ıa potencial se ha convertido en energ´ıa cin´etica es decir: Ec = Ep

(3.43)

Este fen´omeno se puede generalizar si tomamos dos puntos A y B, donde la energ´ıa total es decir la suma de la energ´ıa cin´etica y potencial en los puntos son EA y EB respectivamente, las cuales deben ser iguales, lo que constituye el teorema de conservaci´on de la energ´ıa. Cuando el objeto se mueve del punto A al punto B, puede perder energ´ıa por otras causas, por ejemplo la fricci´on, en este caso no se cumple que EA = EB , porque la energ´ıa final es menor que la energ´ıa inicial; el teorema de conservaci´on de energ´ıa es ene este caso: EA = EB + W,

(3.44)

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donde W es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas, como por ejemplo la fricci´on. Las expresiones para la energ´ıa potencial y la energ´ıa cin´etica son: 1 Ec = mv 2 2

Ep = mgh,

(3.45)

Considerando ahora una esfera peque˜ na de masa m = 9,6g, que se encuentra a una altura h sobre una mesa en el punto A, como se muestra en la figura 3.21; al soltar la esfera esta sale disparada con una velocidad horizontal v0 en el punto B y viaja con un movimiento parab´olico hasta el punto C. En el punto A, la energ´ıa es solo potencial y est´a determinada por: EA = mg (h + H − h0 ) ,

(3.46)

y la energ´ıa en el punto B, es la suma de la energ´ıa cin´etica y potencial en el punto es decir 1 EB = mg (H + h0 ) + mv02 2

(3.47)

Finalmente la energ´ıa en el punto C, es solo cin´etica debido a que la altura es cero 1 EC = mv 2 2

(3.48)

A causa del movimiento parab´olico la esfera recorre una distancia horizontal L dada por L = v0 t,

(3.49)

donde t es el tiempo que tarda la esfera en viajar de B a C, de igual forma para calcular la velocidad inicial del movimiento parab´olico v0 utilizamos la ecuaci´on y = y0 + v0y t − 12 gt2 1 1 L2 0 = (H + h0 ) − gt2 = (H + h0 ) − g 2 2 2 v0

s o´ v0 =

gL2 2 (H + h0 )

(3.50)

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Las componentes de la velocidad en el punto C se pueden calcular con vx = v0x y vy = v0y − gt vx = v0

y

vy = −g

L v0

(3.51)

L2 v02

(3.52)

con lo cual la velocidad en el punto C es s q v = vx2 + vy2 =

v02 + g 2

4. Materiales, equipos e insumos: Equipos 1. Mesa de lanzamiento Materiales 1. Metro 1. Papel calcante 5. Procedimiento 1 Realice el montaje de la figura 3.21 2 Mida el valor de las alturas fijas H y h0 y registre sus valores en la Tabla 3.26 3 Deje caer la esfera desde una altura h sobre el nivel de la mesa, registre el valor de la altura h en la Tabla 3.26 4 Determine la distancia horizontal L recorrida por la esfera antes de golpear el suelo por primera vez, determine est´a medida tres veces para la misma altura h. 5 Repita el numeral anterior para diferentes valores de h y registre los valores de h y L obtenidos en la Tabla 3.26 a) Calcule los promedios de L para cada una de las alturas h y reg´ıstrelos en la ¯ Tabla 3.26 como L. b) Utilizando la ecuaci´on 3.50 calcule v0 para cada una de las alturas h y reg´ıstrelo en la Tabla 3.27

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Figura 3.21: Montaje para la conservaci´on de la energ´ıa c) Utilizando la ecuaci´on 3.52 calcule los valores de v para cada una de las alturas h y reg´ıstrelos en la Tabla 3.27 d ) Utilizando la ecuaci´on 3.46 calcule la energ´ıa en el punto A para cada una de las alturas h. e) Utilizando la ecuaci´on 3.47 calcule la energ´ıa en el punto B para cada una de las alturas h. f ) Utilizando la ecuaci´on 3.48 calcule la energ´ıa en el punto C para cada una de las alturas h. 6. Nivel de riego Nivel 1 (Bajo) 7. Anexos Cuestionario

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a) ¿Qu´e es trabajo? b) ¿Qu´e es energ´ıa potencial? c) ¿Qu´e es energ´ıa cin´etica? d ) ¿Qu´e establece el principio de conservaci´on de la energ´ıa? e) ¿Qu´e son fuerzas conservativas y no conservativas? h

L1

L2

L3

¯ L

Tabla 3.26: Distancia horizontal recorrida h

v0

v

EA

EB

EC

Tabla 3.27: C´alculos de las energ´ıas a partir de las alturas y las velocidades 8. Preguntas de control a) ¿Coinciden los valores de la energ´ıa en los puntos A, B y C?. b) ¿En caso de existir una diferencia en los valores del inciso anterior justifique?. c) ¿Realizando una regresi´on lineal entre EA y h, para determinar la gravedad?. d ) ¿Qu´e significado f´ısico tiene el corte de la ecuaci´on anterior?

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1. Titulo: Din´amica de un cuerpo r´ıgido 2. Objetivos Investigar la inercia rotacional de algunas distribuciones de masas conocidas. Determinar el momento de inercia de un disco, una varilla de inercia y un doble disco, utilizando los m´etodos experimentales y el m´etodo anal´ıtico para luego comparar la diferencia entre ellos. 3. Marco Te´orico ~ de el cuerpo r´ıgido en un sistema de La relaci´on entre el momento angular L coordenadas, estacionario con su origen en el centro de gravedad, y el torque τ actuando sobre el es (ver Figura 3.22)

Figura 3.22: Din´amica de un cuerpo r´ıgido

~τ =

~ dL dt

(3.53)

El momento angular se expresa a trav´es de la velocidad angular ω ~ y del momento de inercia I as´ı ~ = I~ω L

(3.54)

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En este caso, ω ~ tiene la direcci´on del eje principal de inercia (el eje z); de manera ~ tiene solo una componente: que L Lz = Iz ω

(3.55)

Donde Iz es la componente z principal del momento de inercia del cuerpo. Para este caso, la ecuaci´on (3.53) se convierte en: τz = Iz

dω dt

(3.56)

En t´erminos de la fuerza F~ , que es la fuerza ejercida por la masa colgante (ver Figura 3.22), el torque ser´a ~τ = ~r × F~

(3.57)

Como para ~r⊥F~ , la componente z del torque es: τz = rmg

(3.58)

Por esto la ecuaci´on del movimiento es: rmg = Iz

dω = Iz α dt

(3.59)

rmg α

(3.60)

De aqu´ı se obtiene Iz =

donde α es la aceleraci´on angular del cuerpo r´ıgido. Si ahora queremos determinar la energ´ıa cin´etica total del cuerpo que gira, esta ser´a igual a la suma de la energ´ıa cin´etica de todas las part´ıculas que componen el cuerpo, consecuentemente: 1 1 Ek = m1 r12 ω 2 + m2 r22 ω 2 + · · · 2 2

(3.61)

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Como hemos partido del supuesto de que el cuerpo es r´ıgido, todas las part´ıculas tendr´an la misma velocidad angular, lo que permite la factorizaci´on de la ecuaci´on anterior: 1 Ek = 2

N X

! mi ri2 ω 2

(3.62)

i=1

Donde N , es el n´ umero total de part´ıculas que conforman el cuerpo r´ıgido. La cantidad dentro del par´entesis es la suma de los productos de las masas de cada part´ıcula por el cuadrado de su distancia la eje de rotaci´on, esta es el momento de inercia, por lo que la ecuaci´on anterior se puede escribir como: 1 Ek = Iω 2 2

(3.63)

Aclaraci´ on previa Para lo concerniente al procedimiento y evaluaci´on de datos, este fue basado en un solo cuerpo r´ıgido, un disco o placa giratoria con escala angular, donde este posee un momento de inercia de 126Kgcm2 y un di´ametro de 35cm. El estudiante se basara en este ejemplo para la realizaci´on del an´alisis de datos y la culminaci´on de la pr´actica del laboratorio de mec´anica-Din´amica del Cuerpo R´ıgido. 4. Materiales, equipos e insumos: Equipos 1. Computador 1. Software measure 1. COBRA 3 Basic -unit 1. Cable USB para Cobra 3 1. Adaptador para Cobra 3 1. Cable de alimentaci´on con punta removible Materiales 2. Placas giratorias con escala angular 1. Tr´ıpode PASS con 3 tornillos de nivelaci´on.

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DISCO

d[cm]

BARILLA DE INERCIA

35 a[cm] M [Kg]

15 DISCO DOBLE

61 d[cm]

35 1 tornillo de apriete 1. Diafragma para placa giratoria 1. Eje de rotaci´on (varilla del tr´ıpode ) 1. Disco de accionamiento de d = 60 y d = 90 mm 1. Bul´on de eje de 30 mm 1. Tornillo de sujeci´on del bul´on 1. Dispositivo de sujeci´on con 1 disparador de alambre 2. Pinza de mesa PASS 1. Varilla de acero inox de 25 cm 1. Fotocelda 3. Bananas 1. Doble nuez + 2 tornillos amarillos 2. Platillos para pesa con 2 tornillos c/u 2. Varillas peque˜ nas

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1. Porta pesa de 1g. 1. Gancho para pesa de 10 g. 1. Hilo de seda -carrete, L 200m 1. Varilla de inercia con 1 diafragma 1. Rueda incremental 2. Pesas de 1g. 10 Pesas de 10g. 2. Pesas de 50g. 5. Procedimiento

Figura 3.23: Montaje para estudiar la din´amica del cuerpo r´ıgido 1 Ejecute la conexi´on el´ectrica de la fotocelda a la unidad b´asica cobra 3 de acuerdo a la Figura 3.24

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BASIC UNIT 5V/max 0.2 A

OUT

ANALOG IN 2

TIMER/COUNTER

MODULO ANALOG IN 1 S2

1 START 2

S1 STOP

Amarillo

Azul

Rojo

Figura 3.24: Conexi´on din´amica de un cuerpo r´ıgido 2 Aseg´ urese de que el hilo que conecta al eje de rotaci´on con la polea de la fotocelda este horizontal. Enrolle el hilo aproximadamente 15 veces alrededor del eje de rotaci´on. 3 Ajuste el tr´ıpode de modo que el cuerpo r´ıgido a colocar quede horizontal. 4 Abra el programa “mesaure”, en el icono “gauge/traslation/rotations”, fije los par´ametros de medida de acuerdo con la Figura 3.25. Coloque el hilo de seda a trav´es de la polea de la fotocelda y ajuste el arreglo experimental de manera tal que la masa se mantenga suspendida libremente. La ranura para el cord´on en la polea debe estar alineada con el hilo de seda. 5 Ponga el cuerpo r´ıgido quieto (para ponerlo a girar) en la posici´on de inicio.

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Ingrese el di´ametro del eje del disco giratorio (que para este ejemplo es de 30 mm) alrededor del cual ira enrollado el hilo de seda, en el icono “Axie diameter” (di´ametro del eje) en la ventana de dialogo, de esta manera las velocidades rotacionales de la fotocelda y del eje del disco giratorio pueden ser sincronizadas. 6 El final del hilo de seda es cargado con una masa (que para este ejemplo es de 10 g). Tan pronto como el cuerpo r´ıgido empiece a rotar, haga click sobre el icono “start measurement” (iniciar medida), justo antes de que la masa alcance el piso, haga click sobre el icono “stop measurement” (detener la medici´on). Es importante tener en cuenta que la masa colgante no debe oscilar durante la toma de datos, esto para prevenir el aumento en el error de los c´alculos. Nota: si la base donde esta girando el cuerpo r´ıgido no rota uniformemente, revise si este puede rotar en la direcci´on opuesta, mejorando as´ı la situaci´on.

Figura 3.25: Configuraci´on software para la practica din´amica de un cuerpo r´ıgido Despu´es de haber realizado el inciso 6 del procedimiento, usted podr´a observar lo

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siguiente: 1 La Figura 3.26 muestra la curva de velocidad angular ω Vs. Tiempo, si el icono de Regression”(Regresion) es cliqueado, una l´ınea de regresi´on se dibuja a trav´es de los puntos medidos, como esta es una recta de la forma y = mx + b y teniendo en cuenta la relaci´on, ω = αt. Es f´acil identificar que la pendiente de esta, la cual representa la aceleraci´on angular ω. En el ejemplo de la Figura 3.26, la aceleraci´on angular es, α = 0,463rad/s2 Vale la pena aclarar que en el caso ideal la recta de regresi´on aplicada a la velocidad angular ω, deber´ıa resultar una recta de la forma, y = mx pero el ruido excesivo en el arranque de la medida es debido a la baja resoluci´on en el rayo del disco que interrumpe la fotocelda a bajas velocidades. 2 La Figura 3.27 muestra el progreso de la aceleraci´on angular en el tiempo, aqu´ı tambi´en aplicamos regresi´on lineal. Hay que resaltar, que es posible ajustar los datos que se deseen utilizar al momento de aplicar la regresi´on lineal, en este caso, se realiza seleccionando dos peque˜ nos cuadrados que aparecen al momento de aplicar regresi´on lineal y desplazarlos hacia la derecha o la izquierda, ubic´andolos donde se desee. Como para un movimiento rotatorio con aceleraci´on uniforme, la aceleraci´on angular como funci´on del tiempo es constante, por lo que es importante ajustar la l´ınea de regresi´on, a una l´ınea de pendiente aproximadamente cero, esto con el fin de cumplirlo anteriormente mencionado (aceleraci´on angular constante o uniforme), el ejemplo de la Figura 3.27, se identifica que b = 0,443rad/s2 Donde este provee un valor inicial para la aceleraci´on angular. Aproximando en lo posible a una recta de pendiente nula, que para este ejemplo mostrado en la Figura 3.27, el valor mas bajo logrado fue de m = 0,001, esto para que el movimiento rotatorio sea en lo posible con una aceleraci´on constante o uniforme. 3 La Figura 3.29 muestra la curva del Angulo recorrido como funci´on del tiempo, la cual exhibe un comportamiento parab´olico, en la cual los puntos medidos fueron fuertemente enfatizados. 4 La energ´ıa rotacional Figura 3.28, del momento de inercia es: I = operaci´on indicada, la conversi´on es modification/Operaci´ on/f := 0,5 ∗

en este caso el valor te´orico 0,0165kg/m2 . Para realizar la echa por: “Analisis/Channel 0,0165 ∗ x ∗ x”,antes de cliquear

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“calculate” se recomienda al estudiante realizar lo ilustrado en la Figura 3.31 Esto con el fin de asignarle un nombre al nuevo canal que se genero, para este caso, el titulo ser´a “Title:Erot”, pero el nombre del canal ser´a “Ero”.

Figura 3.26: 5 La energ´ıa potencial de la Figura 3.28 corresponde a: Epot = mg(h − s(t)). Donde h = 0,77m que es la altura medida desde el nivel del piso a la cual se deja caer la masa colgante y s(t) = ϕ(t)r. Usando la conversi´on “Analisis/channel modification/operation,f := 0,051 ∗ 9,81 ∗ (0,77 − x ∗ 0,015)”, donde x = ϕ(t). 6 La ley de conservaci´on de la energ´ıa establece que la suma de la energ´ıa cin´etica y potencial en un sistema cerrado debe ser constante, que para el caso de un cuerpo r´ıgido con una masa colgante (ver ecuaci´on 3.63) es: 1 1 E = mv 2 + Iω 2 + mgh · · · 2 2

(3.64)

Ahora para calcular la velocidad de la masa colgante despu´es de haber recorrido una distancia h, hay que tener en cuenta que la velocidad de partida debe ser nula y que la aselaron que experimenta el cuerpo colgante puede

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Figura 3.27:

Figura 3.28: ser encontrada a partir de la de la aceleraci´on angular, por lo que resulta la siguiente relaci´on: √ v=

2hrα

(3.65)

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Figura 3.29: Para este ejemplo la energ´ıa cin´etica del cuerpo colgante no se tuvo en cuenta, ya que esta energ´ıa es extremadamente peque˜ na comparada con las otras dos formas de energ´ıas presentes y por lo tanto se ignoraron en estos c´alculos. Para el caso que se quiera tener en cuenta la velocidad angular se debe representar la velocidad en funci´on de la velocidad angular, es decir v = ω(t)r, donde r, es el radio de giro (ver Figura 3.22). El procedimiento 1, 2 y 3 son est´andar para todos los montajes. PARTE A: Masa colgante fija y Radios de Acci´ on Diferentes Los siguientes ´ıtem se realizaran para los cuerpos: disco, barrilla de inercia y disco doble. Cada uno de estos cuerpo posee su tabla de datos correspondiente, por lo que se debe llenar basados en los ´ıtem que a continuaci´on se explicaran y que se aplican a cada caso. 1 Realice el montaje de la Figura 3.23. 2 A partir del procedimiento 4, realice los ajustes para iniciar la toma de datos de acuerdo a la Figura 3.22, donde estos son basados en los datos predispuestos en la Tabla 3.28. Despu´es de haber realizado lo anterior se realizan el ´ıtem 5 y 6 del procedimiento.

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Figura 3.30: 3 Realice los ´ıtem de la evaluaci´on de datos 1 y 2, calcule el valor de la aceleraci´on angular y completando as´ı la Tabla 3.28. 4 Despu´es de haber realizado lo anterior, grafique el torque Vs. aceleraci´on angular promedio. 5 Aplicando m´ınimos cuadrados, encuentre el valor del momento de inercia y complete la Tabla 3.28. PARTE B: Radios de Acci´ on Fijo y Diferentes Masa Colgantes Los siguientes ´ıtem se realizaran para los cuerpos: disco, barrilla de inercia y disco doble. Cada uno de estos cuerpo posee su tabla de datos correspondiente, por lo que se debe llenar basados en los ´ıtem que a continuaci´on se explicaran y que se aplican a cada caso.’ 1 A partir del procedimiento 4, realice los ajustes para iniciar la toma de datos de acuerdo a la Figura 3.25, donde estos son basados en los datos

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Figura 3.31: predispuestos en la Tabla 3.29. Despu´es de haber realizado lo anterior se realizan el ´ıtem 5 y 6 del procedimiento. 2 Realice los ´ıtem de la evaluaci´on de datos 1 y 2, calcule el valor de la aceleraci´on angular y completando as´ı la Tabla 3.28. 3 Despu´es de haber realizado lo anterior, grafique el torque Vs. aceleraci´on angular promedio. 4 Aplicando m´ınimos cuadrados, encuentre el valor del momento de inercia y complete la Tabla 3.29. 6. Nivel de riego Nivel 1 (Bajo)

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7. Anexos Masa colgante [g] 50

Masa colgante [g] 75

Masa colgante [g] 100

DISCO Radio [cm] Torque α1 30 60 90 BARILLA DE INERCIA Radio [cm] Torque α1 30 60 90 DISCO DOBLE Radio [cm] Torque α1 30 60 90

α2

αpromedio

I

α2

αpromedio

I

α2

αpromedio

I

α2

αpromedio

I

α2

αpromedio

I

α2

αpromedio

I

Tabla 3.28: Datos medidos

Radio [cm] 60

Radio [cm] 60

Radio [cm] 60

DISCO Torque α1

Masa colgante [g] 50 75 100 BARILLA DE INERCIA Masa colgante [g] Torque α1 50 75 100 DISCO DOBLE Masa colgante [g] Torque α1 50 75 100 Tabla 3.29: Datos medidos

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1. Titulo: P´endulo bal´ıstico 2. Objetivos Verificar el principio de conservaci´on de cantidad de movimiento y de la no verificaci´on del principio de conservaci´on de la energ´ıa en un choque inel´astico. Revisar la teor´ıa f´ısica y los principios fundamentales que est´an presentes en el experimento planteado. Determinar la velocidad de disparo de un proyectil utilizando el m´etodo aproximado y el m´etodo exacto. 3. Marco Te´ orico Los principios de conservaci´on son fundamentales para la F´ısica. Por medio de estos principios es posible estudiar y predecir la evoluci´on en el tiempo de muchos sistemas. En el caso espec´ıfico de la Mec´anica, son de gran importancia los principios de conservaci´on de la energ´ıa, conservaci´on del momentum lineal y conservaci´on del momentum angular. En esta pr´actica se utilizar´a el principio de conservaci´on del momentum lineal para estudiar el funcionamiento de un p´endulo bal´ıstico. Este es un dispositivo cl´asico que permite medir la rapidez de disparo un proyectil. Utilizando un p´endulo bal´ıstico (Figura 3.33), un proyectil (esfera de acero o madera) de masa m se dispara con rapidez vb , y al chocar contra el p´endulo queda incrustado en ´el. Como resultado del impacto el conjunto p´endulo-proyectil oscila alrededor del punto de suspensi´on alcanzando una altura m´axima ∆h (Figura 3.32) sobre el punto donde ocurri´o la colisi´on. La altura ∆h (de ahora en adelante llamaremos h) alcanzada por el p´endulo podemos medir su energ´ıa potencial. Esta a su vez es igual a la energ´ıa cin´etica del sistema justo despu´es del choque, si despreciamos la fricci´on en el pivote del p´endulo. No es posible igualar la energ´ıa cin´etica del p´endulo justo antes del choque a la energ´ıa cin´etica del proyectil justo despu´es de ´el, pues la colisi´on es inel´astica. Sin embargo, dado que en toda colisi´on se conserva el momento lineal (cantidad

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de movimiento), si pueden igualarse los momentos lineales del sistema proyectilp´endulo, justo antes y justo despu´es del choque.

Figura 3.32: Montaje para estudiar el p´endulo bal´ıstico Primer M´ etodo (M´ etodo Aproximado) El cual asume que el p´endulo y la bola act´ uan juntos como una masa puntual localizada en su centro de masas combinado. Este m´etodo no toma en consideraci´on la inercia rotacional. La velocidad inicial de la bola cuando sale del lanzador de proyectiles se determina disparando la bola dentro del p´endulo y observando el a´ngulo m´aximo que alcanza el p´endulo (ver Figura 3.32). La velocidad aproximada de la bola se encuentra utilizando la siguiente ecuaci´on vb =

Mp 2gRCM (1 − cos θ) m

(3.66)

Donde M =Masa del p´endulo + proyectil (acero o madera). m=Masa del proyectil (acero o madera). g=Aceleraci´on de la gravedad. RCM =Es la distancia del pivote al centro de masa del sistema (proyectil + p´endulo). ´ θ=Angulo alcanzado por el p´endulo.

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Segundo M´ etodo (M´ etodo Exacto) Utiliza la inercia rotacional del p´endulo en los c´alculos. Las ecuaciones son un poco m´as complicadas, y es necesario tomar m´as datos para encontrar el momento de inercia del p´endulo; esto hace que los resultados obtenidos sean generalmente mejores. Para determinar la velocidad de inicial de la bola se utiliza la siguiente ecuaci´on vb =

1 p 2IRgM (1 − cos θ) mRb

(3.67)

M =Masa combinada del p´endulo y esfera (acero o madera). m=Masa de la esfera (acero o madera). g=Aceleraci´on de la gravedad. I=Momento de inercia del p´endulo y la esfera en el capturador. Rb =Distancia entre el punto del pivote y el centro de la esfera (acero o madera). RCM =Distancia del pivote al centro de masa del sistema (esfera + p´endulo). ´ alcanzado por el p´endulo. θ=A Para determinar el momento de inercia I del p´endulo con la esfera en el capturador se utiliza la siguiente ecuaci´on I=

M gRCM T 2 4π 2

Donde M =Masa combinada del p´endulo y esfera (acero o madera). g=Aceleraci´on de la gravedad. RCM =Distancia del pivote al centro de masas del sistema. T =Periodo del p´endulo + esfera. 4. Materiales, equipos e insumos: Materiales 1. Equipo de lanzamiento, con accesorios 1. Metro

(3.68)

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1. Cronometro 4 Masas y porta masas 2. Esferas 5. Procedimiento

Figura 3.33: Montaje para estudiar el p´endulo bal´ıstico Montaje y procedimiento 1: 1 Realice el montaje de la Figura 3.33. 2 Quite el p´endulo, destornillando y quitando el eje del pivote. Encuentre la masa del p´endulo y esfera juntos. Realice este procedimiento con la esfera de acero y reg´ıstrelo en la Tabla 3.30 como M1 y con la esfera de madera y reg´ıstrelo en la Tabla 3.30 como M2 . 3 Halle la masa de la esfera de acero y reg´ıstrelo en la Tabla 3.30 como m1 y la de la esfera de madera reg´ıstrelo en la Tabla 3.30 como m2 .

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4 Encuentre el centro de masas del p´endulo con el proyectil dentro. Para ello utilice una cuerda haga un lazo con la cuerda y cuelgue el p´endulo de lazo hasta que encuentre el punto que se equilibre horizontalmente. Marque este punto sobre el p´endulo. Este es el centro de masa (ver Figura 3.34). Usted puede encontrar el centro de masa equilibrando el p´endulo en el borde de una regla u objeto similar (para ello situ´e el p´endulo sobre la mesa, perpendicularmente el borde. Vaya acercando el p´endulo al borde hasta que se mantenga en equilibrio. Marque con una l´ınea la posici´on de equilibrio y mida la distancia desde el eje de giro del p´endulo). Anote los datos en la Tabla 3.30. Mida la distancia del punto al pivote y an´otelo como R(CM 1) con la esfera de acero y como R(CM 2) para la esfera de madera. Anote los datos en la Tabla 3.30.

Cuerda

Figura 3.34: Montaje para el c´alculo del centro de masa del pendulo 5 Re ensambl´e el p´endulo y aseg´ urese que quede bien hecho. Aseg´ urese de que el indicador del a´ngulo, este como se muestra en la Figura 3.33. a) Dispare la catapulta. Tome y registre el a´ngulo alcanzado. ◦

6 Cargue la catapulta, luego coloque el indicador del ´angulo para orientar 2 ◦ o 3 menos del alcanzado en el paso 6. Esto eliminara la fricci´on causada por el indicador en el arrastre del p´endulo, as´ı el p´endulo mover´a solo el indicador para los u ´ltimos grados. Luego dispare la catapulta, y anote el ´angulo alcanzado por el p´endulo. Repita este procedimiento tres veces para la esfera de acero y madera y anote los datos en la Tabla 3.31 y 3.32 respectivamente. Montaje y Procedimiento 2:

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1 Mida la distancia entre el punto del pivote y el centro de la esfera. Anote esto como Rb en la Tabla 3.30. 2 Quite la catapulta de proyectiles para que el p´endulo puede girar libremente. ◦ Con la esfera en el p´endulo, dele un desplazamiento horizontal de 5 o menos. Haciendo uso del cronometro tome el tiempo por lo menos de cinco oscilaciones. Realice este procedimiento para las esferas de acero y registre este dato como T1 y como T2 para la esfera de madera. Anotar los resultados en la Tabla 3.30. a) Calcule la velocidad aproximada de la esfera usando la ecuaci´on (3.67). Tanto para la esfera de acero como para la de madera. Mida y registre este a´ngulo en la Tabla 3.30. b) Calcule el valor de I utilizando la ecuaci´on (3.68). Realice este procedimiento para la esfera de acero y reg´ıstrelo como I1 y para la esfera de madera y reg´ıstrelo como I2 . Anotar los resultados obtenidos en la Tabla 3.30. c) Calcule la velocidad exacta para la esfera de acero y para la esfera de madera con la ecuaci´on (3.68). Anote los datos en las Tablas 3.31 y 3.32 respectivamente.

6. Preguntas de control a) ¿Hay otra manera de medir la velocidad del ca˜ no´n, para que usted pueda verificar sus resultados? b) ¿Se simplificar´ıan los c´alculos si se conservara la energ´ıa cin´etica en la colisi´on entre la esfera y p´endulo? c) ¿Qu´e porcentaje de energ´ıa cin´etica se ha perdido en la colisi´on entre la esfera y el p´endulo? d ) ¿Hay m´as energ´ıa o menos energ´ıa transferida al p´endulo cuando el p´endulo es girado de tal manera que la esfera golpee la parte de atr´as de ´este? e) ¿Hay una diferencia significativa entre los valores calculados por los dos m´etodos? f ) ¿Qu´e factores aumentar´ıan la diferencia entre estos dos resultados?

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S´ımbolo M1 M2 m1 m2 RCM 1 RCM 2 Rb T1 T2 I1 I2

Valores

Tabla 3.30: Datos medidos

´ Angulo

Grados

Esfera de acero vb vb θpromedio M´etodo aproximado M´etodo exacto

θ1 θ2 θ3 % Error relativo Tabla 3.31: C´alculos para la esfera de acero

´ Angulo

Grados

Esfera de madera vb vb θpromedio M´etodo aproximado M´etodo exacto

θ1 θ2 θ3 % Error relativo Tabla 3.32: C´alculos para la esfera de madera g) ¿C´omo construir´ıa un p´endulo bal´ıstico para que la ecuaci´on aproximada diera los resultados m´as exactos?

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1. Titulo: Conservaci´on del momentum en una colisi´on el´astica y coeficiente de restituci´on en una colisi´on inelastica 2. Objetivos Determinar el momentum de un cuerpo. Verificar el principio de conservaci´on del momentum lineal. Verificar la conservaci´on de la energ´ıa en una colisi´on el´astica. Verificar que en una colisi´on inel´astica no se conserva la energ´ıa. Calcular el coeficiente de restituci´on en una colisi´on inel´astica 3. Marco Te´ orico Cuando un cuerpo de masa m1 se mueve con una velocidad ~v1 , posee un momentum lineal dado por p~1 = m1~v1 , para otro cuerpo de masa m2 que se mueve con velocidad ~v2 posee un momentum lineal dado por p~2 = m2~v2 ; si estos dos cuerpos chocan, los momentos despu´es del choque de cada uno de los cuerpos son p~01 y p~02 , el principio de conservaci´on del momentum establece que el momentum total antes del choque debe ser igual al momentum despu´es del choque es decir m1~v1 + m2~v2 = m1~v10 + m2~v20

(3.69)

Cuando el choque es el´astico las energ´ıas se conservan antes y despu´es del choque es decir 1 1 1 1 m1~v12 + m2~v22 = m1~v12 0 + m2~v22 0 2 2 2 2

(3.70)

Si el choque es en una dimensi´on por ejemplo en la direcci´on X, las velocidades despu´es del choque en funci´on de las velocidades antes del choque se obtienen como: v10 =

(m1 − m2 ) v1 + 2m2 v2 m1 + m2

(3.71)

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v20 =

(m2 − m1 ) v2 + 2m1 v1 m1 + m2

(3.72)

La diferencia entre las velocidades despu´es del choque se obtiene restando las dos ecuaciones anteriores, esto es: v20 − v10 = − (v2 − v1 )

(3.73)

Lo que implica que las velocidades relativas antes y despu´es del choque poseen magnitudes id´enticas. Cuando las colisiones no son el´asticas la energ´ıa no se conserva. El coeficiente de restituci´on es una medida de la elasticidad de un choque y est´a definido como el cociente negativo entre las velocidades relativas antes y despu´es del choque, es decir e=−

v20 − v10 v2 − v1

(3.74)

Este coeficiente es igual a 1 en el caso en el cual la colisi´on es el´astica, existe una colisi´on en la cual los dos cuerpos siguen juntos despu´es de la colisi´on est´a se denomina pl´astica. Cuando la colisi´on es inel´astica la energ´ıa antes y despu´es de la colisi´on no se conserva por tal motivo si se define Q como la diferencia entre las energ´ıas antes y despu´es del choque este valor de Q puede ser negativo o positivo. Cuando la colisi´on es inel´astica las velocidades despu´es del choque se pueden calcular combinando la conservaci´on del momentum y la definici´on del coeficiente de restituci´on: v10 =

(m1 − e m2 ) v1 + (1 + e) m2 v2 m1 + m2

(3.75)

v20 =

(m2 − e m1 ) v2 + (1 + e) m1 v1 m1 + m2

(3.76)

Una forma de calcular el coeficiente de restituci´on es observando que cuando se deja caer una esfera de goma (pelota loca) de masa m desde una altura H, est´a rebota hasta una altura h menor que la altura desde la cual se deja caer, lo

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cual demuestra que en el choque con la tierra se pierde energ´ıa es decir el choque es inel´astico. La energ´ıa en el punto donde se deja caer la pelota es: EA = mgH

(3.77)

la energ´ıa al llegar al suelo es solo cin´etica y est´a dada por: 1 EB = mv 2 2

(3.78)

Figura 3.35: Montaje para determinar el coeficiente de restituci´on Estas dos energ´ıas deben ser iguales, lo cual permite calcular la velocidad antes del choque en funci´on de la altura desde la cual se dejo caer. v=

p 2gH

(3.79)

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De forma similar conociendo la altura hasta la cual llega la pelota se puede determinar la velocidad con la cual reboto la pelota est´a velocidad est´a dada por v0 =

p 2gh

(3.80)

Notando que la tierra es un cuerpo mucho m´as grande que la pelota se puede despreciar la velocidad de la tierra obteni´endose el coeficiente de restituci´on como r √ 2gh h = e= √ H 2gH

(3.81)

4. Materiales, equipos e insumos: Equipos 1. Computador 1. Software measure(Phywe) Materiales 2. Carritos con accesorios 4. Pesas 2. Fotoceldas (USB) 5. Procedimiento Montaje Experimental I:Conservaci´ on del momentum en una colisi´ on el´ astica.

1 Realice el montaje de la Figura 3.36. 2 Ejecute el programa measure. 3 Configure el programa en la opci´on photogate 4 Coloque las fotoceldas a una distancia de 70cm. 5 Para el caso v1 = 0 y v2 6= 0, coloque el carro 1 entre las dos fotoceldas y lance el carro 1 con ayuda del lanzador del equipo.

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Figura 3.36: Montaje para estudiar la colisi´on el´astica entre dos cuerpos 6 para el caso de v1 6= 0 y v2 6= 0 lance el carro 1 con su mano suavemente y luego el carro 2 con el lanzador del equipo; esto en el caso de iguales direcciones en el caso de direcciones contrarias lance el carro 1 y espere a que rebote en la banda al final del carril y luego lance el carro 2 con ayuda del lanzador del equipo. 7 Realice los procedimientos anteriores para las siguientes condiciones y registre sus datos en las tablas (3.33-3.42) correspondientes a cada caso. m1 m1 m1 m1 m1 m1 m1 m1

> m2 , < m2 , > m2 , < m2 , = m2 , > m2 , < m2 , = m2 ,

v1 v1 v1 v1 v1 v1 v1 v1

=0 =0 6= 0 6= 0 6= 0 6= 0 6= 0 6= 0

y y y y y y y y

v2 v2 v2 v2 v2 v2 v2 v2

6= 0. 6= 0. 6= 0 para 6= 0 para 6= 0 para 6= 0 para 6= 0 para 6= 0 para

iguales direcciones. iguales direcciones. iguales direcciones. direcciones contrarias. direcciones contrarias. direcciones contrarias.

Montaje Experimental II: Coeficiente de restituci´ on en una colisi´ on inel´ astica.

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1 2 3 4

Realice el montaje de la figura 3.35 deje caer la pelota desde una altura H y registre esta altura en la Tabla3.43. Mida la altura h a la cual rebota la pelota y reg´ıstrela en la Tabla3.43. Repita los dos numerales anteriores para 10 valores de H diferentes y registre sus resultados en la Tabla3.43.

6. Nivel de riego Nivel 1 (Bajo) 7. Anexos Cuestionario a) b) c) d) e) f) g) h)

¿Qu´e es una colisi´on? ¿Qu´e diferencia existe entre un choque el´astico y un choque inel´astico? ¿Qu´e es el momentum? ¿Como se denominan las colisiones en las cuales Q < 0? ¿Como se denominan las colisiones en las cuales Q > 0? ¿Se conserva el momentum en un choque inel´astico? ¿Qu´e es el coeficiente de restituci´on? ¿Cual es el valor de e en una colisi´on pl´astica?

m1 [kg] ∆ t1 [s]

m1 > m2 , v1 = 6 0, v2 = 0 v1 [m/s] p1 [kg·m/s] m1 [kg] ∆ t01 [s]

v10 [m/s] p01 [kg·m/s]

Tabla 3.33: choques1 Preguntas de control a) ¿Se conservan los valores de la energ´ıa antes y despu´es del choque?. b) ¿Se conserva el momentum antes y despu´es del choque?. c) ¿Sugiera un m´etodo para calcular el coeficiente de restituci´on en una colisi´on pl´astica?.

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m1 > m2 , v1 6= 0, v2 = 0 m2 [kg] ∆ t02 [s] v20 [m/s] p02 [kg·m/s]

Tabla 3.34: choques1 p01

+

p02

− p1 [kg·m/s]

m1 > m2 , v1 6= 0, v2 = 0 − Ec [kg·m2 /s2 ] E0c [kg·m2 /s2 ] Ec [kg·m2 /s2 ] e

Ec0

Tabla 3.35: choques1

m1 [kg] ∆ t1 [s]

m1 < m2 , v1 = 6 0, v2 = 0 v1 [m/s] p1 [kg·m/s] m1 [kg] ∆ t01 [s]

v10 [m/s] p01 [kg·m/s]

Tabla 3.36: choques2 m1 < m2 , v1 6= 0, v2 = 0 m2 [kg] ∆ t02 [s] v20 [m/s] p02 [kg·m/s]

Tabla 3.37: choques2 p01

+

p02

− p1 [kg·m/s]

m1 < m2 , v1 6= 0, v2 = 0 − Ec [kg·m2 /s2 ] E0c [kg·m2 /s2 ] Ec [kg·m2 /s2 ] e

Ec0

Tabla 3.38: choques2

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m1 < m2 , v1 6= 0, v2 = 6 0 Igual direcci´on 0 m1 [kg] ∆ t1 [s] ∆ t1 [s] v1 [m/s] v10 [m/s] p1 [kg·m/s] p01 [kg·m/s]

m1 < m2 , v1 6= 0, v2 = 6 0 Igual direcci´on m2 [kg] ∆ t2 [s] ∆ t02 [s] v2 [m/s] v20 [m/s] p2 [kg·m/s] p02 [kg·m/s]

Tabla 3.39: choques3 m1 > m2 , v1 6= 0, v2 = 6 0 Igual direcci´on 0 m1 [kg] ∆ t1 [s] ∆ t1 [s] v1 [m/s] v10 [m/s] p1 [kg·m/s] p01 [kg·m/s]

m1 > m2 , v1 6= 0, v2 = 6 0 Igual direcci´on 0 m2 [kg] ∆ t2 [s] ∆ t2 [s] v2 [m/s] v20 [m/s] p2 [kg·m/s] p02 [kg·m/s]

Tabla 3.40: choques4 m1 = m2 , v1 6= 0, v2 = 6 0 Igual direcci´on 0 m1 [kg] ∆ t1 [s] ∆ t1 [s] v1 [m/s] v10 [m/s] p1 [kg·m/s] p01 [kg·m/s]

m1 = m2 , v1 6= 0, v2 = 6 0 Igual direcci´on 0 m2 [kg] ∆ t2 [s] ∆ t2 [s] v2 [m/s] v20 [m/s] p2 [kg·m/s] p02 [kg·m/s]

Tabla 3.41: choques5

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m1 < m2 , v1 = 6 0, v2 6= 0 Direcciones opuestas m1 [kg] ∆ t1 [s] ∆ t01 [s] v1 [m/s] v10 [m/s] p1 [kg·m/s] p01 [kg·m/s]

m1 < m2 , v1 = 6 0, v2 6= 0 Direcciones opuestas 0 m2 [kg] ∆ t2 [s] ∆ t2 [s] v2 [m/s] v20 [m/s] p2 [kg·m/s] p02 [kg·m/s]

Tabla 3.42: choques6

Coeficiente restituci´ √ de √ √on √ h[m] H[m] h [ m] H[ m]

Tabla 3.43: Coeficiente de restituci´on de una esfera de goma