UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA No 1 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA SUBTEMA DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL GEOMETRIA ANALITICA ;SECCIONES CONICAS LA CIRCUNFERENCIA 4 HORAS Lehman Charles, Geometría Analítica, Ed Uteha

1. OBJETIVO * Identificar los elementos fundamentales de la circunferencia * Hallar la ecuación de la circunferencia cuando se conocen algunos elementos necesarios y suficientes * Deducir la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y graficarla * Dada una ecuación en forma general identificar sus elementos fundamentales 2. CONCEPTUALIZACION 2.1 DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo recibe el nombre de centro de la circunferencia y a la distancia se le llama radio. 2.2 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Centro: Es el punto fijo del plano que equidista de todos los puntos de la circunferencia Radio: Es la distancia del centro de la circunferencia a cualquier punto de ella Cuerda: Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia Diámetro: Es la cuerda de longitud máxima corresponde a dos radios Tangente: Es la línea recta que toca a la circunferencia en un solo punto Secante: Es la línea recta que corta a la circunferencia en dos puntos

2.3 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA 2.3.1 CENTRO EN (h, k) La circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante r, tiene por ecuación

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 =

r2

Supóngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la circunferencia.

Entonces:

Es decir,

Por lo tanto: (1)

Así que C(C(h, k); r) = {P(x, y) ÎR2/ (x – h)2 + (y – k)2 = r2} y la ecuación (1) representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r. 2.3.2 CENTRO EN EL ORIGEN La circunferencia con centro en el origen y radio r tiene por ecuación x2 + y 2 = r 2 Es el tipo más simple de la ecuación de la circunferencia y se le denomina como la ecuación de forma canónica EJEMPLO Si C está en el origen, h = k = 0 y la ecuación de la C(o; r) es x2 + y2 = r2. La C(0, 5) tiene por ecuación: x2 + y2 = 25. (1)

El punto A(3, 4) ÎC(0, 5) ya que: 32 + 42 = 25 De

(1)

se

deduce

que: Lo que muestra que: para todo x Î [-5, 5], el punto

está en la semicircunferencia superior y que para todo x Î [-5, 5], el punto

está en inferior.

la

semicircunferencia

2.3.3 ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA La expresión Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (2) Donde A, B, C, ... son números reales conocidos, se llamará la ecuación general de segundo grado en las variables x e y. Nótese que cuando A = B = C = 0, la ecuación (2) tiene la forma 2Dx + 2Ey + F = 0 que representa una recta (siempre y cuando D y E no sean ambos cero). La ecuación 3x2 - 2xy + 5y2 - x + 5y + 7 = 0 tiene la forma (2). En este caso A = 3, 2B = -2, C = 5, 2D = -1, 2E = 5 y F = 7 Supóngase ahora que en la ecuación (2), B = 0, A = C Luego de dividir por A, (2) toma la forma:

0.

x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 (3) donde Completando trinomios cuadrados perfectos en (3) se tiene: (x2 + 2dx + d2) + (y2 + 2ey + e2) = d2 + e2 – f ó (x + d)2 + (y + e)2 = d2 + e2 – f (4) En el análisis de (4) pueden presentarse tres casos: Si d2 + e2 – f > 0, podemos hacer r2 = d2 + e2 – f y escribir (x + d)2 + (y + e)2 = r2 Luego, si d2 + e2 – f > 0, la ecuación (4) representa la circunferencia de centro en C (-d, -e) y radio Cuando d2 + e2 – f = 0, (4) toma la forma (x + d)2 + (y + e)2 = 0, ecuación que solo es satisfecha por las coordenadas del punto C(-d, -e). Luego, si d2 + e2 – f = 0, el único punto que satisface (2) es el punto C(-d, -e). Si d2 + e2 – f < 0, no hay ningún punto del plano que satisfaga (2). Esto significa que {(x, y)ÎR2/ x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0}= f 2.4 EJEMPLOS 1. Encuentre la ecuación de la circunferencia de C(-3,2) y radio 6 En este caso: h = -3, k = 2 y r = 6. Al sustituir estos valores en la ecuación (1), se obtiene:

Al desarrollar los binomios en la última igualdad y simplificar, se obtiene finalmente:

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en la intersección de las rectas x + 3 y − 6 = 0 y x − 2 y − 1 = 0

Al resolver simultáneamente el sistema:

se obtiene

. Asi

que

el

centro

de

la

circunferencia

es

el

punto

C(3,

1).

Ahora, como la circunferencia pasa por el punto 0(0, 0), se tiene que

es el valor del radio. Usando nuevamente la ecuación (1) de la sección 5.1. Con y

, se obtiene:

3. La ecuación x 2 + y 2 + 6 x − 14 y − 6 = 0 representa una circunferencia. Determine su centro y su radio La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes:

Comparando que:

esta

última y

ecuación

con

la

ecuación

(1),

se

deduce

.

Luego, el centro de la circunferencia es el punto C(-3, 7) y su radio es r = 8.

4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6); B(4, -2) y C(9, 3) Como A, B y C no están alineados, hay una circunferencia que pasa por A, B y C Su ecuación es la forma

x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 Hallemos d, e y f. Como A(0, 6) Î C , 02 + 62 + 2d.0 + 2e.6 + f = 0 Así que: 36 + 12e + f = 0 (1)

Como B(4, -2) Î C , 16 + 4 + 2d.4 + 2e.(-2) + f = 0 Es decir, 20 + 8d – 4e + f = 0 (2) Como C(9, 3) Î C , 81 + 9 + 2d.9 + 2e.3 + f = 0 Asi que: 90 + 18d + 6e + f = 0 (3) El sistema de ecuaciones (1), (2), (3) puede escribirse así:

12e + f = -36 8d – 4e + f = -20 18d + 6e + f = -90 o también:

Cuya solución es: d = -4, e = -3, f = 0 Luego la ecuación de ð es: x2 + y2 – 8x – 6y = 0 que podemos escribir: (x2 – 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 25 ó (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 Así que la circunferencia C circunscrita al triángulo ABC tiene centro en (4, 3) y radio 5.

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA No 2 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA SUBTEMA DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL GEOMETRIA ANALITICA ;SECCIONES CONICAS LA PARABOLA 2 HORAS Lehman Charles, Geometría Analítica, Ed. Uteha

1. OBJETIVO * Identificar los elementos fundamentales de la parábola * Hallar la ecuación de la parábola cuando se conocen algunos elementos necesarios y suficientes * Deducir la ecuación general de la parábola cuyo vértice es el punto (h,k) y graficarla * Dada una ecuación en forma general identificar sus elementos fundamentales 2. CONCEPTUALIZACION 2. 1. DEFINICIÓN PARÁBOLA Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola. 2.2. ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA En una parábola hay que destacar los siguientes elementos: • • • •

La directriz que es la recta d. El vértice V. El foco F. Se llama eje de la parábola a la recta perpendicular al eje que pasa por el foco.

•

La distancia entre el foco y la directriz es el parámetro p

2.3 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA 2.3.1 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL UN EJE COORDENADO

Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F Pero,

y

entonces,

.

Luego, Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene:

, y simplificando queda finalmente, (1)

Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F. Por hipótesis, (2) Se debe probar que

De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema. TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola) i. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamente si un punto P del plano, satisface (3) entonces P x PDD-F

ii. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 es: x2 = 2py (4) iii. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P x PDD-F

Observaciones: i. En la figura aparecen las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba (en el caso de p>0) y hacia abajo (p 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F (p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par.

EN CONCLUSIÓN La ecuación y2 características

= 4p x corresponde

Su eje focal coincide con su eje x Su vértice es el origen (0.0) Está abierta hacia la derecha ya que p> 0 Se abre hacia la izquierda si p< 0

a una parábola con las siguientes

La función x2 = 4 p y corresponde a una parábola con las siguientes características. Su eje focal coincide con el eje y Su vértice es el origen Se abre hacia arriba si p>0 Se abre hacia abajo si p< 0 2.3.2 ECUACIÓN GENERAL DE UNA PARÁBOLA La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco en

y por directriz la recta:

Viene dada por: (1)

La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco en

y por directriz la recta:

Viene dada por: (2)

2.4 EJEMPLOS 1. Hallar la ecuación de una parábola con foco en (3,0) y directriz x=-3 y2 = 4px y2 = 4 (3) x y2 = 12x 2. Una parábola tiene su vértice en el origen, su eje focal es el eje x y pasa por el punto (-3, 6). Halle su ecuación. = 4px 62 = 4p (-3) y2

p = -3 Luego la ecuación de la parábola es y2 = - 12x 3. El vértice de una parábola es V(-3,4) y el foco es F(-5,4). Halle la ecuación de la parábola. (y – k)2 = 4p (x – h) (y – 4) 2 = 4 (-2) {x + 3} (y – 4)2 = - 8 (x + 3)

p = - 5 – (-3) p = -2

4. Probar que la ecuación 4x2 – 20x – 24y + 97 = 0 Hallar las coordenadas del vértice y del foco

representa una parábola.

4x2/4 - 20x/4 - 24y/4 + 97/4 = 0 x2 – 5x – 6y – 97/4 = 0 x2 – 5x + (5/2)2 = 6y – 97/4 + (5/2)2 (x – 5/2)2 = 6 (y – 3) Por lo tanto las coordenadas del vértice son: (5/2, 3) Como 4p = 6 p= 3/2; luego, la parábola se abre hacia arriba. Las coordenadas del foco son: (5/2, 3 + 3/2) = (5/2, 9/2)

4. EJERCICIOS 1. Hallar a ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los puntos (-4,3) y (-1,3) 2. La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0 y su foco es el punto (-4,3). Hallar la ecuación de la parábola 3. Hallar las coordenadas del vértice y del foco y graficar y2 + 2y – 4x + 9 = 0 4. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos (0,0) (1,0) y (3,6)

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA No 3 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA: SUMTEMA DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL GEOMETRIA ANALITICA LA ELIPSE 4 HORAS Lehman Charles, Geometría Analítica,

Ed Uteha

1. OBJETIVOS * Identificar los elementos fundamentales de la Elipse * Hallar la ecuación de una Elipse cuando se conocen algunos elementos necesarios y suficientes * Deducir la ecuación general de una Elipse cuyo centro es el punto (h,k) y graficarla * Dada una ecuación en forma general identificarla e identificar sus elementos fundamentales 2. CONCEPTUALIZACION LA ELIPSE 2.1 DEFINICIÓN La elipse es el conjunto de los puntos del plano del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos es constante. Consideremos en representar la constante por 2a 2.2. ELEMENTOS DE LA ELIPSE Focos: son los puntos fijos F1 y F2 Eje focal: es la recta que pasa por los focos de la elipse Vértice: son los puntos V1 y V2 donde la elipse corta al eje focal. Eje mayor: es el segmento cuyos extremos son V1 y V2 Eje menor: Es el segmento perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro Distancia focal: Es la distancia ente dos focos y se designa por 2c Ejes de simetría de la elipse: Es la recta que pasa por los focos F1 y F2

2.3. ECUACIÓN DE LA ELIPSE 2.3.1 Elipses con focos. F’ (-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0 La ecuación de una elipse cuyos focos son (-c,0) y (c, 0) y en la cual 2a es la suma de las distancias a un punto cualquiera p de la elipse a los focos es:

2.3.2 Elipses con focos F’ (0, -c) y F (0, c); c > 0

2.3.3 Caso General Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), la ecuación de la elipse correspondiente, se transforma utilizando las ecuaciones de traslación

Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k) Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h)

2.4 EJEMPLOS 1. Hallar la ecuación de una elipse con centro en (-1,2) un vértice V1 (-1,5) y un foco en F1 (-1, 2+√5) c=

a=5–3=2 5 2 b = a – c2 b2 = 9 – 5 b2 = 4 b=2 2

( x − h) 2 + ( y − k ) 2

=1

( x + 1) 2 + ( y − 2) 2

=1

b2

4

a2

9

2. Encontrar la ecuación de una elipse centrada en el origen cuyos focos son los puntos (-4,0) (4,0) y vértices los puntos V1 (-6,0) y V2 (6,0) a=6 b 2 = a 2 – c2 b2 = 36 – 16 b = 2 √5 La Ecuación es: x2 y 2 + =1 36 20

c) Demostrar que la ecuación 4x2 + 9y2 + 24x + 36y + 36 = 0 es la ecuación de una elipse. 4x2 + 24x + 9y2 + 36y = - 36 4(x2+6x + (6/2)2) + 9 (y2 y 4y + (4/2)2) = - 36 + 4 (6/2)2 + 9 (4/2)2 4(x + 3)2 (y + 2)2 --------- + --------- = 1 9 4 2.5 EJERCICIOS 1. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4,0) (-4,0) y cuyos focos son los puntos (3,0) y (-3,0) 2. Halar la ecuación de la elipse de centro (4,-1), uno de los focos en (1, -1) y que pase por el punto (8,0) 3. Hallar la función de la elipse cuyos focos son los puntos (2,0) y (-2,0) y su excentricidad es 2/3 4. Cuál es el centro de la elipse

4x2 + 9y2 - 24x + 36y + 36 = 0

5. Cuáles son los vértices de la elipse 9x2 + 4y2 - 36x + 24y + 36 = 0

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA Nº 4 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA: SUBTEMA: DURACION BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL GEOMETRIA ANALITICA LA HIPERBOLA 4 HORAS Lehman Charles, Geometría Analítica,

Ed Uteha

1. OBJETIVO * Identificar los elementos fundamentales de la Hipérbola * Hallar la ecuación de una Hipérbola cuando se conocen algunos elementos necesarios y suficientes * Deducir la ecuación general de una Hipérbola cuyo centro es el punto (h,k) y graficarla * Dada una ecuación en forma general identificar la Hipérbola e identificar sus elementos fundamentales 2. CONCEPTUALIZACION LA HIPÉRBOLA 2. 1. DEFINICIÓN Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. Los focos y el punto medio de este segmento no pertenecen al lugar geométrico. 2.2. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA Focos: son los puntos F1 y F2 Distancia focal: es la distancia entre dos focos y se representa por 2c Eje focal: es la recta que pasa por los focos Centro: es el punto medio del segmento F1F2 Vértices: son los puntos V1 y V2 donde el eje focal corta a la hipérbole Eje transverso: es el segmento V1V2. Como V1 y V2 son los puntos de la hipérbola, se cumple que la distancia V1V2 = 2a

2.3.

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA

2.3.1 Hipérbola con focos F’ (-c, 0) y F(c, 0); c > 0. TEOREMA: La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0) viene dada por:

Demostración: Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada, se tiene de acuerdo a la definición que:

o

De donde, Es decir

ó

Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir:

Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:

Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de simplificar y factorizar se puede escribir:

Recordando además que igualdad por

y al dividir ambos miembros de la última

, se obtiene finalmente

que corresponde a la ecuación pedida. 2.3.2 Hipérbola con focos en F’ (0, -c) y F(0, c) ; c > 0.

TEOREMA:

La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F’(0, -c) y F(0, c) viene dada por:

La demostración es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio. Caso 3. (Caso General) Si en vez de considerar el centro de la hipérbola en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hipérbola correspondiente, se transformarán utilizando las ecuaciones de traslación

Según que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente 2.4. OBSERVACIONES En la figura se ha trazado la hipérbola centrada en el origen y focos en los puntos F1(c,0) y F2(-c, 0). Los puntos V1 y V2 son los vértices de la hipérbola y sus coordenadas son V1(a, 0) y V2(-a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen coordenadas: M (a, b), N -a, b), P (-a, -b) y Q(a, -b).

El rectángulo MNPQ recibe el nombre de rectángulo auxiliar de la hipérbola.

La gráfica de la hipérbola es simétrica con respecto al eje x y con respecto al eje y. Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asíntotas oblicuas de la hipérbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por: y = (b/a) x

y

y = - (b/a) x

2.5 EJEMPLOS 1. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos F1 (-3,0) F2 (3,0) y vértices V1 (-2,0) y V2 (2,0) Solución: X2 --- --

a2

y2 ---= 1 2 b

x2 y2 --- - ---- = 1 4 5

a=2 c=3 b 2 = c2 – a 2 b = √9 – 4 b = √5 2. Hallar las coordenadas de los focos y los vértices de la hipérbola

y2

x2 --- -- ---= 1 16 8 a2 = 16 a=4 b2 = 8 b = ± 2√2 c2 = a2 + b2 c = √ 16 + 8 c = ±2 √6 3. Hallar laF1ecuación (0, -2 √ 6 )de una F 2 ( 0hipérbola , 2 √ 6 con centro en (-4,1) y de vértice en (2,1) y semieje conjugado igual a 4 Solución La distancia entre el centro y el vértice dado es: a = √(-4 – 2)2 + ( 1 – 1)2

a= 6

b=4

la función tiene la forma (x + 4)2 (y – 1)2 (x – h)2 (y – k)2 -------- + --------- = 1 -------- + --------- = 1 2 2 36 16 a b 2 2 4. Demostrar que la función 9x – 4y – 54x + 8y + 113 = 0, representa una hipérbola 9 (x2 – 6x + (6/2)2) – 4 (y2- 2y + (2/2)2) = - 113 + 9 (6/2)2- 4 (2/2)2 9 (x – 3)2 – 4 (y – 1)2 = - 36 (y – 1)2 (x – 3) 2 -------- - ---------- = 1 9 4 5. Dada la hipérbola (x – 1)2 (y + 2)2 -------- - --------- = 1 16 9 Coordenadas del centro (1, -2) Coordenadas de los vértices: a2 = 16

a =4 V1 (-3,-2) y V2 (5, -2) Coordenadas de los focos a=4 b=3 b 2 = c2- a 2 c2 = √16 +9 = 5 F1 (-4,-2) F2 (6, -2) 2.5 EJERCICIOS 1. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en (-1,3), eje focal horizontal, la longitud del eje transverso es 8 y la distancia focal es 2 √41 2. Determinar el centro, vértices, focos de la ecuación de la hipérbola x2 – 9y2 – 36y + 12x – 9 = 0 3. Calcular la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, eje focal sobre el eje y, y que pasa por los puntos (4,6) y (1,-3) 4. Hallar el centro y el eje focal de la hipérbola 9x2 – 16y2 – 18x – 64y = 199 5. Cuáles son los vértices de la hipérbola 9x2 – 16y2 – 18x – 64y = 199

UNIVERSIDAD

LIBRE

FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA Nº 5 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA: SUB TEMA: DURACIÓN BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA NOTACION SUMATORIA 2 HORAS Stewart J. Càlculo. Ed Thompson

1. OBJETIVO * Utilizar las propiedades de la sumatoria para calcular sumas de n términos 2. CONCEPTUALIZACION En este capitulo se tratará con sumas de muchos términos, por lo cual introducimos una dotación llamada notación Sigma, para facilitar la escritura de estas sumas. Esta notación incluye el uso del símbolo Σ, la sigma mayúscula del alfabeto griego que corresponde a nuestra letra S. Posteriormente utilizaremos la sumatoria para calcular las áreas de diferentes regiones acotadas en el plano. 2.1. DEFINICIÓN Si am’ + am+1’ + . . . an son números reales y m y n son enteros tales que m ≤ n, n

Σ ai = am + am+1 + am+2 + … + an-1 + an i=m

al número m se le llama el limite inferior n se llama el limite superior , el símbolo i se llama índice de la suma . Es un símbolo arbitrario porque se puede utilizar cualquier otra letra 2.2. EJEMPLOS 4

a) Σ i2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30 i=1 n

b) Σ i = 3 + 4 + 5 + . . . + (n – 1) + n i=3

5

c) Σ 2j = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 63 j=0

n

1

1

1

d) Σ 1/k = 1 + ---- + ---- + . . . + ---k=1 2 3 n i- 1 1-1 2-1 3–1 1 1 13 3 Σ -------- = ------- + ------- + ------- = 0 + ------ + ----- = -------i=1 2 i +3 1 2 + 3 2 2 + 3 32 + 3 7 6 42 4

f) Σ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 i=1

2.3. TEOREMA Si c es cualquier constante; esto es, si no depende de i, entonces: n

n

a) Σ cai =

c ∑ ai

i=m

i=m n

b)

n

Σ (ai + bi) = i=m n

c)

n

∑ ai + ∑ bi i=m n

i=m n

Σ (ai - bi) = ∑ ai - ∑ bi i=m

i=m

i=m

2.4 EJEMPLO Demuestra la fórmula que expresa la suma de los n primeros enteros positivos. n(n + 1) Σ i = 1 + 2 +3 + . . . + n = -------------i=1 2 Solución. n

Se escribe dos veces la suma, una en el orden normal y la otra a la inversa: S = 1 + 2 +3 + . . . + (n – 1 ) + n S = n (n-1) + (n – 2) + . . . 2 + 1 Sumamos verticalmente las columnas y llegamos a: 2s = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1) + (n + 1) En el lado derecho hay n términos, y todos ellos son n + 1, así que n(n +1) 2s = n(n+1) o bien S = --------------2

2.5 TEOREMA Sean c una constante y n un entero positivo, entonces n

a) Σ 1 = n i=1 n

b) Σ c = nc i=1

n(n + 1) n c) Σ i = -----------i=1 2 n(n + 1) (2n + 1) n d) Σ i 2 = ---------------------i=1 6 [n(n + 1) ]2 n e) Σ i3 = -----------i=1 4 n(n + 1) (6n3 + 9n2 + n - 1) f) Σ i = ------------------------------------------i=1 30 n

4

2.6 EJEMPLO n

Σ i (4i2 – 3)

a) Evalúa

i=1

Solución. Aplicamos los teoremas 2 y 3 tenemos que: n

n

Σ (4i2 – 3) =

∑ (4i3 – 3i)

i=1

i=1

n

n 3

4Σ i -3∑i i=1

i=1

(n + 1)]2 = 4 -----------4

n (n + 1) - 3 ------------2

n (n + 1) [2n (n + 1) – 3] = ---------------------------------2 =

n(n+1) (2n2 + 2n – 3) -------------------------------2

3. EJERCICIOS 3.1 Escribe la suma en su forma desarrollada 5

a) Σ

√i

i=1 6

b) Σ i=1

1 -----------i+1

6

c) Σ 3i i=4

8

d) Σ

xk

k=5

n

e) Σ

i10

i=1

n+3

f) Σ

j2

j=n

3.2. Escribe la suma en su forma de sumatoria a)

1 + 2 + 3 + 4 + . . . 10

b)

1 2 3 4 19 ---- + ----- + ----- + ----- +. . . + ------2 3 4 5 20

c)

3 4 5 6 23 ---- + ----- + ----- + ----- + . . . + ------7 8 9 10 27

d)

1 + 3 + 5 + 7 . . .+ (2n –1)

e)

1 1 1 1 1 1 ---- + ----- + ----- + ----- + -------- + ------1 4 9 16 25 36

3.3 Calcula el valor de la suma 8

a) Σ

(3i – 2)

i=4 20

(-1)n

b) Σ n=1 n

c) Σ

2i

i=1 n

d) Σ

( i2 + 3i + 4)

i=1 n

e) Σ

(i + 1) (i + 2)

i=1

100

f) Σ 4 i=1 n

g) Σ (2 – 5i) i=1 n

h) Σ

i (i + 1) (i + 2)

i=1

UNIVERSIDAD

LIBRE

FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA Nº 6 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA: SUBTEMA DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL INTEGRALES AREAS 4 HORAS Stewart J. Càlculo. Ed Thompson

1. OBJETIVO * Calcular el área bajo la curva utilizando la sumatoria 2. CONCEPTUALIZACION Determinar el área de la región S que queda bajo la curva y = f(x), de a a b . Esto quiere decir que S, que se ve en la siguiente figura está limitada, o acotada, por la gráfica de una función f [en que f(x) ≥ 0], las líneas verticales x = a y x = b, y el eje x. Y = f(x)

X= a S O

x=b

a

b

S = {(x,y) a ≤ x ≤ b.0 ≤ y ≤ f(x)} Este interrogante se contesta con facilidad cuando las regiones tienen lados rectos. Para un rectángulo, se define como el producto de la longitud por el ancho; el área de un triángulo, es la mitad de la base por la altura, y en un polígono se calcula dividiéndolo en triángulos y sumando las áreas de los triángulos.

1

w

3

A4 h l A = lw

A2 A3 h

A1

A4

b A = 1/2 bh

A = A1 + A 2 + A 3 + A 4

Sin embargo, no es tan fácil definir el área de una región con lados curvos. El ejemplo siguiente muestra el procedimiento 3. EJEMPLOS Trataremos de determinar el área bajo la parábola y = x 2, de 0 a 1 (la región parabólica de la siguiente figura). Un método para aproximar el área que se busca es dividir el intervalo [0.1] en subintervalo de igual longitud y fijarnos en los rectángulos, cuyas bases son esos subintervalos y cuyas alturas son los valores de la función en los extremos derechos de esos sibintervalos. La figura subsiguiente muestra la aproximación a la región parabólica empleando cuatro, ocho y n rectángulos. y (1,1) y = x2

0

1 x

a)

b)

0 ¼ 2/4 ¾ 1 0 1/n 1 Sea Sn la suma de las áreas de los n rectángulos en la figura. Cada rectángulo tiene 1/n de ancho y su altura es el valor de la función f(x) = x 2 en el punto 1/n, 2/n, 3/n,. . . n/n, esto es, las alturas son (1/n)2, (2/n)2, (3/n)2, . . . ((n/n)2.

Entonces. 1 sn =

------

1 -------

n

2

1

+ -----

n

n

2

2

-----

+ -----

n

1

3

2

1

-----

+ . . . + ----- ------

n

n

n

n

2

n

= 1/n . 1/n2 (12 + 22 + 32 + . . . . + n2) 1 n ---- Σ i2 n3 i=1 Al aplicar la fórmula de la suma de los cuadrados de los n primeros enteros, podemos escribir: 1 n (n + 1) (2n + 1) (n + 1) (2n +1) Sn = ---- ----------------------- = -------------------------n3 6 6n2 Por ejemplo, la suma de las áreas de los cuatro rectángulos sombreados de la figura a) es: 5 (9) s4 = --------- = 0.46875 6(16) Y la suma de las áreas de los ocho rectángulos de la figura b) es: 9 (17) S8 = --------- = 0.3984375 6(64) En la siguiente tabla se listan los resultados de cálculos semejantes, con más rectángulos.

n 10 20 30 50 100 1000

Sn 0.385000 0.358750 0.350185 0.343400 0.338350 0.333834

Parece como Sn se acercara más y más a 1/3 cuando n aumenta. De hecho

(n + 1) (2n + 1) lim Sn = lim = -----------------n →∞ n →∞ 6n2 1 (n + 1) (2n + 1) = lim ----- ----------------n →∞ 6 n n 1 1 = -- lim 1 + --- ) 6 n →∞ n =

1 (2 + ----) n

1/6.1.2 = 1/3

Podría decirse que cuando n aumenta, Sn se vuelve una aproximación cada vez mejor del área del segmento parabólico; por lo tanto, se definirá el área A como el límite de las sumas del as áreas de los rectángulos de aproximación; o sea: A = lim Sa = 1/3 4. EJERCICIOS En los siguientes ejercicios, encontrar el área de la región dada en cada caso a) La recta y = 2x, y las rectas x = 1 y x = 4 y la recta x = 2 b) Región sobre el eje x , a la derecha de la recta x = 1 acotada por el eje x , la recta x = 1 y la curva y = 4 – x2 c) Región acotada por y = x3 , el eje x y las rectas x = -1 y x = 2

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA Nº 7 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA: SUBTEMA DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL TECNICAS DE INTEGRACION ANTIDERIVADAS 2 HORAS Stewart J. Càlculo. Ed Thompson

1. OBJETIVO Aplicar el concepto de la antiderivada para calcular integrales directas Utilizar la sustitución como primera técnica de integración 2. CONCEPTUALIZACION La antidiferenciaciòn es la operación inversa a la diferenciación. Una función F se llama Antiderivada de una función f en un intervalo I , si F’(x) = f(x) para todo valor de x en I. Por ejemplo si F está definida como F(x) = 4x3+ x2 + 5 entonces F’(x) = 12x2 + 2x. Así, si f es la función definida por f(x) = 12x2 + 2x establecemos que f es la derivada de F y que F es una antiderivada de f. Si F es una antiderivada particular de f en un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f en I está dada por F(x) + c

(1)

Donde c es una constante arbitraria y todas las antiderivadas de f en I se pueden obtener a partir de (1) asignando valores particulares a c La antidiferenciaciòn es el proceso de encontrar la antiderivada más general de una función dada. El símbolo ∫ denota la operación de antidiferenciaciòn y escribimos ∫f(x)dx = F(x) + c , donde F’ (x) = f(x) o equivalentemente d(F(x)) = f(x)dx. De lo anterior se tiene ∫ d(F(x)) = F(x) + c Como la antidiferenciaciòn es la operación inversa, podemos obtener fórmulas de antidiferenciaciòn a partir de las fórmulas de diferenciación. A la antidiferencial también se le llama integral indefinida

2.1. FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN Estas fórmulas se pueden comprobar a partir de las fórmulas de diferenciación correspondiente ∫du = u + C ∫kdu = ku + C (donde K es cualquier número) ∫(du + dv) = ∫du + ∫dv un+1 ∫u du = -------- + C n+1 n

(n ≠ -1)

∫du/u = ln │u│+ + C ∫sen u du = - cos u + C ∫cos u du = sen u + C ∫sen2 u du = tan u + C ∫csc2 u du = - cot u + C ∫sec u tan u du = sec u + C ∫csc u cot u du = - csc u + C ∫tan u du = - ln │cos u│+ C = ln │sen u│ + C ∫cot u du = ln │sen u│ + c = ln │csc u│ + C ∫eudu = eu + c 15. ∫audu = au / ln a + C du 16. ∫----------- = sen –1 (u/a) + C √a2- u2 du 1 ∫ -------- = ------ tan –1 (u/a) + C a2 + u2 a

(a>0, a ≠ 1)

du ∫ -------------- = u √u2 – a2

18.

1 u -------- sec –1 │----│ a a

+C

2.2. EJEMPLOS 1. Completar el cuadro Calcular.

dx ∫ --------√8x – x2

Solución. Completamos el cuadro para escribir el radicando como: 8x2 – x2 = - (x2 – 8x) = - (x2 – 8x + 16 – 16) = - (x2 – 8x + 16) + 16 = 16 – (x – 4)2 Entonces dx ∫ --------√8x – x2

dx ∫ ------------= √16 – (x – 4)2

=

du ∫ ------------√a2 – u2

a= 4; u = (x-4); du = dx

Sen –1 (u/a) + C Sen –1 (x - 4 / 4) + C 2. Eliminación de una raíz cuadrada Calcular π/4

∫

√1 + cos 4x dx

0

Solución. Usamos la identidad 1 + cos 2θ cos2 θ = -----------------, o 2

1 + cos 2θ = 2 cos2 θ

Con θ = 2x, se convierte en:

1 + cos 4x = 2 cos2 2x

Por lo cual π/4

∫

π/4

√1 + cos 4x dx = ∫

√2 √ cos2 2x dx

0

π/4

√2 ∫

√1 +cos 2x dx

(0, π/4), cos 2x ≥0 (cos 2x) = cos 2x

0

sen 2x √2 --------2

π/4

0

1 √2 √2 ---- - 0 = -----2 2 2.3. PROCEDIMIENTO PARA HACER COINCIDIR INTEGRALES CON LAS FÓRMULAS BÁSICAS PROCEDIMIENTO

EJEMPLO

Hacer una sustitución para simplificar 2x – 9 du -------------------- dx = ----√x2 – 9x + 1 √u Completar el cuadrado Usar una identidad trigonométrica

√8x – x2 = √16 – (x – 4)2 (sec x + tan x)2 = sec2x + 2 sec x tan x + tan2 x = sec2 x + 2 sec x tan x + (sec2 x – 1) = 2 sec2 x + 2 sec x tan x – 1

Eliminar una raíz cuadrada

Reducir una fracción impropia

√1 + cos 4x = √2cos2 2x = √2 I cos 2xI 3x2 – 7x 6 ---------- = x – 3 + -------3x + 2 3x + 2

Separar una fracción

Multiplicar por una fórmula de 1

3x + 2 3x 2 -------- = ----------- + -------√1 – x2 √1 – x2 √1 – x2 sec x + tan x sec x = sec x . --------------Sec x + tan x sec2 x + sec x tan x = -----------------------sec x + tan x

3. EJERCICIOS 16x dx 1. ∫ -------------8x2+ 1 dx 2. ∫ ---------------√x (√x + 1) 3. eθ csc (e θ + 1) d θ √ln 2

2xex2 dx

4. ∫ 0

9 du 5. ∫ -------------1 + 9 u2 2s ds 6. ∫ -------------√1 – s4 7. ∫ cot3 y csc2 y dy

π/3

8. ∫ π/4

sec2 z -------------- dz tan z 1

cot (3 + ln x) 12. ∫ ------------------ dx x 13. ∫ 10 2θ dθ dy 14. ∫ -------------√e2y – 1

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA Nº 8 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA: SUBTEMA DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL TECNICAS DE INTEGRACION INTEGRACION POR PARTES 4 HORAS Stewart J. Càlculo. Ed Thompson

1. OBJETIVO Aplicar la técnica de integración por partes para resolver integrales definidas e indefinidas 2. CONCEPTUALIZACION El método de integración por partes se deriva de la fórmula para la diferencial de un producto. d(u.v) = udv + vdu o udv = d(u.v) – vdu.

(1)

Integrando a ambos lados la ecuación (1) tenemos: ∫ u dv = uv - ∫ v du 3. EJEMPLOS a) Hallar ∫ x cos x dx Solución. Usamos la fórmula ∫ u dv = uv - ∫ v du Con u = x,

dv = cos x dx,

du = dx,

v = sen x es la antiderivada más

sencilla de cos x Entonces ∫ x cos x dx = x sen x - ∫sen x dx = x sen x + cos x + C

b) Hallar ∫ x Ln x dx Solución. Sea u = Ln x y dv = xdx. Entonces du = dx/x

v = x2/2 Así:

∫ x Ln x dx

= x2/2 Ln x - ∫ (x2/2) (dx/x) = x2/2 Ln x – ½ ∫ x dx = ½ x2 Lnx – ¼ x2 + c

4. EJERCICIOS 1. ∫ x sen x/2 dx 2. ∫θ cos π θ dθ 3. ∫ t2 cos t dt 4. ∫x2 sen x dx 2

5. ∫ x ln x dx 1 e

6. ∫

x3 ln x dx

1

7. ∫ tan-1 y dy 8. ∫ sen-1 y dy

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA No 9 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA SUBTEMA DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL TECNICAS DE INTEGRACION INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA 4 HORAS Stewart J. Càlculo. Ed Thompson

1. OBJETIVO: Utilizar la técnica de integración por sustitución trigonométrica para resolver integrales tanto definidas como indefinidas 2. CONCEPTUALIZACION 2.1. Cuando el integrando contiene una expresión de la forma √ (a 2 – u2) donde a>0. Introducimos una nueva variable 0. Haciendo u = a Sen 0 , entonces du = a Cos0 d0 , con lo cual √ (a2 – u2) = √ (a2 – a2 Sen20)= √ a2 (1 –Sen20 ) = a √ Cos2 0 = a Cos 0 y tenemos Sen √ a2 – u2 = a Cos 0 - Ya que Sen0 = u/a se sigue que 0 = Sen-1 (u/a) 2.1.1 Ejemplo Calcular ∫ √ (9 – x2) dx /x2 Sea x = 3 Sen 0 , entonces dx = 3 Cos 0 d0 y √ (9 – x2) = √ (9 – 9 Sen20) = 3 √ Cos2 0 = 3 Cos 0 Por lo tanto ∫ √ (9 – x2) dx /x2 = =

∫ (3 Cos 0) (3 Cos 0 ) d0 / 9 Sen2 0 ∫ Cot2O d0 ∫ ( Csc2 0 - 1) d0 - Cot 0 - 0 + C.

Ya que Sen 0 = (1/3) x, entonces 0 referimos a la figura

= Sen-1 [(1/3) x] Para encontrar 0 nos

3 x O=0 √ (9 – x2 Por lo tanto ∫ √ (9 – x2) dx /x2 = - √ (9 – x2) /x - Sen-1 x/3 + C 2.2. Cuando el integrando contiene una expresión de la forma √ a2 + u2 donde a > 0. Introducimos una nueva variable 0 . Haciendo u = a Tan 0 , entonces du = a Sec2 0 d0 , con lo cual √ a2 + u2 = √ a2 + a2 Tan20

= a √ 1 + Tan2 0 = a √ Sec2 0 . Tenemos:

√ a2 + u2 = Sec 0 . Ya que Tan 0 = u/a Se sigue que 0 = Tan-1 (u/a)

2.2.1 Ejemplo: Calcular ∫ (√ x2 + 5) dx Sea x = (√ 5) Tan 0 Entonces dx = (√ 5) Sec2 0 d0 y (√ x2 + 5 ) = (√ 5 Tan2 0 + 5) = (√ 5)√ Sec2 O =(√ 5) Sec 0

Por lo tanto

∫ (√ x2 + 5 ) dx = d0 ∫(√ 5) Sec 0 (√ 5) Sec2 O d0 ) = 5 ∫ Sec3 0. Recordando que ∫ Sec3 x dx = ½ SecxTanx + ½ Ln(Secx + Tanx) + C, Se tiene ∫ (√ x2 + 5 ) dx = 5/2 Sec0 Tan 0 + 5/2 Ln (Sec 0 + Tan 0 ) + C. Encontramos Sec 0

de la figura donde Tan 0 = x/√ 5 vemos que

Sec 0 = (√ x2 + 5)/ √ 5, por lo tanto ∫ (√ x2 + 5 ) dx

=

5/2(√x2 + 5)x/ (√ 5)2 + 5/2 Ln [(√x2 + 5)/ √ 5 + x/√ 5 ] + C

=

½ x √x2 + 5 + 5/2 Ln (√x2 + 5 + x) + C

2.3. El integrando contiene una expresión de la forma √u2 – a2 con a>0 Introducimos una nueva variable 0 haciendo u = a Sec 0 entonces du = a Sec 0 * Tan 0 con lo cual √u2 – a2 = √ a2 Sec2 0 – a2 = √ a2(Sec2 0 – 1) = a √ Tan2 0 = a Tan 0 y tenemos √u2 – a2 = a Tan . Ya que Sec 0 = u/a , se sigue que 0 = Sec-1 u/a. 2.3.1 Ejemplo Calcular ∫ dx/ x3 √ (x2 – 9) Sea x = 3 Sec 0

entonces dx = 3 Sec 0 Tan 0 d0 y

√ (x2 - 9) = √ (9Sec2 0 – 9) = 3 √ Tan2 0 = 3 Tan 0 Por lo tanto ∫ dx/ [x3 √ (x2 – 9)] = ∫ 3 Sec0 Tan0 d0 /(27 Sec3 0 *3Tan 0 )= 1/27 ∫ Cos2 0 d0 . Para esta última integral, recordar que ∫ cosa2 x

= ½ (x + ½ Sen 2x) + C = ½ ( x + Senx Cos x ) + C

Con lo cual 1/27 ∫ Cos2 0 d0 = 1/54 (0 + Sen0 Cos0 ) +C. Para obtener 0, Sen 0, Cos 0 nos valemos de la figura

x √ (x2 - 9) 3 Por lo tanto √ (x2 - 9) = 1/54 [ Sec-1 x/3 + (√ x2 - 9)/x) (3/x)] + C

3. EJERCICIOS en los ejercicios del 1 al 10, calcular la integral 1. ∫ dx/(x2 √ 4 – x2) 2. ∫ dx/(x√ x2 + 4) 3. ∫ dx/(x√ 25 - x2 ) 4. ∫ dx/√ 4x + x2 5. ∫ x3 dx/ √ 16 - x2 6. ∫ dx/ (5 – 4x - x2 7. ∫dx/ (x √x4 - 4 8. ∫ x2dx/ √ x2 +6 9. ∫dw/w2√ w2 – 7 10. ∫ dx/ (4 x2 – 9)3/2

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA Nº 10 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA: SUBTEMA DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL TECNICAS DE INTEGRACION INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES 4 HORAS Stewart J. Càlculo. Ed Thompson

1. OBJETIVO: * Aplicar la técnica de integración por fracciones parciales para resolver integrales definidas e indefinidas 2. CONCEPTUALIZACION 2.1FRACCIONES PARCIALES Un teorema del álgebra avanzada establece que cada función racional, no importa cuán complicada sea, puede rescribirse como una suma de fracciones más simples que podemos integrar con técnicas que ya conocemos, por ejemplo, 5x – 3 2 3 ------------- = --------- + --------x2 – 2x – 3 x+1 x–3 El método para rescribir funciones racionales en esta forma se conoce como método de fracciones parciales. 5x – 3 A B ------------- = --------- + --------x2 – 2x – 3 x+1 x–3 Llamamos fracciones parciales a las fracciones A/(x + 1) y B/(x – 3) porque sus denominadores son solo parte del denominador original x2 – 2x – 3. Llamaremos a A y B coeficientes indeterminados mientras no encontremos los valores apropiados para ellos. Para hallar A y B, eliminamos primero las fracciones de la ecuación /2/ y obtendremos: 5x – 3 = A (x – 3) + B (x + 1) = (A + B) x – 3A + B

Ésta será la identidad en x si y solo si los coeficientes de las potencias semejantes de x en ambos lados son iguales: A + B = 5,

-3 A + B = -3

3. EJEMPLOS 3.1. Dos factores lineales distintos en el denominador Hallar: 5x - 3 ∫ ------------------ dx (x + 1) (x –3) Solución. Del análisis anterior 5x - 3 ∫ ------------------ dx (x + 1) (x –3)

=

2 3 ∫ ------------ dx + ∫ ------- dx x+1 x–3

= 2 ln Ix + 1I + 3 ln Ix – 3I + C 3.2. Un factor lineal repetido en el denominador Expresa

6x + 7 ------(x + 2)2

Como una suma de fracciones parciales Solución. Ya que el denominador tiene un factor lineal repetido, (x + 2) 2, debemos expresar la fracción en la forma 6x + 7 A B ----------- = --------- + --------(x + 2)2 x+2 (x + 2)2 Al eliminar las fracciones en la ecuación (3), tenemos

(3)

6x + 7 = A (x + 2) + B = Ax + (2A + B) Al igualar los coeficientes de términos semejantes, hallamos A = 6 7 = 2 A + B = 12 + B, o

y

B = -5

Por lo cual, 6x + 7 6 5 ------------- = --------- + --------(x + 2)2 x+2 (x + 2)2 3.3. Expresar

El denominador contiene factores cuadráticos y ninguno se repite. (x2 – 2x -3) dx ∫ ----------------------- como suma de fracciones parciales (x-1) (x2 + 2x +2)

Expresar la fracción

(x2 – 2x -3) ----------------------

como

Ax + B C -------------- + ---------

(1) (x-1) (x2 + 2x +2)

x2 + 2x +2

x–1

Multiplicando a ambos lados por el mínimo común denominador tenemos: x2 – 2x -3 = (Ax + B)(x – 1) + C(x2 + 2x +2) o x2 – 2x -3 = (A + C) x2 + (B – A + 2C) x + (2C – B) Igualando coeficientes de potencias iguales de x da A+C= 1 B – A + 2C = -2 2C – B = -3 Sustituyendo estos valores en (1) obtenemos (x2 – 2x -3) 9/5x + 7/5 -4/5 ---------------------- = ------------------ + -------- . Asì (x-1) (x2 + 2x +2) x2 + 2x +2 x–1 (x2 – 2x -3) dx xdx dx dx ∫ ----------------------- = 9/5 ∫ --------------- + 7/5 ∫ -------------- - 4/5 ∫ ------------- (2) (x-1) (x2 + 2x +2) x2 + 2x +2 x2 + 2x +2 x-1

Al resolver las integrales (2) se obtiene (x2 – 2x -3) dx ∫ ---------------------- = 9/10 Ln [ x2 + 2x + 2] – 2/5 Tan-1 (x + 1) – 8/10 Ln [ x - 1] + C (x-1) (x2 + 2x +2)

4. EJERCICIOS Expresa los integrados como una suma de fracciones parciales y evalúa los integrales. 1.

2x3 – 4x2 – x - 3 ∫ ------------------------ dx x2 – 2x – 3

2.

- 2x + 4 ∫ --------------------- dx (x2 + 1) (x –1)2

3.

dx ∫ --------------1 – x2

4.

2x + 1 ∫ ------------------ dx x2 – 7x + 12

5.

dx ∫ ------------------ dx 0 (x + 1) (x2 + 1) 1

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA Nº 11 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA: SUBTEMA: DURACION BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL APLICACIONES DE LA INTEGRAL ÁREAS ENTRE CURVAS 2 HORAS Stewart J. Càlculo. Ed Thompson

1. OBJETIVO Utilizar el concepto de la integral para hallar el área entre curvas 2. CONCEPTUALIZACION 2.1.ÁREA ENTRE CURVAS (ck, f(ck)) f b a (ck, g(ck)) g Si f ٨ g son continuas con f(x) ≥ g(x) en el intervalo [a,b] , entonces el área de la región comprendida entre las dos curvas desde a hasta b es: b

A = ∫a {f(x) – g(x)}dx 2.1. COMO ENCONTRAR EL ÁREA ENTRE DOS CURVAS Efectuar la gráfica y dibujar un rectángulo representativo Halle los límites de integración Escriba una fórmula para f(x) – g(x) Integre [f(x) –g(x)] desde a hasta b 3. EJEMPLOS 1. Hallar el área de la región encerrada por la parábola y = 2 – x2 y la recta y = -x

Solución: 2 – x2 = - x x2 – x – 2 = 0 (x + 1 ) (x – 2) = 0 x=-1 x=2 La región va desde x = -1 hasta x = 2 f(x) – g(x) = (2 – x2) – (- x) f(x) – g(x) = 2 + x – x2

(-1, 1) b

A = ∫a [f(x) – g(x)] dx 2

A = ∫-1 (2 + x – x2) dx = 9/2

(2, -2) 2. Hallar el área en el primer cuadrante de la región que está acotada por arriba por y = √x y por el eje x y la recta y = x –2 Y = √x (2,4)

Y=x-2 (0,0)

Solución: y + 2 = y2 (y + 1 ) (y –2) = 0 y = -1 y=2 f(x) – g(x) = y + 2 – y2

y2 - y – 2 = 0

b

A = ∫ a [f(y) – g(y)] dy = 2

A = ∫ 0 (2 + y – y2) dy = 10/3

A = 10/3

Calcular el área de la región acotada por y = 2x2 – 3x + 2, el eje x y las rectas verticales x = 0 x = 2 2

A = ∫ 0 (2x2 – 3x + 2) dx

A = 10/3 ( 2,4)

(0,2) 1

0

1

2

4. EJERCICIOS 1. Halle el área de la región encerrada por las curvas: a. y2 – 4 x = 4 y 4x - y = 16 b. x = 2 y2 x = 0 y = 3 c. x + y2 = 0 y x + 3y2 = 2 d. x3 – y = 0 y 3x2 – y = 4 2. Halle el área de la región triangular en el primer cuadrante acotada por la izquierda por el eje y y por la derecha por las curvas y = sen x y y = cos x 3. Halle el área de la región entre la curva y = 3 – x2 y la recta y = -1 4. Halle el área de la región del primer cuadrante acotada por la recta y = x y y = 1/x2 y el eje x 5. Halle el área de región encerrada por: y = 2 sen x y y = sen 2x

x=2

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA Nº 12 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA: SUBTEMA DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL APLICACIONES DE LA INTEGRAL VOLUMENES DE REVOLUCION 4 HORAS Stewart J. Càlculo. Ed Thompson

1. OBJETIVO Calcular los volúmenes generados por el giro de una curva mediante los métodos de discos, arandelas y casquillos cilíndricos 2. CONCEPTUALIZACION 2.1 MÉTODO DE LOS DISCOS

V = área del disco por la anchura dv = πx2 . dy dv =

Si y = f(x)

[f(x)]2 dy

a

v = π ∫b [f(y)]2 dy

Eje de revolución vertical

a

v = π ∫b [f(x)]2 dx

Eje de revolución horizontal.

2.2 EJEMPLOS 1. Calcular el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región acostada por la gráfica de f(x) = √ senx

b

y el eje x

0≤ x ≤ π en torno a x

v = π ∫a [f(x)]2dx π

v = π ∫0 (√senx)2 dx π

v = π ∫0 senx dx = π [- cos x]π

v = 2π

0

2. Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar la región acotada por las gráficas f(x) = 2 – x2 g(x) = 1 en torno a la recta y=1 Solución. Igualando f(x) y g(x) se ve que las dos gráficas se cortan en x = ±1 el radio restamos g(x) de f(x)

Para hallar

b

v = π ∫a [p(x)]2 dx 1

v = π ∫-1 (1 – x2) dx v = 16π/15 f (x) dx

2.3. MÉTODO DE LAS ARANDELAS La arandela se genera haciendo girar un rectángulo en torno al eje x, como indica la figura w R

r Volumen de la arandela = π(R2 – r2) w

b

v = π

∫

a

([R(x)]2 – [r(x)]2) dx

2.4 EJEMPLOS 1. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de y = √x y = x2 en torno al eje x y =√x R Y = x2

R(x) = √x r(x) = x2 b 2

v = π ∫a [(R(x)) – (r (x))2] dx = 1

= π ∫0 (x – x4) dx v = 3 π / 10 2. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la gráfica de y = x2 + 1 , ely = 0 x= 0 y = 1 en torno al eje y

1

2

v = π ∫0 (12 – 02) dy + π ∫0 {12 – (√y – 1)2} dy

v = 3 π/2 2.5 EL METODO DE LAS CAPAS Para hallar el volumen v de un sólido de revolución por el método de las capas se usan las fórmulas: d

v = 2π ∫c p(y) h(y) dy

Eje de giro horizontal

b

v = π ∫a p(x) h(x) dx Eje de giro vertical h

Volumen de la capa = 2π p h w p = radio medio h = altura w = espesor

H(y) H(x) P(y) P(x) Eje horizontal de revolución

Eje vertical de revolución

3. EJEMPLOS 1. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar entorno al eje y, la región acotada por y = x – x2 y el eje x, 0 ≤ x ≤ 1 Solución Puesto que el eje de revolución es vertical, tomamos un rectángulo representativo vertical.

Y = x – x2

P(x) = x

b

v = 2π ∫a p(x) h(x) dx = 1

2π ∫0 x (x – x3) dx = 1

2π ∫0 (- x4 + x2) dx v = 4π /15 2. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar entorno al eje x, la región acotada por la gráfica de x = e-y2 y el eje y, 0 ≤ x ≤ 1 Solución X = e-y2

∆y Y = p(x)

-y2

h(y)= e

d

v = 2π ∫c p(y) h(y)dy = 1

2π ∫0 ye-y2 dy V = -π [e-y2]1 0

V = 1,986 4. EJERCICIOS Escribir el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones en torno a la recta y = 4

1. y = x

y=3

2. y = x2

y=4

3. y = 1/x

y=0

x=0

x=1

x=4

4. Verificar con el método de lo discos que el volumen de una esfera de radio r es 4/3 π r3 5. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones entorno al eje y y = 3 (2 – x) y = 9 – x2

y=0 y=0

x=0 x=2

x=3

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUIA Nº 13 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TEMA SUBTEMA DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO INTEGRAL APLICACIONES DE LA INTEGRAL LONGITUD DE ARCO 2 HORAS Stewart J. Càlculo. Ed Thompson

1. OBJETIVO * Hallar la longitud de arco de una curva en un intervalo dado 2. CONCEPTUALIZACION Si la función f y su derivada f’ son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces la longitud de arco de la curva y = f(x) del punto (a,f(a)) al punto (b,f(b)) está dada por b

∫ √[1 +((f’(x))2 ]

L= a

Cuando x se expresa en función de y, se tiene: Si la función F y su derivada F’ son continuas en el intervalo cerrado [c, d], entonces la longitud de arco de la curva x = F(y) del punto (F(c ) ,c) al punto (F(d) , d) está dada por d

L = ∫c √ [+ (f’(y))2] dy 3. EJEMPLOS 1. Hallar la longitud de la curva y = Solución dy ---dx dy --dx

4√2 3 ---- --- x1/2 = 2√2 x1/2 3 2

= 2

= (2√2 x1/2)2 = 8x

4√2 (x3/2 – 1) --3

en el intervalo [0 , 1]

La longitud de la curva desde x = 0 hasta x = 1 es: 1

L = ∫0 √[1 + (dy/dx)2 ] dx

1

L = ∫0 √(1 + 8x) dx = 13/6 2. Hallar la longitud de la curva y = (x/2)2/3 desde x = 0 hasta x = 2 Solución. dy /dx = 2/3 (x/2)-1/3 (1/2) = 1/3 (2/x) 1/3 No está definida

X=0

dx/dy = 2 (3/2) y1/2 = 3y1/2 d

L = ∫c √[1 + (dx/dy)2] dy 1

L = ∫0 √(1 + 9y) dy = 2/27 (10 √10 - 1) 3. Calcular la longitud del arco de la gráfica y = x3/6 + 1/2x en el intervalo [1/2, 2] dy/dx = 3x2/6 – 1/2

=

1/2( x2 – 1)

b

L = ∫a √1 + [ (dy/dx) ]2 dx 2

L = ∫ ½ √[1 + (1/4 (x2 -1) 2) ] dx

L = 33/16

4. Calcular la longitud del arco de la gráfica (y – 1)3 = x2 en el intervalo [0,8] Solución. dx/dy = 3/2 (y – 1)½

d

L = ∫c √[1 + (dx/dy)2] dy 5

L = ∫1 √[1 + (3/2 (y – 1)1/2) 2 ] dy =

9,0734

4. EJERCICIOS Calcular la longitud del arco en el intervalo que se indica 1. y = 3/2 x3/2 + 1 [0,1] 3/2 2. y = x – 1 [0,4] 3. y = x4/8 + 1/4x2 [1,2] 5 3 4. y = x /10 + 1/6x [1,2] 5. y = ½ (ex + e –1) [0,2]