UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Área de Educación-mención Matemática

DIDÁCTICA DE LA

ARITMÉTICA

ÁN GEL J. M ÍGUEZ Á. 2 005

Míguez, Ángel Didáctica de la Aritmética. Universidad Nacional Abierta. 2 005.

1.Educación Matemática. 2. Didáctica de la Matemática. 3. Aritmética elemental - enseñanza

Universidad Nacional Abierta Apartado Postal N° 2096 Caracas 1010 A, Carmelitas, Venezuela

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Universidad Nacional Abierta – Ángel Míguez

DIDÁCTICA DE LA ARITMÉTICA ÍNDICE pág. Introducción............................................................................................ 5 Módulo 1: Teoría e Investigación en Didáctica de la Aritmética ...... 7 Unidad 1:

Aritmética y Cognición .................................................. 8 Pensamiento Aritmético ................................................ 8 Desarrollo y madurez del pensamiento cuantitativo del estudiante ......................................................... 9 Concepciones alternas de los estudiantes en la Aritmética ....................................................................... 10

Unidad 2:

Aritmética, Teoría e Investigación ................................ 19 Teorías e investigación en la enseñanza, aprendizaje y evaluación de la Aritmética ................................ 19 Raza, Género, Injusticia, Repitencia, Creencias y Concepciones .................................................................. 21

Módulo 2: La Aritmética en la Escuela ............................................... 23 Unidad 3:

Aritmética Escolar .......................................................... 24 Técnicas de enseñanza de la aritmética y Prácticas Escolares ................................................................... 24 Proceso de manipulación, abstracción y expresión en Aritmética .......................................................... 25

Unidad 4:

Aritmética y Currículo ................................................... 29 Programas Oficiales ....................................................... 29 Los contenidos básicos de la Aritmética ....................... 31 Integración con otros contenidos matemáticos ............ 31

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Didáctica de la Aritmética

Módulo 3: Actividades y Materiales para la Enseñanza de la Aritmética ........................................................................... 33 Unidad 5:

Aritmética y realidad ..................................................... 34 La Matemática del Entorno y de la Actividad Humana: aplicaciones académicas, tecnológicas y cotidianas de la Aritmética, Proyectos integradores y Actividades extracurriculares en Aritmética ....... 34

Unidad 6:

Aritmética y Materiales Curriculares ............................ 39 Diseño y Criterios para el Análisis de Entornos de Aprendizaje para la enseñanza de la Aritmética con diversas tecnologías ............................................ 39 Materiales curriculares en Aritmética, tipos y características ..................................................................... 40 Software especializado para la enseñanza de la Aritmética ....................................................................... 51

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Introducción El curso Didáctica de la Aritmética es la introducción del estudiante de la carrera de Educación mención Matemática al estudio y análisis de los métodos y propuestas para enseñar Matemática con miras a que el estudiante aprenda esta disciplina. Esta materia aborda los contenidos referidos al inicio del 7° grado de Educación Básica y pretende discutir acerca de la base Matemática de los alumnos cuando ingresan a la tercera etapa de educación Básica. Queremos que el futuro Docente de Matemática tenga los conocimientos que le permitan abordar la enseñanza de la Matemática de los niños y niñas que acceden a esta etapa con miras a establecer, consolidar y estructurar los conocimientos básicos de la Aritmética que faciliten el paso al Álgebra y que comience, o continúe, la construcción de las competencias Matemáticas que todo ciudadano y ciudadana debe dominar: • Aprender individual y colectivamente • Representar y Modelar • Conectar

• Demostrar y Razonar • Comunicar • Indagar

Por esto hemos colocado como requisito para este curso el curso de Álgebra abstracta. Se hace imprescindible en la discusión didáctica sobre cómo abordar la enseñanza de la adición, sustracción, multiplicación o división de los números naturales, que el candidato a Docente de Matemática comprenda la estructura algebraica de un grupo, anillo y cuerpo, el método axiomático y la demostración de una relación de equivalencia. No se puede abordar en una asignatura, o carrera la enseñanza de todos los conocimientos, destrezas y habilidades que deseamos tenga un docente. El esfuerzo que presentamos aquí pretende suministrarte co-

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Didáctica de la Aritmética

nocimientos y experiencias que maduradas y discutidas te aproximen al ideal planteado. Para tener éxito en este curso y descubrir las bondades de su estudio te recomendamos: 1. Verifica que este material este acompañado de la selección de lecturas correspondiente. 2. Revisa todas las actividades propuestas en cada módulo y las lecturas asociadas a ellas de modo que hagas un plan de estudio que te permita cumplir con los lapsos planteados en el material. 3. Debes dedicarle por lo menos cuatro horas semanales de estudio al curso y un máximo de seis horas semanales. Aparte está el tiempo dedicado a realizar investigaciones adicionales, discusiones, asesorías y realización de los trabajos escritos que debes entregar. 4. Cumple con los tres momentos de evaluación para la entrega de los trabajos asignados (quinta, décima y decimoquinta semana del semestre). Recuerda que un semestre debe tener 18 semanas efectivas de estudio. Ángel J. Míguez Á. Dirección-e: [email protected] Telf.: 212-5552263

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Módulo 1 Teoría e Investigación en Didáctica de la Aritmética Objetivo Utilizar los resultados y aportes de la investigación para comprender el proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación de la Aritmética

1.1. Pensamiento Aritmético

Unidad 1

1.2. Desarrollo y madurez del pensamiento cuantitativo del estudiante 1.3. Concepciones alternas de los estudiantes en la Aritmética

Unidad 2

2.1. Teorías e investigación en la enseñanza, aprendizaje y evaluación de la Aritmética 2.2. Raza, Género, Injusticia, Repitencia, Creencias y Concepciones

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Didáctica de la Aritmética

Unidad 1 Aritmética y Cognición Objetivo Identificar las implicaciones para la enseñanza de las diferentes concepciones sobre el concepto de número, operaciones aritméticas y algoritmo

Pensamiento Aritmético Décadas atrás, el desarrollo del pensamiento aritmético del niño era entendido casi exclusivamente como el desarrollo del concepto de número en el niño. Actualmente ese desarrollo incluye a las operaciones y las propiedades de estas operaciones. Hoy en día contamos con numerosas investigaciones y publicaciones que nos muestran resultados interesantes acerca de cómo los niños construyen, descubren o reconstruyen el concepto de número, de las operaciones y sus propiedades. Quienes tienen la responsabilidad de ampliar los conjuntos numéricos a partir del 7° grado de Educación Básica, deben conocer el dominio previo que trae el estudiante, solventar las deficiencias detectadas en N y construir nuevas bases para apoyar la comprensión en Z, Q y R. Además, debemos desarrollar el dominio sobre los conjuntos numéricos y sus operaciones sobre la base del razonamiento y no exclusivamente con el calculo.

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Actividades

1.1.1.

Lea el Capítulo 1: Patrones de Lynn A. Steen y el Capítulo 3: Cantidad de James Fey del libro: La Enseñanza Agradable de las Matemáticas de Lyn Arthur Steen que están en la selección de lecturas.

1.1.2.

Con base en las lecturas efectuadas, exprese qué implicaciones tiene para el trabajo que debe desarrollar el docente en el aula los señalamientos ahí contenidos.

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1.1.3.

Muestre un ejemplo de actividad que propondría a los alumnos de 7° grado de Educación Básica con miras a consolidar su dominio sobre los temas

Desarrollo y madurez del pensamiento cuantitativo del estudiante Los niños comienzan por el conteo, primero los niños cuentan oralmente, se aprenden en diversos contextos a recitar la sucesión de los primeros números naturales. Luego comienzan a establecer una relación uno a uno entre los números verbalizados, el sonido, y objetos reales. Desde el primer momento los niños no asumen que el último número dicho en voz alta o pensado es el cardinal del conjunto cuyos elementos fueron contados. Se observa que en los niños pequeños cuando se les pregunta cuántos carritos hay en la mesa, después de haberlos contados una vez, comienzan a contar otra vez. En una etapa siguiente ya asocian el último número dicho con el cardinal del conjunto. En una etapa siguiente, los niños comienzan a contar con unidades compuestas, por ejemplo, al pedírsele que cuenten un número grande de objetos, en lugar de contarlos uno por uno los agrupan en pequeños grupos de igual cardinalidad (de dos, de tres). En la Tercera Etapa de Educación Básica El alumno debería ser capaz de construir sucesiones de números construidos con uno o más criterios y dada una sucesión establecer cuál es el criterio de construcción. Es recomendable que perciban que pueden existir criterios diferentes para una misma sucesión, de igual manera, los estudiantes deberían conocer algunas sucesiones notables como la de Fibonacci, números poligonales, etc. Leonardo Fibonacci (1170-1240), también llamado Leonardo Pisano, matemático italiano que recopiló y divulgó el conocimiento matemático de clásicos grecorromanos, árabes e indios y realizó aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números; introdujo los números arábigos en Europa. Nació en Pisa, una ciudad comercial donde aprendió las bases del cálculo de los negocios mercantiles. Cuando tenía unos 20 años, se fue a Argelia, donde empezó a aprender métodos de cálculo árabes. Utilizó esta experiencia para mejorar las técnicas de cálculo comercial que conocía y para extender la obra de los escritores matemáticos clásicos, como los matemáticos griegos Diofanto y Euclides. Nos han quedado pocas obras de Fibonacci. Escribió sobre la teoría de números, problemas prácticos de matemáticas comerciales y geodesia, problemas avanzados de álgebra y matemáticas recreativas. Sus escritos sobre matemáticas recreativas, que a menudo los exponía como relatos, se convirtieron en retos mentales

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clásicos ya en el siglo XIII. Estos problemas entrañaban la suma de sucesiones, como la sucesión de Fibonacci que él descubrió (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…). A cada término de esta sucesión se le denomina número de Fibonacci (la suma de los dos números que le preceden en la sucesión). También resolvió el problema del cálculo del valor para cualquiera de los números de la sucesión. "Leonardo Fibonacci," Enciclopedia Microsoft® Encarta® Online 2004. http://es.encarta.msn.com Veamos la siguiente sucesión: 7, 9, 11,... ¿Cuál es el cuarto número de la sucesión? Para un alumno de 7° grado puede ser sencillo darse cuenta que la respuesta se puede descifrar sumando 2 al número anterior. Ahora bien, si le solicitamos al estudiante que nos enuncie una fórmula general para saber el número correspondiente a la posición enésima, puede ocurrir que sea incapaz de hallar una respuesta, pero nos podemos conseguir con respuestas como: n + 2 con n ∈ [3, 4, 5, 6, 7,...) 2n + 5 con n ∈ [1, 2, 3, 4, 5,...) (n + 3)•2 - 1 con n ∈ [1, 2, 3, 4, 5,...) Fíjese que las dos últimas expresiones son equivalentes.

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Actividad

1.1.4.

Construya una sucesión de tres números en la que se usen las cuatro operaciones aritméticas en N, solicítele a dos alumnos de 7° grado de Educación Básica que determinen cuál es el cuarto y quinto número de la sucesión. ¿Qué hacen los estudiantes? ¿Qué dificultades presentan o manifiestan?. Permítales usar una calculadora. Analice, por escrito, todo el proceso desarrollado por los estudiantes.

Concepciones alternas de los estudiantes en la Aritmética ¿A qué se debe que un estudiante no obtenga el resultado “correcto” al efectuar las operaciones aritméticas sobre cualquier conjunto numérico? Es aceptado que algunos estudiantes crean algoritmos propios para obtener el resultado de una operación aritmética, muchos de ellos lo hacen incluso antes de entrar a la escuela o en contextos fuera de la escuela. Por otro lado, los docentes de 7° grado de Educación Básica esperamos que el estudiante

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sepa obtener la suma, resta, producto y cociente de dos números naturales o decimales cualesquiera. El algoritmo que esperamos use es el tradicional, el que aparece en la mayoría de los libros de matemática de 1° a 6° grado. Veamos los siguientes algoritmos: Algoritmos de la sustracción no estándar Obtener la resta de derecha a izquierda y de izquierda a derecha con números de dos cifras 1 er paso: Derecha a Izquierda

Izquierda a Derecha

Para obtener la cifra de la unidad, se restan las unidades

Para obtener la cifra de la decena, se restan las decenas

2 6

5 4

- 1 2

- 2 3

4 se obtiene la cifra de la unidad

3 se obtiene la cifra de la decena

2 do paso: Para obtener la cifra de la decena, se restan las decenas

Para obtener la cifra de la unidad, se restan las unidades

2 6

5 4

- 1 2

- 2 3

1 4

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se obtiene la cifra de la decena

se obtiene la cifra de la unidad

Así se obtiene el resultado 2 6

5 4

- 1 2

- 2 3

1 4

3 1

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Obtener la resta de derecha a izquierda y de izquierda a derecha con números de dos cifras y cuando una cifra en el minuendo es menor que la cifra en la misma posición de valor en el sustraendo

1 er paso: Derecha a Izquierda

Izquierda a Derecha

Para obtener la cifra de la decena, se Para obtener la cifra de la unidad, restan las decenas como no se pueden restar las unidades ya que 5