UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Contenido Didáctico del Curso Electricidad y Electromagnetismo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

2050502 – ELECTRICIDAD Y ELECTROMAGETISMO

FREDDY REYNALDO TÉLLEZ ACUÑA Director Nacional

FUAN EVANGELISTA GÓMEZ RONDÓN Co-autor del Módulo

BUCARAMANGA Diciembre de 2010

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CONTENIDOS

UNIDAD 1. ELECTROSTÁTICA

2. ELECTRICIDAD

CAPÍTULO

LECCIONES

1. CARGA ELÉCTRICA

1. Carga y materia 2. Ley de Coulomb 3. Campo eléctrico 4. Líneas de fuerza 5. Ley de Gauss

2. POTENCIAL ELÉCTRICO

6. Energía potencial eléctrica 7. Diferencia de potencial 8. Superficies equipotenciales 9. El electronvoltio 10. Aplicaciones

3. CAPACIDAD ELÉCTRICA

11. Condensadores 12. Tipos de condensadores 13. Condensadores en serie y en paralelo 14. Energía en un condensador 15. Efecto de los dieléctricos

4. NATURALEZA DE LA ELECTRICIDAD

16. El electrón 17. Corriente eléctrica 18. Fuerza electromotriz 19. Fuentes de electricidad 20. Señales continuas y alternas

5. CIRCUITOS ELÉCTRICOS

21. Componentes de un circuito eléctrico 22. Resistencia eléctrica 23. Tipos de resistencias 24. Código de colores para resistencias eléctricas 25. Resistencias eléctricas en serie y en paralelo

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6. LEYES DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

UNIDAD

CAPÍTULO

3. ELECTROMAGNETISMO 7. MAGNETISMO

26. Ley de Ohm 27. Potencia eléctrica 28. Circuito serie 29. Circuito paralelo 30. Leyes de Kirchhoff LECCIONES 31. Imanes 32. Campo magnético de un imán 33. Circuito magnético 34. Inductancia 35. Inductancias en serie y en paralelo

8. ELECTROMAGNETISMO 36. Campo magnético creado por una corriente 37. Ley de Ampere 38. Ley de Ley de BiotSavart 39. Ley de Faraday-Lenz 40. Fuerza sobre un conductor 9. APLICACIONES

41. Horno de Inducción 42. Motor eléctrico 43. Generador eléctrico 44. El transformador eléctrico 45. Antenas

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El contenido del módulo para el curso académico Electricidad y Electromagnetismo fue recopilado en el año 2010 por el Ing. Freddy Reynaldo Téllez, docente de la UNAD. Este módulo nace de la experiencia de los autores, los cuáles han trabajado durante varios años como directores nacionales de cursos tan importantes como Física General, Física Electrónica, Microprocesadores & Microcontroladores, Electromagnetismo y Campos Electromagnéticos. El docente Freddy Téllez es Ingeniero Electricista y Magíster en Potencia Eléctrica de la Universidad Industrial de Santander. Se ha desempeñado como docente e investigador de la UNAD desde el 2004 y ha sido catedrático e investigador de diversas universidades. El docente Fuan Evangelista Gómez Rendón es Físico Puro y Especialista en Ciencias Electrónicas e Informática de la Universidad de Antioquia, Especialista en Diseño de Ambientes de Aprendizaje ( apoyado en las Tics ) de la Universidad Minuto de Dios y actualmente se encuentra desarrollando su Maestría en Física en la A.I.U ( Atlantic International University ). Se ha desempeñado como docente de la UNAD desde el 2005 y ha sido catedrático de prestigiosas universidades del medio. Los autores han tomado algunas referencias e imágenes del módulo de “ Electromagnetismo ”, el cual fue diseñado y escrito para la UNAD por el Ingeniero Carlos Jaimes ( este material fue actualizado por el docente Fuan Evangelista Gómez en el 2010 ) Los autores esperan mejorar y actualizar este material de estudio en el 2011 y para ello esperan sus aportes. Felicidades.

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INTRODUCCIÓN

Nuestro país progresivamente ha venido entrando en la modernización tecnológica, que hasta hace algunos años era aplicada sólo en países altamente industrializados. Este avance continuo y vertiginoso en la transformación de nuestro entorno, hace imprescindible para muchas personas obtener una información rápida y clara sobre las bases en las que se soporta todo este desarrollo. El presente módulo, tiene entonces como finalidad principal ubicar al estudiante dentro del contexto de la electricidad y el electromagnetismo, por medio de una formación de carácter analítico y conceptual, mediante el desarrollo de habilidades y destrezas, necesarias para que los estudiantes se enfrenten con cierta propiedad ante las situaciones que puedan surgir en esta sociedad tecnificada. Esta formación ha de servir al estudiante para que se familiarice con los pilares físicos en los que, por un lado, se sustenta la actual era de la electrónica y las telecomunicaciones y, por otro, se construye el conocimiento acerca de la ingeniería aplicada y las nuevas tecnologías.

El Módulo contiene, entre otras, las siguientes temáticas:     

Conceptos de electrostática, electricidad y electromagnetismo. Definición de importantes variables y magnitudes físicas. Leyes básicas de los campos y los circuitos eléctricos. Descripción de componentes y tipos de circuitos eléctricos. Aplicaciones de la electrostática y el electromagnetismo.

Deseamos finalmente que este texto sirva para enriquecer sus conocimientos y le permita desempeñarse mejor en nuestra sociedad. Cualquier comentario o sugerencia que nos pueda brindar para el mejoramiento de este material, será gratamente recibida.

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UNIDAD 2 ELECTRICIDAD

CONTENIDOS

Capítulo 4. Naturaleza de la Electricidad 16. El electrón 17. Corriente eléctrica 18. Fuerza electromotriz 19. Fuentes de electricidad 20. Señales continuas y alternas Capítulo 5. Circuitos Eléctricos 21. Componentes de un circuito eléctrico 22. Resistencia eléctrica 23. Tipos de resistencias 24. Código de colores para resistencias eléctricas 25. Resistencias eléctricas en serie y en paralelo

Capítulo 6. Leyes de los Circuitos Eléctricos 26. Ley de Ohm 27. Potencia eléctrica 28. Circuito serie 29. Circuito paralelo 30. Leyes de Kirchhoff

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CAPITULO 4: NATURALEZA DE LA ELECTRICIDAD Introducción La electricidad es una de las principales formas de energía usada en el mundo actual. Se emplea en todas partes: en las comunicaciones, en el transporte, en la industria, en el hogar, en nuestro trabajo, etc. Fue descubierta por los griegos cuando observaron que el ámbar al ser frotado se cargaba con una fuerza misteriosa, de tal manera que podía atraer cuerpos livianos como hojas secas y viruta de madera. Los griegos denominaron al ámbar como elektron, de donde se derivó el nombre de electricidad.

Lección 16: El electrón Ya se habían tratado algunos aspectos relacionados con el electrón en la Lección 1: Carga y Materia. Vamos entonces a profundizar un poco en otros aspectos de interés relacionados con el electrón. Cuando un electrón se encuentra en la capa más externa de su átomo ( electrón de valencia ) la atracción producida por el núcleo será mínima. Si se aplica entonces suficiente energía al átomo, algunos de estos electrones de valencia abandonarán el átomo. Estos electrones reciben ahora el nombre de electrones libres y su movimiento será el causante de la corriente eléctrica en un conductor.

La energía mencionada anteriormente, puede ser producida por fricción, calor, luz, magnetismo, presión, reacciones químicas, fenómenos físicos y hasta nucleares.

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Así como algunos átomos pueden perder electrones, otros pueden ganarlos. Es posible provocar la transferencia de electrones de un objeto a otro. Cuando esto sucede se altera la distribución de cargas, dando origen a objetos con exceso de electrones, a los que llamaremos con carga negativa ( - ) y a objetos con deficiencia de electrones, o lo que es lo mismo, exceso de protones, que serán llamados con carga positiva ( + ) La magnitud de la carga eléctrica que posee un cuerpo, se determina por la relación existente entre el número de electrones y protones que hay en dicho cuerpo. Una carga negativa de 1 coulombio nos indica que el cuerpo contiene 6,25 x 1018 más electrones que protones.

Lección 17: Corriente eléctrica Podemos definir la corriente eléctrica, como el paso o movimiento de electrones a través de un circuito o trayectoria cerrada. Esto sucede cuando se desprenden los electrones de la órbita de valencia de un átomo y pasan al otro sucesivamente, creando de esta forma un flujo de electrones. La teoría electrónica nos dice que los electrones siempre se desplazan de un potencial negativo hacia un potencial positivo. Entonces, para que exista una corriente eléctrica se necesita, además de la trayectoria cerrada para los electrones, una diferencia de potencial eléctrico que los impulse. Supongamos que tenemos un material conductor y que en sus extremos aplicamos una diferencia de potencial con una batería.

Fuente: Adaptado de http://www.asifunciona.com

Los electrones se mantienen en movimiento porque los que son repelidos por el lado negativo de la batería son atraídos por el lado positivo de la misma. Por cada

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electrón que entre a la fuente, saldrá uno por el otro extremo y esto ocurrirá mientras exista la diferencia de potencial en la fuente. Si la fuente se interrumpe no habrá quién empuje ni atraiga electrones y la corriente desaparecerá. La intensidad ( I ), el amperaje o la corriente en un circuito eléctrico es lo mismo y se define como la cantidad de electrones ( carga negativa ) que circula en un conductor por unidad de tiempo. I = Q / t La unidad de medida de la corriente eléctrica, es el amperio ( A ) y equivale al paso de una carga de un coulombio en un segundo.

Lección 18: Fuerza electromotriz [3]

La Fuerza Electromotriz ( F.E.M. ), también conocida como Voltaje ( V ) o Diferencia de Potencial, se define formalmente como la capacidad de efectuar un trabajo, consistente en mover una carga, por atracción o repulsión, desde un polo hasta el otro polo de la fuente de alimentación. Podemos decir también que es la fuerza necesaria para hacer mover los electrones en un circuito eléctrico. Como la fuerza electromotriz es trabajo por unidad de carga, la unidad básica de medida de la F.E.M. en el sistema mks es el Julio por Coulombio, que en su forma abreviada se conoce como el voltio ( V ). Por consiguiente, el voltaje puede expresarse en voltios. F.E.M. = W / Q Para aclarar un poco más este concepto, analicemos el siguiente ejemplo: la F.E.M. de una batería corriente de automóvil es de unos 12 voltios, o sea, de 12 Julios/Coulombio. Esto quiere decir que por cada Coulombio que pasa a través de la batería ( o cruza una sección del circuito en la cual está conectada la batería ) 12 Julios de energía interna se convierten en energía eléctrica. Los elementos más comunes que nos suministran Fuerza Electromotriz o Voltaje son las baterías, las pilas y los tomacorrientes.

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Lección 19: Fuentes de electricidad [3] La electricidad puede ser generada por múltiples procesos y formas: por acción química, magnetismo, fricción, calor, luz, presión, entre otras. A continuación se describen algunos de los procesos más interesantes para la producción de la energía eléctrica. Acción Química En 1883, Michael Faraday observó que el agua pura era un aislador casi perfecto, mientras que las soluciones acuosas de ciertas sustancias eran conductoras de la electricidad. Una solución que conduce la corriente eléctrica se conoce como electrolito. Si se introducen dos electrodos de platino en una solución diluida de ácido sulfúrico y se les suministra un voltaje moderado, del electrodo negativo empezaran a salir burbujas de hidrógeno y del electrodo positivo saldrán burbujas de oxigeno y se pueden recoger estos gases en tubos de ensayo invertidos. Después de que la electrólisis ( acción de separar los componentes de una sustancia ) ha tenido lugar durante algún tiempo, los electrodos pueden ser desconectados del generador y conectados a un galvanómetro o equipo de medición. Se observará entonces una corriente instantánea en sentido opuesto, indicando que durante un breve tiempo ha existido un voltaje opuesto, producido por el hecho que un electrodo está cubierto con hidrógeno y el otro con oxígeno. La combinación de dos sustancias distintas en un electrolito constituye el principio de una pila galvánica.

Fuente: http://www.mupe.org/elect/inv/pila.html

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Consideremos otro caso en el cual los electrodos reaccionan con las sustancias depositadas sobre ellos. Supongamos dos electrodos de plomo sumergidos en ácido sulfúrico diluido. Se libera hidrógeno en el polo negativo como si el electrodo fuera de platino, pero el oxígeno liberado en el electrodo positivo se combina ahora con el plomo para formar bióxido de plomo PbO 2. Al cabo de un cierto tiempo se suprime el generador y se sustituye por un galvanómetro. Se observará una corriente en sentido inverso que indica la existencia de un voltaje inverso. Las medidas indican que este voltaje es de 2 voltios aproximadamente. En condiciones adecuadas, dos sustancias diferentes y un electrolito pueden disponerse de modo que el voltaje no sea transitorio, sino que pueda permanecer más o menos constante mientras se suministra corriente a un circuito exterior. Tal dispositivo se denomina pila voltaica o pila galvánica en honor de Volta y Galvani, que fueron quienes primero lo estudiaron. Estos principios son los que han venido siendo desarrollados hasta tener los diferentes tipos de pilas y baterías que vemos hoy en día.

Magnetismo La generación actual de energía eléctrica a gran escala, no sería factible económicamente si los únicos generadores de voltaje disponibles fueran de naturaleza química tales como pilas secas y baterías. Una opción bastante conveniente para la producción de energía eléctrica, es hacer interactuar un campo magnético con un conjunto de alambres conductores que se encuentren en su interior.

Fuente: http://www.fisicaweb.info

La anterior figura representa un conductor ( espira conductora ), situado dentro de un campo magnético uniforme, el cual es producido por un par de imanes

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permanentes. Si se pone el conductor en movimiento se producirá un voltaje inducido en los terminales de la espira. Este es el principio del funcionamiento de un generador eléctrico. El generador eléctrico, es entonces, una máquina que hace uso de la inducción electromagnética, para producir voltaje por medio de bobinas de alambre que giran en un campo magnético estacionario o por medio de un campo magnético giratorio que pasa por un devanado estacionario. En la actualidad el porcentaje de la energía eléctrica producida en el mundo por generadores es muy importante y se ubica dentro de las principales opciones.

Células solares Una célula solar es un dispositivo semiconductor que absorbe la energía radiante del sol y la convierte directa y eficientemente en energía eléctrica. Las células solares se pueden usar individualmente como detectores de luz, por ejemplo en cámaras, o conectadas una tras otra para obtener los valores requeridos de corriente y voltaje en la generación de energía eléctrica.

Fuente: http://www.marviva.org

La mayoría de las células solares están hechas de cristal de silicio y han sido antieconómicas para generar electricidad, excepto para satélites espaciales y áreas remotas donde las fuentes de potencia convencionales no se encuentran disponibles. Investigaciones recientes han mejorado el desempeño de estas células y al mismo tiempo han disminuido el costo de manufactura y materiales. Una forma es utilizando concentradores ópticos como espejos y lentes, para enfocar la luz solar en células solares de menor área.

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La conversión de luz solar en energía eléctrica en una célula solar, involucra tres procesos: la absorción de la luz solar en el material semiconductor; la generación y separación de cargas libres positivas y negativas, las cuales se mueven a diferentes regiones de la célula solar, y la transferencia de esas cargas separadas a través de terminales eléctricos a la aplicación externa en forma de corriente eléctrica.

Fuente: http://www.solar-windeurope.com

Lección 20: Señales continuas y alternas Existen dos tipos de señales íntimamente relacionadas con la electricidad, que debemos aprender a reconocer y diferenciar. Estas son: las señales continuas y las señales alternas. Señales continuas o directas. Las señales de corriente continua son las que producen, en un circuito cerrado, una corriente que se mueve en un solo sentido o dirección, es decir, tienen una polaridad definida. Pueden ser: a. Señales de corriente continua pura. La señal de corriente continua pura es la que no cambia ni de sentido ni de magnitud. Por ejemplo, una corriente eléctrica de 3 amperios.

b. Señales de corriente continua fluctuante o variable. La señal de corriente continua fluctuante es la que no cambia de sentido, pero sí de magnitud. Algunos ejemplos son:

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Señales alternas. Son las que varían tanto en dirección como en amplitud. Es la señal de los tomacorrientes eléctricos. Este tipo de señal varía a intervalos periódicos. La forma de onda que generalmente se usa para la corriente alterna es la señal sinusoidal.

Como se puede apreciar, una señal de corriente alterna fluye primero en una dirección y luego en otra, es decir alterna su sentido o dirección. En nuestro medio se usa más la corriente alterna que la continua, debido a que sirve para las mismas aplicaciones pero es más fácil de producirla, más barata de transmitirla y tiene aplicaciones para las cuales la corriente continua no sirve. Algunas de las características fundamentales de la señal alterna son: Frecuencia: Es el número de ciclos que se producen en un segundo, se determina por la letra f y se mide en Hertz ( Hz ). Un Hertz equivale a un ciclo por segundo.

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Entre más ciclos tenga una señal en un segundo, mayor será la frecuencia. En Colombia se usa una frecuencia de 60 Hz, como en el resto de América, pero en Europa se usan desde 25 a 120 ciclos, siendo común los 50 Hz. Periodo: Se representa por la letra T y es el tiempo necesario para que un ciclo se repita. Se mide en segundos y se relaciona con la frecuencia debido a que son inversamente proporcionales.

Fase: Es la relación angular que existe entre 2 ondas, independiente de las magnitudes. Cuando se hace la representación en el plano cartesiano se determina como fase cada uno de los puntos a lo largo de la trayectoria sinusoidal, los cuales se dan en grados. Decimos que dos señales están en fase cuando sus valores máximos y mínimos ocurren en el mismo instante, luego las dos ondas comenzarán y terminarán al mismo tiempo. Se dice que dos señales están desfasadas o que tienen una diferencia de fase cuando sus máximos y mínimos no coinciden, luego las dos señales no comienzan ni terminan al mismo tiempo.

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CAPITULO 5: CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Introducción La electricidad junto con los circuitos eléctricos, hacen parte de nuestro diario vivir y se han constituido en elementos imprescindibles en los hogares e industrias del mundo entero. Sin embargo desconocemos aspectos tan importantes como sus componentes y funcionamiento y confundimos en algunas ocasiones las magnitudes y unidades relacionadas con ella. Es por esto que en el presente capítulo, estudiaremos, con cierta profundidad, los aspectos más relevantes relacionados con los circuitos eléctricos y los aplicaremos en la solución de diversos ejercicios y situaciones en las que se involucran dichos conceptos.

Lección 21: Componentes de un circuito eléctrico Un circuito eléctrico práctico consta por lo menos de cuatro componentes: a. Una fuente de energía eléctrica ( fuente de voltaje ) b. Una carga o elemento de consumo c. Elementos de conexión o conductores d. Un medio de control o interruptor a. c.

b. d.

Fuente: http://www.cpucips.sdsu.edu

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La corriente eléctrica convencional, a diferencia del flujo de electrones, sale por el terminal positivo de la fuente de voltaje, circula a través de los conductores hasta la carga y regresa nuevamente a la fuente por el otro extremo. Vale la pena aclarar que la carga es simplemente el elemento que aprovecha la energía eléctrica y la transforma en otro tipo de energía, ya sea lumínica, térmica, etc. Todo circuito eléctrico debe tener un interruptor o medio de control, que le permita a la corriente que circule por él, sólo cuando sea necesario. Como consecuencia de esto, un circuito eléctrico puede estar cerrado o abierto. Decimos que tenemos un circuito eléctrico cerrado cuando la corriente eléctrica circula sin inconvenientes desde un terminal de la fuente hasta el otro. Si por el contrario la corriente eléctrica no regresa a la fuente, es porque el interruptor se accionó y el circuito se encuentra ahora abierto.

Lección 22: Resistencia eléctrica Vamos ahora a definir el significado físico, las unidades y el comportamiento de la resistencia eléctrica. La resistencia eléctrica es la oposición o dificultad que ofrece un material al paso de los electrones. Entre más resistencia esté presente en un circuito eléctrico, más difícil es la circulación de corriente por él. La unidad de medida de la resistencia eléctrica es el ohmio, el cual se representa por la letra griega omega (  ) Físicamente la resistencia eléctrica se asocia con los resistores, es decir, aquellos elementos cuya resistencia eléctrica al paso de la corriente tiene un valor conocido. Símbolos de Resistores Fijos

Símbolos de Resistores Variables

Fuente: http://www.mathdaily.com

Fuente: http://www.geocities.com

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Los resistores o resistencias eléctricas son los elementos de mayor empleo en el ramo de la electrónica y representan generalmente al elemento de carga o de consumo en muchos circuitos prácticos. Su función principal es controlar o limitar la corriente que fluye a través de un circuito eléctrico, presentando oposición al paso de la corriente eléctrica.

Lección 23: Tipos de resistencia eléctrica Según su funcionamiento las resistencias eléctricas se pueden clasificar en: 

Resistores Fijos



Resistores Variables

Resistores Fijos. Los resistores fijos son aquellos cuyo valor óhmico no se puede alterar o variar después de su fabricación. Según su construcción se pueden dividir en: resistores con composición de carbono y resistores de alambre arrollado. a. Resistores con composición de carbono. Estos resistores se elaboran con base en una mezcla de grafito ( carbón ) y un aglutinante, generalmente aislante. El valor de la resistencia depende de la relación entre el grafito y el aglutinante. De hecho si el contenido de carbón es alto, el valor óhmico del resistor es bajo y viceversa. La mezcla de los dos materiales se deposita a presión en una pequeña cápsula de vidrio, en cuyos extremos se colocan un par de terminales. Posteriormente se recubre el conjunto por una capa de baquelita sobre la que se imprime, en forma de franjas circulares, un código de colores que más adelante estudiaremos.

Fuente: Adaptado de http://www.feiradeciencias.com.br

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Los resistores con composición de carbono suelen tener empleo en casi todos los circuitos electrónico, incluyendo circuitos de audio y radiofrecuencia de bajo costo y donde la calidad no sea un factor muy determinante. Cabe anotar que su tamaño es pequeño y depende de su potencia de trabajo. b. Resistores de alambre arrollado. Los resistores de alambre arrollado o bobinado, están elaborados por un alambre resistivo de níquel-cromo o de ferro-níquel, enrollado sobre una barra tubular de porcelana o cerámica. Encima se le deposita una capa de esmalte aislante a base de material cerámico vitrificado. Estos resistores son menos comunes en equipos electrónicos debido a su tamaño y a su alta tolerancia.

Fuente: http://www.tyseley.40118-web.co.uk

Resistores Variables. Estos resistores son aquellos cuyo valor óhmico se puede variar dentro de un rango considerable, según necesite el usuario. Reciben también el nombre de potenciómetros o reóstatos. En los potenciómetros el cuerpo resistivo está elaborado con base en carbón depositado sobre una herradura de baquelita, mientras que en los reóstatos el elemento resistivo es alambre.

Fuente: http://www.mercadobr.com.br

Fuente: http://www.ucm.es

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En el potenciómetro se encuentra un contacto móvil o cursor sobre el elemento resistivo. La posición de dicho cursor determina la resistencia eléctrica en los terminales del potenciómetro. Este valor se establece con un pequeño destornillador o por medio de un eje que se puede girar manualmente. cursor

capa de carbón

terminales

Fuente: http://www.e-aeromodelismo.com.ar

Los potenciómetros se emplean como controles de volumen y tonos en diferentes equipos: También en algunas fuentes reguladas para variar la tensión de salida y en algunos controles de velocidad. Por lo general las resistencias variables se emplean como potenciómetros y no como reóstatos, y según su variación pueden ser lineales o logarítmicos

Lección 24: Código de colores para resistencias eléctricas El código de colores más empleado para resistores, se compone de cuatro franjas de color, que se leen de izquierda a derecha, estando colocado el resistor en la forma que lo muestra la figura, siendo generalmente la cuarta franja dorada o plateada. Mediante la correcta interpretación de este código, podemos conocer el valor en ohmios del resistor.

Las dos primeras franjas de color en la resistencia, determinan las dos primeras cifras significativas de su valor. La tercera franja de color indica el multiplicador, es decir, la cantidad de ceros que se deben agregar a las dos primeras cifras o dígitos, para obtener el valor nominal del resistor en ohmios. La cuarta franja indica la tolerancia, es decir, el rango de valores, alrededor del valor nominal, dentro del cual el fabricante nos asegura que se encuentra valor real de dicho resistor.

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En la tabla se hacen coincidir los colores en las franjas del resistor con cada una de sus columnas.

Fuente: Adaptado de Internet

En la primera columna vemos el número que representa cada color para el primer dígito significativo. En la segunda columna vemos el valor de cada franja de color para el segundo dígito significativo. En la tercera columna vemos el valor del multiplicador o del número de ceros que se deben agregar a los anteriores 2 dígitos significativos para formar el valor nominal de la resistencia. En la cuarta columna, aparece el valor que representa el porcentaje de la tolerancia de cada resistor. Generalmente para este valor se emplean los colores dorado (  5% ) y el plateado (  10% ). Cuando el resistor viene sin cuarta franja o sin color, la tolerancia es del  20%. Ejemplo:

COLORES: amarillo, violeta, naranja, plateado Fuente: Adaptado de http://www.teicontrols.com

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Supongamos que tenemos un resistor con los anteriores colores en sus franjas. ¿ Cuál es el valor nominal de este resistor ? ¿ Dentro de qué rango, el fabricante nos asegura que se encuentra su valor real ? Analicemos sus franjas de colores: 1 franja: 2 franja: 3 franja: 4 franja:

amarillo ( 4 ), primer dígito significativo. violeta ( 7 ), segundo dígito significativo. naranja ( 3 ), multiplicador ( x1000 ) o número de ceros ( 000 ) plateado, porcentaje de tolerancia de  10%

Entonces, valor nominal de este resistor es: 47000  ó 47 K El porcentaje de tolerancia del  10%, nos indica el rango entre el cual se debe encontrar el valor real de este resistor. El 10% de 47 K es 4,7 K. Entonces: 47 K - 4,7 K < Valor Real del Resistor < 47 K + 4,7 K es decir, que el valor real de este resistor debe estar entre 42,3 K y 51,7 K

Nota del autor: si se presenta alguna dificultad en el manejo de la Notación Científica y/o las Unidades y Prefijos utilizados en el ejemplo anterior, se recomienda el repaso o estudio de estos conceptos, ya que son fundamentales para el desarrollo de las temáticas que se seguirán trabajando. El presente texto cuenta en los Apéndices finales ( A y B ) con un contenido que le puede ayudar en el inicio de este estudio.

Lección 25: Resistencias eléctricas en serie y en paralelo Asociación de resistores. En el estudio de los circuitos resistivos, es muy común trabajar con “resistores equivalentes”. Podemos entonces reemplazar una agrupación de resistores en serie, en paralelo o en configuraciones mixtas ( serie paralelo ) por un “resistor equivalente”; es decir, aquel resistor que puede

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reemplazar toda una red de resistores, sin que esto afecte el comportamiento del circuito eléctrico en el que se encuentran. a. Montaje en Serie. Se dice que varios resistores o elementos se encuentran en serie, cuando están consecutivos, es decir, uno después del otro.

Observamos en la figura un circuito serie con cuatro resistores. Podemos pensar entonces, en reemplazar estos resistores por uno sólo, entre a y b, que conserve el comportamiento general del circuito. La resistencia total entre a y b se encuentra sumando los resistores que están en serie. Entonces: Rab = R1 + R2 + R3 + R4 Con lo anterior podemos concluir que la resistencia equivalente o total de un conjunto de dos o más resistencias conectadas en serie es igual a la suma aritmética de todas ellas. Ejemplo: Encuentre la resistencia equivalente en el siguiente circuito.

a

b Como se puede apreciar, el circuito está compuesto por tres resistores conectados en serie, por lo tanto, el valor de la resistencia equivalente se halla sumando los valores de cada uno de los resistores del circuito.

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Rab = R1 + R2 + R3 = 2,5 K + 1 K + 3,2 K = 6,7 K Tenemos entonces que la resistencia equivalente en el circuito anterior es de 6,7 K, es decir, de 6700 . Podemos entonces reemplazar estos tres resistores por uno de 6700 , sin que el comportamiento eléctrico del circuito varíe.

b. Montaje en Paralelo. Se dice que varios resistores o elementos se encuentran en paralelo, cuando están conectados entre el mismo par de puntos ( nodos ).

Cuando tenemos varios resistores conectados en paralelo, podemos encontrar la resistencia equivalente empleando la siguiente expresión: 1/Rab = 1/R1 + 1/R2 + ... + 1/Rn Concluimos entonces que para encontrar la resistencia equivalente o total de un circuito en paralelo, debemos hallarlo tomando el inverso de la suma de los inversos de cada resistor. Ejemplo: Encuentre la resistencia equivalente en el siguiente circuito.

a

b

Como se puede apreciar, el circuito está compuesto por tres resistores conectados en paralelo, por lo tanto, el valor de la resistencia equivalente se halla empleando la siguiente expresión:

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1/Rab = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 1 / 4K + 1 / 2K + 1 / 4K 1/Rab = ( 1 + 2 + 1 ) / 4K = 4 / 4K = 1 / 1K Hasta el momento sólo hemos encontrado el inverso de la resistencia equivalente, es decir, 1/Rab. Si se invierte el resultado tenemos entonces que la resistencia equivalente en el circuito anterior es de 1 K, es decir, de 1000 . Podemos entonces reemplazar estos tres resistores por uno de 1000 , sin que el comportamiento eléctrico del circuito varíe. Por último, cabe anotar que en el caso de arreglos mixtos de resistores, cada sección serie o paralela, tendrá su propio tratamiento.

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CAPITULO 6: LEYES DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Introducción En las siguientes lecciones del presente capítulo se estudiarán los principales teoremas y leyes fundamentales que rigen el comportamiento de los circuitos eléctricos. Dichas leyes permitirán comprender mucho mejor lo que sucede en el interior de un circuito eléctrico. Posteriormente se aplicarán en la solución de diversos ejercicios y situaciones que habitualmente encontramos en el campo del análisis de circuitos eléctricos.

Lección 26: Ley de Ohm La ley de OHM establece una relación entre tres magnitudes eléctricas fundamentales y se enuncia de la siguiente manera: el voltaje entre los extremos de muchos tipos de materiales conductores es directamente proporcional a la corriente que fluye a través de él, siendo la constante de proporcionalidad la resistencia eléctrica de dicho material La ley de OHM se expresa matemáticamente con la siguiente ecuación: Voltaje = Resistencia x Corriente V=RxI Esta ecuación trae como consecuencia la definición matemática de la corriente. La corriente eléctrica es igual al voltaje dividido entre la resistencia eléctrica. También que la resistencia eléctrica es igual al voltaje dividido entre la corriente. A continuación se ilustran estas ecuaciones por medio del triángulo de la ley de Ohm. Si se quiere conocer la ecuación para V, I, o R ; sólo debe cubrirse con el dedo la magnitud eléctrica que se desea encontrar.

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V=RxI

I=V/R

R=V/I

Fuente: http://www.unicrom.com

Ejemplo. Encuentre la corriente eléctrica ( I ) que circula por el circuito, cuando una pila de 1,5 voltios alimenta una carga cuya resistencia eléctrica es de 20 ohmios. Para encontrar la corriente eléctrica ( I ) del circuito, conociendo el voltaje y la resistencia, empleamos la siguiente ecuación: I=V/R Sustituyendo los valores, I = 1,5 V / 20  = 0,075 A = 75 mA ( mili-amperios )

Lección 27: Potencia eléctrica La Potencia Eléctrica se puede definir como la cantidad de energía eléctrica transformada por una carga en un tiempo determinado. Tal carga está conectada a una diferencia de potencial ( voltaje ) y su potencia eléctrica dependerá de la oposición que ofrezca al paso de la corriente eléctrica. La potencia eléctrica se puede producir, consumir o almacenar, dependiendo del tipo de elemento con el que se trabaje. Si el elemento produce potencia eléctrica se dice que es un elemento activo, si por el contrario la consume o almacena decimos que es un elemento pasivo. La unidad de medida de la potencia eléctrica es el Vatio ( W ). Un vatio es igual a la potencia consumida cuando un amperio fluye, con una fuente de un voltio conectada a la carga.

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Existe una ecuación muy sencilla para el cálculo de potencia eléctrica en los diferentes elementos de un circuito, que además nos relaciona algunas de las magnitudes estudiadas hasta el momento. P=VI Si combinamos la ecuación de potencia eléctrica ( P = V I ) con la ecuación de la Ley de Ohm ( V = I R ), encontramos dos nuevas expresiones de potencia, muy útiles para encontrar la potencia consumida por una carga resistiva.

Es importante comprender las anteriores ecuaciones debido a que se usan muy a menudo en ejercicios de circuitos eléctricos.

Lección 28: Circuito serie Dependiendo de la forma como estén interconectados los diferentes elementos en un circuito, van a tener características propias de voltaje, corriente y resistencia eléctrica. En las siguientes secciones describiremos los principales aspectos relacionados con los circuitos serie, paralelo y mixtos. Circuito Serie. Es aquel en el que todos sus componentes están conectados de forma tal que sólo hay un camino para la circulación de la corriente eléctrica.

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En el circuito serie la corriente eléctrica ( I ) es la misma en todas las partes del circuito, es decir, que la corriente que fluye por R1, recorre R2, R3 y R4 y es igual a la corriente eléctrica que suministra la fuente de alimentación. Con respecto al voltaje ( V ) en un circuito serie, podemos decir que cada elemento del circuito tiene su propio voltaje. Además el voltaje suministrado por los elementos fuente es igual a la suma de los voltajes en los extremos de cada elemento carga. En una próxima lección se dará la ecuación matemática para el comportamiento del voltaje en un circuito serie. Ejemplo: Por el siguiente circuito circula una corriente eléctrica de 2 Amperios. Encuentre el voltaje en cada una de las resistencias y la potencia de cada elemento del circuito.

I

El circuito anterior está compuesto por una fuente de voltaje y tres resistores conectados en serie, por lo tanto, la corriente de 2 Amperios circula por cada uno de estos elementos. Para encontrar el voltaje en cada una de las resistencias, empleamos la Ley de Ohm: V = R x I Entonces, V30 = 30 x 2A = 60 V V10 = 10 x 2A = 20 V V20 = 20 x 2A = 40 V De los anteriores resultados se puede concluir que cada resistor tiene su propio voltaje y además que el voltaje suministrado por la fuente es igual a la suma de los voltajes de los elementos carga, es decir, de los resistores.

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Para encontrar la potencia eléctrica de cada elemento del circuito, podemos emplear cualquiera de las siguientes expresiones: P=VI

P = V2 / R

P = I2  R

Entonces, Pfuente = V  I = 120V x 2A = 240 W generados P30 = V  I = 60V x 2A = 120 W consumidos P10 = V2 / R = ( 20V ) 2 / 10 = 40 W consumidos P20 = I2  R = ( 2A )2 x 20 = 80 W consumidos De los anteriores resultados se puede concluir que cada elemento del circuito tiene su propia potencia eléctrica, la cual puede ser generada, consumida o almacenada. Además que la potencia generada por la fuente es igual a la suma de las potencias consumidas por los resistores. Lección 29: Circuito paralelo Circuito Paralelo. En un circuito paralelo dos o más componentes están conectados a los terminales de la misma fuente de voltaje. Podemos definir cada terminal como un nodo del circuito y decir entonces que en un circuito paralelo todos sus elementos están conectados al mismo par de nodos.

Cada camino paralelo es una rama con su propia corriente, en donde la corriente suministrada por los elementos fuente es igual a la suma de las corrientes que circulan por cada elemento carga.

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El voltaje entre el par de terminales de un circuito paralelo es uno sólo y es igual al voltaje de la fuente de alimentación. Ejemplo: Encuentre la corriente que circula por cada uno de los resistores y la potencia de cada elemento del circuito.

El circuito anterior está compuesto por una fuente de voltaje y dos resistores conectados en paralelo, por lo tanto, el voltaje de la fuente es igual al de los resistores. Para encontrar la corriente que circula por cada uno de los resistores, empleamos la Ley de Ohm: I = V / R Entonces, I1 = 120V / 30 = 4 A I2 = 120V / 20 = 6 A De los anteriores resultados se puede concluir que por cada resistor circula una corriente eléctrica independiente. Además, podemos inferir, que la corriente que suministra la fuente ( If ) debe ser igual a la suma de las corrientes eléctricas que circulan por cada resistor en paralelo. Para encontrar la potencia eléctrica de cada elemento del circuito, podemos emplear cualquiera de las siguientes expresiones: P=VI

P = V2 / R

P = I2  R

Entonces, Pfuente = V  If = 120V x ( 4A + 6A ) = 1200 W generados

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P30 = V  I = 120V x 4A = 480 W consumidos P20 = I2  R = ( 6A )2 x 20 = 720 W consumidos De los anteriores resultados se puede concluir que cada elemento del circuito tiene su propia potencia eléctrica, la cual puede ser generada, consumida o almacenada. Además que la potencia generada por la fuente es igual a la suma de las potencias consumidas por los resistores.

Circuito Mixto. Este circuito es especial, ya que combina características de los circuitos en serie y de los circuitos en paralelo. Con un poco de práctica podremos diferenciar que parte del circuito tiene comportamiento serie y cual comportamiento paralelo. Ejemplo: En el siguiente circuito mixto identifique cuáles elementos se encuentran conectados en serie y cuáles en paralelo.

Los elementos los conectados en serie son: la fuente de alimentación y el resistor de 1 M. Los elementos conectados en paralelo son: el resistor de 2 M y el resistor de 5,2 M.

Lección 30: Leyes de Kirchhoff El físico alemán Gustav Robert Kirchhoff ( 1824-1887 ) fue uno de los pioneros en el análisis de los circuitos eléctricos. A mediados del siglo XIX, propuso dos leyes que llevan su nombre y que facilitan la comprensión del comportamiento de voltajes y corrientes en circuitos eléctricos. A. PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF: LEY DE CORRIENTES. Esta ley se puede enunciar de la siguiente manera:

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La suma de todas las corrientes eléctricas que llegan a un nodo, es igual a la suma de todas las corrientes eléctricas que salen de él.  I llegan

nodo

=  I salen

nodo

Por definición, un nodo es un punto de unión o empalme de un circuito, en donde convergen tres o más conductores. Esta Ley también se puede encontrar como: la suma algebraica de todas las corrientes eléctricas en cualquier nodo de un circuito es igual a cero. De esta manera son de signo positivo las corrientes que fluyen hacia un nodo, y negativas las que salen de él.

En la figura anterior vemos que al nodo A llega una corriente I 1 y otra I 2 las cuales se unen para formar la corriente I 3. Como en el nodo A no se ganan ni se pierden electrones, I3 debe ser igual a la suma de I1 más I 2. En otras palabras, aplicando la 1ª Ley de Kirchhoff, podemos decir que las corrientes que entran a un nodo son iguales a las que salen de él. De acuerdo con la figura tenemos: I1 + I2 = I 3 B. SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF: LEY DE VOLTAJES. Esta ley se puede enunciar de la siguiente manera: En un circuito cerrado o malla, las caídas de tensión totales son iguales a la tensión total que se aplica en el circuito.

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En otras palabras, en un circuito cerrado o malla la suma de los voltajes de los elementos de consumo ( resistores ) es igual a la suma de los voltajes de las fuentes de alimentación. Esta ley confirma el principio de la conservación de la energía. La energía que tiene una fuente generadora de fuerza electromotriz ( FEM ) se transforma en energía mecánica o eléctrica en cada una de las cargas del circuito eléctrico.

En la figura vemos una fuente de voltaje y dos resistores en un circuito eléctrico serie. La suma de las caídas de voltaje en los resistores ( v1 y v2 ) debe ser igual a la FEM proporcionada por la batería ( e1 ) Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff a la figura, tenemos: e1 = v1 + v2

Ejemplo: Encuentre la corriente Ix y el voltaje Vx aplicando las leyes de Kirchhoff.

Para encontrar la corriente Ix, aplicamos la 1ª Ley de Kirchhoff: La suma de todas las corrientes eléctricas que llegan a un nodo, es igual a la suma de todas las corrientes eléctricas que salen de él.  I llegan

nodo

=  I salen

nodo

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Al nodo superior llega la corriente de 6A y sale la corriente Ix y la de 2,5A. Entonces,

6A = Ix + 2,5A Ix = 6A - 2,5A = 3,5A

Para encontrar el voltaje Vx, aplicamos la 2ª Ley de Kirchhoff: En un circuito cerrado o malla la suma de los voltajes de los elementos de consumo es igual a la suma de los voltajes de las fuentes de alimentación  V consumidores =  V fuentes En el circuito cerrado del lado izquierdo tenemos una fuente de alimentación de 18V y dos resistores con sus respectivos voltajes Vx y 12V. Entonces,

Vx + 12V = 18V Vx = 18V - 12V = 6V

De este ejercicio podemos concluir que las Leyes de Kirchhoff constituyen una poderosa herramienta de sencilla aplicación para el análisis de circuitos eléctricos.

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APÉNDICE A. NOTACIÓN CIENTÍFICA En ingeniería es normal el tratar con números que son bastante grandes o pequeños para ser escritos en un papel. Es por ello que se ha ideado una manera de escribir este tipo de cifras de una manera cómoda y accesible. Esta notación se denomina notación científica. Esta notación científica consiste en escribir el número como una cifra comprendida entre 1 y 10, y luego multiplicarla por la potencia de 10 más adecuada. Para comprender un poco mejor esto veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo. Utilice la notación científica para calcular:

a) b) 6000 × 0,000012

Solución: a) 0,0015 / 3000000 = 1,5 x 10 -3 / 3 x 106 = 0,5 x 10-9 = 5 x 10-10 b) 6000 × 0,000012 = 6 x 103 × 1,2 x 10-5 = 7,2 × 10−2 = 0,072

A partir del anterior ejemplo ¿ podría usted deducir una regla general para la multiplicación y la división utilizando la notación científica ?

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APÉNDICE B. UNIDADES Y PREFIJOS El Sistema Métrico Internacional de Unidades, comúnmente llamado SI, es el que más se emplea en electricidad. Sus unidades básicas son :

UNIDADES BÁSICAS DEL SISTEMA INTERNACIONAL Magnitud Física

Unidad

Símbolo

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

Kg

Tiempo

segundo

s

Corriente eléctrica

amperio

A

Temperatura

Kelvin

K

Intensidad luminosa

candela

cd

Cantidad de sustancia

mol

mol

De las unidades básicas se obtienen otras unidades muy usadas e importantes para el desarrollo del curso, las cuales se presentan a continuación: Magnitud

Unidad

Símbolo

Fuerza

newton

N

Trabajo, Energía

joule

J

Potencia

vatio

W

Carga eléctrica

coulombio

C

Tensión eléctrica

voltio

V

Resistencia eléctrica

ohmio



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Conductancia eléctrica

siemens

S

Capacidad eléctrica

faradio

F

Flujo magnético

weber

Wb

Inductancia eléctrica

henrio

H

Inducción magnética

tesla

T

Frecuencia

hertz

Hz

En el estudio de la electricidad, algunas unidades resultan demasiado grandes o demasiado pequeñas para que su uso sea conveniente. Es por eso que se emplean algunos prefijos para referirnos a ellas con mayor propiedad. Los más empleados se presentan en la siguiente tabla: FACTOR

PREFIJO

SÍMBOLO

106

mega

M

103

kilo

K

10-3

mili

m

10-6

micro



10-9

nano

n

10-12

pico

p

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GLOSARIO DE TÉRMINOS Admitancia: Medición de la facilidad que presenta un conductor al flujo de la corriente eléctrica, ( es inversa a la impedancia ). Amperio ( A ): Unidad de medida de la corriente eléctrica, es la cantidad de carga que circula por un conductor por unidad de tiempo. Banda de conducción: Región de un átomo, molécula o red de átomos o moléculas en la que los electrones circulan libremente. Banda de valencia: Región de un átomo, molécula o red de átomos en la cual los electrones están ligados al núcleo atómico. Banda prohibida: Región que está entre la banda de valencia y la de conducción, en la cual los electrones de un átomo, molécula o red de átomos o moléculas atraviesan por un proceso cuántico para que, por ejemplo, los electrones de la banda de valencia lleguen a la de conducción. El ancho de la banda prohibida se mide en unidades de energía y determina que un material sea conductor, semiconductor o aislante. Capacitancia: Es la relación entre la carga electrostática entre dos conductores y la diferencia de potencial requerida para mantener esa carga. Circuito paralelo: Circuito que tiene más de un camino para la corriente, donde los elementos comparten los terminales. Circuito serie: Circuito con un único camino para la corriente, donde los elementos van uno a continuación del otro. Condensador: Dispositivo que almacena carga eléctrica. En su forma más sencilla, un condensador está formado por dos placas metálicas separadas por una lámina no conductora o dieléctrico. Al conectar una de las placas a un generador, ésta se carga e induce una carga de signo opuesto en la otra placa. Conductancia ( G ): G = 1 / Resistencia. Es el inverso de la resistencia. Un elemento (resistor) con alta resistencia tiene baja conductancia, un resistor con baja resistencia tiene alta conductancia.

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Corriente Eléctrica: Es equivalente al flujo de carga ( generalmente electrones ) a través de un conductor. Corriente Alterna ( CA ): Corriente eléctrica que cambia su amplitud en forma periódica en el tiempo. Corriente Continua (CC): Es la corriente que fluye en una sola dirección. Las baterías, las celdas solares, etc. producen corriente en CC. Este tipo de corriente no cambia su magnitud ni su sentido en el tiempo. Coulombio ( C ): Unidad de medición de la carga eléctrica. Un coulombio equivale a 6.25x1018 electrones. Electricidad: Forma de la energía debida a la separación o movimiento de los electrones que forman los átomos, cuya manifestación más característica es la propiedad que por fricción, compresión, etc., adquieren ciertas sustancias de atraer cuerpos ligeros y producir chispas. Electrónica: Ciencia que trata del comportamiento de los electrones libres; del paso de los electrones a través de espacios vacíos o de gases más o menos enrarecidos. Faradio ( F ): Unidad de Capacidad. Es la carga de un condensador que aplicándole la tensión de 1 voltio, admite la carga de 1 Culombio. Henrio ( H ): Unidad de Inductancia. Es la inductancia de una bobina que haciendo variar en 1 amperio/seg, se induce en ella la tensión de un voltio. Hertz ( Hz ): Cantidad de ciclos completos de una onda en una unidad de tiempo. 1 Hertz = 1 ciclo/s. Impedancia: Oposición total que un circuito ofrece al paso de la corriente eléctrica alterna, esta es una combinación de la Resistencia, Capacitancia ( reactancia capacitiva ) e Inductancia ( reactancia inductiva ), se mide en ohmios. Inductancia: Propiedad de un circuito para oponerse al cambio en el flujo de la corriente, provoca que la corriente se retrase con respecto al voltaje, se mide en Henrios.

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Multímetro: Instrumento todo propósito, también llamado Téster, VOM, DMM, etc., utilizado para efectuar mediciones de tensión ( voltaje ), corriente continua, corriente alterna, resistencia y a veces también: diodos, transistores, condensadores, etc. Ohmio (  ): Unidad de medición de la resistencia eléctrica, representada por la letra griega omega. Potencia: Velocidad con que se suministra o consume energía. Resistencia Eléctrica: Medida de la oposición al paso de la corriente eléctrica al aplicarse un voltaje, se mide en ohms. Siemens (Mho): Unidad de medida de la conductancia (G). Vatio ( W ): Unidad de la potencia. Voltaje: Diferencia de potencial, término comúnmente usado para referirse a la fuerza electromotriz. Voltio ( V ): Unidad de medición de la diferencia de potencial eléctrico o tensión eléctrica, comúnmente llamado voltaje.

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BIBLIOGRAFÍA

[ 1 ] MÓDULO DE ESTUDIO: “ Física Electrónica ” – UNAD [ 2 ] MÓDULO DE ESTUDIO: “ Campos Electromagnéticos ” – UNAD [ 3 ] MÓDULO DE ESTUDIO: “ Física Electrónica ” – UNISUR [ 4 ] MÓDULO DE ESTUDIO: “ Electromagnetismo ” – UNAD [ 5 ] GUSSOW, Milton. “Fundamentos de Electricidad”. Editorial Mc Graw Hill. [ 6 ] HALLIDAY, D.; RESNICK, R. y WALKER, J. “Fundamentos de Física” (6ª edición, 2 volúmenes). Editorial CECSA. [ 7 ] SEARS, F.W.; ZEMANSKY, M.W. y YOUNG, H.D. “Física Universitaria” (6ª edición). Addison-Wesley. [ 8 ] SERWAY, R.A. y JEWETT, J.W. “Física” (3ª edición, 2 volúmenes). Editorial Thomson-Paraninfo. [ 9 ] TIPLER, P. A. “Física” (2 volúmenes). Editorial Reverté (Barcelona) [ 10 ] WILSON, J.D.: Física (2ª edición). Editorial Prentice-Hall.