UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE PUERTO RICO Departamento de Ciencias y Matemáticas

REPASO EXAMEN #3

Expresiones y ecuaciones de Racionales e Irracionales

Prof. Manuel Capella-Casellas, M.A.Ed. Septiembre 2006 UPPR – Departamento de Ciencias y Matemáticas

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I.

Conceptos A. Operaciones con expresiones racionales 1. Suma y resta expresiones racionales homogéneas 2. Suma y resta expresiones racionales heterogéneas a. Mínimo Común Denominador 3. Simplificación de expresión racional del -1 4. Multiplicación y división expresiones racionales B. Ecuaciones Racionales 1. proporción 2. resolución de ecuaciones por el M.C.D. y la P. Distributiva 3. Aplicaciones (problemas verbales) a. relaciones numéricas b. trabajo c. distancia C. Expresiones y Ecuaciones Irracionales 1. Definición del número irracional 2. Conversión entre la forma radical y forma exponencial 3. Repaso de las reglas de exponentes a. con exponentes racionales 4. Reglas o propiedades de los radicales a. potencia b. producto c. cociente d. raíz cuadrada de un número negativo (imaginario) 5. Simplificación de expresiones irracionales 6. Racionalización a. “simple” b. “por el conjugado” 7. Operaciones con expresiones irracionales a. suma y resta de términos semejantes simplificados b. multiplicación y división de expresiones irracionales 8. Ecuaciones irracionales

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Recomendación: Antes de comenzar a trabajar estos ejercicios debes haber leído el material didáctico del libro de texto y el ofrecido en las tutorías o por tus profesores. Además, debes tener claras las definiciones de todos los conceptos relacionados a los temas que se cubren en este bloque de instrucción. Esto incluye el dominio de vocabulario y los algoritmos desarrollados para representar cada concepto. Basado en este conocimiento, entonces realiza cada situación o ejercicio, y expresa un proceso lógico y sistemático. Finalmente, este repaso no sustituye la práctica continua y diaria sugerida por el prontuario y bosquejo del curso. Tampoco constituye “el modelo de examen” que puede construirse para evaluar tu dominio de destrezas y tu aprovechamiento académico.

Ejercicios: I. Simplifica las siguientes expresiones racionales de acuerdo a las operaciones indicadas. 1.

2 + m − m2 3 + m − 2m 2

w2 + 3w − 3 w2 + 4 w − 7 2. − w2 − 9 w2 − 9

3.

a+3 a+4 − a −1 1− a

4.

3 7 + t −5 5−t

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5. 1 -

6.

2( a 1) 3a + a+2 a+2

3a 2 + 16a − 8 a a −1 + − 2 a + 2a − 8 a+4 a−2

4 p2 − 1 3 p 2 − 13 p − 10 7. • 2 p2 − 9 p − 5 9 p2 − 4

8.

x 2 − 25 x 2 + x − 2 6x • • 2 3x + 6 2 x + 10 3x − 18 x + 15

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9.

2 x 2 y − 5 xy 2 4 x 2 + 20 xy ÷ 4 x 2 − 25 y 2 2 x 2 + 15 xy + 25 y 2

10.

y2 + 2y y 2 ( y + 2) ÷ y 2 ( y − 3) ( y − 3) 2

11.

3m 2 + 13m − 10 9m 2 − 4 7m − 35 ÷ • 2 m m3 m − 25

2 x +1 12. 2 2+ x 2−

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13.

1 − 9 p −2 1 − 6 p −1 + 9 p − 2

II. Resuelve las siguientes ecuaciones y establece el conjunto solución. 1.

z+5 3 = 2 z

2.

n +1 n + 2 = n−5 n−4

3.

m−4 m−2 + = m−3 m−3 m−3

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4. 1 +

3 − 8b = 2 b b + 3b

5.

3y 8 2y + 2 = 3y − 6 y − 4 2 y + 4

6.

5 1 1 − = 2 x +1 1− x x −1

7. 3 +

9 27 = 2 n − 3 n − 3n

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8.

t+4 t+2 11 + 2 = 3 t + 8 t − 2t + 4 2t + 4

III. Resuelva los siguientes problemas verbales (aplicaciones). Expresa el conjunto solución o respuesta de acuerdo a la situación. 1. Un número es cuatro (4) veces otro número. La suma de sus recíprocos 5 es . Encuentre los dos números y comprueba el resultado. 24

2. La suma de los recíprocos de dos números enteros pares consecutivos es diez (10) veces el recíproco del producto de esos dos enteros. Encuentre los dos enteros.

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7 y el mismo número es 8 substraído del denominador, entonces el resultado es 2. ¿Cuál es el número?

3. Si un número es añadido al numerador de

4. La suma de los recíprocos de dos números enteros pares consecutivos es 7 . ¿Cuáles son los dos números? 24

5. El dueño de una casa estima terminar de arreglar el techo en siete días. Un especialista en reparaciones de techo lo podrá hacer en cuatro días. ¿Cuánto demorarán en arreglar el techo si trabajan juntos?

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6. Una piscina de aguas usadas tiene dos tuberías de entrada. Una de las tuberías puede llenar la piscina en 15 días, la otra tarda 21 días en llenarla. La remoción continua del agua con desperdicios, a través de una tubería de extracción, vaciará la piscina en 36 días. Si se dejara la tubería de extracción abierta mientras las otras dos depositan aguas, ¿cuánto demorará la piscina en llenarse?

7. Un avión puede volar 300 millas a favor del viento en el mismo tiempo que recorre 210 millas en contra del viento. Encuentre la velocidad del viento cuando el avión puede volar 255 mph con vientos en calma.

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IV. Expresiones y ecuaciones irracionales. 1. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es falsa? a) b) c) d)

− 2 4 es positivo − 2 4 es negativo (−2) 4 es positivo − (2) 3 es negativo

2. De acuerdo a los algoritmos de las reglas de exponentes, ¿cuál de las siguientes no es válida? a) a m ⋅ a n = a m + n b) (ab) n = a n b n c) a 0 = 1 am d) = a n−m n a e)

(a )

m n

= a n⋅m

3. Simplifica. a) b) c) d) e)

(− 8)

−2 3

16/3 –3/16 ¼ –¼ 4

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4. Simplifica.

 13 3   2 

2

4   23  • −1  33 

1

a)

8

4 ⋅ 33

3

b)

2 3

2

4

c)

3

4 3

4 3

d) 2 ⋅ 9 e) Ninguna de las anteriores.

5. Simplifica.

a) b) c)

 12 2  1  23 

    

2

5 36

2

1 3

2

9 4

2

d) Ninguna de las anteriores. 6. Escoge la aseveración que es falsa. 100 10 = 49 7 − 16 = −4

a) b) c) d) e)

3 6

0 =0 64 = 2 − 4 = no es real

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7. Simplifica. a) b) c) d) e)

100 − 4(3)(−8)

2 4 8.45 14 196

8. Simplifica completamente. a) b) c) d)

3

500

53 4 10 3 5 10 5 5 3 10

9. Simplifica. 6 7 + 3 7 a) b) c) d) e)

126 9 14 9 7 18 7 No simplifica.

10. Simplifica. a) b) c)

147 48

99 147 48 7 3

2 12 7 d) 4 e) No simplifica.

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11. Utilizan las reglas de exponentes para decidir el valor de X para que la aseveración sea cierta. Explica tu proceso de acuerdo a estas mismas reglas.

3 2

a2x ⋅a =1

−1

12. Simplifica la expresión.

−1

83 +9 2

13. Simplifica la expresión completamente.

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40 +

7 10

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V. Repasemos...!!!

1. Simplifica.

2. Multiplica.

3. Divide.

x 2 − 3(2 x − 3) 9 − x2

6x x 2 − 25 x 2 + x − 2 ⋅ ⋅ 2 3x + 6 2 x + 10 3x − 18 x + 15

y2 + 2y y 2 ( y + 2) ÷ y 2 ( y − 3) ( y − 3) 2

4. Simplifica.

m2 − n2 m − n m+n ÷ ⋅ 2 4 3 2 m −m m m + 2mn + n 2

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a + 1 2(a − 3) 3(a + 1) − + a−2 a−2 a−2

5. Suma y resta.

6. Suma.

2 1 + t + 4t + 3 t + 3 2

2 b +1 2 2+ b

2−

7. Simplifica.

8. Resuelve.

5 3 5 y − = − 4 y + 12 4 4 y + 12 4

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9. Situación verbal. La suma de los recíprocos de dos enteros consecutivos equivale a once veces el recíproco del producto de estos dos enteros. Encuentre a los números enteros.

10. Situación verbal. A un avión le tomó una hora más viajar la primera porción del tramo (540 mi) que la segunda porción (360 mi). Si la tasa de rapidez fue la misma (constante) para cada porción del tramo, ¿Cuál fue el tiempo que le demoró viajar cada porción?

11. Simplifica.

5

− 32 p 5 q 19

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12. Simplifica utilizando las raíces. 64

13. Simplifica.

3

−

5 6

a

14. Simplifica. (16 y − 7 y )

1 2

15. Resta. 2 48a 5 − 3a 12a 3

16. Multiplica. ( 3m + 2n ) 2

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17. Divide.

3

4a 2

3

2ab

18. Divide.

2z + 1 2z + 1

−

1

2 19. Resuleve. t = 9

20. Resuelve.

y + 2 − 4 = −y

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VI. Otros para pensar...!!!

A. Conteste cierto o falso y explique. ______ 1. En la expresión − 2x3 5 el 5 es el índice del radical. ______ 2. Las expresiones 2 2 x , 3x 2 son semejantes. ______ 3. Al simplificar 2 − 200 se obtiene 20i 2 ______ 4. La operación

3 5

______ 5. El conjugado de

⋅

3 3

se hace para racionalizar el denominador.

2 + 3 es

2 +3.

B. Simplifique cada radical. 1.

3.

3

500

2.

250

4.

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−288 9

3

−

32 27

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C. Evalúe

b3 − 4a 2 c para a = -2, b = 3, c = 4 y simplifique.

D. Simplifique cada expresión. Asuma que x y y representan números positivos. 1.

27 y 2

2.

3.

27 y 5 x 6 3 yx 2

4.

98y 3 x 4

3

−125x5 y 3

E. Efectué las operaciones indicadas y simplifique.

1.

12 − 75

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2.

8 x 3 + x 32 x

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3.

( −2 12 x )(3 8x )

5.

(

3

3− 7

)(

2

3+ 7

8 x3 + x 32 x − 50 x 3

4.

)

6.

(

)(

x − 2x 2 x + 3

)

F. Racionalice cada denominador. 1.

VII. 1.

6 3

2.

2 2+ 2

Resuelve cada ecuación con radicales. (Valor 4 puntos c/u) y =3

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2.

x+2+2=3

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3.

3 x + 2 = 2x − 9

VII.

Resuelve.

4.

3

3− x = 2

1. Un boletín informativo sobre medicina estableció que una razón “saludable” de cintura a cadera para varones es de 19:20, o menor. Determine si el paciente ilustrado en la figura aquí adjunta cae dentro de esta razón saludable. Explique su respuesta. (Waist = cintura; Hips = caderas).

2. Explique por qué o por qué no se pueden dividir por 5 las dos 5x 5 + x . expresiones siguientes: , 5 5

3. Situación verbal. Encuentre la longitud de un lado de un cuadrado, si la medida de la diagonal que lo divide en dos partes es 8 pies. Aproxime su respuesta a la centésima más cercana.

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