UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERIA EN ELECTRONICA Y COMUNICACIONES

“Diseño y Simulación de un Selector de Frecuencias con Filtros Activos” Tesis presentada para obtener el titulo de Ingeniero en Electrónica y Comunicaciones

Presenta:

Justina Cortés Ramírez

Director de tesis: M. en C. Roman Garcia Ramos Asesor de tesis: M. en I. Luís David Ramírez González

Poza Rica de Hgo., Ver., Junio 2007

INDICE CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1 Antecedentes

1

1.2 Justificación

2

1.3 Alcances y limitaciones

3

CAPITULO 2 SELECTORES DE FRECUENCIAS 2.1 Introducción

4

2.2 Filtros ideales

5

2.2.1 Pasa bajas

5

2.2.2 Pasa altas

6

2.2.3 Pasa banda

6

2.2.4 Rechazabanda

7

2.3 Aproximaciones

8

2.4 Filtros Pasivos

9

2.5 La función de Transferencia

17

2.6 El amplificador operacional

19

2.6.1 Amplificador inversor

19

2.6.2 Amplificador no inversor

21

2.6.3 Amplificador sumador

22

2.6.4 Diferenciador

24

2.6.5 Integrador

25

2.7 Filtros Activos

27

2.7.1 Filtro pasa baja de primer orden

28

2.7.2 Filtro pasa alta de primer orden

30

2.7.3 Filtro pasa banda de segundo orden

32

i

CAPÍTULO 3 DISEÑO DEL FILTRO ACTIVO 3.1 Introducción

34

3.2 Funciones de transferencia de segundo orden

35

9o 3.2.1 Función pasa baja

36

3.2.2 Función Pasa banda

37

3.3 Análisis del filtro activo

38

3.3.1 Función de transferencia pasabanda

39

3.3.2 Función de transferencia pasabalas

47

3.4 Técnica de diseño

53

3.4.1 Diseño del filtro activo pasabanda

53

3.4.2 Diseño del filtro activo pasabaja

54

3.5 Sensibilidad del filtro Activo

55

3.5.1 Análisis de Sensibilidad del filtro Activo

56

CAPÍTULO 4 SIMULACION Y RESULTADOS 4.1 Introducción

58

4.2 Pasabanda

58

4.3 Pasabaja

63

CONCLUSIONES

67

APENDICE-A

69

APENDICE-B

75

BIBLIOGRAFÍA

97

ii

Capítulo 1

Introducción

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1 Antecedentes El concepto de filtro eléctrico fue introducido en 1915 simultáneamente en Estados Unidos por Campbell y en Alemania por Wagner. En ese tiempo los filtros eran realizados usando elementos pasivos como inductores, resistores y capacitores. A los filtros realizados con elementos pasivos se les conoce como filtros pasivos.

En la década de los 30s se desarrolló la teoría matemática para el diseño de filtros conocida como síntesis de inserción de pérdida. Esta teoría también apareció simultáneamente en Alemania, publicada por W. Cauer, y en Estados Unidos publicada por S. Darlington. Esta teoría también era para diseñar filtros pasivos y requiere de una gran cantidad de cálculos matemáticos. En esa época no había computadoras digitales y es hasta la década de los 50s cuando esta técnica tiene un gran uso. Hoy en día existen programas para PC que realizan estos cálculos con una velocidad sorprendente.

Una de las más grandes ventajas de los filtros pasivos es su baja sensitividad. Esto quiere decir que si el valor de un elemento que compone al circuito se desvía ligeramente de su valor nominal, entonces las características del filtro cambian en un menor porcentaje con respecto al cambio del elemento. Una de las desventajas más grandes que tienen los filtros pasivos es el empleo de inductores los cuales son costosos, voluminosos y pesados. Estos hechos llevaron a los investigadores a buscar soluciones alternativas que permitiesen realizar circuitos con características iguales al de los filtros pasivos pero sin emplear inductores.

1-1

Capítulo 1

Introducción

Uno de los primeros indicios de mejora de los filtros, surge en 1955 cuando dos investigadores: Sallen y Key, publicaron un articulo en el que se presentaban circuitos que realizaban las mismas características de los circuitos pasivos RLC pero sin emplear inductores. Estos circuitos estaban compuestos por resistencias, capacitores

y

amplificadores operacionales y se le conoce como filtro activo Sallen-Key en honor a sus inventores.

1.2 Justificación Es difícil encontrar un sistema o aparato electrónico en el que no se encuentre algún tipo de filtro. Los sistemas donde más aplicaciones tienen son en telecomunicaciones, los sistemas de audio, procesado de señales, y en toda fuente de poder.

En los sistemas de telecomunicaciones para decodificar tonos en telefonía ya para separar canales de voz, para el sistema selectivo de canales como en los televisores o en canales de satélites. En los sistemas de audio se emplean en los controles de tonos y en las etapas de ecualización. En procesado de señales se pueden usar para mejorar imágenes transmitidas por satélites. En las fuentes de poder se usan para disminuir y eliminar el ruido debido a la frecuencia de los 60 Hz. de línea.

Dependiendo del uso que se le dará al filtro se deben diseñar los parámetros adecuados para seleccionar u obstruir las frecuencias que se requieren. Este trabajo presenta el análisis y diseño de un filtro activo ya que son los más usuales por su estabilidad, alta ganancia y bajo costo. Este filtro selecciona las bajas frecuencias y omite las altas, y si lo que el usuario necesita es un buen selector pasabanda, solo se modifican sus parámetros y el filtro estará funcionando adecuadamente.

1-2

Capítulo 1

Introducción

1.3 Alcances y limitaciones La finalidad de este trabajo es diseñar un selector de frecuencias utilizando un filtro activo y demostrar su correcto funcionamiento mediante un simulador de circuitos.

El filtro esta proyectado para operar como pasabanda y pasabaja; pero su fortaleza es como filtro pasabanda; en su implementación estaría afectado por la desviación ligera de los componentes de su valor nominal ya sea por causa del envejecimiento, a los corrimientos térmicos o por que muchas de las veces los valores de los elementos se tienen que aproximar ya que los calculados no siempre coinciden con los valores estándares existentes, y de esta manera las características del filtro cambian en un menor porcentaje con respecto al cambio del elemento.

1-3

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

CAPÍTULO 2 SELECTORES DE FRECUENCIAS 2.1 Introducción Un filtro es un circuito selectivo en frecuencia, los filtros se diseñan para dejar pasar algunas frecuencias y rechazar otras. Hay numerosas formas para utilizar los circuitos de filtros. Los filtros sencillos creados con el uso de resistores y capacitares o con inductores y capacitores se denominan filtros pasivos porque utilizan componentes pasivos que no amplifican. Un tipo especial son los filtros activos que emplean redes RC con realimentación en circuitos con amplificadores operacionales que son caracterizados por ofrecer exactitud y estabilidad; sin embargo, es difícil diseñar un selector de frecuencia ideal, para esto utilizamos las aproximaciones de filtros pues entre más sea la aproximación que se desea, más elevado es el orden del filtro.

Los selectores de frecuencia son filtros que permiten el paso de las frecuencias dentro de ciertas bandas, llamadas bandas de paso y bloquean las frecuencias en otras bandas, denominadas bandas de corte. Idealmente en las bandas de paso debería haber transmisión sin distorsión, y en las bandas de corte la ganancia debería ser nula. Existen cuatro tipos básicos de selectores de frecuencia: pasa bajas, pasa altas, pasa banda y rechaza banda, que mencionaremos en las secciones siguientes.

2-4

Capítulo 2

2.2

Selectores de Frecuencias

Filtros ideales

Los filtros ideales son selectores de frecuencia que permiten el paso sin distorsión de las componentes espectrales comprendidas en la o las bandas de paso, anulando completamente las componentes ubicadas fuera de ellas.

2.2.1 Pasa bajas La respuesta pasa bajas se caracteriza por una frecuencia  c , que se llama la frecuencia de corte, tal que H =1 para  < c y H =0 para  > c lo que indica que las señales de entrada con frecuencia menor que c pasan a través del filtro sin cambiar su amplitud, mientras que las señales con  > c sufren atenuación total. Una aplicación común de los filtros pasa bajas es la remoción de una señal de ruido de alta frecuencia.

FIGURA 2-1 Diagramas de un filtro pasa bajas ideal.



2-5

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

2.2.2 Pasa altas La respuesta pasa altas es complementaria a la pasa bajas. Las señales con frecuencia mayor que la de corte c emergen del filtro sin atenuación, y las señales con  < c resultan completamente bloqueadas.  

Figura 2-2 Diagrama de un filtro pasa altas ideal.

2.2.3 Pasa banda La respuesta pasa banda se caracteriza por una banda de frecuencia 1 <  <  2 , que se llama banda de paso, tal que las señales de entrada dentro de esta banda emergen sin atenuación, mientras que las señales con  < 1 o  >  2 se rechazan. Un filtro conocido es el circuito de sintonía de un radio, que permite seleccionar una estación en particular y bloquear todas las demás.

2-6

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

Figura 2-3 Diagrama de un filtro pasa banda ideal.

2.2.4 Rechazabanda La respuesta rechaza banda es complementaria a la respuesta pasa banda porque bloquea los componentes de la frecuencia dentro de la banda de rechazo 1 <  <  2 , al tiempo que pasan todas las demás. Cuando la banda de rechazo es suficientemente estrecha, la respuesta se llama notch. Una aplicación de los filtros notch es la eliminación de la frecuencia de la línea de 60 Hz. en los equipos médicos.

Figura 2-4 Diagrama de un filtro rechaza banda ideal.

2-7

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

2.3 Aproximaciones Desafortunadamente no existe ningún circuito que pueda realizar alguna de las funciones cuyas magnitudes ideales se describieron anteriormente. Lo único que se puede hacer es aproximar las magnitudes ideales. La figura 2-5 presenta varias opciones para aproximar una función pasa bajas.

a)

b)

c)

FIGURA 2-5 Aproximaciones de un filtro pasa bajas.

La figura 2-5a muestra la aproximación Butterworth que corresponde a una función cuya magnitud es monótona, es decir, su magnitud siempre disminuye (o aumenta) cuando la frecuencia aumenta. En la Fig. 2-5b se tiene la aproximación tipo Chebyshev que presenta un rizo en la banda de paso y que es monótona en la banda de rechazo. La figura 2-5c muestra una función que tiene rizo tanto en la banda de Paso como en la banda de rechazo y recibe el nombre de aproximación elíptica o aproximación Caurer.

2-8

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

2.4 Filtros Pasivos Los filtros sencillos creados con el uso de resistores y capacitores o con inductores y capacitores se denominan filtros pasivos porque utilizan componentes pasivos que no amplifican.

Los filtros RC utilizan una combinación de resistores y capacitores para obtener la respuesta deseada. La mayoría de los filtros son del tipo pasa altas. Aunque filtros supresores de banda o filtros de muesca se construyen también con circuitos RC, los filtros pasa banda pueden obtenerse combinando secciones de RC con filtros pasa bajas y pasa altas, pero esto se hace en raras ocasiones.

Un filtro pasa bajas es un circuito que no introduce atenuación a frecuencias por debajo de la frecuencia de corte, pero que elimina por completo todas las señales con frecuencias arriba de la frecuencia de corte. Algunas veces estos filtros se denominan filtros de corte en altas.

La forma mas sencilla de un filtro pasa bajas es el circuito RC que se muestra en la figura 2-6 El circuito forma un simple divisor de voltaje con un componente sensible a la frecuencia, en este caso el capacitor. A frecuencias muy bajas, el capacitor tiene una reactancia muy alta en comparación con la resistencia, por lo tanto, la atenuación es mínima. R

Vi

Vo C

0

fco=

1 2RC

FIGURA 2-6 Circuito Filtro pasa bajas RC

2-9

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

En cualquier frecuencia se puede determinar la salida por medio de la regla divisora de voltaje:

Vo 

Como Z c 

Zc Vi Zc  R

(2.1a)

1 , entonces se tiene: jC

1 jC Vo  Vi 1 R jC

(2.1b)

Además

Xc 

1 C

(2.1c)

Por lo que al sustituir en 2.1b se obtiene la siguiente ecuación:

V0 

Xc  90Vi R  jXc

(2.1d)

para expresarlo en magnitud y en fase: A

V0 Xc  90  Vi R  jXc

(2.2)

2-10

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

Separando en magnitud y fase

A

A

V0  Vi

Xc  90 R 2  X c2   tan 1 ( Xc / R)

Xc R X 2

2 C

  90  tan

1

( Xc / R)



Entonces la magnitud queda expresada como:

A

V0  Vi

Xc R 2  X C2

(2.3)

A un ángulo de fase:

   90  tan 1 ( Xc / R)

(2.4)

La frecuencia de corte, es la frecuencia para la cual Xc es igual a R

Xc  R

(2.5)

y sustituyendo la ecuación anterior en 2.1c se obtiene: R

1 0C

2-11

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

O también

R

1 2f 0 C

De donde la frecuencia de corte es entonces f0 

1 2RC

(2.6)

al sustituir X c por R en la ecuación 2.3 la ganancia es ahora:

A

V0 1   0.7071 Vi 2

(2.7)

Esto se ilustra en la figura 2.7

FIGURA 2-7 grafica de respuesta en frecuencia, del filtro pasa bajas.

2-12

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

El filtro pasa bajas también puede utilizarse con un inductor y un resistor como muestra la figura 2-8.La frecuencia de corte se determina mediante la formula: f0 

R 2L

(2.8)

L

Vi

V0 R

0

FIGURA2-8 Filtro pasa bajas usado con un inductor

Un filtro pasa altas, pasa frecuencias superiores a la frecuencia de corte con poca o nada de atenuación, pero atenúa en forma considerable las señales por abajo del corte, como se muestra en la figura 2-9.

FIGURA 2-9 Curva De respuesta en frecuencia de un filtro pasa altas

2-13

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

El filtro básico pasa altas RC se muestra en la figura 2-10a. De nuevo, no es algo mas que un divisor de voltaje, el único cambio que presenta es la conexión de la salida, la cual en vez de tomarse del capacitor se toma de la resistencia lo cual nos provoca que en vez de dejar pasar las frecuencia bajas pasen las frecuencias altas, cuando la frecuencia es demasiado baja, el voltaje se consume casi en su totalidad en el capacitor, el cual se comporta como una impedancia de valor muy alto, por lo que en la salida no se tiene casi voltaje, cuando la frecuencia aplicada es aumentada se tiene que el valor de la impedancia representada por el capacitor disminuye hasta que casi no consume voltaje, y la mayoría del voltaje se tiene a la salida. El filtro pasa altas también puede utilizarse con un inductor y un resistor como se muestra en la figura 2-10b.

Vi

V0

V0

Vi

a)

b)

FIGURA 2-10 Filtro pasa altas a) RC y b) LC

Los filtros RC sobre todo se utilizan en frecuencias bajas. Son muy comunes a frecuencias de audio pero rara vez se usan por arriba de 100khz. Es más común ver filtros LC construidos con inductores y capacitores. Los inductores para frecuencias bajas son grandes, voluminosos y caros pero los que se utilizan en frecuencias altas son muy pequeños, ligeros y baratos.

2-14

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

Un Filtro pasa banda, es el que permite el paso de un intervalo de frecuencias angosto alrededor de una frecuencia central, fo , con una atenuación mínima, pero que rechaza las frecuencias por arriba y por debajo de esta intervalo. El ancho de banda de este filtro es la diferencia entre las frecuencias de corte superior e inferior, o BW= f2 –f1, también es igual a fo/Q1. Las frecuencias por arriba y por debajo de las frecuencias de corte se eliminan. La figura 2-11 muestra dos tipos de filtros pasa banda: En la 2-11a un circuito resonante serie se conecta en serie con un resistor de salida, formando así un divisor de voltaje. En frecuencias por arriba y por debajo de la frecuencia de resonancia, la reactancia inductiva o la reactancia capacitiva serán altas en comparación con la resistencia de salida; por lo tanto, la amplitud de salida será muy pequeña. Sin embargo a la frecuencia de resonancia, se cancelan las reactancias inductiva y capacitiva, dejando solo la resistencia pequeña del inductor. La mayor parte del voltaje

de entrada aparece a través de la

resistencia de salidas grande.

En el circuito de la figura 2.11a X c  X L , por lo que:

1

c

 L

(2.9)

De donde se obtiene

f0 

1 2 LC

(2.10)

2-15

Capítulo 2

L

Selectores de Frecuencias

C

R

Vo/Vi

R

C L

F 0

a)

b)

fo c)

FIGURA 2-11 filtros pasa banda simples

Los filtros supresores de banda, rechazan una banda de frecuencia angosta alrededor de una frecuencia central; en la figura 2-12 se muestra dos filtros supresores de banda LC típicos ; en la figura 2-12a el circuito LC resonante serie forma un divisor de voltaje con el resistor de entrada R. En frecuencias por arriba y por debajo de la frecuencia central de supresión o de muesca, la impedancia del circuito LC es alta en comparación con la de la resistencia; por lo tanto, las señales por arriba y por abajo de la frecuencia central pasarán con una atenuación mínima. En frecuencia central, el circuito sintonizado resuena dejando sólo la pequeña resistencia del inductor, lo que forma un divisor de voltaje con el resistor de entrada. Como la impedancia es muy baja en resonancia en relación con la resistencia, la señal de salida será muy pequeña en amplitud. En la figura 2-12b muestra una versión en paralelo, donde el circuito resonante paralelo se conecta en serie con un resistor del cual se saca la salida en frecuencias por arriba y por abajo de la frecuencia de resonancia, la impedancia de el circuito en paralelo es muy pequeña; hay, sin embargo, algo de atenuación en la señal y la mayor parte del voltaje de entrada aparecerá a través del resistor de salida. En frecuencia de resonancia el circuito en paralelo LC tienen una impedancia resistiva bastante alta en comparación con la resistencia de salida dando, por lo tanto, un voltaje mínimo ala frecuencia central.

2-16

Capítulo 2

C

Selectores de Frecuencias

R

Vo/Vi

L L1

R C

F

fo a)

b)

c)

FIGURA 2-12 Filtros supresores de banda LC: a) serie b) paralelo, c) curva de respuesta

2.5 La función de Transferencia Ya se menciono que los filtros se realizan con dispositivos que tienen características que dependen de la frecuencia, como los capacitores e inductores. Cuando se someten a señales de ca, estos elementos se oponen al flujo de corriente de una manera que depende de la frecuencia, y también introducen un cambio de fase de 90° entre el voltaje y la corriente. Para tomar en cuenta este comportamiento, se usan las impedancias complejas ZL = sL Y Zc = l/sC, donde s  j es la frecuencia compleja y  es la frecuencia angular, en radianes por segundo (rad/s).

El comportamiento de un circuito se caracteriza únicamente por su función de transferencia H(s). Para encontrar esta función, primero se obtiene una expresión para la salida Vo en términos de la entrada Vi. Luego, esta razón esta dada por:

2-17

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

H ( s) 

V0 Vi

(2.11)

Y la función de transferencia resulta ser una función de s

H ( s) 

N ( s) am s m  am 1s m 1  ...  a1s  a0  D( s ) bn s n  bn 1s n 1  ...  b1s  b0

(2.12)

Donde N(s) y D(s) son polinomios apropiados en función de s con coeficientes reales y de grados m y el grado del denominador determina el orden del filtro (primer orden, segundo orden, etcétera). Las raíces de las ecuaciones N(s)=0 y D(s)=0 se llaman, respectivamente, los ceros y los polos de H(s), y se denotan como z1, z2, …zm, y p1, p2 …pn. Al factorizar N(s) y D(s) en términos de sus raíces respectivas, se puede escribir

H ( s)  H 0

( s  z1 )(s  z2 )...(s  zm ) ( s  p1 )(s  p2 )...(s  pn )

(2.13)

Donde a H o  am / bn se le llama factor de escala. H(s) solo se determina una vez que se conocen H 0 y sus ceros y polos.

2-18

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

2.6 El amplificador operacional Un amplificador operacional es un circuito electrónico que tiene dos entradas y una salida, la salida es la diferencia de las dos entradas multiplicada por un factor de ganancia. Básicamente el Amplificador operacional es un dispositivo amplificador de la diferencia de sus dos entradas, con alta ganancia, una impedancia de entrada muy alta y una baja impedancia de salida, con estas características se deduce que las corrientes de entrada son prácticamente nulas.

Los amplificadores operacionales se pueden conectar según dos circuitos amplificadores básicos: las configuraciones inversora y no inversora. Casi todos los demás circuitos con amplificadores operacionales están basados, de alguna forma, en estas dos configuraciones básicas.

2.6.1 Amplificador inversor El circuito amplificador con ganancia constante que se utiliza

comúnmente es el

amplificador inversor, que se muestra en la figura 2-13. Toda la tensión de entrada V1, deberá aparecer en R1, obteniendo una corriente en R1 igual a:

I1 

V1 R1

(2.14a)

2-19

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

Rf

R1 -

Vn

Vo

V1 + 0 0

FIGURA 2-13 Multiplicador inversor de ganancia constante.

Si Vn esta a un potencial cero, es un punto de tierra virtual, entonces toda la corriente I1 que circula por R1 pasara por Rf , puesto que no se derivará ninguna corriente hacia la entrada del operacional (impedancia infinita), así la corriente If será igual a :

Vo Rf

(2.14b)

V V1  0 R1 Rf

(2.14c)

If  

Y como I1 es igual a If se tiene:

Por lo que

V0  

Rf R1

V1

(2.15)

2-20

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

Luego la ganancia del amplificador inversor es:

(2.16)

R V0  f V1 R1

2.6.2 Amplificador no inversor

La figura 2-14 muestra un circuito que funciona como un amplificador no inversor o multiplicador de ganancia constante. Es necesario observar que la conexión del amplificador inversor es generalmente la más utilizada, ya que cuenta con una mejor estabilidad de frecuencia.

+

Vo

V1 Rf

0 R1

0

FIGURA 2-14 Multiplicador no inversor

Del circuito de la figura 2-14 se obtiene:

V1 

R1 V0 R1  R f

(2.17)

2-21

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

Reacomodando términos queda:

V0 R1  R f  V1 R1

O bien:

Rf V0 1 V1 R1

(2.18)

2.6.3 Amplificador sumador

Otra ventaja del amplificador inversor de voltaje es la posibilidad de operar con más de una entrada a la vez. Observe la figura 2-15 debido a la tierra virtual, los tres resistores de entrada están conectados efectivamente a tierra en el extremo derecho.

Rf R1

V1 R2

V2

+ R3

Vo

V3 -

0

FIGURA 2-15 Amplificador sumador

2-22

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

La corriente de entrada a través de R1 es:

i1 

V1 R1

(2.19a)

i2 

V2 R2

(2.19b)

i3 

V3 R3

(2.19c)

la corriente en R2 es:

y la corriente que pasa por R3 es:

Así la suma de i1 + i2 + i3 , fluye a través de Rf , por lo que el voltaje de salida es:

V0  (i1  i 2  i3 ) R f

(2.19d)

Y finalmente se obtiene:

Rf Rf  Rf  V0   V1  V2  V3  R2 R3   R1

(2.20)

2-23

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

2.6.5 Diferenciador En la figura 2-16 se muestra un circuito con un capacitor conectado a la entrada del amplificador operacional y un resistor entre la entrada y la salida, a este circuito se le conoce como diferenciador.

R

C

V1

-

Vo +

0

FIGURA 2-16 Circuito diferenciador.

V V1  0 1 R sC

Vo V  1 1 R sC

(2.21a)

(2.21b)

2-24

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

Vo R  1 V1 sC

(2.21c)

Vo   RsC V1

(2.22)

2.6.4 Integrador Hasta ahora los componentes de entrada y de retroalimentación han sido solo resistores. Si el componente de retroalimentación utilizado es un capacitor, como se muestra en la figura 2-17, a la conexión resultante se le denomina integrador.

C

R1 +

Vo -

V1

0

0

Figura 2-17. El integrador

2-25

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

Del circuito anterior obtenemos:

V V1  0 1 R1 sC

V0 V  1 1 R1 sC

(2.23a)

(2.23b)

Despejando V0:

V1  1    R1  sC 

(2.23c)

V1 R1 sC

(2.24)

V0 1  V1 R1 sC

(2.25)

V0  

O bien: V0  

y la ganancia del integrador es:

2-26

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

2.7 Filtros Activos Los filtros LC son poco prácticos en baja frecuencia debido al tamaño, costo y baja calidad de los inductores, de allí la necesidad de contar con filtros sin inductores. Podría pensarse en redes RC, pero como sus polos están en el eje real negativo, no permiten obtener las aproximaciones clásicas, ni tampoco filtros muy selectivos. Surge la idea, entonces, de desplazar los polos originales de una red RC para reubicarlos en posiciones más favorables. Esto puede lograrse aplicando el concepto de realimentación, para lo cual hace falta agregar amplificadores que aporten la ganancia de lazo necesaria. Por este motivo, los filtros resultantes se denominan activos. Los Filtros Activos más sencillos se obtienen a partir de configuraciones básicas de amplificadores operacionales, por medio de usar una capacitancia como uno de sus componentes externos. Como Zc=

1 1 , el resultado es una ganancia con la  sC jC

magnitud y la fase que dependen de la frecuencia.

Una de las herramientas más valiosas es la verificación asintótica, la cual se basa en las propiedades siguientes:

lim Zc  

(2.26)

lim Zc  0

(2.27)

 0

 

2-27

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

Significa que a frecuencias bajas, una capacitancia tiende a comportarse como un circuito abierto en comparación con los elementos circundantes y, a frecuencia altas, tiende a comportarse como un corto circuito.

2.7.1 Filtro pasa baja de primer orden. La colocación de un resistor en paralelo con el capacitor de retroalimentación, como en la figura 2-18a , convierte al integrador en un filtro pasa bajas con ganancia.

R2

C

R1 -

Vo V1

+

0 0

Figura 2-18 Filtro pasa bajas con ganancia.

Si 1 1 1   1 Z 2 R2 sC

(2.28a)

2-28

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

( R Cs  1) 1  2 Z2 R2

(2.28b)

Entonces

Hs 

 Z2 R1

o bien

H ( s)  

Lo que indica un polo real en s  

R2 1 R1 R2 Cs  1

(2.29)

1 . Si s  j , H(s) puede expresarse en la R2 C

forma normalizada:

H ( j )  H 0

1  j /  0

(2.30)

R2 R1

(2.31)

1 R2C

(2.32)

H0  

0 

1

2-29

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

2.7.2 Filtro pasa alta de primer orden. Si al circuito inversor se coloca un capacitor en serie con el resistor de entrada, se convierte en un filtro pasa altas con ganancia.

R1

C

R2

V1 -

Vo

0 +

0

Figura 2-19 Filtro pasa altas con ganancia

Si

Z1  R1 

Z1 

1 sC

( R1Cs  1) sC

(2.33a)

(2.33b)

y

H ( s)  

R2 Z1

(2.33c)

2-30

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

queda

H s   

R2 R1Cs R1 R1Cs  1

Que indica un cero en el origen y un polo real en s  

(2.34)

1 . Si s  j , H(s) R1C

puede expresarse en la forma normalizada:

H ( j )  H 0

j /  0 1  j /  0

R2 R1

(2.36)

1 R1C

(2.37)

H0  

0 

(2.35)

Donde H0 se llama la ganancia de alta frecuencia, y 0 de nuevo es la frecuencia de -3dB.

2-31

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

2.7.3 Filtro pasa banda de segundo orden Los últimos dos circuitos pueden unirse como en la figura 2-20 para obtener una respuesta pasa banda.

C2

R1

C1

R2

V1 -

Vo

0 +

0

Figura 2-20 Filtro pasa banda de banda ancha

Si

Z1 

( R1C1 s  1) C1 s

(2.38a)

Z2 

R2 ( R2 C 2 s  1

(2.38b)

y

2-32

Capítulo 2

Selectores de Frecuencias

Por lo que se obtiene

Z2 Z1

H ( s)  

o bien

H ( s)  

R2 R1C1 s 1 R1 R1C1 s  1 R2 C 2 s  1

Lo que indica un cero en el origen y dos polos en 

1 R1C1

y 

(2.39)

1 . Si s  j , se R2 C 2

obtiene que

H ( j )  H 0

j /  L (1  j /  L )(1  j /  H )

(2.40)

R2 R1

(2.41)

L 

1 R1C1

(2.42)

H 

1 R2C2

(2.43)

H0  

Donde H0 se denomina la ganancia de frecuencia media. El filtro es útil con

 L