Matem´atica

´ ´ Programaci´ on lineal (METODO GRAFICO)

Resolver los siguientes ejercicios utilizando el m´ etodo gr´ afico. Para ello: (a). (b). (c). (d). (e).

Modelar matem´aticamente la situaci´on planteada. Graficar, en un mismo sistema de coordenadas, todas las restricciones del problema. Identificar, claramente, la regi´on factible. Buscar todos los v´ertices de la regi´on factible. Hacer una tabla que muestre los v´ertices reci´en encontrados, junto al valor correspondiente de la funci´on objetivo. (f). Por inspecci´on de esta tabla, identicar la soluci´on del problema (g). No olvidar entregar la respuesta del ejercicio.

1) En una urbanizaci´on se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello de un m´aximo de 1800 millones de pesos, siendo el costo de cada tipo de casa de 30 y 20 millones, respectivamente. la municipalidad exige que el n´ umero total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es 4 millones y de 3 millones por una de tipo B, ¿cu´antas casas deben construirse de cada tipo para obtener el m´aximo beneficio?. 2) Una f´abrica produce neveras utilitarias y de lujo. La f´abrica esta dividida en dos secciones: montaje y acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla: Montaje Utilitaria 3 horas Lujo 3 horas

Acabado 3 horas 6 horas

El m´aximo n´ umero de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje y 180 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada nevera de lujo. ¿Cu´antas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el m´aximo beneficio? 3) Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La A contiene un 15 % de extracto de jazm´ın, un 20 % de alcohol y el resto es agua, y la B lleva un 30 % de extracto de jazm´ın, un 15 % de alcohol y el resto de agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazm´ın y 50 litros de alcohol. Cada d´ıa se pueden producir como m´aximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es 500 ptas. y el de la B 2,000 ptas. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea m´aximo.

1

IMAFI

UTALCA

4) Una empresa de autom´oviles tiene dos plantas P y Q de montaje de veh´ıculos en las que produce tres modelos A, B y C. De la planta P salen semanalmente 10 unidades del modelo A, 30 del B y 15 del C y de la Q, 20 unidades del modelo A, 20 del B y 70 del C., cada semana. La firma necesita, al menos 800 unidades de A, 1600 de B y 1800 de C. Si el gasto de mantenimiento de cada planta es de 6 millones de pesetas semanales, ¿Cu´antas semanas ha de funcionar cada planta para que el costo de producci´on sea m´ınimo?.

´ ´ Programaci´ on lineal (METODO GRAFICO)

Matem´atica

5) Imaginemos que las necesidades semanales m´ınimas de una persona en prote´ınas, hidratos de carbono y grasas son, respectivamente, 8, 12 y 9 unidades. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composici´on m´ınima mezclando dos productos A y B, cuyos contenidos por kg son los de la siguiente tabla:

A B

Prote´ınas 2 1

Hidratos Grasa Costo (/ Kg.) 6 1 600 1 3 400

¿Cu´antos Kg de cada producto deber´a comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea m´ınimo? 6) Un Joyero fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo A se hace con 1 g de oro y 1, 5 g de plata y se vende a $25. La de tipo B se vende a $30 y lleva 1, 5 g de oro y 1 g de plata. Si solo se dispone de 750 g de cada metal, ¿Cu´antas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el m´aximo beneficio? 7) Se va a organizar una planta de un taller de autom´oviles donde van a trabajar electricistas y mec´anicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual nu?mero de mec´anicos que de electricistas y del n´ umero de mec´anicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mec´anicos. El beneficio de la empresa por jornada es de $150 por electricista y $120 por mec´anico. ¿Cu´antos trabajadores de cada clase deben elegir para obtener el m´aximo beneficio? 8) Una empresa fabrica dos tipos de tarjetas gr´aficas, de 16 Mb y 32 Mb de memoria, respectivamente. Se utilizan dos m´aquinas que emplean 2min. en fabricar las de 16 Mb y 3 min. en fabricar las de 32 Mb. La cadena de montaje puede funcionar un m´aximo de 300 minutos diarios. Adem´as cada m´aquina tiene una capacidad m´axima de fabricaci´on diaria de 125 unidades, entre las cuales no puede haber m´as de 90 tarjetas de 16 Mb ni m´as de 80 tarjetas de 32 Mb, siendo el beneficio neto de las primeras de 45 pts y el de las segundas de 60 pts. ¿Cu´antas tarjetas de 16 Mb y 32 Mb debe fabricar diariamente cada m´aquina para que el beneficio sea m´aximo?.

10) La encargada de una florister´ıa ha de hacer el pedido semanal de plantas de interior y de exterior. El precio que ha de pagar al proveedor por cada planta de interior es de $100 y de $200 por cada una de exterior. Al d´ıa de hoy, sabe que por lo menos ha de poder atender la demanda que un cliente ya le ha hecho, de 20 unidades de interior y de 30 de exterior. Adem´as, el transporte del pedido semanal hasta la florister´ıa lo realiza una empresa especializada y le supone unos costos, que son de $60 por cada planta de interior y de $80 por cada planta de exterior, y la florister´ıa tiene por norma que estos costos de transporte no sobrepasen las $4,800 por pedido semanal. Asimismo, la encargada obtiene una prima de $60 por cada planta de interior que venda y $50 por cada una de exterior, y quiere que las primas que se puedan alcanzar vendiendo todo el pedido sean de al menos $3,000. 2

IMAFI

UTALCA

9) Se quiere organizar un puente a´ereo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar a 1600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contrataci´on de un avi´on del tipo A, que puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje, cuesta 40000 euros; la contrataci´on de uno del tipo B, que puede transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta 10000 euros. ¿Cu´antos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea m´ınimo?

´ ´ Programaci´ on lineal (METODO GRAFICO)

Matem´atica

Si la florister´ıa quiere adem´as minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el pedido: ¿cu´antas unidades de cada tipo ha de adquirir? ¿cu´anto deber´a pagar al proveedor?

Respuestas:

1) x = casas del tipo A e y = casas del tipo B La funci´on a maximizar, ser´a: Z = 4x + 3y sujeta a las siguientes restricciones: 30x + 20y ≤ 1800; x + y ≤ 80; x, y ≥ 0; Se deben construir 20 casas de tipo A y 60 de tipo B con un costo de 260 millones de pesetas. 2) x = nevera utilitaria e y = nevera de lujo. La funci´on a maximizar, ser´a: Z = 300x + 400y sujeta a las siguientes restricciones: 3x + 3y ≤ 120; 3x + 6y ≤ 180; x, y ≥ 0; Se deben fabricar 20 neveras de cada uno de los dos tipos con un beneficio de 14000 euros. 3) x = colonia tipo A e y = colonia de tipo B. La funci´on a maximizar, ser´a: Z = 500x + 2000y sujeta a las siguientes restricciones: 30 15 x+ y ≤ 60; 100 100 20 15 x+ y ≤ 50; 100 100

El Beneficio m´aximo se obtiene con 100 unidades tipo A y 200 unidades tipo B, siendo este de 350000 pts.

3

IMAFI

UTALCA

x, y ≥ 0;

Matem´atica

´ ´ Programaci´ on lineal (METODO GRAFICO)

4) x = planta P e y = planta Q. La funci´on a minimizar, ser´a: Z = 6x + 6y sujeta a las siguientes restricciones: ≥ ≥ ≥ ≥

10x + 20y 30x + 20y 15x + 70y x, y

800; 1600; 1800; 0;

El m´ınimo costo de producci´on se obtiene trabajando 40 semanas en la planta P y 20 d´ıas en la planta Q, siendo este costo de 360 millones. 5) x = producto A e y = producto B. La funci´on a minimizar, ser´a: Z = 600x + 400y sujeta a las siguientes restricciones: 2x + y 6x + y x + 3y x, y

≥ ≥ ≥ ≥

8; 12; 9; 0;

Se deben producir 3 de A y 2 de B para producir el m´ınimo costo de 2600 6) x = tipo A e y = tipo B. La funci´on a maximizar, ser´a: Z = 25x + 30y sujeta a las siguientes restricciones: x + 1,5y ≥ 750; 1,5x + y ≥ 750; x, y ≥ 0; Se deben fabricar 300 de cada tipo con un beneficio de $15500. 7) x = mec´anico e y = el´ectrico. La funci´on a maximizar, ser´a: Z = 120x + 150y

x x x y x, y 4

≥ ≤ ≤ ≤ ≥

y; 2y; 20; 30; 0;

IMAFI

UTALCA

sujeta a las siguientes restricciones:

Matem´atica

´ ´ Programaci´ on lineal (METODO GRAFICO)

Se deben elegir 20 de cada tipo con un beneficio de $5400. 8) x = tarjeta de 16 Mb e y = tarjeta de 32 Mb. La funci´on a maximizar, ser´a: Z = 45x + 60y sujeta a las siguientes restricciones: 2x + 3y x+y x y x, y

≤ ≤ ≤ ≤ ≥

300; 125; 90; 80; 0;

Se deben elegir 75 de 16 Mb y 50 de 32 Mb con un beneficio de $6375. 9) x = tipo A e y = tipo B. La funci´on a minimizar, ser´a: Z = 40000x + 10000y sujeta a las siguientes restricciones: 200x + 100y 6x + 15y x y x, y

≥ ≥ ≤ ≤ ≥

1600; 96; 11; 8; 0;

La soluci´on o´ptima es de 240000 con 4 aviones del tipo A y 8 aviones del tipo B. 10) x = plantas de interior e y = plantas de exterior. La funci´on a minimizar, ser´a: Z = 100x + 200y sujeta a las siguientes restricciones: 60x + 80y 60x + 50y x y x, y

≤ ≥ ≥ ≥ ≥

4800; 3000; 20; 30; 0;

5

IMAFI

UTALCA

Por tanto, la florister´ıa deber´ıa de pedir 25 plantas de Interior y 30 plantas de Exterior. Y su m´ınimo valor es de 8500