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y P RAZÓN Es el resultado de comparar dos cantidades; puede ser de dos clases: 1)

RAZÓN ARITMÉTICA: Cuando compara mediante la diferencia.

OBSERVACIÓN: Cuando nos digan: dos cantidades son entre sí como 3 es a 2, podremos plantear:

se En general:

Ejemplo: Si tenemos: H  45 hombres  45 hombres  30 mujeres   15 hombres M  30 mujeres  ANTECEDENTE RAZON CONSECUENTE

PROPORCIÓN

OBSERVACIÓN: Las unidades de la razón son las unidades del antecedente en general:

Es la igualdad de dos razones y puede ser de dos clases: 1)

2)

RAZÓN GEOMÉTRICA: Cuando comparación es mediante el cociente.

Ejemplo:

ANTECEDENTE

PROPORCIÓN ARITMÉTICA (Equi - diferencia)

la PROPIEDAD: Suma de Extremos = Suma de Medios a+d = b+c

H  45 hombres H  45 hombres  3 (RAZON)  M  30 mujeres  M

30 mujeres CONSECUENTE

2

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1

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ARITMÉTICA

(Equi - cociente)

A cada término igual (b) se le llama media proporcional o media geométrica y a cada término distinto se le llama tercera proporcional. "El producto de extremos es igual al producto de medios"

PROPIEDADES DE LA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

OBSERVACIÓN: La proporción geométrica acostumbra representar como:

también

a c  b d

se Se cumple: 1)

a b



c d

ab

d

b

b



cd d

CLASES DE PROPORCIONES 2)

ó a  c a d c d

3)

a b

DISCRETAS: Si sus términos medios son diferentes entre sí Arit

ab

a -b = c-d 4)

; bc Al último término se le llama cuarta diferencial

5)

Geométricas Discretas

a c  b d

;bc

6)

Al último término se le llama cuarta proporcional

c d

o a - b  c - d cd a b cd

a c  a  c  b d bd an cn  bn d n

n

a

n

b

n

 n

c d

APLICACIÓN: Dos números están en la razón de 4 a 7. Si su diferencia es 51. Hallar su suma

II. CONTÍNUAS: Si sus términos medios son iguales Aritméticas Continuas

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

a c a- b  c  d

a 4  a  b 4  7   [Pr opiedad 4] b a 4 b 

2

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ARITMÉTICA a b 11  51 3

A cada término igual (b) se le llama media diferencial o media aritmética y a cada término distinto se le llama tercera diferencial.

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3

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ARITMÉTICA (4) Los 2/5 de 1/3 del producto de dos números que son entre sí como 4 es a 5, es 384. ¿Cuál es la suma de cifras del número mayor?

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

a) 6 d) 5 Concepto: Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor. a1 b1



a2 b2



a3

an

................. 

b3

 K RAZON

a) 45 b) 40 c) 35 d) 30 e) 25 (6) En cierto instante en una playa se observa que la cantidad de varones que se encuentran dentro del mar y la de mujeres que se encuentran fuera de ella están en la relación de 3 a 5, mientras que los varones que se encuentran fuera del mar es a la cantidad de mujeres que se encuentran dentro de ella como 4 es a 3. Además, la cantidad de varones y mujeres es de 2 a 3. ¿En qué relación estaría la cantidad de varones y mujeres que se encuentran dentro del mar si la mitad de varones y mujeres que se encuentran fuera de ella ingresan. a) 4 a 3 d) 10 a 9 b) 5 a 2 e) 5 a 3 c) 3 a 2 (7) En un determinado instante de una fiesta, el

bn

1°)

2°) EJERCICIOS (1) Dos números están en la relación de 5 a 13; si uno excede al otro en 72. ¿Cuál es el mayor? b) 117

(2) La razón de 2 números es

c) 91 e) 195 4 13

número de hombres que no bailan es al número de personas que están bailando como

y su suma es

5 es a 6. Además el número de damas que no bailan es al número de hombres como 7 es a 8. Encontrar el número de hombres que asisten a dicha fiesta, si el total de personas es 180.

204. Hallar el menor de los números. a) 12 d) 102

b) 36

c) 48 e) 144

a) 60 d) 90

(3) En una conferencia técnica se observó que por cada 5 hombres que asistieron habían 2 mujeres, si asistieron en total 315ersonas a dicha conferencia y luego de 1 hora de

(8) Si:

comenzado la misma, se retiraron 45 hombres y 30 mujeres por qué no entendían los temas ¿Cuál es la nueva relación entre hombres y mujeres? CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

c) 8 e) 9

(5) ¿Dentro de cuántos años la relación entre las edades de dos personas será igual a 7/6, si sus edades actualmente son 40 y 30 años?

PROPIEDADES:

a) 104 d) 221

b) 7

a

b) 70



5

b 8



c

c) 55 e) 80

y

15

Además: 3a - 5b + 2c = 245. Hallar el valor de “a + b + c”. 4

a) 892 d) 982

b) 1436CENTRO

c) 842 INFORMÁTICO e) 1372

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a) 3:1 d) 4:3

b) 2:5

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ARITMÉTICA

c) 3:2 e) 5:3

5

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (9) Si: a.b.c  1008, hallar “ a  b  c ” en:

ARITMÉTICA (16) Si se aumenta una misma cantidad a los números 195, 300 y 450 se puede formar una proporción geométrica continua. Hallar la razón de dicha proporción.

a b c   K 30 35 15 a) 26 b) 30 c) 32 d) 36 e) 48 (10) En una serie de tres razones iguales, el producto de los antecedentes es 16128 y el producto de los consecuentes es 252. Si la suma de los antecedentes es 88, hallar la suma de los consecuentes. a) 11 d) 66

b) 22

a) 0,3 b) 0,4 c) 0,5 d) 0,7 e) 0,9 (17) Cuál es la suma de B y D sabiendo que A y C se diferencian en 168 y además A es a B como 2 es a 3; B es a C como 4 es a 5; C es a D como 6 es a 7?

c) 44 e) 33

a) 807 b) 708 c) 800 d) 700 e) 476 (18) En un corral hay «n» aves entre patos y gallinas. Si el número de patos es a «n» como 5 es a 12 y la diferencia entre el número de patos y el número de gallinas es 18. Cuál será la relación entre patos y gallinas, si se mueren 13 gallinas.

(11) En una serie de cuatro razones geométricas continuas equivalentes, el primer antecedente es al último antecedente como 1 es a 27. Calcular la suma de todos los consecuentes si se sabe que la suma de los términos de la última razón es 540. a) 600 d) 680

b) 580

a) 9/10 d) 3/5

c) 630 e) 720

(12) En una proporción geométrica la suma de los dos primeros términos es 20 y la suma de los dos últimos términos es 25. Hallar el menor de los términos medios si la suma de los consecuentes es 27.

c) 1/2 e) 5/7

(19) En un momento de una fiesta, el número de hombres que no bailan es al número de personas que están bailando como 1 es a 6. Además el número de damas que no bailan es al número de hombres como 3 es a 20. Encontrar el número de damas que están bailando si en total asistieron 456 personas.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 (13) En una proporción geométrica discreta, la suma de los extremos es 46 y su diferencia es 10. Hallar el producto de los términos medios.

a) 120 b) 150 c) 180 d) 200 e) 210 (20) La suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua es a la diferencia de sus extremos como 3 a 1. ¿Cuál es la razón geométrica del extremo mayor al extremo menor? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

a) 504 b) 360 c) 120 d) 1008 e) 756 (14) “m” es la media diferencial de 28 y 12. “n” es la cuarta diferencial de 18; 12; y 10. Hallar “m + n”. a) 18 b) 20 c) 24 d) 26 e) 30 (15) “a” es la cuarta proporcional de 18; 12 y 24. “b” es la media proporcional de 18 y 8. “c” es la media proporcional de 96 y 54. Hallar la cuarta proporcional de a; b y c. CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

b) 4/5

CLAVES 1 2 3

6

b c a

6 7 8

d e e

11

16

13

a a a

12

17 18

d b a

4

a

9

c

14

c

19

c

5

d

10

b

15

c

20

d

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” a) 72 d) 36

b) 48

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ARITMÉTICA c) 54 e) 24

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ARITMÉTICA

0

M INTRODUCCIÓN.En nuestra vida diaria, realizamos muchas actividades que involucran el empleo de magnitudes de diversos tipos, así por ejemplo cuando vamos a la bodega, compramos 1Kg. de arroz y pagamos S/2,00; o si queremos comprar 3Kg. de arroz tenemos que pagar S/6,00.

RELACIONES ENTRE MAGNITUDES Dos magnitudes son proporcionales cuando al variar uno de ellos, entonces la otra magnitud también varía en la misma proporción. Las magnitudes se pueden relacionar de 2 maneras: 1)

Entonces, para nuestro ejemplo tenemos como magnitudes al peso (Kg. de arroz) y al costo (importe a pagar) y tenemos la cantidad de Kg. De arroz que voy a comprar, definamos entonces que es magnitud y que es cantidad.

Ejemplo: Juan va al mercado y compra 4Kg. de arroz por un costo de S/8,00 ¿Cómo varía el costo, si se varía la cantidad de Kg. de arroz que se compra?

MAGNITUD

Peso (kg) 4 Costo (S/) 8

Es todo aquello que experimenta cambios, y puede ser medido o cuantificado. Ejemplo: Velocidad, tiempo, # de obreros, h/d, peso, costo, etc. 1º CANTIDAD: Es el valor que tiene en un determinado momento una magnitud.

2

1

8

10

20

4

2

16

20

40

CONCLUSIONES: Si el peso de arroz se duplica el costo también se duplica. 4 Kgx2 = 8Kg. S/. 8x2= S/16

2º Ejemplo

Magnitud Velocidad Tiempo # Obreros h/d Peso Costo

Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)

Cantidad 50 m/s 5 h. 35 obreros 8 h/d 4 Kg S/. 8

Si el peso de arroz se reduce a la mitad, el costo también se reduce a la mitad. 4 Kg.x

1  2Kg. 2

S / .8x

1  S / . 4. 2

Se deduce: Valor ( peso) 4  2 1 8 10       cte Valor (cos to) 8 4 2 16 20

 (PESO) DP (COSTO) VALOR (PESO)  cte VALOR (COSTO) CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

8

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” GRÁFICAMENTE:

ARITMÉTICA CONCLUSIONES: 1º

2º

“Dos magnitudes son DP si al aumentar o disminuir el valor de una de ellas, el valor de la otra magnitud también aumenta o disminuye en la misma proporción. El cociente de sus valores correspondientes permanece constante a excepción del origen de coordenadas”.

Si el número de obreros se duplica, el número de días se reduce a la mitad. 12 obreros x 2 = 24 obreros 8 días  2 = 4 días Si el número de obreros se reduce a la mitad, el número de días se duplica. 12 obreros 2 = 6 obreros 8 días x 2 = 16 días

Se deduce: Valor (#de obreros) x Valor (#días) = 12x8= 24x4 = 6x16 = 4x24 = Cte.  (# Obreros) IP (#días)

La gráfica de dos Magnitudes Directamente Proporcionales es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Valor(#de obreros)x Valor(#días) = Cte. GRÁFICAMENTE:

En forma general: Valor de A A DP B   cte Valor de B Aplicación: Si A DP a B2. Calcular el valor de A cuando B = 4, si cuando A = 180; B = 6. 2)

“Dos magnitudes son IP si al aumentar o disminuir una de las magnitudes, el valor de la otra magnitud disminuye o aumenta en la misma proporción. El producto de sus valores correspondientes permanece constante”.

Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP)

Ejemplo: Un contratista planifica realizar una determinada obra en 8 días utilizando 12 obreros. ¿Cómo varía el # de días para realizar la misma obra si se varía el # de obreros?

La gráfica de dos Magnitudes Inversamente proporcionales es una rama de una hipérbola equilátera. En forma general:

A IP B  (Valor A)(Valor B)  e Ct Aplicación: La presión de un gas (P) es IP al volumen que ocupa (V). Cuando P = 3atm; V = 10 litros. Cuando la presión es 2atm, ¿En cuánto aumenta o disminuye el volumen? CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

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ARITMÉTICA (2) Una rueda de 27 dientes engrana con otra de 12 dientes. Dando la primera 836 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas por hora dará la segunda?

PROPIEDADES: 1)

Para 2 magnitudes A y B se cumple: a) d)

1

1.1. A DP B  A IP ( B ) A IP B  A DP ( B ) 1.2. A DP B  An DP Bn A IP B  An IP Bn

a) 14 g d) 18 g

Como A, B, C, D, E se analizan de dos a dos, tomando a una de ellas como referencia para el análisis y se mantiene a las otras en su valor constante.



c) 130 215 e) 108 140

b) 17 g

c) 16 g e) 15 g

(4) La resistencia eléctrica de un conductor es proporcional a su longitud “L” e IP al cuadrado de su diámetro “D”. ¿Qué sucede con la resistencia si “L” disminuye en su cuarta parte y “D” se hace la mitad?

Cuando se tiene más de 2 magnitudes:

A DP B A IP C A DP D A DP E

b)120 540

(3) ¿Cuántos gramos pesará un diamante que vale S/. 1 125, si uno de 6 g vale S/. 72, además se sabe que el valor del diamante es D. P. al cubo de su peso?

1

2)

112 860 110 820

(C, D, E Cte.) (B, D, E Cte.) (B, C, E Cte.) (B, C, D Cte.)

AxC  Cte BxDxE

a) b) c) d)

No varía Se hace la mitad Se duplica Se triplica

e)

Se cuadruplica

(5) Se tiene un diamante que cuesta $ 48 000 si éste se parte en dos pedazos uno es el triple del otro, determinar cuánto se recibe al vender

Aplicación:

estos pedazos si se sabe que el precio es D.P. al cuadrado del peso del diamante que se vende

En un restaurante, un grupo de 4 cocineros pueden preparar 8 pizzas en 80 minutos ¿Cuánto demoran 5 cocineros para preparar 3 pizzas?

a) $ 30 000 d) $ 20 000

b) $ 16 000

c) $ 24 00 e) N.A.

EJERCICIOS 2

(6) Una rueda A de 40 dientes engranada con otra rueda B de 25 dientes. Fija al eje B, hay otra rueda C de 15 dientes que engranada con una rueda D de 48 dientes. Si A da 60 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D?

1/3

(1) Si “A” es D. P. a B e I. P. a C . Si el valor de “B” se duplica y el de “C” disminuye en sus 26/27. ¿Qué sucede con el valor de “A”? a) b) c) d) e) CENTRO

Aumenta 11 veces Aumenta 12 veces Aumenta 13 veces Aumenta 10veces Aumenta 9 vecesEDUCATIVA DE EXTENSIÓN

a) 30 d) 35

10

b) 20

c) 40 e) 26 CENTRO INFORMÁTICO

I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (7) Según el último estudio efectuado por el INEI se puede afirmar que el rendimiento de un empleado varía en forma I.P. al cuadrado de su edad. Si un trabajador a la edad de 60 años tenía un rendimiento de 3 puntos. Calcular la edad que tenía cuando su rendimiento era de 12 puntos. a) 15 d) 30

b) 20

ARITMÉTICA (12) Tres personas se asocian para establecer un negocio. La primera puso mercaderías; la segunda, S/. 15 000 y obtuvieron ganancias por S/. 10 000 de las cuales la primera recibió S/. 4 000 y la tercera S/. 3500. ¿Cuál fue el importe de las mercaderías? a) 21 000 d) 30 000

c) 25 e) 45

b) 462

a) 228 y 196 b) 224 y 196 d) 210 y 210

c) 466 e) 248

b) 320

c) 380 e) 360

a) 360 b) 249 c) 81 d) 250 e) N.A (15) Sean A y B dos magnitudes, tales que

(10) Se reparte una fortuna entre 3 personas de manera que a la primera le corresponde los 7/27 de ella, a la segunda, 1/3 de ella y a la tercera, 260 más que a la primera. Hallar la fortuna. a) 1 765 d) 1 575

b) 1 675

A DP B2, cuando A IP B; cuando ,Si A= 180, cuando B= 60, calcule A cuando B= 16.

c) 1 755 e) 2 755

(11) Un padre tiene tres hijos de 6, 7 y 9 años de edad que cursan el 2°, 3° y 5° año de educación primaria. Decide repartir una cierta cantidad de caramelos entre sus tres hijos en forma proporcional al grado de estudios e I.P. a su edad. Si el menor de los hermanos recibe 98 caramelos menos que el mayor. ¿Cuántos caramelos repartió?

a) 541 d) 571

b) 551

c) 240 y 18 e) N.A.

(14) Para la explotación de un negocio se asocian 3 profesores del ISTP “Carlos Cueto Fernandini”. El primero con S/ 15 000 durante 8 meses; el segundo con S/ 16 600 durante 5 meses y el tercero con S/ 9 000 durante 3 meses. El tercero pierde S/ 168 menos que el segundo. ¿Cuál ha sido la pérdida del primer socio?

(9) Repartir 3090 D. P. a 3 números de manera que el primero es al segundo como 3 a 7 y el segundo al tercero como 4 a 9. Dar como respuesta la parte menor. a) 330 d) 390

c) 2 400 e) 24 000

(13) Dos profesores del ISTP “Carlos Cueto Fernandini”, alquilan un garaje por S/. 420. El primero guarda en él 4 automóviles durante 6 meses y el segundo 3 automóviles durante 7 meses. ¿Cuánto debe pagar cada uno?

(8) Benjamín desea repartir una cierta cantidad de dinero en tres partes proporcionales a 2; 4 y 5 pero decidió hacerlo en forma proporcional a los números 5; 7 y 9 por lo que una de las partes aumenta en 26. Calcule la cantidad de dinero que reparte Benjamín. a) s/. 242 d) 254

b) 25 000

A) 25

B) 16

D) 20

E) 32

C) 24

CLAVES 1

a

6

a

11

2

a

7

d

12

e

3

e d a

8

b e c

13 14

b a

15

a

4

c) 561 e) 581

5

9 10

e

c CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

11

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”

ARITMÉTICA

REGLA DE TRES CONCEPTO.Es un método especial de solución para problemas de magnitudes proporcionales donde intervienen dos ó más magnitudes que se relacionan entre sí.

Ejemplo: Sabiendo que de 250 quintales de remolacha pueden extraerse 30 quintales de azúcar ¿Cuántos quintales de azúcar podrán proporcionar 100 quintales de remolacha?

CLASIFICACIÓN DE REGLA DE TRES

Resolución: Notamos que a menos remolacha se obtendrá menos azúcar, por lo tanto son magnitudes directamente proporcionales (D.P).

1) REGLA DE TRES SIMPLE (R3S) En este caso intervienen sólo dos magnitudes proporcionales. Conociéndose 3 valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra magnitud, se debe calcular el cuarto elemento. La regla de tres simple se divide en dos clases: 1.1 Regla de Tres Simple Directa (R3SD) Cuando las magnitudes son directamente proporcionales (D.P).

Por el método del aspa 100 30 x

250

 12 quint ales

1.2 Regla de Tres simple Inversa (R3SI) Cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales (I.P)

* Método de Solución 1: Método de las Proporciones. a1 a2

*

b1 x

*

Método de solución a1

a2b1 a1

a2 *

Método de Solución 3:

12



x b1

Método de solución 2: Método de la Multiplicación Horizontal x

CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

1: Método de las

Proporciones

Método de Solución 2: Método del Aspa.

x *



a1b1 a2

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” * Método de solución 3:

ARITMÉTICA III. Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita con cada una de las demás, indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por D.P. y si es inversamente proporcional por I.P.

Ejemplo:

IV. Se despeja la incógnita multiplicando la cantidad que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se forman en cada magnitud, si son I.P. se copia IGUAL y si son D.P. se copia DIFERENTE.

Un grupo de 24 excursionistas lleva víveres para 18 días, pero al inicio de la excursión se suman 3 personas más.¿Cuántos días antes se acabarán los víveres?

Ejemplo:

Resolución: Se puede notar que a más personas los víveres durarán menos días, por lo tanto se trata de magnitudes inversamente proporcionales.

Seis obreros trabajando 16 días de 10 horas diarias pueden asfaltar 1200m de una autopista.¿Cuántos días emplearán 8 obreros trabajando 8 horas diarias para asfaltar 1600m de la misma autopista? Resolución: I.P. I.P. D.P. Nº de Obreros Nº de Días Nº H/D Obra

Por el método 3: x  18.

6 8

24 = 16 dias 27

Por lo tanto los víveres se acabarán: 18-16=2 días antes 2)

REGLA DE TRES COMPUESTA(R3C) Es una regla de tres donde intervienen más de dos magnitudes proporcionales.

*

MÉTODOS DE SOLUCIÓN: Existen varios métodos de solución, en este caso emplearemos el método de nombrar si la magnitud es directamente proporcional (D.P) o inversamente proporcional (I.P) con la magnitud donde se encuentra la incógnita Pasos a seguir:

I. II.

10 8

1200 1600

Se obtiene: 6 10 1600 x = 16 x  16    8 8 1200 Operando: x = 20 días.

EJERCICIOS (1) Por cada docena de lapiceros que compra la ISTP.”Carlos Cueto Fernandini” le regalan uno, si en total el Instituto tiene 2184 lapiceros ¿Cuántas docenas ha comprado el Instituto?

Se reconocen las magnitudes que intervienen en el problema. En la primera fila se colocan los datos y en la segunda fila los demás datos incluido la incógnita.

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16 x

13

a)

168

d)

172

b) 164

c) 70 e) N.A.

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (2) Leonor una alumna del ISTP. “Carlos Cueto Fernandini”, dice tener 24 años, luego de haberse rebajado la cuarta parte de su edad. ¿Cuál es su edad real?

a) 30 d) 34

b) 32

ARITMÉTICA (8) Ochenta litros de agua de mar contienen 2 Kg. de sal. ¿Cuántos litros de agua pura habrá que agregar si se quiere que cada 10 litros de la mezcla contenga 1/6 de Kg. de sal?

a) 40 d) 35

c) 23 e) 31

(3) “Andrés” puede hacer un trabajo en 9 días, “Benito” es 50% más eficiente que “Andrés” ¿Cuántos días empleará “Benito” en hacer dicho trabajo? a) 4 d) 6

b) 5

b) 10

a) 14 d) 18

c) 3 e) 8

b) 50

c) 14 e) 11

b) 92’

d)5

c) 60 e) 80

b) 400

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e)6

(12) Cuatro hombres hacen 40 problemas en 10 minutos y 2 mujeres hacen 20 problemas en 15 minutos. En 25 minutos, ¿Cuántos problemas más hacen 12 hombres que 15 mujeres? a) 50 b) 60 c) 40 d) 70 e) 80

c) 1h.20’ e) 1h.30’

(7) Luís y Pedro pintaron la ISTP.”Carlos Cueto Fernandini” por 1000 soles. Si Luís trabajó 8 días y Pedro trabajó 12 días. ¿Cuánto recibió Pedro por su trabajo? a) 320 d) 750

c) 12 e) 15

(11) Noelia una alumna del ISTP. “Carlos Cueto Fernandini”, ha recorrido 280 Km. en 8 días caminando 7 horas diarias ¿Cuántos días tardará en recorrer Noelia 540 Km. andando 9 horas diarias? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

(6) Una ventana cuadrada es limpiada en 2h 40’. Si la misma persona limpia otra ventana cuadrada cuyo lado es la cuarta parte menor que la ventana anterior ¿Qué tiempo demora? a) 80’ d) 1h.40’

b) 13

(10) Una obra debió ser terminada en 45 días y se empleó 60 obreros que trabajan 9 horas diarias, después de 15 días. Se calcula que a ese ritmo se acabaría con 5 días de retraso, por lo que se ordenó trabajar una hora más por día y adicionalmente se contrataron más obreros. Determinar cuántos obreros adicionales se debía contratar. a)3 b)2 c)4

(5) Un panetón especial de forma cúbica pesa 2160 gr. el peso en gramos de un mini panetón, de igual forma pero con sus dimensiones reducidas a la tercera parte es: a) 40 d) 90

c) 25 e) 45

(9) Seis obreros hacen una obra en 12 días, al cabo de 2 días se retiran 2 obreros. ¿En cuántos días harán los obreros que quedan la parte que falta?

(4) Una enfermera proporciona a un paciente (el profesor Reyes) una tableta cada 45’. ¿cuántas tabletas necesitara para 9 horas de turno si debe suministrar al inicio y al término del mismo? a) 12 d) 13

b) 60

c) 600 e) 800 14

(13) Trescientos treinta y tres problemas son resueltos por 333 alumnos en 33 segundos; entonces un alumno resolverá 33 problemas en: a) 12 min. b) 111 seg. c) 33 min. d) 33 seg. e)18m 9seg CENTRO INFORMÁTICO

I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (14) Si 25 carpinteros se comprometieron en hacer un tablado en 35 días. ¿cuántos carpinteros más de la misma capacidad deberán ser contratados si se quiere terminar el tablado en 7 días?

ARITMÉTICA (20) Doce obreros pueden preparar una cancha de fulbito de 24m. de ancho y 45m de largo en 15 días trabajando 9 h/d. ¿En cuántos días 20 obreros podrán hacer otra cancha de fulbito de 20m de ancho y 36m de largo, trabajando 3 horas menos cada día?

a) 120 b) 125 c) 100 d) 105 e) 90 (15) Seis monos se comen 6 plátanos en 6 minutos. El número de plátanos que se comen 40 monos en 18 minutos es? a) 40 d) 18

b) 180

a) 10 b) 8 c) 6 d) 9 e) 12 (21) Un grupo de obreros promete realizar una obra en 15 días, pero cuando ya habían trabajado 5 días, contratan 9 obreros más con lo que terminaron el trabajo dos días antes. ¿cuántos obreros había en el grupo inicialmente?

c) 200 e) 120

(16) Se emplean 12 obreros durante 6 días para cavar una zanja de 30m. de largo 8m de ancho y 4m de alto, trabajando 6h diarias. Empleando el doble de hombres, durante 5 días, para cavar otra zanja de 20m de largo, 12m de ancho y 3m de alto. ¿cuántas horas diarias han trabajado? 7 h 10 5 d) 2 h 13 a) 2

b) 3

1 h 10

a) 45 b) 27

b) 20

2 h 15 9 e) 2 h 10

c) 3

a) 1

b) 45

b) 2

c) 3

b) 4

3 4

d

9

e

14

c

19

a

5

e

10

a

15

e

20

d

21

c

22

b

2

c) 15 e) 35

e) 5

a b d

1

(18) Quince obreros trabajando 8 horas diarias durante 12 días hicieron 60m de una obra. ¿cuántos metros harán 10 obreros en 18 días, trabajando 6 horas diarias? a) 75 d) 90

c) 36 e) 18

22) Dieciocho obreros se comprometen a realizar una obra en 20 días trabajando 8 h/d, al cabo del quinto día se le pidió que entreguen la obra 3 días antes de lo pactado, razón por la cual se decide trabajar 9 h/d y contratar más obreros. ¿Cuántos obreros se contrataron?

(17) Si 30 hombres trabajando 12 días a razón de 10h/d hacen 600m de una obra ¿cuántos días de 6 horas necesitan 36 hombres para hacer 900m de la obra? a) 25 d) 18

b) 39

11

8

e c a

6 7

16

13

c a e

12

CLAVES

17 18

a a b

c) 40 e) 80

(19) Una familia de 5 personas gasta 6 000 soles para vivir 3 meses en una ciudad. ¿cuánto deben gastar par vivir en otra ciudad durante 5 meses, si el costo de vida es los 5/4 del anterior, sabiendo que se une la suegra a la familia? a) 15 000 b) 14 000

b) 18 000

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c) 16 000 d) 19 000 15

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ARITMÉTICA

TANTO POR CIENTO INTRODUCCIÓN.-

el 1 por ciento 1%

En nuestra vida diaria es común utilizar el tanto

1 100

2 el 2 por ciento 2% 100

por ciento, por ejemplo el 80% de asistentes son estudiantes universitarios, la inflación del mes de enero del año 2002 fue 1,5%, se obtuvo un descuento del 20% al comprar una licuadora, etc.

a El a por ciento a% 100

Ejemplo Inductivo: Un comerciante compra una cierta cantidad de

Ejemplos:

Kg. de carne a S/.7 el Kg. y lo vende a S/.10 el Kg.

a) 20%

20 1  100 5 35 7  b)35% 100 20

Se puede deducir: En S/.10 de venta gana S/.3 En S/.20 de venta gana S/.6 En S/.30 de venta gana S/.9 : : : : : :

NOTA: Las palabras: “de”, “del” y “de los” nos indica una multiplicación. a a% de N a%.N

En S/.100 de venta gana S/.30 Entonces:

Ej.

30 Por cada 100 gana 30  GANA = 100

a) el 20% de 80

100

.N

Calcular: 4

“El Tanto por Ciento es el número de partes que se toman de una cantidad total (o Unidad) dividida en 100 partes iguales”.

b)el 30% del 20% de los

5

de 9000

OBSERVACIÓN:

En general, si una cantidad se divide en 100 El Porcentaje es el resultado de calcular el tanto por ciento de una determinada cantidad.

partes iguales, cada una de las partes representa 1 del total. A cada una de las partes iguales se 100 le denomina “el 1 por ciento” y se denota como 1%.

Aplicación: Si Carlos recibe el 25% de S/.120 y Ernesto recibe el 5% de 500. ¿Quién recibe más, y en cuánto se diferencian las cantidades recibidas?

GRÁFICAMENTE:

NOTA: Toda cantidad es el 100% de sí mismo. CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

16

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ARITMÉTICA

Sea N, la cantidad, se cumple: N = 100% N

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ARITMÉTICA

OPERACIONES CON PORCENTAJES

1)

APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO

ADICIÒN DE PORCENTAJES (1) DESCUENTOS SUCESIVOS Ejemplo ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 10% y 20%? INICIO = 100% 1er descuento = 90%(100%) = 90% 2do descuento = 80%(90%) = 72%

a%N + b%N = (a + b)%N Ej. 10%P + 30%P Q + 15%Q 2)

= 40%P = 115%Q

SUSTRACCIÒN DE PORCENTAJES

Dúnico = 100% - 72% = 28%

a%N – b%N = (a - b)%N

En forma práctica:

Ej. 40%P – 15%P Q – 25%Q

 a.b  %  100 

= 25%P = 75%Q

Dúnico = a% + b% - 

Aplicación: Una cantidad aumentada en su 56% resulta 1404. ¿Cuál es dicha cantidad?

(2) AUMENTOS SUCESIVOS

Aplicación: Si se aumenta la base de un triángulo en un 25%. ¿En cuánto debe disminuir la altura para que su área no varíe?

Ejemplo ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 10%? INICIO = 100%

OBSERVACIÓN: a)

3 x 15% N = 45% N

b)

3% x 15% N =

1er aumento = 120%(100%) = 120% 2do aumento = 110%(120%) = 132%

45 %N 100

En forma práctica:

 a.b  %   100 

Aúnico = a% + b% +  RELACIÓN PARTE TODO

(3) APLICACIONES COMERCIALES Se utilizan las siguientes notaciones: Pv = Precio de venta. Pc = Precio de costo. G = Ganancia. Pf = Precio fijado o Precio de lista. P = Perdida. GB = Ganancia bruta. GN = Ganancia neta. D = Descuento o rebaja.  Cuando en la operación comercial hay ganancia:

Se define, para calcular el % de la parte, con respecto al todo. %=

PARTE x100% TODO

Aplicación: En un congreso internacional se reúnen: 30 peruanos, 50 chilenos y 20 colombianos, calcular: a) b) c)

¿Qué tanto por ciento del total son peruanos? ¿Qué tanto por ciento son los peruanos con respecto a los chilenos? ¿Qué tanto por ciento son los colombianos con respecto a los peruanos?

CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

Pv = Pc + G 18

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”  Cuando en la operación comercial hay perdida: Pv = Pc – P 

ARITMÉTICA (4) El 20% de lo que tengo excede al 30% de lo que tienes en S/. 2, si entre ambos tenemos S/. 30. ¿Cuánto tengo más que tú? a) 22 d) 10

Cuando en la operación comercial hay descuento o rebaja:

Cuando en la operación comercial hay gastos adicionales: GB = GN + Gastos adicionales

a) b) c) d) e)

OBSERVACIONES: 1º

La ganancia o pérdida se representa como un tanto por ciento del costo, si no se menciona nada en el problema.

2º

El descuento o rebaja generalmente se aplica como un tanto por ciento del precio fijado.

a) 0, 4 d) 32

a) 2 x 10 –1 d) 40

a) 2000 d) 800

c) 0,003 e) 0,6

c) 0,2 e) 400

b) 6000

c) 0,8 e) 4000

(10) Si tuvieras el 55% menos de la edad que tienes, tendrías 27 años. ¿Cuántos años tendrás dentro de 10 años?

c) 0,032 e) N.A.

a. 60 b) 50 c) 70 d. 55 e) 45 (11) Si al venderle mi auto a un profesor de aritmética, le hago un descuento del 15% se lo vendería en $.1 700. ¿Cuánto me ha costado el auto?

(3) Cuando recibiré más: si me dan el 17% de 200; el 0,08% de 40 000 ó las 5/8 % de 3000. a) Cuando me den 0,08% de 40000 b) Cuando me den 17% de 200 c) Cuando reciba 5/6 % de 3000 d) Cuando reciba 6/5 % de 4000 e) Siempre igual CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

b) 13/25 x 10 –2

(9) El 20% de 1/2 % de que número es 4.

(2) Halle: 0,08% de 0,05% de 40000. b) 0,016

c) 40 e) 60.

a) 0,03 b) 0,003 c) 0,0003 x 10 –2 –5 d) 0,3 x 10 e) 30 x 10 3 (8) ¿ 3/5 % del 5/6 % de qué número es 0,02?.

(1) Halle: 1/2 % de la mitad de 80 aumentada en 20.

a) 0,16 d) 0,165

b) 4

(7) ¿0,08% de qué número es 24?

EJERCICIOS

b) 0,03

Le sobra S/. 67 Ni le sobra, ni le falta Falta S/. 67,04 Falta S/.67,05 Falta 127,04

(6) Halle: 5/3 % de 0,007 % del 40% del 3/35 x 108.

Aplicación: Una persona compra un TV. En S/.2000. ¿Qué precio debe fijar para su venta teniendo en cuenta que aún haciendo una rebaja del 20% sobre el precio fijado, todavía gane el 25% del precio de costo?

a) 0, 3 d) 3

c) 14 e) 16

(5) Compre un reloj en S/. 800. Lo vendo a Juan ganando el 30%. A su vez Juan lo vende a Carlos ganando el 20% de lo que me pagó y Carlos lo vende a José perdiendo el 10% de lo que le costo. SI María tiene S/. 1000 y José le va a vender el reloj haciéndole un descuento del 5% de lo que a él le costó. Diga Ud. si a María le falta o le sobra dinero y cuánto?

Pv = Pf – D 

b) 8

a) S/. 1 700 b) S/. 1400 e) S/. 2000. 19

c) S/. 2 300 d) S/. 4 000 CENTRO INFORMÁTICO

I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (12) El 30% de que número es el 30% del 10% de 700. a) $ 700 d) $ 70

b) $ 0,7

ARITMÉTICA (19) ¿Qué porcentaje del círculo mayor es la parte sombreada? O y o son centros de las circunferencias.

c) $ 0,07 e) $ 7 x 10 –2

(13) El 30% del 20% de los 2/5 de un número es equivalente al 24% del 0,01% de 1000. el número es: a) 0,1 d) 120

b) 0, 2

c) 1 e) N.A.

a) 75% d) 20%

(14) El 20% del 0,2% de 800 qué porcentaje es de 0,5 % de 20?. a) 32% d) 32%

b) 3%

(15) Si un cuadrado de 100 m2 de área se reduce a uno de 16 m2, el perímetro del nuevo cuadrado será el:

O1

c) 24 % del anterior d) 40% del anterior

O2 a) 50% d) 51,7%

b) 27,7 %

a) 4500 d) 4000

b) 8000

a) 20% d) 15%

b) 25%

1

A

a) 62, 5% d) 6, 25 %

2 E

b) 71,5 %

CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

c) 6,5 % e) 12,5 % 20

7 8

e e

13 15

10

5

11

e c e

6

b

12

d

4 C

a b b c c

3

I F

c) 30% e) 40%

CLAVES

B

H

c) 5000 e) 6000

(22) En una granja sólo hay patos y chanchos. El 30% de los patos es igual al 50% de los chanchos, ¿Qué % del total es el 40% de los chanchos?

c) 43% e) 52,5%

G

c) 29,7% e) F.D.

(21) El 30% del 20% de un número es 6000. ¿Cuál es el 10% del 40% de dicho número?

(18) En la siguiente figura los puntos D. E. F. G: H. I son puntos medios del triángulo equilátero ABC cuyo lado vale 20 metros. El área G H I qué porcentaje del área total será:

D

C

B

a) 41, 38% b) 46, 38% c) 58,62 % d) 41, 62% e) 46, 62% (17) Jorgito profesor de Aritmética va ha visitar a Mary que vive a una distancia de 450 Km. y va a una velocidad de 60 Km. diarios, luego de 3 días que porcentaje de la distancia le faltará recorrer. b) 45%

c) 40% e) 25%

A

(16) De 290 alumnos 170 son mujeres. ¿Qué tanto por ciento son varones?.

a) 60% d) 40%

b) 60%

(20) En la figura mostrada. ¿Qué porcentaje del área de la región total representa el área de la región sombreada? O1 y O2, son centros de la semicircunferencia.

c) 320% e) N.A.

a) 16% del anterior b) 36% del anterior e) N.A.

o

o

9

c c

19 21

17

d a a

18

d

14 16

20 22

e b d d

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ARITMÉTICA

M INTERÉS

Se llama interés o rédito a la ganancia que produce un capital prestado o depositado en una entidad financiera durante cierto tiempo y según una tasa fijada previamente.

t = años

................. (1) r = anual

t = meses

.....................(2) r = anual

t = días

.....................(3) r = anual

CLASES: 1)

2)

Interés Simple Ocurre cuando los intereses originados por el capital, en el caso de un depósito, por ejemplo, se retiran en el plazo fijado. Quedando el mismo capital para un siguiente período. Interés Compuesto Esto ocurre cuando los intereses producidos por un capital no se retiran, sino se añaden al capital original, formando un nuevo capital. Se dice en este caso que los intereses se capitalizan.

OBSERVACIONES:  En las fórmulas 1,2 y 3, la tasa (r) de interés esta expresada en forma anual, si estuviera expresada en otro período de tiempo, se debe convertir a la tasa anual equivalente.

* NOTA.- En este capítulo se estudiará el Interés Simple.



Fórmula para calcular el interés simple:

En este capítulo se considera que el año tiene meses de 30 días, todos iguales, es decir: 1 mes = 30 días 1 año = 12 meses = 360 días (año comercial)

..................... (a)

EJERCICIOS

"Esta fórmula se aplica cuando la tasa de interés(r) y el tiempo (t) están en las mismas unidades"

(1) Jorge profesor del instituto Carlos Cueto Fernandini deposito en un banco $4000 durante 3 años, siendo la tasa del 8% anual ¿Cuánto será el monto generado?

Donde: I = Interés c = Capital r = Tasa de Interés t = Tiempo

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a) $960 d) $4640

21

b) $ 4960

c) $ 640 e) $ 4320

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (2) Un capital se impone al 25% semestral durante 18 meses, Transformándose en un monto de 3500 .Calcule el capital. a) 2340 d) 1200

b) 2090

ARITMÉTICA (9) Un capital impuesto durante 2 años produce un interés del 10% del monto ¿Qué tanto por ciento del monto producirá en 6 años?. a) 15% d) 30%

c) 2000 e) 3000

b) 1000

a) s/.3000 d) 5400

c) 670 e) 1120

tiempo. b) 1258

d) 1458

a) s/.120 d) 240

c) 1358 e) 1758

b) 2725

a) 15% d) 22,5%

c) 2625 e) 1875

b) 600

a) 20% d) 50%

c) 500 e) 450

b) 9600

a) s/.1200 d) 1320

c) 10000 e) 12000

a) s/.28600 d) 42300

(8) Un capital impuesto al 20% trimestral se convierte al cabo de 8 meses en 49680 ¿Cuál fue el capital? CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

c) 200 e) 280

b) 18%

c) 20% e) 25%

b) 30%

c) 40% e) 60%

(14) ¿Cuál es el capital que durante 260 días, prestado al 3% bimestral, genera un interés de $156?

(7) Si Enrique se prestó cierto dinero al 72% anual y efectúa el pago 2 meses antes ahorra s/.1200. Calcule el capital prestado. a) s/.9000 d) 11000

b) 160

(13) La suma de 2 capitales es s/.5000, si el primero es 4 veces el segundo. ¿A qué tasa se debe imponer el segundo, si el primero es impuesto al 15% para qué en un año produzcan igual interés?.

(6) Maribel deposita a interés simple cierta cantidad de dinero al 15% trimestral durante un año y medio transformándose en un monto de s/.1330. Calcule la cantidad de dinero que Maribel depositó. a) s/.700 d) 550

c) 4000 e) 6400

(12) El interés que se obtiene al depositar un capital durante 1 año 4 meses es el 25% del monto. Calcule la tasa anual.

(5) Calcule el monto que produce un capital de s/1500 impuesto una tasa del 12% cuatrimestral durante 2 años y 1 mes. a) s/.4625 d) 2125

b) 4500

(11) Un capital fue depositado al 5% mensual y produce un interés de s/.800 en 4 meses. ¿Qué interés producirá el mismo capital a una tasa del 3% semestral en 8 meses?

(4) Jaimito depositó un capital de s/.850 durante un año y 6 meses al 8% trimestral. Calcule el monto que se obtendrá al cabo de dicho

a) s/.1200

c) 25%

(10) María se presta de Juan una suma de dinero al 36% durante cierto tiempo, pero como efectúo el pago cinco meses antes se ahorra s/.450. Calcule el capital que se prestó Maria.

(3) El profesor de Aritmética se presta cierta suma de dinero al 18% semestral durante cierto tiempo, pero como efectúa el pago 4 meses antes se ahorra $120 .Halle el capital prestado. a) 1200 d) 1220

b) 20% e) 35%

22

b) 1530 b) 36000

c) 1280 e) 1000 c) 45000 e) 32400

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”

ARITMÉTICA

(15) Si 2 capitales están en la relación de 2 a 5 son depositados en 2 entidades financieras que ofrecen 8% y 2% mensual. ¿Dentro de cuánto tiempo los montos serán iguales? a) 10 meses d) 50

b) 25

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c) 40 e) N.A

23

CENTRO INFORMÁTICO

I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (16) Hace 8 meses se impuso cierto capital, cuyo monto actualmente es s/.4650. Si dentro de un año el monto será s/.4875, calcule la tasa anual de interés. a) 3% d) 9%

b) 5%

ARITMÉTICA interés generado aumentaría en s/.300 en el mismo tiempo. Determine la tasa anual. a) 10% d) 40%

c) 7% e) 11%

b) 50%

a) s/.500 d) s/.250

c) 17% e) 110%

b) 6040

a) s/.10500 d) s/.8000

c)8 200 e) 2800.

b) 50%

a) 10% d) 25%

b) s/.3000

CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

b) s/.11500

c) s/.9000 e) s/.7500

b) 15%

c) 20% e) 30% anual.

c) 17% e) 11% anual.

20) Un Banco paga el 8% trimestral y en él se deposita un capital, el 20 de Julio del 2006. Luego el 18 de septiembre se deposita otra suma que es un tercio más que el anterior. si el 16 de enero del siguiente año retiró un monto total de s/.23720, halle el primer capital depositado.

a) s/.1200 d) s/.2400

c) s/.350 e) s/.200

24) La suma de 5 capitales es s/.42000, impuestos durante 4años a una misma tasa de interés se convierten en: 20540; 18820; 15000; 16460 y 13180 soles respectivamente. Calcule la tasa de interés anual.

19) Se impone un capital al 15% semestral durante 10 años, al cabo de este tiempo se retira el dinero y se vuelve a colocar el mismo capital al 15% durante 5 años mas .Halle la tasa que producirá el mismo interés en todo el tiempo. a) 30% d) 25%

b) s/.400

23) El profesor Reyes divide su capital de la siguiente manera: Los 2/3 de su capital lo impone al 4% de interés simple, la séptima parte del resto al 8% y el resto al 12%. Si al cabo de2 años el monto obtenido por el profesor Reyes es s/.11860. ¿Calcule el capital inicial?

(18) Ricardo divide su capital en dos partes , que están en relación de 2 a 5 .La menor parte la deposita en un banco al 20% cuatrimestral y la otra parte al 15% semestral , observando que esta ultima produce en un año $360 mas de ganancia que la produjo la otra parte en el mismo tiempo .Calcule dicho capital. a) S/.1200 d) 8400

c) 30% e) 50%

22) Antonio, Bartola y César depositan en un banco 600; s/.1000 y 800 soles respectivamente. Al cobrar los intereses generados, Bartola cobra s/.100 más que Antonio. ¿Cuánto cobra de interés César?

(17) Un capital al cabo de 4 meses se convierte en $240, pero si se dejara por 6 meses mas se convertirá en $360 .Halle la tasa de interés a la que se impuso el capital. a) 30% d) 150%

b) 50%

CLAVES 1

b

7

c

13

e

19

d

2

c b

8

e c

14

a d

20

c c

10 11

a b

16

5

b c

17

b d

6

a

12

e

18

d

3 4

c) s/.9000 e) s/.2800 24

9

15

21 22

23 24

e a d

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21) Benjamín presta una cierta cantidad de dinero a Enrique a una cierta tasa de interés. Si dicha cantidad de dinero fuese s/.1000 mayor, el

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M 1.

2.2 Base de un Sistema de Numeración

NUMERACIÓN

Es aquel número entero positivo mayor a la unidad que nos indica la cantidad de unidades de un orden cualquiera que se requieren para formar una unidad de orden inmediato superior.

Es la parte de la aritmética que estudia la correcta formación, escritura y la lectura de los números.

Ejemplos

2. SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN

A.Sistema de Base 10: Diez unidades forman 1 decena (unidad de segundo orden) Diez decenas forman 1 centena (unidad de tercer orden) etc.

Es el conjunto de reglas y principios que rigen la correcta formación, escritura y lectura de los números, mediante la adecuada combinación de un grupo reducido de símbolos y palabras.

B. Sistema de base 4:

2.1 Orden de una Cifra

Cuatro unidades de primer orden forman 1 unidad de segundo orden. Cuatro unidades de segundo orden forman 1 unidad de tercer orden. Cuatro unidades de tercer orden forman 1 unidad de cuarto orden, etc.

Toda cifra ocupa que forma parte de un numeral ocupa un orden determinado el cual se considera empezando de derecha a izquierda. El lugar que ocupa una cifra se considera empezando de izquierda a derecha.

C.Contar en base 4

Ejemplo:

3

2 (4) Base

Base 10: 14 Base 4: 32(4) "Se lee tres dos en base cuatro" D.Contar en base 3 En cualquier Sistema de Numeración, la cifra de primer orden, es la de las unidades Base 10: 23 Base 3: 212(3) "Se lee: dos uno dos en base tres" CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

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ARITMÉTICA NOTA:

Características de un Sistema de Numeración 1º

Para bases mayores que diez se usan los símbolos  ,  ,  etc., que representan las cifras, diez, once, doce, etc., respectivamente, también se pueden usar las letras del abecedario.

En cualquier Sistema de Numeración existen tantas cifras como el valor de la base y con las combinaciones de ellas se pueden formar todos los números posibles de dicho sistema.

2º

Cifra diez: Cifra once: Cifra doce: Cifra trece:

El mínimo valor que puede tomar una cifra en cualquier sistema es el cero y el máximo es una unidad menos que el valor de la base.

3º

d=D

Ejemplos:

La base de un Sistema de Numeración es un número entero positivo mayor que 1.

4º

 =a=A = b =B  =c=C

34A5 (DOCE) "Se lee: tres cuatro A cinco en base doce"

La base de un Sistema de Numeración siempre es mayor que cualquiera de las cifras que se usan en dicho sistema.

62B7C (QUINCE) "Se lee: seis dos B siete C en base quince"

Ejemplo:

2.3. VALORES DE UNA CIFRA

4271(5) numeral mal escrito 314(7) numeral bien escrito 1358(6) numeral mal escrito 64103(8) numeral bien escrito

Valor Relativo o Posicional (V.R.).- Es el valor que representa la cifra por la posición que ocupa dentro del número. Valor Absoluto o por su forma (V.A).- Es el valor que representa la cifra por la forma que tiene.

Sistema de Numeración más Utilizados

Ejemplos: Base 2 3 4 5 6 7 8 9

Cifras utilizadas 0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10),(11),

. .

10 11 12

Nombre del Sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario u octal Nonario o nonal Decimal Undécimal Duodecimal

N

Enésimal

0,1,2,3,4,.........,n-2, n-1

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” 3. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO

ARITMÉTICA 5. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA En todo Sistema de Numeración, cualquier número se puede escribir como la suma de los valores relativos de sus cifras.

Cada cifra de un número puede ser representado por una letra del abecedario y todas ellas cubiertas por una barra horizontal, para distinguirlos de las expresiones algebraicas.

Ejemplos: 632 = 600 + 30 + 2

: Representa cualquier número de dos cifras de la base n

5479 = 5 x 103 + 4 x 102 + 7 x 10 + 9 [BASE 10]

: Representa cualquier número de tres cifras de la base 10, puede ser: {100, 101, 102, 103, .................., 998, 999}

235(7) = 2 x 72 + 3 x 7 + 5

[BASE 7]

4523(8) = 4 x 83 + 5 x 82 + 2 x 8 + 3

: Representa cualquier número de cuatro cifras de la base 10, que termina en 37, puede ser: {1037; 1137; 1237; 1337;.....; 9837; 9937}

[BASE 8] 6. CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UNA BASE A OTRA Se presentan tres casos:

: Representa cualquier número de tres cifras de la base seis; que termina en 4, puede ser: {104(6); 114(6); 124(6); ........; 544(6); 554(6)}

6.1 Caso I: De base "n" a base 10 En este caso se calcula el número de unidades simples que posee dicho número, para esto es suficiente aplicar la "descomposición polinómica" del número y efectuar las operaciones indicadas.

: Representa cualquier número de tres cifras de la base cinco, donde la cifra de segundo orden es el doble de la cifra de tercer orden puede ser:

Ejemplo: Convertir 324(7) a la base 10

{120(5); 121(5); 122(5); ............; 244(5)}

324(7) = 3x72 + 2x7 + 4 = 165

4. NÚMERO CAPICÚA

324(7) = 165

Es aquel número que se lee igual de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, también se dice que es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales.

6.2 Caso II: De base 10 a base "n" Se efectúa empleando el método de "divisiones sucesivas", para lo cual se divide el número dado entre "n" (base del sistema al cual se desea pasar). Si el cociente es igual o mayor que "n" se divide este nuevamente entre "n" y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor que "n". El nuevo número estará formado por el último cociente y todos los residuos obtenidos de derecha a izquierda.

Ejemplos: 414 (7) 7557 (9) 53235 (8) abccba (n)

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[BASE 10]

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” Ejemplo: Convertir 328 a la base 6

ARITMÉTICA Aplicación:

6.3 Caso III: De base "n" a base "m" (n, m 10) EJERCICIOS En este caso primero se convierte el número de base "n" a la base 10 y el resultado se convierte a la base "m"

(1) Hallar el valor de “A + B + C” si se sabe que: I.- “A” es el mayor número de tres cifras. II.- “B” es el mayor número impar de dos cifras diferentes. III.- “C” es el mayor número de tres cifras diferentes.

Ejemplo: convertir 413(8) a la base 5 Primero: 413(8) a la base 10 413(8) = 4x82 + 1x8 + 3 = 267

a) 2083 d) 1999

b) 2080

c) 1083 e) 2081

Luego: 267 a la base 5 (2) ¿Cuál es el menor número de tres cifras cuya suma de cifras sea 16? Dar su cifra central. a) 9 d) 0

b) 2

c) 1 e) 6

(3) Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras: I.- La primera es el doble de la tercera. II.- La segunda es el triple de la primera. Dar como respuesta la suma de las cifras.

PROPIEDAD: Si un número es expresado en dos sistemas de numeración, se cumple que: "a mayor representación aparente le corresponde menor base y viceversa"

a) 10 d) 12

+ 413 (8) = 2032 (5)

a) 8

-

d) 6

b) 2

c) 1 e) 4

(5) Si el numeral: (a 1)b(b  1)(a  5)(3  a) es a) 4 b) 8 c) 7 capicúa, hallar la cifra de tercer orden. d) 5 e) 6

+ 512 (7) = 312 (9)

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c) 9 e) 8

(4) Hallar la cifra de mayor orden de un número menor que 900, tal que la cifra de las unidades sea la mitad que la de las decenas y que ésta sea la cuarta parte de la de las centenas.

Ejemplos:

+

b) 11

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+

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (6) Hallar (a + b +c), si los numerales:

ARITMÉTICA (13) Hallar ab si:

11a (4) , 2bc (a) , b0b0(c)

ababab  13  a  b  (ab) 2

Están correctamente escritos. a) 6 d) 9

b) 7

a) 37 d) 21

c) 8 e) 10

b) 5

Dar el valor de: "x + y + m" a) 6 d) 9

c) 16 e) 14

b) 18

b) 7

c) 8 e) 10

(15) Hallar a.b.c si se cumple abc 5   216 7 

(8) Un numeral de dos cifras aumentado en el numeral que resulta de invertir el orden de sus cifras es igual a 44 veces la diferencia de sus cifras. Calcule el producto de sus cifras. a) 12 d) 15

c) 10 e) 42

(14) Si: m(m  2)(m  3) (6)  xyz (7)

(7) Hallar un número de dos cifras que sea igual a 8 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta el producto de dichas cifras. a) 12 d) 8

b) 73

a) 6 d) 21

c) 6 e) 20

b) 12

c) 18 e) 8

(16) Si: a02 (9)  aa11(4) entonces el valor de "a" es:

(9) Hallar un número de 3 cifras que termine en 8, a) 1 d) 1 ó 3

tal que si se le suprime esta cifra el número resultante es 4/41 del número original. Dar la cifra de centenas de dicho número. a) 1 d) 4

b) 2

valor de "n" a) 5 d) 8

19(a  2)b , cumplió (5a - b) años.

b) 8

a) 4 d) 7

b) 5

c) 6 e) 8

(19) Hallar el valor de: "b-a"; si

1ab ( 6)  ba (8)  ab( 7 ) a) 1 d) 4

c) 9 e) 12

b) 2

c) 3 e) 0

(20) A un número de 4 cifras se le agrega la suma de sus cifras, al número resultante se le hace lo mismo y se obtiene finalmente 4051. Hallar la suma de cifras del número inicial.

(12) Halle la suma de cifras de “N” expresado en base 11. N = 15 x 114 + 33 x 112 + 28 x 11 + 30 CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

c) 7 e) 9

(2a)ba (6)  bab (7)

c) 48 e) 18

(11) Un número de dos cifras es tal que cuando se invierten el orden de sus cifras se obtiene un segundo número que excede en 9 al cuádruplo del primero. Hallar la suma de las cifras de dicho número. a) 6 d) 10

b) 6

(18) Cuál es el valor de (a + b), si

Hallar a.b , si a < b. b) 25

c) 3 e) 1 ó 2

(17) Sabiendo que 4210 (n) = nnn , determinar el

c) 3 e) 5

(10) Benjamín nació en el año 19aa y en el año

a) 8 d) 24

b) 2

25

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” a) 15 d) 16

b) 26

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ARITMÉTICA c) 6 e) 24

a) 7 d) 12

26

b) 8

c) 13 e) 14

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ARITMÉTICA

(21) Se cumple que:

 x  1 5 – x2  a2  2  x2 – 3 x2   a b  2  c  3aa calcule a + b -2 c + x a) 16

d) 20

b) 14

e) 18

c) 17

(22) Un automóvil sale a las 08:00 horas de una ciudad “A” rumbo a “B” con una velocidad de

a(b  2)

km/h, a las 09:00 horas sale otro automóvil de la ciudad “B” hacia “A” a una

ba

velocidad de km/h. Encontrándose ambos automóviles al medio día en un punto equidistante de las 2 ciudades. Calcular la distancia entre “A” y “B” (en km) a)

192

c)

342

d)

384

b)

284

e)

374

CLAVES

5

a e c a b

6

a

1 2 3 4

13

11

e d c c a

17

a e e c a

12

b

18

b

7 8 9 10

14 15 16

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19 20 21 22

b a b d

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