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1 · Números

y fracciones

VAMOS A CONOCER… Los números naturales y los enteros Los números primos • Descomposición en factores primos

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Fracciones Operaciones con fracciones Los números decimales

¿QUÉ NECESITAS SABER? Operar con números enteros Calcula: a) –3 – 5

c) –2 + 7

e) –2 + 3(–5) – 3(–4)

b) 3 – 10

d) –2 + 3 – 5 + 6 – 7 + 9 – 8

f) –2 – 3(–3 + 7)

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de: a) 12 y 16

b) 18 y 21

c) 8 y 6

d) 16 y 20

5 1 3 c) − + ⋅ 6 2 2

d)

Operar con fracciones Calcula: a)

1 2 + 4 3

b)

3 1 − 4 5

1 3 2⎛ 1 ⎞ − + ⎜ − 1⎟ 2 4 3⎝ 4 ⎠

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Cuando servimos el café en tazas estamos fraccionando el contenido de la cafetera. Por ejemplo, si la cafetera es de 9 tazas y llenamos 3, diremos que 3 hemos servido del café. 9 Y

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Matemáticas

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Y

1. Los números naturales y los enteros Utilizamos los números naturales cuando contamos u ordenamos un conjunto de elementos. d

El conjunto de los números naturales es el siguiente:  = {1, 2, 3, 4, 5…}

El concepto de número cambia con los números enteros. A partir de ahora los números tienen signo positivo o negativo y se incluye el cero. Los números positivos se identifican con los números naturales. Por eso hablamos de 3 en lugar de hablar de +3.

!

1.1. Representación de los números enteros en una recta

RECUERDA…

El opuesto de a es –a.

Representamos los números enteros en una recta de forma que los positivos estén a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. –5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

De esta forma, dados dos números enteros a y b, a es menor que b si está a la izquierda de b en la recta.

!

1.2. Suma de números enteros

RECUERDA…

d

Para sumar dos números enteros seguiremos la siguiente regla:

• a menor que b se escribe a < b.

• Si tienen el mismo signo, se suman y se deja el mismo signo.

• a mayor que b se escribe a > b.

• Si tienen distinto signo, se restan y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

• a menor o igual que b se escribe a ≤ b. • a mayor o igual que b se escribe a ≥ b.

Ejemplos • –3 – 8 = –11 (mismo signo)

• 2 – 4 = –2 (distinto signo)

• –5 + 2 = –3 (distinto signo)

• –3 + 8 = 5 (distinto signo)

Las sumas de más de dos números enteros las realizaremos por partes, primero los números positivos y luego los negativos. Ejemplo −2 + 3 − 4 + 5 − 6 − 7 + 1 = 3 + 5 +1− 2 − 4 − 6 − 7 = 9 − 19 = −10   Positivos

Negativos

ACTIVIDADES 1. Calcula: a) –12 – 15

c) 15 – 23

e) 21 – 63

g) 51 + 15

b) –15 + 27

d) –14 + 2

f) –21 + 15

h) –43 – 72

2. Calcula las siguientes operaciones: a) –2 + 3 – 4 + 5 – 7 + 12 – 3

b) –13 + 5 – 7 + 8 – 9 + 12

3. Ordena de mayor a menor: –4, 6, –1, –2 000, –2 001, 17, –9, 0

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1 · Números y fracciones

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1.3. Multiplicación y división de números enteros d

Para multiplicar o dividir números enteros, multiplicamos o dividimos los números y establecemos el signo utilizando la regla de los signos.

Ejemplos • –5 · (–3) = 15

• 3 · (–2) = –6

• –4 · 5 = –20

• 2·3=6

Regla de los signos +·+=+

+:+=+

+·–=–

+:–=–

–·+=–

–:+=–

–·–=+

–:–=+

1.4. Potencias de números enteros d

Definimos a elevado a la n–ésima potencia, an, siendo n un número natural, como el producto de a por sí mismo repetido n veces: n veces   an = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a Signo de las potencias a es positivo n impar

a es negativo n par

an es positivo

n impar

n par

an es negativo

an es positivo

Potencias y paréntesis (–3)4 es distinto de –34.

Ejemplos

El paréntesis indica que la base de la potencia es –3.

• (−3) = 3 = 81 (exponente par) 4

4

• (−3)7 = −37 = −2 187 (exponente impar) • −34 = −81 (el signo no está afectado por la potencia)

En el otro caso, la base de la potencia es 3 y la potencia no afecta al signo negativo.

1.5. Jerarquía de las operaciones Para realizar operaciones combinadas seguiremos el siguiente orden: 1. Resolvemos los paréntesis, corchetes o llaves. 2. Realizamos las potencias o las raíces que tengamos en la expresión. 3. Multiplicamos y dividimos. 4. Sumamos o restamos.

Signos y paréntesis

Ejemplos • −2 − ⎡⎣3 − 2(−3)⎤⎦ = −2 − ⎡⎣3 + 6 ⎤⎦ = −2 − ⎡⎣9 ⎤⎦ = −2 − 9 = −11 • 2(3 − 4)3 −

4 = 2(−1)3 −

4 = 2(−1) − 2 = −2 − 2 = −4

Intuitivamente, para utilizar bien los paréntesis debemos tener en cuenta que «entre dos signos siempre tiene que haber un paréntesis». Mal escrito → –2 + –3 Bien escrito → –2 + (–3)

ACTIVIDADES 4. Calcula las siguientes potencias: a) −23

b) ( −2)4

c) ( −1)7

d) −26

5. Realiza las siguientes operaciones: a) − 2( − 5) + ( − 3) ⋅ ( − 4) + 3( − 7)

d) 2 ⋅ ( − 3)2

b) − 2 + 3( − 2) + 2(5 − 7)

e) [3 + 5( − 2) ]

c) − 2 + 3 ⎡⎣5 + 7( − 3) ⎤⎦

f) − ⎡⎣ − 2 + 3( − 5 − 1) − 4( − 8 + 7)11 ⎤⎦

3

Y

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Matemáticas

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Y

2. Números primos Observación Si a es múltiplo de b entonces b es un divisor de a.

Dados dos números naturales a y b decimos que: • a es múltiplo de b si a = n ⋅ b con n natural. • b es un divisor de a si el resto de dividir a entre b es cero.

⎯⎯⎯ ⎯⎯ →b a← ⎯ Divisor Múltiplo

d

Un número es primo si los únicos divisores que tiene son el 1 y él mismo.

2.1. Criterios de divisibilidad • Un número es divisible entre 2 si es par. • Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3. • Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 ó en 5. • Un número es divisible entre 11 si al restar la suma de las cifras alternas obtenemos 0 ó un múltiplo de 11. 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Ejemplos • El número 350 es divisible entre 2 y 5, pero no es divisible entre 3 ya que 3 + 5 + 0 = 8, que no es divisible entre 3. • El número 264 es divisible entre 11, ya que: ⎪⎧ 2 + 4 = 264 → ⎨ ⎪⎩6 = 6

a La

criba de Erastótenes es un método para encontrar los números primos.

6 ⎪⎫ ⎬→6−6=0 ⎪⎭

• El número 36 451 no es divisible entre 11, ya que: ⎧⎪3 + 4 + 1 = 36 451 → ⎨ ⎩⎪6 + 5 = 11

8 ⎫⎪ ⎬ → 11 − 8 = 3 ⎭⎪

2.2. Descomposición en factores primos 1 008 2 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 77 1 1 008 = 24 ⋅ 32 ⋅ 7

Vamos a descomponer el número 1 008: 1. Como es par, el 2 lo divide, por tanto, empezamos dividiendo entre 2 y colocamos el resultado a la izquierda de la línea. Mientras se puedan seguir dividiendo los resultados entre 2, continuamos. 2. Cuando el resultado ya no sea divisible entre 2 pasamos al siguiente primo, el 3, y así sucesivamente hasta que el resultado sea 1. 3. La descomposición factorial será el producto de los números primos escritos a la derecha de la línea.

ACTIVIDADES 6. Determina si son primos o no los siguientes números: a) 3 411

b) 119

c) 91

d) 137

7. Indica si 2, 3, 5 ó 11 dividen a los siguientes números: a) 325

b) 4710

c) 31 801

d) 24 574

8. Descompón en factores primos los siguientes números: a) 360

c) 108

e) 728

g) 495

b) 875

d) 1 188

f) 27 720

h) 4 851

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3. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 3.1. Máximo común divisor d

El máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el mayor número que los divide a todos.

Para calcular el máximo común divisor de dos o más números seguiremos los siguientes pasos: 1. Descomponemos los números en factores primos. 2. Tomamos los factores primos comunes elevados al menor exponente de los que aparecen en las descomposiciones. 3. Multiplicamos los factores seleccionados y obtenemos el MCD.

MCD sin factores comunes Si en la descomposición factorial no hay ningún primo común, el máximo común divisor es 1.

3.2. Mínimo común múltiplo d

El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor múltiplo común a todos ellos.

Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números seguiremos los siguientes pasos: 1. Descomponemos los números en factores primos. 2. Tomamos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente que aparezca en las descomposiciones. 3. Multiplicamos los factores seleccionados y obtenemos el mcm. Ejemplo Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 45 y 50.

ACTIVIDADES RESUELTAS

Descomponemos 45 y 50 en factores primos: 45 3

50 2

45 = 32 ⋅ 5

Calcula el máximo común divisor de 140, 63 y 392.

15 3

25 5

55

55

50 = 2 ⋅ 52 MCD (45, 50)) = 5

Descomponemos en factores primos los números:

1

1

mcm (45, 50) = 2 ⋅ 32 ⋅ 52 = 450

140 = 22 · 5 · 7 63 = 32 · 7 392 = 23 · 72

ACTIVIDADES 9. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de: a) 36 y 45

c) 12 y 16

e) 32 y 36

g) 81 y 54

b) 18 y 24

d) 14 y 21

f) 125 y 35

h) 48 y 72

MCD (140, 63, 392) = 7 mcm (140, 63, 392) = 23 · 32 · 5 · 72 = = 17 640

10. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de: a) 12, 16 y 18

d) 6, 8 y 18

g) 42, 28 y 21

b) 24, 36 y 12

e) 9, 4 y 12

h) 30, 33 y 18

c) 35, 49 y 21

f) 5, 10 y 21

i) 30, 20 y 50 Y

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4. Fracciones Una fracción es una división indicada con una línea horizontal donde el

!

dividendo se coloca encima de esta línea (numerador) y el divisor se coloca

RECUERDA…

debajo (denominador):

Los números enteros también son fracciones: 2=

2 1

−5 = −

5 1

Numerador ⎯⎯ →a = a:b Denominador ⎯⎯ →b

4.1. Fracciones equivalentes d

Diremos que dos fracciones

a c son equivalentes si a · d = b · c. y b d

Podemos obtener fracciones equivalentes a una fracción dada de dos formas distintas: • Multiplicando el numerador y el denominador por un mismo número. • Dividiendo el numerador y el denominador entre un mismo número.

ACTIVIDADES RESUELTAS

Ejemplos

Calcula la fracción irreducible equi72 valente a . 60 Podemos resolver esta actividad de dos formas:

• Multiplicando el numerador y el denominador de la fracción

1. Calculando fracciones equivalentes con divisiones sucesivas hasta que lleguemos a la fracción irreducible:

mismo número obtenemos fracciones equivalentes: 4 4⋅2 4⋅3 4⋅4 4 ⋅ 10 = = = = = =

5 5⋅ 2 5⋅3 5⋅4 5 ⋅ 10 4 8 12 16 40 = = = = = =

5 10 15 20 50

12 18 tienen divisores comunes, por tanto, podemos obtener fracciones equi-

• Observemos que el numerador y el denominador de la fracción

72 36 18 6 = = = 60 30 15 5

valentes dividiéndolos entre un mismo divisor:

2. Descomponiendo en factores primos el numerador y el denominador y simplificando: 72 23 ⋅ 3 2 2⋅3 6 = = = 60 22 ⋅ 3 ⋅ 5 5 5

4 por un 5

12 12 : 2 12 : 6 12 6 2 = = ⇒ = = 8 8 : 2 18 : 6 18 9 3 Fracción irreducible d

a es irreducible si el máximo común divisor b de a y b es 1, es decir, si a y b no tienen divisores comunes. Diremos que una fracción

ACTIVIDADES 11. Indica si las siguientes fracciones son equivalentes: a)

10 6 y 15 9

c)

3 5 y 12 8

b)

9 15 y 21 35

d) 1 y

11 11

e)

7 7 y − 2 2

f)

34 2 y 85 5

12. Simplifica las siguientes fracciones: a)

54 72

b)

108 172

c)

50 30

d)

18 84

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1 · Números y fracciones

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4.2. Representación gráfica de fracciones 3 Vamos a representar la fracción en una recta numérica: 5 1. Dibujamos una recta que pase por el cero y la dividimos en tantas partes iguales como indique el denominador.

A

2. Trazamos la recta que pasa por A y 1, y las rectas paralelas a ella que pasan por cada una de las divisiones. Por el teorema de Tales, los puntos de corte de estas rectas con la recta numérica dividen [0, 1] en cinco par-

0

3 5

1

tes iguales. 3. Finalmente contamos las partes que indique el numerador.

4.3. Reducción de fracciones a común denominador Dadas dos o más fracciones podemos hallar otras fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. 5 7 1 : , y 12 18 10 1. Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores: Vamos a reducir a común denominador las fracciones

12 = 22 ⋅ 3⎫ ⎪⎪ 18 = 2 ⋅ 32 ⎬ ⇒ mcm (12, 18, 10)) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180 ⎪ 10 = 2 ⋅ 5 ⎪⎭ 2. El denominador común a las tres fracciones es el mcm, es decir, 180: 5 a = 12 180

7 b = 18 180

1 c = 10 180

3. Para determinar el numerador, dividimos 180 entre el denominador y multiplicamos por el numerador: 5 5 ⋅ 15 75 = = 12 180 180

7 7 ⋅ 10 70 = = 18 180 180

18 1 1 ⋅ 18 = = 180 10 180

4.4. Comparación de fracciones a c Si tenemos dos fracciones tenemos que: y b d a c a c < si a ⋅ d < b ⋅ c > si a ⋅ d > b ⋅ c b d b d Para ordenar más de dos fracciones, reducimos a común denominador y las

ACTIVIDADES RESUELTAS Ordena de menor a mayor las frac7 3 9 ciones , y . 5 4 10 Reducimos a común denominador las tres fracciones: 7 28 = 5 20

3 15 = 4 20

9 18 = 10 20

Nos fijamos en las fracciones que tienen el denominador común. La menor fracción será la que tenga el menor numerador: 15 18 28 3 9 7 < < ⇒ < < 20 20 20 4 10 5

ordenamos según sus numeradores.

ACTIVIDADES 13. Representa las fracciones

5 3 y en una recta. 6 7

14. Ordena de mayor a menor las fracciones

1 3 3 , y . 2 5 7

15. Reduce a común denominador las fracciones

5 3 7 , y . 6 8 10

Y

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5. Operaciones con fracciones EJEMPLOS •

5 3 7 5+3−7 1 + − = = 4 4 4 4 4

•

1 3 5 3 18 10 11 + − = + − = 4 2 6 12 12 12 12

3 3 3⋅5 = 1 = =3 • 2 2 5 ⋅1 5 5

5.1. Suma de fracciones d

Para sumar dos fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. a b a+b + = c c c

Para calcular sumas de fracciones es necesario que todas ellas tengan el mismo denominador. En caso contrario, utilizaremos la técnica de reducción a común denominador y después realizaremos la suma.

1 1 6 = • 3 18

5.2. Multiplicación de fracciones d

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

5.3. División de fracciones

!

RECUERDA…

d

a b La inversa de es . b a

EJEMPLOS

5.4. Potencia de una fracción

3

⎛ 2⎞ 23 8 • ⎜ ⎟ = 3 = 27 ⎝ 3⎠ 3

La división de dos fracciones se obtiene multiplicando la primera por la inversa de la segunda. a a c a d a⋅d b = a⋅d : = ⋅ = c b d b c b⋅c b⋅c d

d

Para elevar una fracción a un exponente elevamos su numerador y su denominador a dicho exponente.

4

n

⎛ 1⎞ 1 • ⎜− ⎟ = (exponente par) 16 ⎝ 2⎠

an ⎛ a⎞ = ⎜⎝ b ⎟⎠ bn

ACTIVIDADES 16. Opera y simplifica: a)

1 3 + 2 4

c)

2 5 1 + − 3 6 4

e)

2 4 6 − + 3 15 5

b)

2 1 − 5 3

d)

3 7 7 − − 4 10 5

f)

2 1 2 − + −1 5 4 3

17. Opera y simplifica: 2 5 ⋅ a) 3 4

b)

2 3 ⋅2⋅ 3 4

c)

5 6 3

e)

3

⎛ 1⎞ 3 d) ⎜ ⎟ − 4 ⎝ 2⎠

2 2 5 2

⎛ 2⎞ 5 f) 3 ⎜ ⎟ − 4 ⎝ 3⎠

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6. Los números decimales

MATEMÁTICAS DE PROFESIÓN

Nuestro sistema de numeración es posicional, esto es, cada dígito tiene un

Las competencias matemáticas

valor u otro dependiendo de la posición que ocupe en el número. Unidades de millón

Centenas de millar

Decenas de millar

Unidades de millar

Centenas

Decenas

Unidades

1 000 000

100 000

10 000

1 000

100

10

1

El número 247 está compuesto por 2 centenas, 4 decenas y 7 unidades: 247 = 2 · 100 + 4 · 10 + 7 De una forma análoga establecemos las cifras decimales, pero en lugar de ir multiplicando por 10, dividimos entre 10. Décimas

Centésimas

Milésimas

Diezmilésimas

Cienmilésimas

Millonésimas

1 10

1 100

1 1000

1 10 000

1 100 000

1 1000 000

El número 1’35 significa que 1’35 = 1 +

3 5 . + 10 100

c Una competencia es el conjunto de conocimientos, habilidades y actitudes suficientes para realizar una determinada actividad de forma eficaz. Podemos clasificar en siete las competencias en Matemáticas:

Ejemplo Encontrar un número decimal entre 2’18 y 2’181. Como sabemos, podemos añadir cuantos ceros queramos a la derecha de

• Pensar y razonar. Las Matemáticas ayudan a desarrollar el razonamiento abstracto.

encontrar un número comprendido entre estos números es más sencillo:

• Argumentar. Utilizar el razonamiento lógico para poder demostrar las consecuencias de una idea o situación.

21800 ’ ⎫ ’ es un número entre am mbos números ⎬ ⇒ 21801 21810 ’ ⎭

• Comunicar. Utilizar el lenguaje de forma clara y precisa, expresándose correctamente.

un número decimal sin que varíe. Si añadimos ceros a ambos números, como se muestra a continuación,

Como sabemos, toda fracción se puede escribir como un número decimal realizando simplemente la división que indica. Fracción

Expresión decimal

Clasificación

2 5

0’4

Decimal exacto

8 3

 2’6666666... = 2’6

Decimal periódico puro

5 12

 0’41666666... = 0’416

Decimal periódico mixto

18. Encuentra dos números decimales comprendidos entre: a) 0’35 y 0’351

b) 3’457 y 3’458

c) 2’45 y 2’4501

19. Expresa como un número decimal las siguientes fracciones: 1 2

• Plantear y resolver problemas. Utilizar las herramientas que nos proporcionan las Matemáticas para enfrentarse a distintos problemas. • Representar. Realizar representaciones matemáticas de situaciones reales e interpretar dichas representaciones. • Utilizar avances técnicos. La informática es una herramienta que debe ser utilizada para desarrollar el resto de competencias.

ACTIVIDADES

a)

• Modelar. Utilizar los modelos matemáticos para aproximar situaciones reales.

b)

3 10

c)

7 20

d)

5 6

e)

7 3

c

d Y

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Matemáticas

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Y

INFORMÁTICA MATEMÁTICA Matemáticas de Microsoft El programa Matemáticas de Microsoft, que acompaña al libro de texto, es una herramienta muy útil que nos puede ayudar a lo largo del curso. Instalarlo es muy sencillo y no requiere de unos conocimientos informáticos de alto nivel. Cuando abrimos el programa vemos una ventana grande, una calculadora a la izquierda y debajo de la ventana otra ventana más pequeña. Esa ventana pequeña es la línea de edición donde podemos introducir los datos mediante el teclado o con la calculadora. El manejo de este programa es similar al de una calculadora científica:

La calculadora

• Podemos introducir fracciones con el botón

o escribiendo "/" con el teclado.

Si escribimos "16/40" en la línea de edición y pulsamos la tecla

INTRO

, en la salida

de datos obtenemos la fracción simplificada y la expresión decimal de la fracción:

• También podemos obtener la descomposición en factores primos de un número. Pulsamos la tecla

de la calculadora e introducimos por el teclado "(1008)".

A continuación pulsamos INTRO y obtenemos la factorización de 1008:

• Calculamos el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo con las teclas: La calculadora nos ayudará a la hora de introducir las expresiones en la línea de edición.

–

para el mínimo común múltiplo

–

para el máximo común divisor

También podemos introducir las funciones por el teclado. Para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 56, 42 y 70 escribimos las expresiones "lcm(56,42,70)" y "lcm(56,42,70)".

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1 · Números y fracciones

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ACTIVIDADES RESUELTAS Opera y simplifica la expresión

2 3⎛ 5⎞ − 1− ⎟ . 3 2 ⎜⎝ 3⎠

Solución 2 3⎛ 5 ⎞ 2 3 ⎛ 3 5 ⎞ 2 3 ⎛ 2⎞ 2 6 − 1− ⎟ = − ⎜ − ⎟ = − ⎜ − ⎟ = + = 3 2 ⎜⎝ 3⎠ 3 2 ⎝ 3 3⎠ 3 2 ⎝ 3⎠ 3 6

Solución 1 3

Si tenemos

1 3 2 5 − 3 6

1−

.

1 3

1 1⋅ 6 = = 3 =− = −2 2 5 4 5 1 3 ⋅1 − − − 3 6 6 6 6 Opera y simplifica la expresión Solución

Solución 3 de materia inorgánica y el resto es materia 7 orgánica, tendremos:

2 3 5 2 = + 1= + = 3 3 3 3

Opera y simplifica la expresión

Del total de basura que genera una familia en un día, 3 los son materia inorgánica y el resto materia orgánica. 7 Si la materia orgánica pesa 2 kg, ¿cuánto pesa la basura generada por una familia en un día?

3 7 3 4 = − = de materia orgánica 7 7 7 7

Como indica el enunciado, la materia orgánica pesa 2 kg, 4 es decir, del total son 2 kg. Por tanto: 7 1 2 : 4 = 0’5 kg es el peso de de basura 7 Finalmente, el total de basura será: 0’5 · 7 = 3’5 kg

5 3 2 − 2 3

.

5 5 5 30 = = = =6 3 2 9 4 5 5 − − 2 3 6 6 6 2 1 − Opera y simplifica la expresión 3 5 . 3 +1 4 Solución

Tres amigos se reparten una cantidad de dinero. El pri2 3 mero recibe las partes del total, el segundo de lo 5 4 que quedaba y el tercero el resto. Si el tercero ha recibido 30 €, ¿cuánto dinero se han repartido los tres amigos? Solución Vamos a ver la fracción que le corresponde al tercer amigo. 2 Como el primero recibe quedan: 5

2 1 7 − 3 5 = 15 = 7 ⋅ 4 = 4 3 7 7 ⋅ 15 15 +1 4 4

1−

2 5 2 3 = − = partes 5 5 5 5

Al segundo le corresponden los 1

Opera y simplifica la expresión 1−

Solución

1− 1

1

.

1 1 5

3 del resto, por tanto recibirá: 4

3 3 3 3 9 de = ⋅ = del total 4 5 4 5 20 El tercero se queda con el resto del dinero:

1

1 = = = = −4 1 1 5 1 1− 1− 1− − 1 4 4 4 1− 5 5 1 3 − 3 4 . Opera y simplifica la expresión 1 1− 1 Solución 1− 3 1 3 5 5 5 − − − − 3 4 = 12 = 12 = 12 = 10 = 5 3 1 12 6 1 1 1− − 1− 1− 2 2 2 1 1− 3 3

Recibe el primero

2 5

1−

Recibe el segundo

+

 9 20

=

8 9 17 + = 20 20 20

17 3 = del total recibirá ell tercero 20 20

Ahora calculamos el dinero total que se reparten. Sabemos 3 que del total son 30 €, de donde deducimos: 20 30 : 3 = 10 € son

1 del total del dinero 20

Por tanto, los tres amigos se reparten: 20 · 10 = 200 €

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Matemáticas

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ACTIVIDADES FINALES d EJERCICIOS Los números naturales y los enteros

Los números primos

20. Representa en una recta los siguientes números:

a) 217

2, 3, –1, –4, 5, 0, –7 21. Calcula: a) –33 + 52 c) 23 – 75

e) –54 + 17 – 38 + 23

b) 19 – 23

f) 37 – 91 + 21 – 12 + 3

d) –53 – 36

27. Determina si son primos los siguientes números:

22. Calcula:

b) 169

c) 173

d) 179

28. Indica si los siguientes números se pueden dividir entre 2, 3 ó 5: a) 1 235

c) 7 893

e) 3 451

g) 3 455

b) 3 280

d) 1 202

f) 75 861

h) 1 230

29. Indica los números que son múltiplos de 11 utilizando el criterio de divisibilidad:

a) –2 · (–4)

c) –12 : (–3)

b) 3 · 2 · (–5) · (–6)

d) –18 : (–3) : (–2)

23. Calcula el valor de las siguientes potencias: a) (–3)5

d) –36

g) –118

b) –24

e) (–2)8

h) (–1)12

c) (–5)2

f) (–1)23

i) –23

24. Realiza las siguientes operaciones:

a) 385

c) 24 674

e) 3 475

g) 348 587

b) 2 090

d) 45 749

f) 38 447

h) 33 814

30. Determina si los siguientes números son múltiplos de 7: a) 238

b) 3 059

c) 23 485

d) 3 486

31. Escribe todos los divisores de 90. 32. Encuentra tres números múltiplos de 5 y 3.

a) 3( − 5 + 2) − 4(3 − 5) 33. Descompón en factores primos los siguientes números:

b) 3 − 2( − 5) + 4( − 3) − 5 c) − 3 − ( − 5) + 4( − 3) − 2( − 7) d) − 3 + 2(5 − 9)

a) 270

d) 850

g) 3 420

j) 2 574

b) 420

e) 455

h) 8 925

k) 2 232

c) 1 100

f) 2 024

i) 1 092

l) 6 900

e) 2( − 3) − 4(3 − 7)

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

f) − 3[5 − 2( − 3) ] g) − 3(5 − 7) : ( − 2)

34. Calcula el máximo común divisor de: 25. Realiza las siguientes operaciones:

a) 24 y 42

d) 200 y 120

g) 162 y 72

a) 2 − 5(3 − 4) − 3 + [ 2(5 − 7) ]

b) 21 y 12

e) 450 y 168

h) 144 y 10 692

c) 70 y 20

f) 378 y 120

i) 50 y 35

b) − ⎡⎣3 − ( − 8 + 5) − 3( − 3 + 5) ⎤⎦

(

)

c) 2 + 3 ⎡⎣5 − 3 − 2( − 3) + 5( − 7 + 2) ⎤⎦

(

35. Calcula el mínimo común múltiplo de:

)

d) 7( − 2) + 4(3 − 5 + 8) − ⎡⎣3 − 5 2 − 3( − 5 + 7) ⎤⎦ 26. Realiza las siguientes operaciones: a) ( − 4) + 2( − 3) 2

a) 3, 5 y 7

d) 12, 6 y 18

g) 9, 3 y 6

b) 12, 16 y 6

e) 36, 12 y 18

h) 15, 35 y 49

c) 18, 9 y 21

f) 3, 2 y 15

i) 4, 8 y 120

3

Fracciones

b) − 2( − 7 + 5)3 − ( − 3)3

(

c) − 3 + 5(8 − 32 )3 − − ( − 1)3

)

36. Simplifica las siguientes fracciones:

7

d) − 5(3 − 5) : ( − 3 − 2) + 3( − 2 + 3)3 e) − 3( − 1)7 + 2 ⋅ 32 − 5( − 2)3 f) − 2 + 3( − 5 + 3) − 2 ⎡⎣3 − 22 − ( − 3)3 ⎤⎦

12 36 15 b) 35 24 c) 60 a)

25 125 128 e) 44 144 f) 180

d)

45 90 48 h) 40 180 i) 126 g)

132 330 195 k) 455 432 l) 1080 j)

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1 · Números y fracciones

37. Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes: 3 a) 2 b)

2 c) 5

1 4

d)

12 e) 18

3 6

f)

a)

18 15 y 24 20

c)

27 22 y 45 40

b)

14 16 y 21 24

d)

32 20 y 24 15

1 7

40. Representa en una recta las siguientes fracciones: b)

4 5

c)

3 7

b)

c)

3 5

2 5 − 3 4 1−

d)

2 5

8 3

3 x = 4 20

c)

3 5 = 9 x

b)

12 14 = x 21

d)

x 36 = 21 27

d)

7 4

⎛ 1 1⎞ 2 − 2⎜ − ⎟ 3 ⎝ 5 4⎠ a) 3

2 −1 5 c) 1 3 1− 4

3 1 − 4 6 b) 2 1⎛ 1⎞ − 1− ⎟ 3 2 ⎜⎝ 3⎠

2 5 − 3 6

1

a) 1−

42. Realiza las siguientes sumas de fracciones y simplifica el resultado, si es posible: 3 1 5 a) + + −1 4 2 6

2 3 1 f) − + 5 25 4

1 3 1 b) 2 − − + 6 2 4

5 6 3 g) + − −1 3 7 4

5 7 5 3 c) − + − 8 12 6 4

5 1 3 5 h) − + − 8 4 2 3

1 7 3 − + 5 10 4

2 1 3 e) − 1+ − 3 15 10

i)

1+ 1+

c)

2 1⎛ 3 1 ⎞ − + −1 3 2 ⎜⎝ 4 2 ⎟⎠

e)

3 2 ⎛ 5⎞ 5 − : 1− ⎟ − 5 3 ⎜⎝ 3⎠ 6

f)

1−

3 2

4 5 2

2 3

d)

1

1−

1

1

1−

3 1+ 2

1−

1 1−

3 4

47. Indica la expresión decimal de las siguientes fracciones: a)

b)

1

Los números decimales

4 1 3 2 1 j) − + − + − 5 6 4 3 2

5 1 4 ⎛ 3⎞ − ⋅ − d) 4 2 5 ⎜⎝ 2 ⎟⎠

1 3

3 1 + 4

1 b)

2 5 3 − + +2 5 4 10

c)

1

1−

43. Realiza las siguientes operaciones de fracciones y simplifica el resultado, si es posible: 3 1 6 2 7 a) − ⋅ + ⋅ 2 3 5 5 4

3 1

d)

46. Calcula y simplifica el resultado si es posible:

1−

d)

3 1 5 − ⋅ 4 2 3 5 4

f)

1 −2 4

41. Calcula el valor de x en cada caso: a)

1 3 − 3 5 e) 4

2

45. Calcula y simplifica el resultado, si es posible:

1 4 2 5 , , , 3 5 5 6

2 3

1 2 3 4 1−

39. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:

a)

44. Calcula y simplifica el resultado, si es posible:

a)

38. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes:

19

2

3 2 ⎛ 1 1 4⎞ − ⋅ − ⋅ 4 3 ⎜⎝ 4 2 3 ⎟⎠ 1 3 1⎛ 8 7⎞ − + 2− − ⎟ 6 4 2 ⎜⎝ 5 3⎠

7 6

b)

1 15

c)

5 3

d)

9 11

48. Encuentra dos números decimales comprendidos entre: a) 2’31 y 2’311

c) –0’451 y –0’45

b) 0’3511 y 0’35111

d) –3’7101 y –3’71

49. Realiza las siguientes operaciones compuestas por números decimales: a) 7’234 − 2’3 ⋅ 3’18

b) 215 ’ − 11375 ’ : 0’35

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Matemáticas

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ACTIVIDADES FINALES d PROBLEMAS 50. Se pretende colocar el suelo de una habitación que mide 3’5 m de largo por 2’10 de ancho, con losetas cuadradas lo más grandes posibles pero sin tener que romper ninguna. ¿Qué medida debe tener el lado de las losetas? 51. Un piloto de Fórmula 1 tarda 54 s en dar una vuelta a un circuito, mientras que otro tarda 48 s. Si empiezan a dar vueltas los dos a la vez, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a coincidir en la línea de salida los dos pilotos? ¿Cuántas vueltas habrán dado entonces cada uno de los pilotos? 52. En una finca hay 2 500 árboles frutales. De ellos,

2 son 5

1 son manzanos y el resto son almendros. 4 ¿Cuántos árboles hay de cada clase?

1 18 resulta defectuoso. Si en una semana han aparecido 44 200 tornillos defectuosos, ¿cuántos tornillos aptos para vender se habrán fabricado en esa misma semana?

59. Del total de los tornillos que fabrica una empresa,

60. Un autobús tiene 56 plazas. Si se suben 40 personas, ¿qué fracción del autobús quedará libre? 1 1 de su peso es piel, de su peso 10 8 es el corazón y el resto es pulpa. Si queremos obtener 155 kg de pulpa para hacer mermelada, ¿cuántos kilogramos de manzanas tendremos que comprar?

61. De una manzana,

naranjos,

62. Del dinero que ahorré el año pasado he gastado

1 en 3

3 en ropa y me quedan 25 €. ¿Cuánto dinero 7 conseguí ahorrar el año pasado? música,

53. Para elaborar masa de pizza hay que mezclar tres ingre1 3 dientes en las siguientes proporciones: de agua, 5 4 de harina y el resto de levadura. Si queremos elaborar 5 kg de masa, ¿qué cantidad necesitaremos de cada ingrediente? 3 5 partes por la mañana. Si por la tarde todavía nos quedan 12 km, ¿qué distancia hemos recorrido por la mañana?

54. Haciendo una ruta de senderismo, hemos andado las

3 55. Una familia gasta de su presupuesto en alimentación, 5 1 en gastos diversos y el resto en ocio. Si disponen de 3 18 000 € al año, ¿qué cantidad de dinero invierten anualmente en ocio? 56. Tres socios invierten una cantidad de dinero en la bolsa. 4 2 El primero aportó , el segundo y el tercero el resto 9 7 del capital. Si ganan 6 930 €, ¿qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno? 57. Una persona ha gastado 35 € de teléfono móvil. Si los 3 de la factura son de llamadas de voz, ¿cuánto dinero 5 habrá gastado en mensajes de texto? 58. Roberto tenía 360 cromos. Cuando sale de casa, le sor2 prende una tormenta y que le estropea de los cromos. 5 1 Al día siguiente pierde jugando con los amigos. ¿Qué 4 fracción representa los cromos que le quedaron? ¿Cuántos cromos le quedaron?

3 de su capacidad, 4 aumenta su nivel durante las últimas lluvias hasta los 7 . Si la capacidad del pantano es de 1 016 000 l, ¿cuán8 tos litros de agua se recogieron con las precipitaciones?

63. Un pantano que se encontraba a

64. El disco duro de mi ordenador tiene ocupado

1 de disco 3

2 en música. Si tengo 10 megas 7 libres, ¿qué capacidad tiene mi disco duro? duro en programas y

65. Un jugador del equipo ganador de un partido de balon2 cesto ha logrado de la puntuación, otro ha conse5 3 guido y el resto de los jugadores han encestado, entre 7 todos, 12 puntos. ¿Qué cantidad indica el marcador del equipo? 66. Un abuelo reparte 90 € entre sus tres nietos. Al primero 1 3 le da del dinero, al segundo le da de lo que queda 3 4 y el resto a su tercer nieto. ¿Cuánto dinero le dará al tercer nieto? 67. Una empresa de informática fabrica y vende ordenadores de tres tipos distintos. De los ordenadores que 1 3 ha vendido en el último mes, son del tipo A, son 5 4 del tipo B y 258 ordenadores de tipo C. ¿Cuántos ordenadores ha vendido en total la empresa durante el último mes?

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1 · Números y fracciones

2 5 partes por recorrer, ¿de cuántos metros consta la carrera?

68. Un corredor lleva recorridos 54 m. Si aún le quedan

69. Un depósito de agua contiene

1 de 4 1 3 la nota, la segunda vale y la tercera pregunta vale 3 5 del resto. ¿Qué fracción vale la cuarta pregunta?

72. Un examen consta de 4 preguntas. La primera vale

3 partes de su capacidad, 4

1 del agua que contiene se pierde por una grieta. 5 Si quedan 8 100 l en el depósito, ¿cuál es la capacidad del depósito? pero

70. Del dinero que tenía me he gastado

21

1 de su cosecha de trigo por culpa 3 2 de una plaga de insectos. De lo que le queda, pierde 5 en un incendio y le quedan 1 500 kg. ¿Cuántos kilos de trigo había cosechado?

73. Un agricultor pierde

1 en una revista de 4

2 de lo que me quedaba en unos helados 5 para mi familia. Si me quedan 9 € en el bolsillo, ¿cuánto dinero tenía? informática y

71. Tres hermanos reciben una herencia, teniéndose que hacer el reparto de la siguiente forma: 1 • El hermano mayor recibirá de la herencia. 3 5 • El hermano menor recibirá del resto. 6 • El hermano mediano recibirá 16 000 €. ¿Cuánto dinero corresponde a cada uno de los hermanos?

AUTOEVALUACIÓN 1. Calcula las siguientes operaciones:

6. Calcula y simplifica el resultado, si es posible:

a) 2 − ( − 3) ⋅ ( − 2) + 2(3 − 7)

2 5 − 3 7 a) 4

b) − 5 − 2[3 − 5( − 3 + 7) ]

b)

1−

2. Calcula el valor de las siguientes potencias: a) ( −4)3 b) ( −5)4

⎛ 1⎞ e) ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠

c) −28 ⎛ 2⎞ d) ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

2

3 4

7. Encuentra dos números comprendidos entre 0’35 y 0’351.

3

⎛ 3⎞ f) ⎜ − ⎟ ⎝ 4⎠

2

8. Expresa como número decimal las siguientes fracciones: 3

a)

3. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de: a) 12, 18 y 16

c) 12, 15 y 6

e) 6, 12 y 36

b) 35, 7 y 14

d) 2, 4 y 8

f) 7, 49 y 14

3 5

b)

5 6

c)

8 9

9. Una empresa recibe una indemnización para paliar los daños ocasionados por un temporal. De la cantidad total, 2 3 la aseguradora paga , el Gobierno las partes y el resto, 7 5 8 000 €, los pone el Fondo europeo. ¿Qué cantidad de dinero ha recibido la empresa?

4. Simplifica las siguientes fracciones: a)

840 784

b)

1350 1620

5. Calcula y simplifica el resultado, si es posible: a)

3 1 3 7 − + − 4 6 2 3

b)

1 2⎛ 1 ⎞ 4 + −1 − 2 3 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 3

⎛2 ⎞ : ⎜ − 1⎟ ⎝3 ⎠

10. El gasto de agua de una vivienda se distribuye de la siguiente 1 3 manera: del gasto corresponde al gasto de la lavadora, 3 4 del resto se dedica al aseo personal y el resto al consumo. Si se dedican 75 l para el consumo de agua en un mes, ¿cuántos litros de agua se gastan mensualmente para la Y lavadora y el aseo personal?

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Matemáticas

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MATEMÁTICAS RECREATIVAS Matemáticas del siglo XXI Meteorología Cuando hablamos de meteorología solemos pensar en los partes del tiempo que podemos ver en la televisión. Sin embargo, esta es una pequeña parte de lo que abarca esta ciencia: la meteorología estudia el cambio de las condiciones atmosféricas. Además de intentar predecir si el próximo fin de semana va a llover o si hará más calor, la meteorología también intenta ayudarnos a planificar las cosechas, el vuelo de los aviones, la instalación de centrales eólicas, nos advierte de las posibles catástrofes naturales... Para realizar este tipo de predicciones los meteorólogos utilizan las Matemáticas para el planteamiento y la resolución de complejas ecuaciones que permiten conocer, en la medida de lo posible, los estados futuros de la atmósfera en los diferentes lugares del planeta.

¿3 = 4? Observemos la siguiente igualdad: 9 − 21 = 16 − 28 49 49 9 − 21 + = 16 − 28 + 4 4 2

⎛ 7⎞ ⎛ 7⎞ 9 − 21 + ⎜ ⎟ = 16 − 28 + ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

2

Utilizando el cuadrado de una diferencia, tenemos: 2

⎛ ⎛ 7⎞ 7⎞ ⎜⎝ 3 − ⎟⎠ = ⎜⎝ 4 − ⎟⎠ 2 2

2

Aplicando una raíz cuadrada a cada miembro tenemos: 3−

7 7 = 4− 2 2

De donde concluimos que 3 = 4. ¿Dónde hemos cometido el error? ¿O es que las Matemáticas fallan? Haz un razonamiento parecido para demostrar que 4 = 5.

OLIMPIADA MATEMÁTICA El cuadrado mágico de la figura tiene la propiedad de que la suma de los números que hay en cada fila es 15, y lo mismo ocurre con todas las columnas, ¡y con todas las diagonales! ¿Sabrías hacer un cuadrado mágico en el que la suma fuera 51 en lugar de 15?

2

7

6

9

5

1

4

3

8

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1 · Números y fracciones

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EN RESUMEN NÚMEROS Y FRACCIONES

Números naturales y enteros

Fracciones

Fracciones equivalentes

Potencias de números enteros

Divisibilidad

a c = si a ⋅ d = b ⋅ c b d

Números primos Operaciones con fracciones

Criterios de divisibilidad

Potencias de fracciones

Descomposición en factores primos

Máximo común divisor Se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes elevados a la menor potencia.

Mínimo común múltiplo Se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia.

AMPLÍA CON… REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EJERCICIOS CON SOLUCIÓN UNIDAD DE NÚMEROS Y