1

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

2

De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

3

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

4

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.

5

Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.

6

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.

7

Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

8

Calcula la altura, h, de la figura:

9

Calcula la distancia que separa el punto A del punto inaccesible B.

10

Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.

11

Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.

12

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

13

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

Solucións Problema 1 De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

Problema 2 De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

Problema 3 Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

Problema 4 Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.

Problema 5 Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.

Problema 6 Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.

Problema 7 Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

Problema 8 Calcula la altura, h, de la figura:

Problema 9 Calcula la distancia que separa a los puntos A y B.

Problema 10 Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.

Problema 11 Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.

Problema 12 El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

Problema 13 Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

1.-

S'ha col·locat a la terrassa d'una casa una antena d'1,5m. d''alçària. Des d'un punt del carrer mesurem els angles d'elevació de la base de l'antena i del seu extrem superior, que són de 46º i 50º, respectivament. Quina alçària té la casa?. (9,94 m.)

2.-

Dos satèl·lits són a una distància de 470 km d'un observatori. Si l'angle que formen les visuals des de l'observatori als satèlits és de 39º54', quina distància separa els satèl·lits? (320,73 km)

3.-

Un bus baixa al fons d'un llac per recollir un objecte seguint una traj ectòria rectilínia d'inclinació 30º. Compleix el seu objectiu i surt a la superfície en un altre punt del mateix pla vertical seguint una altra trajectòria rectilínia d'inclinació 35º. Si la distància en la superfície entre el punt d'entrada i el de sortida és de 100 m, esbrina la profunditat del llac. (31,64 m)

4.-

Dos observatoris, situats a la mateixa latitud i separats 1200 km, localitzen l'epicentre d'un sisme amb angles de 218º i 126º respecte del nord. A quina distància de l'epicentre estan situats? (dA=705,77 km, dB=946,19 km)

5.-

Calcula l'alçària de l'edifici de la figura si α = 15º, β = 20º i d = 10 m (10,16 m)

6.-

Les visuals dalt d'un torre des de dos punts A i B del pla horitzontal, separats 300 m entre ells, formen amb el segment AB angles de 50º i 45º, respectivament. Calcula la distància des de dalt de la torre als dos punts. (dA=212,94 m, dB=230,69 m)

7.-

Les visuals al cim d'un turó des de dos punts A i B del pla horitzontal, separats 300 m entre ells, formen amb el segment AB angles de 73º i 77º, respectivament. Si l'angle d'elevació de la visual des de B és de 59º, calcula l'altitud del turó. (491,83 m)

8.-

Determina, amb les dades de la figura, la distància entre els cims M i N de dues muntanyes. Tingues en compte que BM i AN estan en el mateix pla i que AB = 2500 m.

NAB = 20º, MAB = 40º, ABM = 40º, ABN = 130º Calcula també l'altitud de les muntanyes si els angles d'elevació des de B a M i N són, respectivament, de 20º i 32º. (d = 2363,70 m, hM = 558,09 m, hN = 906,22 m) 9.-

Des d'un punt A veiem el punt més alt d'un castell B, de manera que la visual del punt A a B amb l'horitzontal forma un angle de 45º. Si ens movem paral·lelament al castell fins a un punt C que dista 600 metres del punt A, la visual des del punt A amb els punts B i C forma un angle de 60º. Si la visual des del punt C amb els punts A i B forma una angle de 50º, calcula l'altura a què es troba el punt B. (325,01m)

10.-

Demostra que en un triangle de costats a, b, i c, el valor de la mediana, ma, sobre el costat a, 1 2 2 2 és : ma = √2b + 2c − a 2

(Utilitzeu el teorema del cosinus sobre l'angle B) 11-

Demostreu les següents igualtats: 1+ sin α cos α = cos α 1− sin α cos 4 α− sin4 α=2 cos 2 α− 1

12.-

Simplifiqueu les següents expressions: sin(π+ α )cos( π − α) 2 (1) 2 (cos α− 1)tan (π− α)cot(2 π− α)

13.-

tan(180º− α)cot (360º− α) (-1) sec α cos( 180º− α)

14.-

sin 2 (π− α)cos ( π − α)tan (π+ α) 2 2 sin α(1− cos α) sin(2 π− α)

(− sec α)

15.-

sin( π − α) 2 π tan ( − α) tan (π− α)− 2 cos ( π+ α)

(0)

16.-

tan ( 90º− α) tan( 180º+ α) cos α sin(90º− α)

17.-

1− cos 2 α+ tan( π+ α) tan( π− α)− cos 2 ( π − α) 2 2 2 π tan (2 π− α)tan ( − α) 2

(1)

Resoleu les següents equacions trigonomètriques:

(− tan2 α)

2

1.− tan x=2 sin x 2.− 4 tan x ·cos 2 x=√(3) 3 3.− cos x ·cotan x = 2 4.− sin x+ cos x=√2 5.− (tan x− 1)·(4 sin 2 x− 3)=0