16 Probabilidad condicionada ACTIVIDADES INICIALES 16.I.

En una determinada prueba, se han obtenido estos valores: VP = 17, FN = 3, FP = 2, VN = 78. Halla su sensibilidad y su especificidad. Sensibilidad:

VP 17 VN 78 = = 0,85 . Especificidad: = = 0,975 VP+FN 20 VN+FP 80

16.II. Una determinada enfermedad es mortal si no se trata, pero el tratamiento no tiene graves

efectos secundarios para los pacientes sanos. En este caso, es importante detectar el mayor número posible de enfermos, aunque se cuelen falsos positivos. ¿Qué tipo de prueba es preferible, con mucha sensibilidad y poca especificidad o al contrario? Es preferible que la prueba tenga una sensibilidad alta, ya que es fundamental identificar al mayor número posible de enfermos.

16.III. En el caso anterior, ¿por qué no se trata directamente a todos los pacientes, para asegurar que

todos los enfermos reciben tratamiento? Hay muchas razones. Económicamente, no es rentable dar un tratamiento a muchas personas que no lo necesitan. Tampoco se sabría la incidencia de la enfermedad entre la población. Además, si hay algún efecto secundario, se estaría causando molestias a un gran número de pacientes sin necesidad.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 16.1. Actividad resuelta.

16.2. Se lanzan dos dados octaédricos de diferente color con las caras numeradas del 1 al 8. Halla

las siguientes probabilidades: a)

Obtener un cinco.

b)

Obtener un 3 y un 7.

c)

La suma de las caras es igual a 10.

Llamamos D1 y D2 a los dados a)

P ( Obtener un 5 ) = P ( cinco en D1)· P ( otro valor D2 ) + P ( cinco en D2 )· P ( otro valor D1) =

1 7 7 1 14 7 = · + · = = 8 8 8 8 64 32 b)

P ( Obtener un 3 y un 7 ) = P ( 3 en D1)· P ( 7 en D2 ) + P ( 7 en D2 )· P ( 3 en D1) =

11 11 2 1 = · + · = = 8 8 8 8 64 32 c)

18

P (La suma es 10 ) =

Unidad 16 | Probabilidad

7 64

16.3. Se lanzan un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6 y dos monedas.

a) b) a)

Forma el diagrama de árbol. ¿Cuántos resultados se obtienen? Halla la probabilidad de que salgan un número primo y 2 caras. Se obtienen 6 · 2 · 2 = 24 resultados.

b)

Los resultados “Número primo y 2 caras” son {2CC}; {3CC}; {5CC}. 3 1 = P ( Obtener un primo y dos caras ) = 24 8

16.4. Actividad resuelta. 16.5. En un campamento de verano hay inscritos 90 jóvenes, de los cuales 70 hablan inglés con

fluidez; 25, francés, y 15, ambos idiomas. Escogido un joven al azar, halla la probabilidad de que: a)

Hable los dos idiomas.

b)

Hable francés, sabiendo que habla inglés.

Sean A = “habla inglés”; B = “habla francés” a)

P (Hable los dos idiomas ) = P ( A ∩ B ) =

b)

P (A ∩ B) = = P (B/A ) P ( A)

15 1 = 90 6

15 15 3 90 = = 70 70 14 90

Probabilidad | Unidad 16

19

16.6. Si P ( A ∩ B ) = 0,11, P( A ) = 0,64 y P( B ) = 0,49, halla P(A/B) y P(B/A).

( ) P (B ) = 1− P (B ) = 1 − 0,49 = 0,51

P (A) = 1− P A = 1 − 0,64 = 0,36

P (A ∩ B) = P ( A) P ( A ∩ B) P ( A/B = = ) P (B )

= P (B/A )

 0,11 = 0,305 0,36 0,11 ≈ 0,2157 0,51

16.7. Sabiendo que el 24 % de una población es miope y que de ellos un 8 % tiene astigmatismo,

halla el porcentaje de los que padecen ambos defectos. El 8 % del 24 % en tanto por uno es 0,08 · 0,24 = 0,0192, lo que hace que el 1,92 % de la población padezca ambos defectos. 16.8. Actividad resuelta. 16.9. En un equipo de fútbol hay 18 jugadores diestros y 3 zurdos. Elegidos 5 jugadores al azar para

lanzar los penaltis, halla la probabilidad de que el primero y el tercero sean zurdos. P (1º y 3º zurdos ) = P (1º, 2º y 3º zurdos ) + P (1º y 3º zurdos y 2º diestro ) =

=

3 2 1 3 15 2 96 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ≈ 0,0196 18 17 16 18 17 16 4896

16.10. Dados dos sucesos, A y B, se sabe que:

P(A) = 0,6 P(B) = 0,5 P ( A ∪ B ) = 0,8 a)

Halla P ( A ∩ B ) .

b)

¿Son A y B independientes?

a)

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) ⇒ 0,8 = 0,6 + 0,5 − P ( A ∩ B ) ⇒ P ( A ∩ B ) = 0,3

b)

P ( A )·P ( = B ) 0,6·0,5 = 0,3 = P ( A ∩ B ) luego sí son independientes.

16.11. En una carrera participan 225 hombres y 175 mujeres, distribuidos en tres categorías: júnior,

sénior y veterano. En la de veterano se han apuntado 75 hombres y 90 mujeres, y en la de júnior, 25 chicos y 15 chicas. Se elige un dorsal al azar. Calcula la probabilidad de que sea: a) Mujer. b) Corredor masculino júnior. c) De la categoría sénior. d) De la categoría júnior, sabiendo que es hombre. e) Hombre, sabiendo que pertenece a la categoría júnior. Sean H = “ser hombre”; M = “Ser mujer”; V = “ser veterano”; J = “ser junior”; S = “ser sénior” Número de hombres sénior: 225 – 75 – 25 = 125; Número de mujeres sénior: 175 – 90 – 15 = 70

20

a)

175 7 d) P (= M) = 400 16

b)

25 1 P ( H ∩ J )= = 400 16

c)

P= (S )

Unidad 16 | Probabilidad

195 39 = 400 80

P (J ∩ H ) P ( J |= H) = P (H )

e)

25 25 1 400 = = 225 225 9 400

P (J ∩ H ) P (H | = J) = P (J )

25 25 5 400 = = 40 40 8 400

16.12. Actividad resuelta.

16.13. De una bolsa que contiene cinco bolas azules, seis negras y tres rojas se sacan tres de ellas.

Halla la probabilidad de que sean del mismo color. P (Mismo color = ) P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + P ( N1 ∩ N2 ∩ N3 ) + P ( R1 ∩ R2 ∩ R3 =)

5 4 3 6 5 4 3 2 1 186 31 =· · + · · + · · = = 14 13 12 14 13 12 14 13 12 2184 364

16.14. Se lanzan tres monedas en las que la probabilidad de salir cara es 0,4. Halla la probabilidad de

obtener dos caras y una cruz. P ( cruz ) = 1 − P ( cara ) = 1 − 0,4 = 0,6 P ( dos caras y una cruz = ) P (C1 ∩ C2 ∩ X 3 ) + P (C1 ∩ X 2 ∩ C3 ) + P ( X1 ∩ C2 ∩ C3 =)

= 0,4 · 0,4 · 0,6 + 0,4 · 0,6 · 0,4 + 0,6 · 0,4 · 0,4 = 0,288

16.15. Una empresa fabrica MP4 en tres fábricas. El 35 % en la fábrica A, el 45 % en la B y el resto en

la C. La probabilidad de que un MP4 de la fábrica A sea defectuoso es de 0,0015, de que lo sea de la B es de 0,001, y de que lo sea de la C es de 0,0005. Escogido un MP4 al azar, halla la probabilidad de que sea defectuoso. A = “fabricado en A”

B = “fabricado en B” P

C = “fabricado en C”

P(A) = 0,35

P(B) = 0,45

P(C) = 0,20

P(D|A) = 0,0015

P(D|B) = 0,001

P(D|C) = 0,0005

D = “es defectuoso”

P (D )= P ( A ∩ D ) + P ( B ∩ D ) + P (C ∩ D )= P ( A)·P (D | A) + P (B )·P (D | B ) + P (C )·P (D | C )=

= 0,35 · 0,0015 + 0,45 · 0,001 + 0,2 · 0,0005 = 0,001075

Probabilidad | Unidad 16

21

EJERCICIOS Experimentos compuestos. Probabilidad condicionada 16.16. En el armario de Luis hay seis camisetas blancas, cuatro azules, tres negras y dos rojas. Si

saca consecutivamente dos camisetas, ¿qué tipo de experimento realiza? Dibuja el diagrama de árbol con los resultados posibles y calcula la probabilidad de los siguientes sucesos. a)

Sacar dos camisetas negras.

b)

Sacar la primera camiseta blanca y la segunda azul.

a)

P ( N1 ∩ N2 ) = P (N1 ) · P (N2 / N1 ) =

3 2 6 · = ≈ 0,0286 15 14 210

b)

P ( B1 ∩ A2 ) = P (B1 ) · P ( A2 / B1 ) =

6 4 24 · = ≈ 0,1143 15 14 210

16.17. Si al sacar tres cartas de una baraja española obtengo tres oros, ¿la probabilidad de obtener

una espada, si hacemos una cuarta extracción, es la misma si devuelvo las cartas a la baraja que si no lo hago? ¿Por qué? No, porque aunque el número de casos favorables es el mismo, si no devolvemos las tres primeras cartas el número de casos posibles para la cuarta extracción es distinto en ambos casos. En particular: Con reposición: P ( espada = ) Sin reposición: P ( espada = )

22

Unidad 16 | Probabilidad

10 = 0,25 40 10 ≈ 0,27 37

16.18. Si lanzo dos dados de seis caras, ¿qué es más probable lograr como suma, 7 o 10?

Representamos las sumas en una tabla de contingencia. Dado 1 Dado 2 1 2 3 1 5 6

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

3 1 6 1 = = P ( suma 10 ) = 36 12 36 6 La probabilidad de obtener como suma 7 es el doble de la probabilidad de obtener como suma 10. P ( suma = 7)

16.19. Se extraen cuatro fichas de un dominó. Averigua la probabilidad de que ninguna sea doble.

(

)

De 28 fichas 7 son dobles, por tanto, P D1 ∩ D2 ∩ D3 ∩ D4 =

21 20 19 18 ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 0,29 28 27 26 25

16.20. En un experimento que consiste en extraer una carta de la baraja española se consideran los

siguientes sucesos. A = “obtener una figura” B = “obtener un oro” Explica razonadamente cuál de las siguientes probabilidades es mayor, P(A/B) o P(B/A). 3 P (A ∩ B) = 40 3 3 P ( A ∩ B ) 40 P ( A ∩ B ) 40 3 3 1 P ( A /= B) P (B / = A) = = = = = 10 10 12 12 4 P (B ) P ( A) 40 40 Es mayor P(A/B).

Independencia de sucesos 16.21. Dados los sucesos A, B y C, conocemos las siguientes probabilidades:

10 2 2 P(C) = P (B ∩ C ) = 63 13 9 3 12 5 P(B) = P(A/B) = P (A ∩ C) = 104 13 7 ¿Qué parejas de sucesos son independientes? P(A) =

Observación: si X e Y son independientes entonces = P(X /Y )

P ( X ∩ Y ) P ( X )·P (Y ) = = P( X ) P (Y ) P (Y )

12 2 ≠ = P ( A) por tanto, no son independientes. 13 13 2 2 4 3 Sucesos A y C: P ( A) · P (C ) = · = ≠ = P ( A ∩ C ) por tanto, no son independientes. 13 9 117 104 5 2 10 Sucesos B y C: P (B ) · P (C = ) ·= = P ( A ∩ C ) por tanto, sí son independientes. 7 9 63

Sucesos A y B: P ( A / B ) =

Probabilidad | Unidad 16

23

16.22. La probabilidad de que un jugador de baloncesto enceste un tiro libre es de 0,85. Si lanza

consecutivamente dos tiros libres, ¿cuál es la probabilidad de que no acierte con ninguno de ellos? ¿Son sucesos independientes? Razona tu respuesta. Sean los sucesos E1 = “encestar en el primer tiro libre” y E2 = “encestar en el segundo tiro libre”.

( ) P ( E ∩ E )= P ( E ) · P ( E / E = )

( ) 0,0225 = P ( E )· P ( E )

P ( E1 ) = P ( E2 ) = 0,85 ⇒ P E1 = 1 − P ( E1 ) = 0,15 = P E2 1

2

1

2

1

0,15 · 0,15=

1

2

Son sucesos independientes.

16.23. Si P ( A ∩ B ) =

P ( A ) · P (B ) =

4 5 2 , P(A) = y P(B) = , ¿son A y B independientes? Calcula P(B/A). 5 6 7

4 5 20 2 2 · = = ≠ = P ( A ∩ B ) luego no son independientes. 5 6 30 3 7

P( A ∩ B) P (B / A= ) = P ( A)

2 5 7= 10 = 4 28 14 5

16.24. Si A y B son dos sucesos independientes tales que P ( A) = 0,4 y P(B) = 0,3:

24

a)

Calcula P(A/B).

b)

Halla P ( A ∪ B ) .

a)

P (A / B)

b)

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A)·P (B ) = 0,6 + 0,3 − 0,6·0,3 = 0,72

Unidad 16 | Probabilidad

=

por ser independientes

( )

P ( A) = 1− P A = 1 − 0,4 = 0,6

Tabla de contingencia 16.25. Copia y completa la siguiente tabla de contingencia, que muestra el tipo de medio de

transporte que utilizan para llegar hasta su puesto de trabajo los 200 empleados de una empresa situada en la periferia de una gran ciudad. Hombres Público Privado

Mujeres 50

85

120 Se escoge un trabajador al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Sea un hombre y utilice el transporte público. b) Utilice el transporte público sabiendo que es un hombre. c) Sea una mujer sabiendo que usa transporte privado. d) ¿Los sucesos “ser hombre” y “utilizar el transporte público” son dependientes o independientes? Razona tu respuesta.

a) b) c) d)

Hombres Mujeres Público 35 50 85 Privado 85 30 115 80 200 120 35 7 P ( hombre ∩ transporte público ) = = 200 40 35 7 = P ( transporte público / hombre ) = 120 24 30 6 = P ( mujer / transporte privado ) = 115 23 Son dependientes ya que: 35 7 85 = ≠ =P ( transporte público ) P ( transporte público / hombre ) = 120 24 200

16.26. En el menú del día de un restaurante hay arroz, sopa de espinacas o ensalada mixta para elegir de

primer plato, y bacalao o entrecot de segundo. De los 45 comensales que hay en el restaurante, 18 escogieron sopa de espinacas; 13, arroz; 8 comieron entrecot y ensalada, y de los 23 que tomaron bacalao, 10 eligieron sopa de espinacas de primero. Escogido un comensal al azar, halla la probabilidad de que: a) Haya comido sopa y entrecot. b) Haya elegido bacalao si sabemos que ha tomado ensalada de primero. c) Haya tomado sopa de primero si sabemos que ha elegido entrecot. Se construye una tabla de contingencia: Bacalao Entrecot

a) b)

c)

Arroz 7 6 13

Sopa 10 8 18

Ensalada 6 8 14

23 22 45

8 P ( sopa ∩ entrecot ) = 45 6 3 P ( bacalao / ensalada = ) = 14 7

P ( sopa ∩ entrecot ) 8 4 o bien P ( sopa / entrecot P ( sopa / entrecot = = = ) = ) 22 11 P ( entrecot )

8 8 4 45 = = 22 22 11 45

Probabilidad | Unidad 16

25

16.27. Copia y completa la tabla de contingencia referida a los sucesos A, B, C y D, de los que

conocemos las siguientes probabilidades condicionadas. P(B/C) =

15 25

P(D/B) =

12 27

P(D/A) =

5 15

Ten en cuenta que las fracciones no han sido simplificadas.

A 10 5 15

C D

B 15 12 27

25 17 42

Probabilidad total 16.28. Extraemos sucesivamente cuatro bolas de la urna de la figura. Calcula la

probabilidad de obtener la palabra ROMA en los siguientes casos. a)

Devolviendo la bola a la urna después de cada extracción.

b)

Sin devolverla.

a)

A4 ) P (R1 ∩ O2 ∩ M3 ∩ =

b)

P ( R1 ∩ O2 ∩ M3 ∩= A4 ) P ( R1 ) · P (O2 / R1 ) · P ( M3 / R1 ∩ O2 ) · P ( A4 / R1 ∩ O2 ∩= M3 )

1 1 1 1 1 · = · · 4 4 4 4 256 1 1 1 1 · = · ·1 4 3 2 24

16.29. Un examen de Historia consiste en desarrollar un tema a elegir entre dos propuestos. Alejandra se

ha preparado el 60 % de los temas. Halla la probabilidad de que apruebe el examen. Para aprobar el examen debe elegirse al menos un tema que se sepa, por tanto, si el número de temas es suficientemente alto tendremos: P ( aprobar= ) P ( conocer al menos un tema=) 2·P ( conocer solo uno ) + P ( conocer los dos=)

= 2 · 0,6 · 0,4 + 0,6 · 0,6= 0,84 También se puede plantear por paso al suceso contrario: P ( aprobar ) = 1 − P ( suspender ) = 1 − P ( desconocer los dos ) = 1 − 0,4 · 0,4 = 0,84

16.30. Se extraen dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que sean del mismo palo.

P (Dos oros ∪ Dos copas ∪ Dos espadas ∪ Dos bastos ) =

10 9 360 = P (Dos oros ) + P (Dos copas ) + P (Dos espadas ) + P (Dos bastos ) = ≈ 0,231 · ·4 = 40 39 1560

16.31. Si se tiran tres dados de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de que en todas las caras aparezca

igual número de puntos?

P ( tres unos ∪ tres doses ∪ ..... ∪ tres = = seises ) P ( tres unos ) + P ( tres doses ) + ... + P ( tres seises ) 1 1 1 1 = = · · ·6 6 6 6 36

26

Unidad 16 | Probabilidad

16.32. Un jugador de dardos dispone de dos oportunidades de dar en el blanco de una diana.

La probabilidad de acertar cuando lanza es de 0,63. a)

Halla la probabilidad de que atine al menos una vez.

b)

¿Cuál es la probabilidad de que falle en los dos lanzamientos?

a)

La probabilidad de fallar es 1 – 0,63 = 0,37. Como los lanzamientos son independientes:

P ( acertar al menos uno ) = 1 − P ( fallar los dos ) = 1 − 0,37· 0,37 = 0,8631 b)

P ( fallar= los dos ) 0,37·0,37 = 0,1369

16.33. Una urna contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Si se forman todos los números posibles de

tres cifras al extraer tres bolas de dicha urna sin remplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que el número formado sea par? ¿Y si las extracciones se efectúan con remplazamiento? Sin remplazamiento se pueden formar 4 · 3 · 2 = 24 números. Si exigimos que las unidades sean pares 12 podremos formar 2 · 3 · 2 = 12 números. La probabilidad pedida es = 0,5 . 24 3

Con remplazamiento se pueden formar 4 = 64 números. Si exigimos que las unidades sean pares 32 2 podremos formar 2 · 4 = 32 números. La probabilidad pedida es = 0,5 . 64 Nótese que en realidad el problema consiste en ambos casos en elegir una bola que corresponderá a las unidades del número y la mitad de las bolas tienen un número par.

16.34. Considera el experimento compuesto que consiste en lanzar una moneda al aire y, si sale cara, se

extrae una bola de la primera urna, y si aparece cruz, una de la segunda.

Dibuja un diagrama de árbol indicando la probabilidad de cada suceso y calcula la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.

1 7 1 4 11 P ( blanca ) = · + · = = 0,55 2 10 2 10 20

Probabilidad | Unidad 16

27

16.35. En un centro de enseñanza secundaria, el 55 % de los estudiantes matriculados son chicas. Se

sabe que el 65 % de las alumnas no han estado enfermas durante el curso y que el 25 % de los alumnos tampoco. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se haya encontrado enfermo? Realiza el diagrama de árbol correspondiente.

P ( enfermo ) = 0,55·0,35 + 0,45·0,75 = 0,53

16.36. María y Paula juegan un partido de tenis de mesa. La vencedora será la primera que gane dos de

los tres sets de los que consta el encuentro. a)

Dibuja un diagrama de árbol con todos los posibles resultados.

b)

Calcula la probabilidad de que Paula gane el partido si la probabilidad de que María logre un set es de 0,4.

a)

b)

Considerando los sucesos Pi = “Paula gana el set i” y Mi = “María gana el set i”, por el teorema de la probabilidad total tenemos:

P ( gane Paula )= P ( P1 ∩ P2 ) + P ( P1 ∩ M2 ∩ P3 ) + P ( M1 ∩ P2 ∩ P3 )= = 0,6 ⋅ 0,6 + 0,6 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 + 0,4 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 = 0,648

16.37. Se tira un dado octaédrico con las caras numeradas del 1 al 8 y, si sale número par, se extrae una

bola de una urna que contiene cuatro bolas amarillas y seis moradas, y si sale impar, se toma una bola de otra urna que guarda ocho bolas amarillas y dos moradas. Halla la probabilidad de sacar una bola morada.

4 6 4 2 32 2 P ( sacar bola morada ) = · + · = == 0,4 8 10 8 10 80 5

28

Unidad 16 | Probabilidad

16.38. En una bolsa hay cuatro monedas; dos de ellas están trucadas de tal modo que la probabilidad

de salir cara en una de ellas es de

1 , y en la otra, la probabilidad de salir cruz es de 0,4. 3

Se lanza dos veces una moneda escogida al azar. Halla la probabilidad de sacar dos cruces. Sean E = “sacar una moneda equilibrada”; T1 = “Sacar moneda trucada 1”; T2 = “Sacar moneda trucada 2”. Además sabemos que ambas tiradas son independientes, por tanto tenemos:

P ( Sacar dos cruces ) =P ( E )· P ( X / E )· P ( X / E ) + P (T1 )· P ( X / T1 )· P ( X / T1 ) + P (T2 ) · P ( X / T2 ) · P ( X / T2 ) = 2 1 1 1 2 2 1 4 4 2 4 4 497 = · · + · · + · · = + + = ≈ 0,276 4 2 2 4 3 3 4 10 10 16 36 100 1800

PROBLEMAS 16.39. En una población, la probabilidad de medir más de 170 centímetros es del 30 %, y la de ser

aficionado al cine es del 65 %. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar mida menos de dicha altura y le guste el cine? Por tratarse de sucesos independientes:

P ( medir menos de 170 cm ∩ ser aficionado al cine ) = 0,7· 0,65 = 0,455

16.40. Según un informe de la Cruz Roja sobre los enfermos que padecen paludismo en África, si son

atendidos en un dispensario, los

3 se curan al cabo de tres semanas. 5

En una muestra al azar de cinco pacientes, calcula la probabilidad de que: a)

Se curen exactamente tres.

b)

Sanen al menos dos.

c)

Se recuperen todos.

a)

Consideremos los sucesos Ai = “se cure el enfermo i”. = P ( Ai )

a)

5 3  P ( se curen exactamente 3 ) =    3 5 

b)

P ( sanen al menos 2 ) = 1 − P ( sane 1 ∪ sane ninguno ) = 1 − P ( sane 1) − P ( sane ninguno ) = 2 1 − 5·   5

4

3

( )

3 2 ; P Ai = 5 5

2

27 4 2 ·  =10 ⋅ ⋅ ≈ 0,346 5 125 25  

5

272 3 2 ·  −  = 1− = 0,91296 5 5 3125     5

3 243 c) P ( sanen todos = = 0,07776 ) =  3125 5

Probabilidad | Unidad 16

29

16.41. Silvia posee una moneda de 2 euros, dos de 1 euro, una de 50 céntimos y otra de 20. Si toma

del monedero dos monedas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad que sumen ambas sea superior a un euro? La suma es inferior a 1 € solo si las monedas extraídas son la de 50 céntimos y la de 20 céntimos, por tanto:

P ( sumen más de 1€ ) = 1 − P ( sumen menos de 1€ ) = 1 − P ( extraer la de 50 cént y la de 20 cént ) = 1 1 9 = 1 − 2· · = 5 4 10

16.42. En un aula con 24 estudiantes de 1.º de ESO, los profesores de Matemáticas, Lengua e Inglés

piden cada día al azar los cuadernos a algunos alumnos para revisarlos. El de Matemáticas se lo reclama a cuatro alumnos, el de Lengua a seis y el de Inglés a ocho. Halla la probabilidad de que a un alumno concreto, en un día: a)

Le pidan dos cuadernos.

b)

No le reclamen ninguno.

c)

Le soliciten los tres cuadernos.

d)

Tenga que entregar al menos un cuaderno. Sean los sucesos M =” le piden el de Matemáticas”; L = “le piden el de Lengua”; I = “le piden el de inglés”.

a)

(

)

(

)

(

)

P ( le pidan 2= I ) P M ∩ L ∩ I + P M ∩ L ∩ I + P M ∩ L ∩=

4 6 16 4 18 8 20 6 8 5 · · + · · + · · = 24 24 24 24 24 24 24 24 24 36

(

)

20 18 16 5 · · = 24 24 24 12

b)

P ( no le pidan ninguno= ) P M ∩ L ∩ I=

c)

P ( le pidan los tres= I) ) P (M ∩ L ∩=

d)

P ( le pidan al menos 1) =− 1 P ( no le pidan ninguno ) =− 1

4 6 8 1 · · = 24 24 24 72

5 7 = 12 12

16.43. En un país, la probabilidad de nacimientos de hijos varones está en torno al 52 %. Halla la

probabilidad de que una familia de cuatro hijos tenga:

30

a)

Por lo menos un niño.

b)

Exactamente, una niña y tres niños.

c)

No tenga ningún niño.

a)

P ( al menos un niño ) = 1 − P ( todas niñas ) = 1 − ( 0,48 ) ≈ 0,947

b)

3  4 P ( una niña = y tres niños )   · ( 0,48 )( 0,52 ) ≈ 0,236 1  

c)

P ( todas = niñas )

4

Unidad 16 | Probabilidad

( 0,48 )4

≈ 0,053

16.44. Un árbol de Navidad está alumbrado por una tira de 25 bombillas de colores nuevas. Si la

probabilidad de que una de ellas se funda antes de 15 días es de 0,1, ¿cuál es la probabilidad de que el alumbrado del árbol funcione sin problemas durante los 15 días de las fiestas navideñas?

P ( ninguna se funda = )

( 0,9 )

25

≈ 0,072

16.45. Una entidad bancaria realiza un sorteo de tres premios entre sus clientes, para ello reparte

1000 papeletas. Uno de los clientes habituales tiene en su poder 20 números. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba algún premio?

980 979 978 P ( obtenga algún premio ) = 1 − P ( no obtenga ningún premio ) = 1− · · ≈ 0,059 1000 999 998

16.46. Las estadísticas de los derbis entre dos equipos de la misma ciudad e históricamente rivales

son las siguientes: el 25 % de las veces ha ganado el equipo A; el 45 %, el conjunto B, y el 30 % han empatado. En el próximo torneo van a enfrentarse en tres ocasiones. a)

¿Cuál es la probabilidad de que gane A los tres partidos?

b)

¿Cuál es la probabilidad de que A venza al menos en un partido?

a)

P ( A gane los = tres )

b)

P ( A gane al menos un partido ) = 1 − P ( A no gane ninguno ) = 1 − ( 0,75 ) = 0,578125

3 0,25 ) (=

0,015625 3

16.47. El departamento de selección de personal de una empresa entrevista a 65 candidatos para un

puesto, 35 de ellos poseen experiencia laboral previa y 40 disponen de un título universitario. a)

¿Cuál es la probabilidad de que el elegido tenga experiencia laboral?

b)

¿Cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que tenga experiencia laboral y un título universitario?

Sean A = “tiene experiencia”; B = “tiene titulación”.

35 7 = 65 13

a)

P (A = )

b)

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) ⇒ 1 =

35 40 10 + − P (A ∩ B) ⇒ P (A ∩ B) = 65 65 65

16.48. Un profesor tiene dos estuches. Uno contiene cinco bolígrafos azules y tres negros, y el otro, dos

azules y seis negros. Si abre un estuche al azar y extrae un bolígrafo: a)

¿Cuál es la probabilidad de que sea negro?

b)

Si el bolígrafo elegido es de color azul, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya tomado del segundo estuche? Sean E1 = “elige el estuche 1”; E2 = “elige el estuche 2”; N = “elige bolígrafo negro”; B = “elige bolígrafo azul”.

a)

P ( N ) = P ( E1 )·P ( N / E1 ) + P ( E2 )·P ( N / E2 ) =

b)

P ( E2 ∩ A ) = P ( E2 = / A) P ( A)

1 2 ⋅ 2= 8 9 1− 16

1 8 = 7 16

1 3 1 6 9 · + · = 2 8 2 8 16

2 7

Probabilidad | Unidad 16

31

16.49. Pedro desea coger la bicicleta guardada en su trastero y para ello necesita abrir dos puertas.

Dispone de cuatro llaves, dos de ellas abren la primera puerta, otra abre la segunda y la cuarta es la llave maestra. Si escoge las llaves al azar, ¿cuál es la probabilidad de que abra las dos puertas en el primer intento? Sean los sucesos A = “coge una llave de la 1ª puerta”; B = “coge la llave de la 2ª puerta”; M = “coge la llave maestra”.

P ( Abre las dos a la primera ) = P ( A )· P ( B ∪ M / A ) + P ( M )· P ( B / M ) =

2 2 1 1 5 · + · = 4 3 4 3 12

16.50. En una empresa, los productos pasan por tres pruebas de calidad independientes. En la primera

se detecta un 8 % de productos con defectos; en la segunda, un 12 %, y en la tercera, un 15 %. Halla la probabilidad de que un producto pase el control de calidad en: a) Tres pruebas

b) Dos pruebas

c) Una prueba

Sean los sucesos A = “pasa la 1ª prueba”; B = “pasa la 2ª prueba”; C = “pasa la 3ª prueba”. a)

P ( pasa las tres pruebas= ) P ( A ∩ B ∩ C=) 0,92·0,88·0,85= 0,68816

b)

P ( pasa dos pruebas= ) P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C=

(

)

(

)

(

)

= 0,92 · 0,88 · 0,15 + 0,92 · 0,12 · 0,85 + 0,08 · 0,88 · 0,85 = 0,27512 c)

(

)

(

)

(

)

P ( pasa una prueba= ) P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C= = 0,92 · 0,12 · 0,15 + 0,08 · 0,88 · 0,15 + 0,08 ·0,12 ·0,85 = 0,03528

AMPLIACIÓN 16.51. En una urna hay seis bolas blancas y cuatro negras. Extraemos sucesivamente (sin

devolución) tres bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que hayamos sacado dos blancas y una negra? a)

11 32

b)

1 2

c)

1 6

d)

3 10

Llamando BN… al suceso “obtener 1ª blanca, 2 ª negra…”, el suceso pedido es:

6 5 4 6 4 5 4 6 5 360 1 P ( dos blancas y una negra ) = P ( BBN ) + P ( BNB ) + P ( NBB ) = · · + · · + · · = = 10 9 8 10 9 8 10 9 8 720 2 La respuesta es la opción b).

16.52. En una urna hay tres bolas numeradas del 1 al 3. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraerlas

una a una no salgan en orden correlativo creciente? a)

5 6

b)

1−

1 3

c)

1 2

d)

1 3

Hay 6 posibilidades de extracción (P3) y solamente en un caso 1 – 2 – 3 están en orden correlativo 1 5 creciente, siendo entonces p =1 − = la probabilidad pedida. 6 6 La respuesta es la opción a).

32

Unidad 16 | Probabilidad

16.53. En España hay un 52 % de mujeres. La probabilidad de que un hombre sea calvo es de 0,2 y el

96 % de las personas calvas son hombres. Elegida una persona al azar, la probabilidad de que sea calva es: a)

Del 6 %

b)

Del 8 %

c)

Del 10 %

d)

Del 12 %

Para fijar ideas, supongamos 1000 personas, de las cuales 520 son mujeres (52%) y 480 hombres. Así pues, el número de hombres calvos es la quinta parte de 480, es decir, 96. Sea x el número de personas calvas. Entonces, el 96% de x es el número de hombres calvos, es decir, 96, con lo que 96· x = 96 y x = 100, con lo que la probabilidad de que elegida al azar una persona sea calva es 100 100 1 . = p = 1000 10 La respuesta es la opción c).

16.54. En una reunión, el 60 % son mujeres, de las que fuman el 30 %. De los hombres solo fuma la

cuarta parte. Elegida una persona al azar, la probabilidad de que fume es: a)

1 4

b)

7 25

c)

3 10

d)

7 20

Si fijamos en 1000 el número de personas de la reunión, hay 600 mujeres y 400 hombres, de los que fuman el 30%, de 600 y el 25% de 400, es decir, el número de fumadores es 280 7 30 · 600 25· 400 . 280 , por lo que la probabilidad pedida sería + = = p = 100 100 1000 25 La respuesta es la opción b).

16.55. Un examen de tipo test consta de 50 preguntas. En cada pregunta hay 4 opciones y solo una

es correcta. Un estudiante sabe solo 10 de las 50 y contesta a todas. ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una pregunta al azar, el estudiante la haya contestado correctamente? a)

1 5

b)

1 4

c)

9 20

d)

2 5

El estudiante contestará correctamente una pregunta si es de las que las sabe, o si, siendo de las 10 40 1 20 2 . restantes, acierta. Así pues, la probabilidad pedida sería p =· 1 + · == 50 50 4 50 5 La respuesta es la opción d).

Probabilidad | Unidad 16

33

AUTOEVALUACIÓN 16.1. Se lanzan cuatro monedas de un euro y se anota el resultado de la cara superior. ¿Qué tipo de

experimento se realiza? Forma el diagrama de árbol y calcula la probabilidad de obtener cuatro caras.

El experimento que se realiza es aleatorio compuesto, ya que por muchas veces que se repita, jamás se podrá predecir el resultado que se va a obtener en un próxima experiencia.

4 caras ) P ( obtener =

1 1 1 1 1 · · · = 2 2 2 2 16

16.2. Extraemos tres cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de que las tres sean

ases: a)

Si se devuelve cada carta antes de realizar la siguiente extracción.

b)

Si no se reponen las cartas extraídas.

a)

P= = es un as ) ( tres ases ) P (la 1ª es un as ) · P (la 2ª es un as ) · P (la 3ª

b)

P ( tres ases )

=

4 4 4 1 = · · 40 40 40 1000

P= (la 1ª es un as ) · P (la 2ª es un as ) · P (la 3ª es un as )

4 3 2 24 · = · ≈ 0,00041 40 39 38 59280

16.3. En una bolsa hay bolas numeradas, nueve de ellas llevan el número 5, seis llevan el 7 y cinco

llevan el 6. Si se sacan tres bolas, calcula la probabilidad de poder formar un número capicúa comprendido entre 600 y 700. Un número capicúa entre 600 y 700 debe empezar y acabar en 6 y la cifra central puede ser cualquiera, por tanto, basta extraer dos seises para asegurar que se puede formar un número capicúa. Sea Ai = “la extracción i es un 6”. Entonces tenemos

(

)

(

)

(

)

P ( al menos dos seises= ) P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + P A1 ∩ A2 ∩ A3 + P A1 ∩ A2 ∩ A3 + P A1 ∩ A2 ∩ A3 = 5 4 3 5 4 15 5 15 4 15 5 4 960 · · · · · · · · = ≈ 0,14 = + + + 20 19 18 20 19 18 20 19 18 20 19 18 6840

34

Unidad 16 | Probabilidad

16.4. De la urna de la figura se extraen tres bolas consecutivamente y sin

remplazamiento. Realiza el diagrama de árbol y calcula la probabilidad de que: a)

Las tres sean rojas.

b)

Dos sean verdes y una azul.

c)

Las tres sean verdes.

Sean Ri = “La extracción i es roja”; Ai = “La extracción i es azul”; Vi = “La extracción i es verde”. a)

P ( las tres sean rojas ) = P ( R1 ∩ R2 ∩ R3 ) = P ( R1 ) · P ( R2 / R1 )· P ( R3 / R1 ∩ R2 ) =

= b)

5 4 3 60 1 = · = · 10 9 8 720 12

P ( dos verdes y una azul= ) P (V1 ∩ V2 ∩ A3 ) + P (V1 ∩ A2 ∩ V3 ) + P ( A1 ∩ V2 ∩ V3 =) 2 1 3 2 3 1 3 2 1 18 1 · · · · · · == = + + 10 9 8 10 9 8 10 9 8 720 40

c)

Es imposible porque solo hay dos verdes. La probabilidad es cero.

Probabilidad | Unidad 16

35

16.5. La siguiente tabla de contingencia muestra los alumnos candidatos al Consejo escolar de un

instituto: Mujer 3 1 2

1.º ESO 2.º ESO 3.º ESO 4.º ESO 1.º BAC

Hombre 1

2

2 4 3 5

10 Copia y completa la tabla. Elegido un candidato al azar, calcula la probabilidad de que: a)

Sea hombre.

b)

Sea mujer y esté en 4.º de ESO.

c)

Sea mujer o estudie 2.º de ESO.

d)

Sea de 1.º de ESO, sabiendo que es mujer.

e)

Sea hombre, sabiendo que está en 1.º de ESO. 1.º ESO 2.º ESO 3.º ESO 4.º ESO 1.º BAC

Mujer 3 1 2 1 3 10

Hombre 1 1 2 2 2 8

a)

P ( sea hombre = )

8 4 = 18 9

b)

P ( sea mujer y esté en 4.º de ESO ) =

c)

P ( mujer o de 2.º de ESO ) = P ( mujer ) + P ( de 2º ) − P (mujer y de 2º ) =

d)

P ( sea de 1.º sabiendo que es mujer ) =

e)

P ( sea hombre sabiendo que es de 1.º ) =

4 2 4 3 5 18

1 18 10 2 1 11 + − = 18 18 18 18

3 10 1 4

16.6. Una compañía de autobuses cubre las tres rutas de un colegio. El 70 % de los vehículos realiza

la primera ruta; el 20 %, la segunda, y el 10 % completa la tercera. Se sabe que, diariamente, la probabilidad de que un autobús sufra una avería es del 2 %, 3 % y 5 %, respectivamente, para cada ruta. Determina la probabilidad de que, un día cualquiera, un autobús se averíe. Sean Ri = “el autobús es de la ruta i”; A = “el autobús se avería”. Haciendo uso de la probabilidad total P ( se averíe un autobús ) =P ( R1 ) · P ( A / R1 ) + P ( R2 ) · P ( A / R2 ) + P ( R3 ) · P ( A / R3 ) =

70 2 20 3 10 5 250 1 = · + · + · = = 100 100 100 100 100 100 10000 40

36

Unidad 16 | Probabilidad

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Calcula y decide > La probabilidad en los exámenes ¿Has hecho alguna vez un examen tipo test? En general, se proporcionan varias respuestas posibles, y solo una es correcta. Sin conocer la respuesta, es posible acertarla. Por lo tanto, un alumno que respondiera al azar, sin saber nada, tendría muchas posibilidades de sacar algunos puntos. Para corregir esto, en muchas pruebas se penalizan las respuestas incorrectas. En el test de la izquierda, por ejemplo, se descontarían 0,25 puntos por cada fallo. De esa forma, se compensan las respuestas aleatorias. En otros casos las preguntas son eliminatorias, ordenadas por dificultad, de modo que el primer fallo es el que determina la nota. Este tipo de prueba es parecida a muchos concursos de televisión de preguntas y respuestas, como ¿Quién quiere ser millonario? La probabilidad de acertar cada pregunta no es realmente la misma, ya que depende mucho de los conocimientos del concursante (¡o del estudiante!). Evidentemente, una buena preparación mejorará enormemente la posibilidad de lograr un buen resultado.

16.1. ¿Qué exámenes tipo test conoces? ¿Qué características tienen?

Respuesta abierta. Por ejemplo, los exámenes para el carnet de conducir, en los que solo se permite un número de errores de cada tipo.

16.2. Un

test de 10 preguntas tiene dos opciones para cada una: verdadero o falso. Lamentablemente, está en un idioma desconocido, y tenemos que contestar al azar. ¿Qué probabilidad tenemos de acertar todas las respuestas? ¿Y de acertar exactamente 5? 10

1  1 La probabilidad de acertar todas es  = ≈ 0,00098 .  1024 2

La de acertar exactamente 5 es

252 ≈ 0,246 . 1024

16.3. En el Concurso de Primavera de Matemáticas, para cada pregunta hay cinco posibles

respuestas, de las que solo una es correcta. Cada acierto vale 5 puntos, cada respuesta en blanco vale 2 y los fallos no dan puntos. Pablo no sabe la respuesta de las dos últimas. ¿Es mejor que conteste ambas al azar o que las deje en blanco? Estudia todas las posibilidades. Mediante un diagrama en árbol, por ejemplo, se puede calcular que la probabilidad de fallar las dos es 0,64, la de acertar una es 0,32 y la de acertar ambas es 0,04. Por tanto, la probabilidad de sacar más de 4 puntos es de 0,36, por lo que es más seguro dejarlas en blanco. En particular, contestando al azar la esperanza es obtener 2 puntos.

Probabilidad | Unidad 16

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Interpreta y conciénciate > ¡No más spam! Tu proveedor de correo electrónico ha desarrollado un filtro antispam que utiliza inteligencia artificial para bloquear los “correos basura”, y ha estudiado su funcionamiento sobre una base de 5000 mensajes. Los resultados del análisis se muestran en la tabla. Mensaje

Spam (S)

No spam (S )

Bloqueado (B)

1250

50

1300

No bloqueado (B )

250

3450

3700

1500

3500

5000

16.1. Halla la probabilidad de perder un mensaje que te interesaba y la de recibir un mensaje que no

deseabas. Probabilidad de perder un mensaje que me interesaba: P (B ∩ S= ) Probabilidad de recibir un mensaje que no deseaba: P (B ∩ S= )

50 = 0,01 5000

250 = 0,05 5000

16.2. Las

probabilidades P (B / S ) y P (B / S ) se llaman “sensibilidad” y “especificidad”, respectivamente, y se utilizan para medir la fiabilidad del filtro. Hállalas, interpreta qué significan y explica por qué no se utilizan P (S / B) y P (S / B) en su lugar. P (B= / S)

1250 ≅ 0,83 1500

3450 ≅ 0,99 3500 que no es spam. P (B= / S)

Es la probabilidad de que sea bloqueado un correo basura. Es la probabilidad de que llegue a nuestra bandeja de entrada un correo

No se utilizan P (S / B ) y P (S / B ) porque el sistema consiste en analizar si el correo es spam o no, y a partir de ahí bloquearlo. Es decir, nosotros lo que sabemos es si el correo es deseado o no lo es.

16.3. La sensibilidad y la especificidad de los filtros antispam nunca son iguales a 1, ¡ningún filtro

es perfecto! Consulta www.e-sm.net/4esoz72 y haz un resumen de buenas prácticas para evitar el spam. Respuesta abierta.

38

Unidad 16 | Probabilidad

Aprende a pensar > La falacia del fiscal Tanto la probabilidad como la estadística son utilizadas en los juicios para determinar si el acusado es culpable o inocente, pero no siempre adecuadamente. Uno de los errores más comunes es la llamada falacia del fiscal, en la que se confunden la probabilidad P(A/B) (la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ya ha ocurrido B) con P(B/A) (la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ya ha ocurrido A). Observa el siguiente caso de falacia del fiscal. En Villajusta, ciudad de 1000 habitantes, se ha cometido un gran robo. Tras analizar con cuidado el escenario del delito, la policía ha encontrado rastros de sangre de tipo AB negativo. Esta sangre es muy poco común y solo se encuentra en un 1 % de la población. La policía detiene a varios sospechosos y comprueba que uno de ellos es AB negativo, así que se le imputa el delito. En el juicio, el fiscal argumenta elocuentemente: “Como el acusado es AB negativo, la probabilidad de que sea inocente es de 9/999 = 0,009, luego la probabilidad de que sea culpable es del 99,1 %. ¿Algún miembro del jurado tiene mayor certeza de poder levantarse mañana?”. 16.1. Antes de analizar la falacia, considera el caso del lanzamiento de un dado, con los sucesos:

Par = “que salga par” y Dos = “que salga 2”. Calcula P(Par/Dos) y P(Dos/Par) y observa que son claramente diferentes. 1 P(Par/Dos) = 1 y P(Dos/Par) = 3 16.2. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿te ha convencido el fiscal? Antes de contestar, piensa:

¿cuántas personas hay en Villajusta que tengan AB negativo? 1 % de 1000 = 10. 16.3. Calcula la probabilidad de tener AB negativo si se es inocente y la probabilidad de ser inocente

si se tiene AB negativo. −

AB No AB−

Inocente (I)

Culpable (C)

9

1

10

990

0

990

999

1

1000

9 = 0,009 999 9 − P (Inocente / AB= = 0,9 ) P ( ser inocente si se tiene AB negativo=) 10 = P ( AB negativo si se es inocente = P (AB− / Inocente) )

16.4. ¿Qué error comete el fiscal en su argumentación? ¿De qué probabilidad condicionada del

apartado anterior está hablando el fiscal y a cuál corresponde la probabilidad que calcula? El fiscal habla de P (Inocente / AB − ) = P ( ser inocente si se tiene AB negativo ) , que es 0,9 (y, por tanto, la de ser culpable es 0,1), pero en su argumentación P(AB negativo si se es inocente), pues confunde los condicionales.

utiliza

el

valor

de

16.5. Hay algunos casos famosos de errores judiciales por mal uso de la probabilidad. Lee sobre los

juicios de Sally Clark (www.e-sm.net/4esoz73) y Janet Collins (www.e-sm.net/4esoz74). Escoge uno de los dos, realiza los cálculos y argumenta con tus propias palabras por qué las acusadas no podían ser declaradas culpables. Respuesta abierta. 16.6. ¿Qué opinas sobre el mal uso de la probabilidad y la estadística en los juicios y en la prensa?

Debátelo en http://matematicas20.aprenderapensar.net/. Respuesta abierta.

Probabilidad | Unidad 16

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Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, Juan Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, María Moreno, Miguel Nieto, Isabel de los Santos, Esteban Serrano, José R. Vizmanos, Yolanda A. Zárate

Edición: Oiana García, José Miguel Gómez, Aurora Bellido Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire Corrección: Javier López Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos, José Santos, José Manuel Pedrosa Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya

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