19. CÁLCULO DE VOLÚMENES: TERRAPLENES Y DESMONTES

Sin embargo, las formas básicas, los espacios y las apariencias, deben ser lógicas. (Kenzo Tange)

19.1. Generalidades sobre el cálculo de volúmenes. Centraremos la atención fundamentalmente del cálculo de volúmenes en el cálculo de los volúmenes de movimientos de tierras determinados por los volúmenes de desmonte y terraplén, ya que estos son los que fundamentalmente abarca la disciplina de la topografía de obra, aunque nos detendremos para analizar el cálculo de volúmenes en general. Arquímedes de Siracusa (c. 287 a.C. – c.212 a.C.), que el fue el primer científico que buscó aplicaciones prácticas del conocimiento, personalmente no estaba más orgulloso de haber descubierto las leyes de la palanca o su famoso principio que de haber resuelto matemáticamente el cálculo del volumen de una esfera. Tomando una esfera, un cono recto y un cilindro circular recto, de tal siendo las bases del cono y del cilindro un círculo máximo de la esfera y su altura el radio de esta, cortó a las tres figuras por un plano común, paralelo un plano tangente que contuviera las bases de cilindro y cono, Figura 19.1, estudiando las secciones que el plano producía en las tres figuras. 453

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R r

d

d

d

d R

R

R

Figura 19.1 En la esfera la sección es un círculo de radio (r), que estará en función del radio (R) de la esfera y de la distancia (d) entre el plano de corte y centro de la esfera, cuya relación está determinada por:

R2 = d 2 + r 2 En el cono, el círculo que determina la sección con el plano tiene de radio la distancia (d) al vértice, puesto que por geometría del mismo ya que su altura es igual que el radio de su base. Y en el cilindro el radio de cualquier sección de un plano paralelo a su base será un círculo de radio (R) igual a la base. Calculando la superfices de la sección de la esfera (Se), del cono (Sk) y del cilindro (Sc) tenemos:

Se = πr 2

S k = πd 2

Sc = πR 2

Y como la sección del cilindro se puede expresar también así:

Sc = π (d 2 + r 2 ) = πd 2 + πr 2 Podemos inferir que la sección del cilindro es igual a la suma de las otras dos secciones:

Sc = S k + Se Extrapolando esta relación a un número infinito de secciones, es bastante obvio que la relación entre el volumen de la semiesfera 454

Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.

(Vse), el del cilindro (Vc) y el del cono (Vk) tienen la misma relación, en este caso:

Vse = Vc − Vk Expresando esta fórmula en función de los volúmenes conocidos del cilindro y del cono, se puede escribir:

2πR 3 Vse = πR − = 3 3 3

πR 3

y por tanto, finalmente, el volumen (Ve) de la esfera es:

Ve =

4πR 3 3

Arquímedes se convirtió así antes que Newton o Leibnitz en un precursor del cálculo integral, utilizado para calcular volúmenes, citando aquí, a modo de ejemplo y de homenaje a Arquímedes el de la esfera, partiendo de las coordenadas esféricas de los puntos que estén el primer octante, y multiplicando por 8 el resultado de su cálculo:

π π⎫ ⎧ S = ⎨ ρ ,θ ,ϕ | 0 ≤ ρ ≤ R,0 ≤ θ ≤ ,0 ≤ ϕ ≤ ⎬ 2 2⎭ ⎩ ⎡π ⎡π ⎤ ⎤ ⎢2 ⎢2 2 ⎥ ⎥ 2 8∫∫∫ dxdydz = 8∫∫∫ ρ senθdρdθdϕ = 8∫ ⎢ ∫ ⎢ ∫ ρ senθdθ ⎥ dϕ ⎥dρ = S 0 ⎢0 ⎢0 ⎥⎦ ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ R

⎡ π2 ⎤ R ρ 2π 4 ⎢ ⎥ = 8∫ ⎢ ∫ ρdϕ ⎥dρ = 8∫ dρ = πR 2 2 3 0 ⎢0 0 ⎥ ⎣ ⎦ R

Es este un ejemplo de cómo se puede deducir el volumen de un sólido desconocido, a partir de su relación geométrica con otros conocidos, y que nos podemos encontrar en algún momento, aunque, ciertamente, no es muy frecuente la necesidad del 455

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cálculo de volúmenes de figuras complicadas en trabajos de arquitectura. Siempre podremos recurrir a las fórmulas de cálculo de figuras geométricas, o bien a los métodos que desarrollaremos a continuación. Las aplicaciones más importantes serán al cálculo de los volúmenes de movimientos de tierra, aunque veremos también algunas otras.

456

Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.

19.2. Cálculo de volúmenes de movimientos de tierras. Como hemos visto en el tema anterior, tanto la elaboración del perfil longitudinal como la de los perfiles transversales del trazado de una obra, están desde el primer momento ejecutadas teniendo como uno de sus objetivos el cálculo de los volúmenes de movimiento de tierras, en función del desmonte, o terreno que hay que excavar o rebajar y del terraplén, o terreno que hay que aportar como relleno, y que en obras de ingeniería lineales son determinantes para la propia viabilidad de la obra, y básicos para el cálculo económico de la misma así como para elaborar la programación de los trabajos, mediante el denominado diagrama de masas, que es la curva que busca el equilibrio para la economía de los movimientos de tierra, siendo asimismo el método que indica el sentido del movimiento de los volúmenes excavados, la cantidad y la localización a lo largo de la traza de la obra de cada uno de ellos.

P-A

D T

Figura 19.2: Superficies de desmonte y terraplén en un perfil transversal. Si nos volvemos a fijar en la figura de un perfil transversal, veremos que siempre se distingue entre la superficie de ese perfil que corresponde a desmonte (D) y a terraplen (T), Figura 19.2., 457

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las superficies de las zonas de desmonte y terraplén, serán el punto de partida para el cálculo del volumen entre perfiles, de acuerdo con el sistema que se fundamente en el cálculo del volumen del prismoide. El prismoide, o prismatoide, es un sólido limitado por dos caras planas y paralelas de forma cualquiera, llamadas bases, y por la superficie reglada engendrada por una recta que se apoya en ambas bases.

b

h

B Figura 19.3: Prismoide. El volumen (VP) del prismoide se determina calculando previamente la superficie (SB) y (Sb) de ambas bases, en función de la separación entre ellas (h) mediante la siguiente expresión:

VP =

1 h ⋅ ( S B + Sb ) 2

Aplicando este principio, siempre podremos establecer que entre dos perfiles transversales existe un prismoide cuyas bases son las superficies de desmonte (D) o terraplén (T) de cada uno de ellos, y la distancia (d) su separación, tal como se representa en la Figura 19.4, en la que (A1), (A2),… son las superficies de los distintos perfiles, y (d) la distancia, en este caso igual entre ellos.

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Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.

A1

A3

A3 A4

d d

A5

d d Figura 19.4. En ejemplo de la figura, para calcular el volumen total de la excavación, calcularemos en primer lugar el volumen de los prismoides que se forman entre cada par de perfiles, siendo el volumen (Vi) de cada uno de ellos:

Vi =

1 d ⋅ ( Ai + Ai +1 ) 2

Sumando el volumen de todos los prismoides, tendremos el volumen total (VT) de la excavación:

VT =

1 d ( A1 + 2 A2 + 2 A3 + ... + 2 An −1 + An ) 2

[1]

459

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19.3. Cálculo de volúmenes entre dos perfiles, ambos con desmonte. Cuando el volumen entre dos perfiles es sólo de desmonte, el cálculo es la aplicación directa de la fórmula del volumen del prismoide, siendo las secciones (D1) y (D2) las respectivas superficies de los perfiles, el volumen de desmonte (D) entre ambos perfiles es:

VD =

460

1 d ⋅ ( D1 + D2 ) 2

Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.

19.4. Cálculo de volúmenes entre dos perfiles, ambos con terraplén. Cuando el volumen entre dos perfiles es sólo de terraplén, el cálculo es similar al anterior, aplicando la fórmula del volumen del prismoide, siendo en este caso las secciones (T1) y (T2) las respectivas superficies de los perfiles, el volumen de desmonte (T) entre ambos perfiles es:

VT =

1 d ⋅ (T1 + T2 ) 2

461

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19.5. Cálculo de volúmenes entre dos perfiles, con desmonte y terraplén. Para establecer la fórmula de cálculo del desmonte (D) y terraplén (T) entre dos perfiles cuyas secciones sean una de desmonte y otra de terraplén, Figura 19.5, estableceremos antes el valor de las superficies de los triángulos que se representan en la misma figura. P-3

P-4 dt ht

D

T

St

Sd hd dd

hd

ht

Figura 19.5. Las superficies de los dos triángulos que se forman son (St) y (Sd), y que representan esquemáticamente el desmonte y terraplén entre los perfiles tiene el valor conocido de:

1 ht ⋅ dt 2 1 S d = hd ⋅ d d 2 St =

Por otro lado, podemos establecer una relación de semejanza entre los dos triángulos, así como el que es suma de los dos, teniendo en cuenta que la suma de (dt) y (dd) es la distancia parcial entre los perfiles (d):

dt d d d = = ht hd ht + hd 462

Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.

de dónde podemos obtener los valores de (dt) y (dd), que sustituiremos en las expresiones que determinan el área de los triángulos:

⎞ ⎟⎟ ⎠

dt =

d ⋅ ht ht + hd

St =

1 d 1 ⎛ h2 ht ⋅ ⋅ ht = d ⎜⎜ t 2 ht + hd 2 ⎝ ht + hd

dd =

d ⋅ hd ht + hd

Sd =

1 d 1 ⎛ h2 hd ⋅ ⋅ hd = d ⎜⎜ d 2 ht + hd 2 ⎝ ht + hd

⎞ ⎟⎟ ⎠

Extrapolando los valores de las superficies de los triángulos, a valores de los volúmenes homólogos de desmonte (VD) y terraplén (VT), y considerando que las superficies respectivas de los perfiles en desmonte y terraplén son (D) y (T), y que (d) es la distancia parcial entre ambos perfiles, tendremos que el valor de cada uno de ellos será:

1 ⎛ D2 ⎞ 1 ⎛ T2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ V D= d ⎜ V T= d ⎜⎜ 2 ⎝ D + T ⎟⎠ 2 ⎝ D + T ⎟⎠

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19.6. Cálculo de volúmenes entre perfiles mixtos. Para calcular el volumen de desmonte (VD) y terraplén (VT) entre dos perfiles, conteniendo al menos uno de ellos en su sección, desmonte y terraplén, Figura 19.6, determinaremos el volumen de desmonte y terraplén en dos partes, de acuerdo con el siguiente método.

P -7

D

P-8

a

t2 T1

a

T2 t' 2

Figura 19.6. En primer lugar calcularemos la distancia (a) desde el eje hasta el punto de intersección el perfil del terreno con el plano de la rasante de la sección tipo del perfil, en el perfil que hemos denominado mixto, es decir que contiene desmonte y terraplén en su sección, trasladando esta distancia al perfil con un solo tipo de sección, en este caso de terraplén. A la distancia (a) trazaremos una recta vertical que dividirá la sección del segundo perfil en dos partes, cuyo valor (t2) y (t’2) calculamos independientemente, estas dos parte sumadas suponen las sección total (T2) de terraplén de este perfil. Siendo las superficies del primer perfil (D) de desmonte y (T1) de terraplén, el valor de desmonte y terraplén del perfil vendrá determinado por el cálculo independiente de las dos partes en que divide (a) a ambos perfiles que llamaremos, parte derecha y parte izquierda, según la figura. El valor del volumen de desmonte (VD) nos lo dará el cálculo de parte derecha del tramo, puesto que en la parte izquierda sólo hay terraplén, y su valor será: 464

Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.

1 ⎛ D2 ⎞ ⎟ V D= d ⎜⎜ 2 ⎝ D + t2 ⎟⎠ El valor del volumen de terraplén (VT) será la suma del volumen de la parte derecha (Vt) y el de la parte izquierda (Vt’), que cómo sólo es de terraplén, será :

V T= Vt + Vt ' =

2 1 ⎛ t2 ⎞ 1 ⎟ + d (T1 + t '2 ) d ⎜⎜ 2 ⎝ D + t2 ⎟⎠ 2

En el caso de que ambos perfiles sean mixtos, dividiremos longitudinalmente el tramo entre perfiles, en tantas partes como sea necesario para poder calcular por este procedimiento los volúmenes de las partes divididas mediante las expresiones conocidas.

465

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19.7. Cálculo del solar.

volumen de excavación de un

Por regla general, las excavaciones de los solares corresponden al volumen de un sólido cuya base inferior es una poligonal contenida en un plano horizontal, sus paredes planos verticales correspondientes a la poligonal, y la base superior una superficie poligonal, suyos lados serán las distancias naturales correspondientes a las distancias reducidas de los lados de la poligonal que forma la base inferior, estando sus vértices a cotas distintas. Siendo este caso típico, no necesitaremos utilizar el método de perfiles longitudinales y transversales, que sí utilizaremos, sin embargo, en movimientos de tierras de solares que no respondan a esta morfología. B hB A

B'

hA

C

A' C'

hC

D

Z

hD D'

Figura 19.7. Sea pues, un solar cuya excavación se representa en la Figura 19.7, y definido por la poligonal (ABCD) comprendida entre sus cuatro esquinas. Conociendo la cota de fondo de excavación (Z) determinaremos las alturas (hA), (hB), (hC) y (hD) que serán las diferencias entre las cotas de sus vértices (ZA), (ZB), (ZC) y (ZD), obtenidas mediante nivelación geométrica, calcularemos la altura media (h) como media de las alturas de sus vértices:

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Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.

h=

hA + hB + hC + hD 4

Siendo la superficie agraria del solar (S), el volumen (V) de la excavación será:

V = S ⋅h Mediante este mismo sistema podemos calcular otros volúmenes análogos que se nos puedan presentar en una obra de arquitectura, como puede ser el de un hormigón aligerado para formación de pendientes en una cubierta, en el que consideraremos (Z) la cota de terminación del forjado sobre el que se apoya y las alturas (hA), (hB), (hC)…, las de los vértices de cada faldón, que calcularemos independientemente.

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19.8. Cálculo de otros volúmenes. Como hemos expresado al comienzo de este tema, el cálculo de volúmenes en general consiste en la descomposición del volumen a determinar en volúmenes cuya determinación nos sea posible, siendo el volumen resultante la suma o diferencia de los volúmenes considerados, siendo esta una operación frecuente en las labores de proyecto, dirección, control y ejecución de una obra. Hay sin embargo un método para calcular grandes volúmenes, que se utiliza frecuentemente como puede ser el del cálculo de la capacidad de un embalse, considerado como el volumen de agua contenido en un vaso topográfico, asimilable al cálculo del volumen de una colina, volúmenes ambos que podemos calcular sin necesidad de la elaboración de perfiles, simplemente apoyándonos en el plano de curvas de nivel. El método consiste en considerar la superficie que encierran las curvas de nivel y multiplicar esta por la equidistancia. La superficie encerrada en cada curva de nivel se determinará mediante planímetro, método especialmente indicado para este tipo de superficies, siendo el cálculo del volumen total el resultado de multiplicar la superficie de cada curva de nivel por la equidistancia, cuyo valor determinará la precisión del método, correspondiendo una mayor precisión a una menor equidistancia. La fórmula que se suele utilizar es la equivalentes a la que hemos descrito para el cálculo total de un volumen de una excavación [1], expresándola en este caso según:

V=

1 e( A1 + 2 A2 + 2 A3 + ... + 2 An −1 + An ) 2

Ya que hemos sustituido la distancia (d) entre perfiles por la equidistancia (e) entre curvas de nivel, y las superficies (A1), (A2), (A3),…, (An) corresponderán a las de todas las curvas de nivel sumergidas. Esta fórmula se puede modificar, para obtener una mayor precisión en el cálculo, teniendo en cuenta que según ella nos faltará una pequeña parte de volumen que es la comprendida entre la curva de nivel más baja y el fondo del embalse sin 468

Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.

cubicar. Además de esto, normalmente la superficie del agua no coincidirá con una de las curvas de nivel, por tanto contaremos la curva de nivel bajo el agua dos veces, no contando la inmediatamente superior, no sumergida, como es lógico. Así pues si añadimos una primea sección con valor nulo, y una ultima doble, tendríamos que:

V = e( A1 + A2 + A3 + ... + An ) En cualquier caso, las cifras resultantes de estos cálculos adolecen de precisión, y por tanto siempre se suelen dar en unidades muy altas y redondeadas, siendo la más habitual el hectómetro cúbico (1 Hm³=106 m³).

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