Integrales Selectividad CCNN 2004

MasMates.com Colecciones de ejercicios

1. [ANDA] [JUN-A] De la función f:(-1,+) se sabe que f ´(x ) =

3 (x+1)2

y que f(2) = 0.

(a) Determinar f. (b) Hallar la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1). 2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x2 y la recta y = bx es igual 9 a . 2 3. [ANDA] [SEP-A] Siendo Lnx el logaritmo neperiano de x, halla el área de la superficie sombreada.

4. [ANDA] [SEP-B] Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta y = 2x y por las curvas y = x2 e y =

x2 . 2

5. [ARAG] [JUN-A] Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función exponencial f(x) = ex y la cuerda a la misma que une los puntos de abscisas x = -1 y x = 1. 6. [ARAG] [JUN-B] Sea la función f(x) = x·senx. Determinar: (a) El área encerrada entre su gráfica y el eje de abscisas entre los valores x = 0 y x = . (b) El área encerrada entre la tangente en x =  y los dos ejes coordenados. 7. [ARAG] [SEP-A] Calcular el área encerrada entre la gráficas de la recta y = x+2 y la parábola y = x2. 8. [ARAG] [SEP-B] Sea la parábola f(x) = x2-6x+9. a) Probar que es tangente a uno de los ejes coordenados, indicando a cual. b) Calcular el área encerrada entre la gráfica de la parábola y los dos ejes coordenados. 9. [ASTU] [JUN] Calcula: a) El punto C de la figura, punto de corte de la parábola p: 4-(x-2)2 y el eje de abscisas. b) El punto D y la ecuación de la recta r2 paralela a r4. c) El área sombreada, limitada por la parábola p y la recta r1, r2, r3 y r4.

2x+1 para los valores de x > 2. Calcula: x-2 a) La recta tangente a la gráfica en el punto P de la curva de abscisa x = 3. b) El punto de corte de esta recta tangente y la asíntota horizontal de la curva. c) El área encerrada por la curva, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x = 3, x = 4.

10. [ASTU] [SEP] Sea la curva descrita por la función f(x) =

11. [C-LE] [JUN-A] Sea la función f(x) = 2e-2|x|. a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas. b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x = 1 y x = -1.

5 de diciembre de 2009

Página 1 de 5

Integrales Selectividad CCNN 2004

MasMates.com Colecciones de ejercicios

12. [C-LE] [JUN-A] De todas las primitivas de la función f(x) = 2tg(x)·sec2(x), hállese la que pasa por el punto P

 ,1 . 4

13. [C-LE] [JUN-B] Sea f(x) = x3+ax2+bx+c. Determínese a, b y c de modo que f(x) tenga un extremo relativo en x = 0, la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = 1 sea paralela a la recta y-4x = 0, y el área comprendida por la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas x = 0 y x = 1 sea igual a 1.

14. [C-LE] [JUN-B] Calcúlese

(x-1)2 x

dx.

15. [C-LE] [SEP-A] Hállese el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas: y = 6x-x2 ; y = x2-2x.

16. [C-LE] [SEP-B] a) Dada la función f:[1,e] definida por f(x) =

1 + lnx, determínese de entre todas las rectas tangentes a la x

gráfica de f la que tiene máxima pendiente. b) Calcúlese una función primitiva de f(x) que pase por el punto P(e,2). 17. [C-LE] [SEP-B] Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y = 3x-x2, y = 2x-2. 18. [C-MA] [JUN] La curva y = 2x2 divide al cuadro de vértices A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1) en dos recintos. a) Dibuja dichos recintos. b) Halla el área de cada uno de ellos. 19. [C-MA] [SEP] Considera la función f(x) = -x4+4x3. Calcula: a) Puntos de corte con los ejes. b) Máximos y mínimos. c) Puntos de inflexión. d) Halla el área de la región encerrada por la gráfica y el eje X.

20. [C-MA] [SEP] Considera la función f(x) =

x3

si x < 1

2

-x +2x si x  1

a) Haz un dibujo aproximado de su gráfica. b) Calcula el área encerrada por la gráfica y el eje X. 21. [CANA] [JUN-A] a) Dibujar el recinto plano limitado por las funciones: f(x) = -x2+5x, g(x) = x+3. b) Hallar su área. 22. [CANA] [SEP-A] a) Dibujar los recintos limitados por y = x2 y las rectas y = x, x = 2. b) Calcular el área de dichos recintos.

23. [CANA] [SEP-B] Calcular

3x 2

x +3x-10

dx

24. [CATA] [JUN] Dada la función f(x) = cosx - cos3x: a) Halle su integral indefinida. b) ¿Cuál es la primitiva de f(x) que pasa por el punto

 ,0 ? 2

(Indicación: Recuerde que sen2x+cos2x = 1)

5 de diciembre de 2009

Página 2 de 5

Integrales Selectividad CCNN 2004

MasMates.com Colecciones de ejercicios 3

25. [CATA] [SEP] Calcule el valor de la siguiente integral:

x+1+ x+1 dx x+1 0

26. [EXTR] [JUN-A] Definir el concepto de primitiva de una función. ¿Existe alguna primitiva de la función f(x) = x-1 que no tome ningún valor positivo en el intervalo 1  x  2? 27. [EXTR] [JUN-B] Representar gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la abscisa x es positiva, por la curva y = x3+x y por la recta y = 2x. Calcular su área. 28. [EXTR] [SEP-A] Representar gráficamente la figura plana limitada en el primer cuadrante x  0, y  0 por la recta y = x y la curva x = y3. Calcular su área. 29. [EXTR] [SEP-B] Calcular el valor de la siguiente integral: (puede hacerse por el cambio de variable x2-1 = t3) 2 3

x x2-1dx 1

30. [MADR] [JUN-A] Se considera la función f(x) =

(2x-1)2

. 4x2+1 a) Calcular las asíntotas, el máximo y el mínimo de la función f(x). 1

b) Calcular

f(x)dx . 0

31. [MADR] [SEP-B] Sea la función f(x) =

2x+1

. 2 x +x+1 a) Hallar sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. b) Dibujar la gráfica de la función, utilizando la información obtenida en el apartado anterior, teniendo en cuenta, además, que f 2

-1- 3 1 -1+ 3 , x 2 = - y x3 = respectivamente. 2 2 2 c) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f, el eje OX, la recta x = 0 y la recta x = 2. tiene exactamente tres puntos de inflexión, cuyas abscisas son: x1 =

32. [MURC] [JUN] Contestar, razonando la respuesta, si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a)

b

c

f(x)dx +

f(x)dx =

a b

b)

c

b b

f(x)g(x)dx = a

f(x)dx . a b

f(x)dx g(x)dx . a

a

b

c) Si

f(x)dx = 0, entonces a = b. a b

d) Si

f(x)dx = 0 y f(x) > 0, para todo x, entonces a = b. a

e)

b

b

[f(x)+g(x)]dx =

f(x)dx +

a

a

b

g(x)dx . a

33. [MURC] [JUN] Calcular el área determinada por la curva y =

5 de diciembre de 2009

x2 x2+1

, el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = -1.

Página 3 de 5

Integrales Selectividad CCNN 2004

MasMates.com Colecciones de ejercicios

34. [MURC] [SEP] Encontrar el área determinada por la curvas y = |x| e y = x3. 7

35. [MURC] [SEP] Calcular la integral

x 2

x -4

dx . ¿Qué representa geométricamente el valor de esa integral?

3

36. [RIOJ] [JUN] Calcula la integral indefinida

dx (x-1)2

.

37. [RIOJ] [SEP] Dibuja la figura limitada por la curva y =

x2 +1 y la recta y = x+3. Calcula el área de dicha figura. 4

sen x

38. [RIOJ] [SEP] Dados a y b dos números reales, calcula la integral indefinida

(a+bcosx)2

dx.

Preta atención a las posibilidades de a = 0 ó b = 0. x2 -x, siendo un río el eje OX. En el 4 terreno entre el río y la carretera hay un pinar. Si expresamos las distancias en kilómetros, ¿cuánto vale el pinar si la hectárea se paga a 60 euros?

39. [VALE] [JUN-A] En un plano, el trazado de una carretera discurre según la ecuación y =

z

-16

40. [VALE] [JUN-B] Hallar todos los valores reales z tales que

x2-2x-15

dx = ln25.

0

41. [VALE] [SEP-A] Sea f(x) = x2+mx (donde m es un parámetro real) y f'(x) la función derivada de f(x). Se pide: 3 a) Hallar el valor del parámetro m para que f(x) tenga un mínimo relativo en x = - . 4 b) Para el valor de m calculado en a), determinar el área de la región comprendida entre la curva y = f(x) y la recta de ecuación y = f'(x). 42. [VALE] [SEP-A] Se tienen inicialmente 10 bacterias en un cultivo de laboratorio y cada día se duplican. Averigua, razonadamente, el número de bacterias que habrá cuando hayan transcurrido 10 días. b) Para otro cultivo, sea P(t) el número de bacterias transcurrido el tiempo t medido en días. Averigua el aumento de bacterias al cabo de 10 días, sabiendo que P(0) = 500, P(3) = 1100 y que la derivada P'(t) es constante para 0  t  10.

4x+11

43. [VALE] [SEP-B] a) Obtener razonadamente la siguiente integral:

(x+1)2+1

dx.

3-1

b) Aplicando la regla de Barrow, calcular

4x+11 (x+1)2+1

dx .

0

Soluciones 1. (a) f(x) = -3x+1 ; (b) F(x) = -3·ln|x+1| + x + 1 2. 3 3. 2 4. 4 5.

2 e

6. (a)  (b)

-5x+22 b) (4,2) c) 2+5ln2 11. a) Creciente: (-,0); max: (0,2); asínt: y = 0 b) 2-

5 de diciembre de 2009

2 e2

3 2

7.

12. F(x) =

10 3

8. a) OX b) 9

tg2(x) 2

+

1 2

13.

9. a) (4,0) b) (0,-4); y = -x-4 c)

1 7 , 0, 2 12

14.

6x2-20x+30 15

x

104 3

+c 15.

10. a) y = 64 3

16. a)

Página 4 de 5

Integrales Selectividad CCNN 2004

MasMates.com Colecciones de ejercicios

x-4y+4ln2 = 0 b) F(x) = ln|x|+xlnx-x+1

17.

9 2

18. a)

b)

2 3- 2 , 3 3

19. a) (0,0), (4,0) b) Máximo en (3,27) c) (0,0), (2,16) d)

256 5

20. a)

1 Y X

-1

1

2

b)

-1

c < -ln2

11 12

21. a)

1 4

27.

b)

4 22. a) 3

1 4

28.

b)

29.

3

9 3 8

1 5 15 6 sen3x sen3x-1 , 23. ln|x+5|+ ln|x-2|+c 24. a) +c b) 3 3 6 6 7 7

30. a) y = 1; max:

-1 1 ,2 ; min: ,0 2 2

b) 1-

ln5 2

25. 5 26. y = lnx+c;

31. a) max: (0,1); min: (-1,-1); asint: y = 0 b)

Y

1 X

-2

-1

1

c)

2

6 7

32. a) si b) no c) no d) si e) si

33.

4- 2

34.

1 4

35. ln 15; área del recinto de la gráfica, eje OX y rectas x=3, x=7.

36.

-1 +c x-1

37.

-1 Y

6 2 -2

8 3

38. b=0:

X

-cosx a2

+c ; b0:

-1 3 125 +c 39. 16000€ 40. 3, 9 41. a) b) a+bcosx 2 48

42. a) 10240 b) 2500 43. a) 2ln (x+1)2+1 +7arctag(x+1)+c b)

2 4 6 8

7 ln4+ 12

5 de diciembre de 2009

Página 5 de 5