Geometría Analítica 2

LA RECTA En geometría definimos a la recta como la sucesión infinita de puntos uno a continuación de otro en la misma dirección. En el plano cartesiano, la recta es el lugar geométrico de todos los puntos colineales de un plano. La ordenada de cada punto que la conforma está relacionada con su respectiva abscisa mediante una ecuación de primer grado con dos variables x e y. Podemos determinar la ecuación de la recta si se conocen algunas condiciones. A continuación estudiaremos algunas de estas ecuaciones:

ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE Es la ecuación de la recta que se determina conociendo su pendiente m y un punto P(x0; y0) perteneciente a ella.

y  y0  m  x  x0  ECUACIÓN PENDIENTE – ORDENADA EN EL ORIGEN Es la ecuación de la recta que se determina conociendo su pendiente m y el punto de corte con el eje Y (0; b) (ordenada en el origen).

y  mx  b Javier Trigoso/Freddy Liñán

ECUACIÓN GENERAL Se denomina ecuación general de la recta a la expresión:

Ax  By  C  0 Donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos. Dada la ecuación general de la recta, se presentan los siguientes casos:  Si A = 0 y B ≠ 0, entonces la recta es paralela al eje X.  Si A ≠ 0 y B = 0, entonces la recta es paralela al eje Y. A C Su pendiente es m   y su ordenada en el origen es b   B B

Teorema:  

Una recta horizontal tiene pendiente 0. Una recta vertical no tiene pendiente.

…. PARA LA CLASE 01. Escribe (en cuanto sea posible) las ecuaciones: general, punto – pendiente y pendiente – ordenada en el origen de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones:  La pendiente es -2 y pasa por (2; -3)  Pasa por los puntos (-1; -5) y (3; 6)  La pendiente es -2/3 y la ordenada en el origen es 1 02. Halla la pendiente y la intersección con los ejes de la recta definida por la ecuación L: 5x + 2y – 8 = 0.

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03. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; -3) y tiene la misma pendiente que la recta L: 3x + 4y = 10

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia “d” entre dos rectas paralelas L 1 y L2 está dada por:

04. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3; 2) y forma con los ejes coordenados un triángulo en el primer cuadrante de 12u 2 de área.

L1 : Ax  By  C1  0 L 2 : Ax  By  C2  0

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

d

La distancia del punto P (x0; y0) a la recta L de ecuación: Ax + By + C = 0 se calcula empleando la expresión:

Y P (x0;y0) d

X

…. PARA LA CLASE 05. Halla la distancia de P (–3; 4) a la recta: L: 3x + 4y – 9 = 0.

L: Ax + By + C= 0

06. Determina el valor de “a” para que la distancia del origen a la recta: L: x + ay – 7 = 0 sea 2. 07. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3; 1), tal que la distancia de esta recta al punto (-1; 1) sea igual a 2 2 08. Encuentra la distancia entre las rectas L1: 3x + 2y – 60 = 0 y L2: 6x + 4y + 50 = 0

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ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

10. Dadas las rectas L1: 3x + y - 1 = 0 y L2: 2x + my -8 = 0,

Los ángulos formados por dos rectas secantes se pueden calcular cuando se conoce el valor de la pendiente de cada recta. Los ángulos son medidos en sentido anti horario, de manera que se pueda distinguir el lado inicial y el lado final de cada ángulo.

11.

L1

L2

determina el valor de m para que formen un ángulo de 45°. m = -1; m = 4 Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4;10) y forma un ángulo de 45° con la recta 2y – 3x = 0. y = - 5 x + 30

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Sean dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 respectivamente, si se cumple que:

θ θ



α1



α2

m1 = m2, entonces las rectas son paralelas. m1.m2 = -1, entonces las rectas son perpendiculares.

y

L1

L2

L2

y

1

L1

2

x

09. Halla el ángulo que forman las rectas que tienen por

ecuaciones:  L1: 3x + 4y – 12 = 0; L2: 6x + 8y + 1 = 0  L1: 2x + 3y – 5 = 0; L2: 3x - 2y + 10 = 0 Javier Trigoso/Freddy Liñán

L1 / /L2  m1  m2

x

L1  L2  m1  m2  1

0° 90° Página 3

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03) Halla el valor de “a”, de modo que la recta: ax + (a – 1)y + 14 = 0; sea paralela a la recta; 4x + 3y + 7 = 0 a = 4

… PARA LA CLASE 12. Escribe una ecuación que pase por el punto (-1; 3) y sea paralela a la recta: 2x + y = 10.

04) Se da la recta: 2x + 3y + 4 = 0. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M (2; 1) y es perpendicular a la recta dada. 3x – 2y – 4 = 0

13. La ecuación de la recta que pasa por el punto (5,6) y que es paralela con la recta que une los puntos (-4,0) y (1,-6) es:

05) Halla la ecuación de la recta de pendiente -0,75 y que forme con los semiejes coordenados positivos un triángulo de perímetro 36. 3x + 4y – 36 = 0

14. Escribe una ecuación que pase por el punto (2; -3) y sea perpendicular a la recta 4y - x = 20.

06) Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos A(-1 ; 3) y B(5 ; 7) 3x + 2y – 16 = 0

15. Encuentra la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección de las rectas: L1: 6x – 2y + 8 = 0 con L2: 4x – 6y + 3 = 0, sea perpendicular a la recta L3: 5x + 2y + 6 = 0

07) Hallar la proyección del punto P(-6 ; 4) sobre la recta de ecuación: L: 4x – 5y + 3 = 0 (-2; -1)

16. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P (17; 12) y es perpendicular a la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0. Determina las coordenadas del punto de intersección de estas líneas y halla la distancia de P a dicha recta.

MISCELÁNEA L

01) En el gráfico mostrado, “O” es centro del rectángulo ABCD. Se sabe que AB = 3(AD) = 2(OA) = 6. Determina la ecuación de la recta L.

y

B

C

09) Sean las rectas: L1: 3x – 4y + 2 = 0; L2: 7x – y + 1 = 0 Determina el ángulo agudo que forman L 1 y L2

O

02) Una recta pasa por (3; 5) de modo que el segmento de ella situado ente los ejes coordenados, es dividido por el punto dado en su mitad. Halle su ecuación. Javier Trigoso/Freddy Liñán

A 37°

D

08) Hallar el punto “Q” simétrico al punto P(-5 ; 13), relativo a la recta: L: 2x – 3y – 3 = 0 (11; -11)

x

45°

10) Determinar la distancia del punto P0(7 ; 1) a la recta de ecuación: L: 3x + 4y + 5 = 0 6

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11) Dadas las ecuaciones de dos lados de un cuadrado: L1: 4x – 3y + 3 = 0 ; L2: 4x – 3y – 17 = 0. Determinar su área 16

03) Los vértices de un triángulo tiene por coordenadas: A(-3 ; 4) ; B(6 ; 8) y C (8 ; -2), hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura BH a) 6y + 11x – 18 = 0 b) 3y – 11x + 18 = 0 c) 6y – 11x + 18 = 0 d) 3y – 11x + 9 = 0 e) 2x – 11y + 18 = 0

12) Hallar la ecuación de la recta “L” (ver figura)

04) La recta que pasa por el punto (2 ; 1) y es perpendicular a la recta: L: 3x – 4y + 12 = 0; tiene por ecuación: a) 3x + 2y – 12 = 0 b) 2x – 6y – 13 = 0 c) 4x – 3y – 12 = 0 d) 4x + 3y – 11 = 0 e) 2x – 3y – 11 = 0

y (9 ; 7) (1 ; 5)

x

… PARA LA CASA 01) Señale la ecuación de la recta que pasa por: (-1 , 4) y tiene como ángulo de inclinación: 37° a) 3x – 4y + 19 = 0 b) 2x – 2y + 9 = 0 c) 3x – 5y + 9 = 0 d) 3x – 4y = 0 e) 2x – 4y + 19 = 0 02) El ángulo de inclinación de una recta que no pasa por el segundo cuadrante es de 45°. Hallar su ecuación, si su distancia al origen es 6 2 . a) y – x – 6 = 0 b) x – y – 12 = 0 c) x + y – 12 = 0 d) x – 2y – 12 = 0 e) x + 2y – 6 = 0

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05) Sean las rectas L1 y L2 perpendiculares entre sí, tal que L1 contiene a los puntos: (-2; 3) y (1; 5); la recta L2 tiene por ecuación: 2ax – (a + 3)y = 5. Calcular a. 9 7 7 6 a)  b)  c)  d)  e) -1 7 5 9 8 06) Dos lados de un cuadrado están en las rectas: L1:5x – 12y + 26 = 0, L2:5x – 12y – 65 = 0. Calcula el ara de dicho cuadrado. a) 36 b) 49 c) 25 d) 81 e) 4 07) Hallar al proyección del punto P(-6 ; 4) sobre la recta: 4x – 5y + 3 = 0 a) (-1; 2)

b) (-3; 2)

c) (-2; -1)

1  d)  ;2  2 

3  e)  ; 2  2 

08) Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (3 ; 2), cuya pendiente es negativa y forma con la recta: L : y = 2x + 6; un ángulo que mide 45° a) 3x + y – 11 = 0 b) 2x + y – 11 = 0 c) 3x + y – 100 = 0 d) 2x + y – 11 = 0 e) 3x + 2y – 11 = 0

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09) Determinar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las dos rectas: L1: 5x – 12y + 3 = 0, L2: 3x + 4y – 5 = 0 a) 7x + 56y – 30 = 0 b) 7x + 56y – 40 = 0 c) 6x + 56y – 40 = 0 d) 7x + 56y = 0 e) 8x – 56y – 40 = 0

14) Hallar la ecuación de la recta que Una recta tiene pendiente -1 y contiene al punto (-2; 5). ¿Cuál es la coordenada y de un punto de la recta cuya coordenada x es 8? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

10) Si la recta que contiene a los puntos (-8; k) y (2; 1) es paralela a la recta que contiene los puntos (11; -1) y (7; k + 1). ¿Cuál debe ser el valor de k? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

15) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2 ; 0) y es perpendicular a la recta de ecuación: 2 y   x6 3 a) 2y = 3x + 6 b) y = 3x + 6 c) y = 2x + 3 d) 2y = 3x + 5 e) y = 5x + 3

11) En el gráfico mostrado, si el área de la región cuadrada ABCD es 162 y la ecuación de L es: 4x – 3y – 8 = 0, calcular EC a)

L

y

MISCELÁNEA

37

b)

67

c)

65

d)

83

e)

95

B

O

E

A

C

D

x

12) Entre las rectas que pasan por el punto P (3; 0). Hallar una manera que el segmento comprendido entre las rectas: L1: x + y + 3 = 0, L2: 2x – y – 2 = 0. Sea dividido por la mitad en el punto P. a) 8x – y – 24 = 0 b) 3x – y – 24 = 0 c) 8x – 2y – 24 = 0 d) 8x – y – 12 = 0 e) 3x – 4y – 24 = 0 13) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (7; -6) y es paralela a la recta de ecuación L: x – 2y + 2 = 0 a) y = x – 19 b) 2y = x – 2 c) 2y = x – 19 d) 8y = x – 19 e) x – 8y = 0

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16) Halla la ecuación general de la recta que es perpendicular a la recta L: 3x – 4y = 12, sabiendo que pasa por el punto medio del segmento formado por los puntos A (-2; 0) y B (4; 6) 17) Las ecuaciones de los lados de un paralelogramo ABCD son: LAB: x – 2y + 1 = 0; LAD: 2x – y - 1 = 0; LBC: 2x – y -7 = 0; LDC: x – 2y + 7 = 0.Halla las coordenadas del punto de intersección de las diagonales del paralelogramo. 18) Si las rectas L1: (2k + 2)x + 3Ky - 8 = 0 y L2: 5kx + (4 – K)y + 6 = 0 se interceptan en un punto que está sobre el eje X. Halla el valor de k. 19) Encuentra los ángulos del triángulo cuyos vértices son los puntos

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A (-3; 0), B (7; 4) y C (3; 6) y demostrar que la suma de ellos es 180º.

Si G es el punto de intersección de las medianas, encuentra los ángulos AGB, BGC y CGA y demostrar que la suma de ellos es 360º.

20) Encuentra el ángulo agudo que forman las rectas, trazadas desde el origen a los puntos de trisección de la parte de la recta de ecuación 2x + 3y – 12 = 0, comprendida entre los ejes coordenados.

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