TEMA 7: SEMEJANZA, ÁREAS Y VOLÚMENES FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma: - Los ángulos correspondientes son todos iguales. - Los segmentos correspondientes son proporcionales. La razón de proporcionalidad se llama razón de semejanza. Ejercicios. 1. ¿Cuáles de estas figuras son semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza?

ESCALAS EN PLANOS Y MAPAS Escala es el cociente entre cada longitud de reproducción (mapa, plano, maqueta) y la correspondiente longitud de la realidad. Es, por tanto, la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad. Se denota 1:a y significa que una unidad del plano corresponde a “a” unidades de la realidad. Ejercicios. 2. En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?

3. En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. a) ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos?

b) ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?

RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS Y VOLÚMENES DE FIGURAS Y CUERPOS SEMEJANTES Si la razón de semejanza entre dos figuras es k, entonces:

A  k2 A' V  k3 La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza. V' La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

Ejercicios. 4. Un tetraedro mide 8 cm de lado y la razón de semejanza con otro tetraedro más pequeño es 1/4. a)¿Cuánto mide la arista del segundo tetraedro?

b)¿Cuál es la razón de semejanza entre sus áreas? ¿Y entre sus volúmenes? .

5. Un rombo R tiene por lado a y es semejante a otro rombo R´ de lado a´. Si la razón de semejanza es 5 y el área de R´ es 350 cm2, halla el área de R.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus lados homólogos proporcionales y sus ángulos iguales. Para demostrar que dos triángulos son semejantes basta con demostrar una sola de esas condiciones. Sus lados homólogos proporcionales significa que: razón de semejanza Sus ángulos iguales significa que: A=A’ B=B’ C=C’

Ejercicios. 6. Un triángulo tiene como medidas de sus lados 8m, 6m y 12m y otro triángulo tiene medidas 6m, 4m y 3m. ¿Son semejantes estos triángulos ? ¿Cuál es la razón de semejanza ?

7. ¿ Es posible que dos triángulos sean semejantes, si el primero contiene ángulos que miden 50º y 79º y el segundo uno de 79º y otro de 51º? ¿Por qué ?

8. Una torre proyecta una sombra de 79.42 metros, y un poste de altura 3.05 metros proyecta una sombra de 5.62 metros. ¿Cuánto mide la torre?

9. Calcula el valor de x

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Recordemos las áreas de los polígonos más conocidos. Rectángulo Cuadrado Paralelogramo

A=

Rombo

A=

A=

A=

Triángulo rectángulo

A=

Ejercicios.

10. Calcula el área de las siguientes figuras. a) b)

Trapecio

A=

Triángulo

A=

Polígono

A=

ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Para calcular el área de un cuerpo geométrico, calcularemos el área de cada una de sus caras y las sumaremos todas. Para calcular el área de una esfera A =4 π r2 Para calcular el volumen de cuerpos geométricos utilizaremos una de estas tres fórmulas, según el cuerpo en cuestión. 

Para prismas y cilindros V  Área de la base x altura



Para pirámides y conos



Para la esfera

Área de la base x altura 3 4 R 3 V 3 V

Ejercicios. 11. Calcula el área y el volumen de un prisma triangular regular de 8 cm de altura y arista básica 5 cm.

12. Calcula el área y el volumen de una pirámide de base cuadrada de 4 cm de arista básica y 6 cm de altura.

13. Halla el área y el volumen del siguiente cuerpo, cuyas medidas están dadas en centímetros.

1.

2. 3. 4.

EJERCICIOS El plano de una ciudad está dibujado a escala 1: 10 000. a) Justifica que 3 cm en el plano corresponde a 300 m en la realidad. b) La distancia entre dos puntos en el mapa es de 7 cm, ¿cuál será la distancia real? c) ¿Cuál será la distancia en el mapa entre dos puntos separados por 950 m en la realidad? Sol: b) 700 m b) 9,5 cm. En un mapa de España la distancia entre Lanzarote y San Sebastián es de 7,3 cm. Calcula la escala del mapa sabiendo que la distancia real es de 2 100 km. Sol: E=1 : 20 000 000. Disponemos de dos mapas de Menorca, uno a escala 1:100 000 y otro a escala 1: 1 000 000. Razona cuál de los dos es más grande. Observa estas tres fotografías e indica si son semejantes entre sí y por qué:

5. Una fotografía de 9 cm de ancho y 6 cm de alto tiene alrededor un marco de 2,5 cm de ancho. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Razona tu respuesta. 6. Tenemos una fotografía de una persona que está junto a un árbol. En la fotografía la persona mide 25 mm; en la realidad la estatura de la persona es de 185 cm. a) ¿Cuál es la altura real del árbol, expresada en metros, si en la fotografía mide 110 mm? b) ¿Cuánto mediría en la fotografía un coche de 3,7 m? Sol: a) 8,14 m b) 50 mm. 7. Un rectángulo tiene unas dimensiones de 15 cm x 20 cm. Si el lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 6 cm, ¿cuánto mide el área de éste último? Sol: 48 cm2. 8. ¿Qué área ocupará un rombo, cuyas diagonales miden 275 cm y 150 cm, en un plano de escala 1:25? Sol: 33 cm2. 9. Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula: a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro. b) La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm2. c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm3 de agua. Sol: a) 15 m de altura y 10 m de diámetro b) 250 m2 c) 312,5 m3. 10. En un mapa a escala 1: 1 500 000, la distancia entre dos pueblos es de 2 cm. a) ¿Cuál es la distancia real? b) ¿Qué distancia habrá en al mapa entre dos ciudades que distan 180 km? Sol: a) 30 km b) 12 cm. 11. ¿Cuánto medirán los lados de un trapecio semejante al de la figura, cuyo perímetro sea 163,2 cm?

Sol: 67,2 cm; 32 cm; 38,4 cm y 25,6 cm 12. Calcula el valor de x e y en esta construcción:

Sol: x=4 cm, y=7 cm.

13. Comprueba si son semejantes dos triángulos ABC y A' B' C ' que cumplen las condiciones siguientes:

a) AB  10, BC  18, CA  12

A' B'  25, B' C '  45, C ' A'  30

b) AB  20, BC  30, CA  40

A' B'  40, B' C '  50, C ' A'  60

c) Aˆ  58º

Bˆ  97º

Aˆ '  58º Cˆ '  35º

Sol: a) si b) no c) no 14. Calcula el valor de X en esta figura:

Sol: x=12 cm. 15. Estos triángulos son semejantes, calcula las medidas a y b

Sol: a=15 cm, b=4,8 cm. 16. El perímetro de un triángulo isósceles es 49 m y su base mide 21 m. Halla el perímetro de otro triángulo semejante, cuya base mide 4 m. ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo mayor y el menor? Sol: Perímetro= 9,33 m, razón de semejanza=5,25. 17. Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 13,6 cm, respectivamente. Si el área del menor es 26 cm2, ¿cuál es el área del mayor? Sol: 75,14 cm2. 18. Observa las medidas del gráfico y calcula la altura de la torre:

Sol: 21,60 m. 19. Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.

Sol: 16,25 m y 17 m. 20. Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 7,22 m en el momento que un poste de 1,60 m da una sombra de 67 cm. Sol: 17,24 m. 21. Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña. Sol: 91,82 m. 22. En el mismo instante y lugar del ejercicio 18, ¿qué longitud tendrá la sombra de un edificio que mide 32 m de altura? Sol: 13,4 m.

23. Calcula la altura de la torre de la iglesia.

Sol: 36 m. 24. Para saber la altura del silo (depósito de trigo) de un pueblo, se alinea con él un palo y se mide su sombra. Halla la altura del silo.

Sol: 18 m. 25. A la misma hora del día, se miden las sombras que proyectan la torre del reloj y el obelisco de una plaza. Halla la altura de la torre del reloj.

Sol: 30 m. 26. Si la altura de Rita es 1,65 m, ¿cuál es la altura de la farola?

Sol: 4,4 m. 27. Halla los lados del triángulo ABC.

Sol:

28. En el triángulo ABC hemos trazado DE paralelo a CB .

¿Por qué son semejantes los triángulos ABC y ADE ? Calcula AC y AB . Sol: AC =10,5 cm;

AB = 15 cm.

29. ¿Por qué son semejantes los triángulos ABC y AED ?

Halla el perímetro del trapecio EBCD . Sol: 63 cm. 30. Observa esta figura, en la que el segmento AB es paralelo a CD .

a) Di por qué son semejantes los triángulos OAB y ODC . b) Calcula CD y OD .

Sol: b) CD  5,08 cm

OD  7,48 cm

31. ¿Cuál es la profundidad de un poz0, si su anchura es de 1,2 m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?

Sol: 2,55 m. 32. Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para medir la distancia AB, fijamos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas:

AP = 15 km, PM = 7,2 km y MN = 12 km. (MN es paralela a AB). Calcula la distancia AB. Sol: 25 km. 33. Si DF  5 cm , ¿Cuál es el área y el perímetro del pentágono FECGA ?

Sol: Área= 238,75 cm2 Perímetro= 74,55 cm 34. Los catetos del triángulo rectángulo ABC miden AC  28 cm y AB  21 cm . Desde el punto D tal que

AD  9 cm , se traza una paralela a AC . Halla el área y el perímetro del trapecio ADEC.

Sol: Área=198 cm2, perímetro= 68 cm.

35. En una carretera de montaña, nos encontramos una señal que nos advierte que la pendiente es del 8%; es decir, por cada 100 m que recorremos, el desnivel es de 8 m. a) ¿Cuál es el desnivel que se produce cuando recorremos 3 km? b)Para que el desnivel sea de 500 m, ¿cuántos kilómetros tendremos que recorrer?

Sol: a) Se produce un desnivel de 240 m. b) Tendremos que recorrer 6,25 km 36. Una parcela tiene forma de trapecio rectángulo con las dimensiones que se ven en la figura. a) Calcula su área. b) Se quiere hacer un pozo en el punto donde se cortan las prolongaciones de los lados AD y BC. ¿A qué distancia de A y de B estará el pozo? Sol: a) 4 918,11 m2 b) El pozo estaría a 135,67 m de A y a 153,6 m de B. 37. En estos dos círculos concéntricos, el radio del mayor es el triple del menor. a) Si el área del mayor es de 951 cm2, ¿cuál es el área del menor? b) Calcula el radio de cada círculo. Sol: a) 105,67 cm2 b) 17,4 cm y 5,8 cm. 38. Para hacer un embudo de boca ancha, hemos cortado un cono de 5 cm de radio a 3 cm del vértice. La circunferencia obtenida tiene 2 cm de radio. Halla el volumen del embudo.

Sol: 58,5 π cm3 39. Hemos recubierto con un tejado cónico un depósito cilíndrico de 4 m de radio y 14,4 m de altura. Si el radio del Cono es 10 m, ¿cuál es el volumen de la zona comprendida entre el cono y el cilindro?

Sol: 569,6π m3 40. La base de una escultura tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular en el que los lados de las bases miden 80 cm y 140 cm, y su altura, 150 cm. Halla su volumen.

Sol: 1 860 dm3 41. Una mesa mide 80 cm de ancho por 110 cm de largo. Queremos comprar una tela para cubrirla de manera que sobren 15 cm por cada lado. ¿Qué dimensiones ha de tener la tela? Si compramos una que cuesta 9,2 €/m2, ¿cuánto deberemos pagar? Sol: 110cmx140cm ; 14,17 €.

42. Halla el volumen de una maceta como la de la figura, en la que los radios de las bases miden 6 cm y 14 cm, y la generatriz, 30 cm.

Sol: 9 561,46 cm3 . 43. Desde un punto P, trazamos las tangentes comunes a dos circunferencias. Las distancias de P a los centros son PO = 17 cm y PO' = 30 cm. Si el radio de la mayor mide 18 cm, ¿cuánto mide el radio de la menor?

Sol: 10,2 cm. 44. Calcula el área de las siguientes figuras: a)

b)

c)

Sol: a) 66 cm2 b) 52,85 cm2 c) 10,6 cm2. 45. Tenemos una caja de lata sin tapa con forma de prisma que queremos forrar por dentro y por fuera. La hemos recortado de manera que mide 40 cm de longitud, 25 cm de anchura y 14,2 cm de altura. Suponemos que el grosor de la tapa no es apreciable. a) ¿Qué cantidad de forro necesitaremos como mínimo? b) En ella queremos poner cajas de CD cuyas dimensiones, en centímetros, son 1 x 12,5 x 14,2. ¿Cuántas cabrán como máximo? Sol: a) 0,57 m2 de forro b) 80 CD. 46. Tenemos un recipiente cilíndrico de 20 cm de diámetro que utilizamos como pluviómetro. a) Si después de un día de lluvia la altura del agua es de 2,5 cm, ¿qué volumen de agua hay en el recipiente? b) Si ayer se recogieron 2 litros de agua, ¿cuántos litros por m2 llovió ayer? Sol: a) 785,40 cm3 b) 63,66 l/m2.

47. Queremos poner una cristalera a una ventana como la de la figura:

70 cm

a) ¿Cuánto costará el marco si cada metro recto vale 20 € y cada metro curvo, 30 €? b) Calcula lo que tendremos que pagar por el cristal si el precio es de 80 €/m2 y consideramos que el grosor del marco no es significativo? Sol: a) 82,1 € b) 64,91 €.

80 cm

48. En un parque se quiere hacer una zona ajardinada con césped en forma de rombo, con una fuente circular en medio, como indica la figura adjunta. Las dimensiones son las que se indican en la figura. a) Calcula el área de la zona de césped (zona sombreada) b) Calcula el perímetro exterior de esta zona. 4 m

16 m

12 m

49. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro, sus dimensiones son 12 m de ancho por 10 m de largo y 2,5 m de alto. Calcula cuántos metros cúbicos caben en este depósito. ¿Cuántos litros son? Sol: 300 m3 ; 300 000 litros. AUTOEVALUACIÓN 1. En un mapa de Menorca, la distancia de Mahón a Ciudadela es de 60 cm. a) Calcula la escala del mapa sabiendo que la distancia real es de 48 km. b) Si en este mapa la distancia entre dos pueblos es de 5 cm, ¿cuál será la distancia real? Sol: a) 1 : 80 000 b) 4 km. 2. El perímetro de un cuadrado mide 32 centímetros. a) Halla las medidas de los lados de un cuadrilátero semejante a él si la razón de semejanza es k=1/2 b) ¿Cuál es la razón de sus áreas? Sol: a) 4 cm b) 1/4 3. Queremos hacer una maqueta de un jardín rectangular a escala 1 : 400. Su perímetro es de 850 m, y su área, de 37 500 m2. ¿Cuáles serán estas medidas en la maqueta? Sol: Perímetro= 212,5 cm, área= 2 343,75 cm2. 4. Para medir la altura de la casa, Álvaro, de 165 cm de altura, se situó a 1,5 m de la verja y tomó las medidas indicadas. ¿Cuánto mide la casa?

5. Álvaro debe situarse a 3m de un charco para ver la copa de un árbol reflejada en él. Si la distancia del charco al árbol es de 10,5 m y la estatura de Álvaro es de 1,72 m, ¿cuál es la altura del árbol? Sol: 6,02 m de alto.

6. Un centro comercial P está situado entre dos vías paralelas r y s . Se quiere unir, mediante carreteras, con las poblaciones A, B, C y D . Con estos datos calcula x e y . C

6,75 km

D

r 6 km

y P

10 km

x Sol: x=8 km

y= 7,5 km.

s A

9 km

B

7. Dos triángulos ABC y PQR son semejantes. Los lados del primero miden 24 m, 28 m y 34 m. Calcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 129 m. Sol: 36 m, 42 m y 51 m. 8. Un florero tiene forma de tronco de pirámide de bases cuadradas de 8 cm y 12 cm de lado, y la altura 16 cm. Calcula el volumen. Sol: 1 621,3 cm3. 9. Calcula el área de esta figura.

Sol: 28,28 cm2. 10. Un bidón tiene forma cilíndrica. Su altura es de 90 cm, y el radio de las tapas mide 25 cm. Calcula el volumen de líquido que cabe en este bidón. Sol: 176,71 litros. 11. Calcula el volumen de un tronco de cono de 12 cm de altura y cuyos radios mayor y menor miden 4 cm y 7 cm respectivamente. Sol: 926,77 cm3.