3.

PROBABILIDAD CONTENIDO

3 PROBABILIDAD................... 46 3.1 INTRODUCCION.........................................................46 3.2 LENGUAJE DE LA PROBABILIDAD...................... 46 3.3 DEFINICIONES DE PROBABILIDAD...................... 48 3.3.1 DEFINICION FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD.............................. 48 3.3.2 DEFINICION CLASICA DE PROBABILIDAD O DE LAPLACE........... 50 3.3.3 PROBABILIDAD SUBJETIVA.................................................................... 51

3.4 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD............ 51 3.5 REGLAS DE LA PROBABILIDAD........................ 51 3.5.1 PROBABILIDAD SIMPLE (o MARGINAL).......................................... 52 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.5.5 3.5.6 3.5.7 3.5.8

PROBABILIDAD CONJUNTA................................................................. 53 REGLA DE LA SUMA.................................................................................. 54 PROBABILIDAD CONDICIONAL............................................................. 55 INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA............................................................. 56 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN....................................................... 57 TEOREMA DE LAS PROBABILIDADES TOTALES............................ 59 TEOREMA DE BAYES............................................................................... 60

3.6 TRABAJO PRÁCTICO................................................62

PROBABILIDAD

46

3 PROBABILIDAD 3.1 INTRODUCCION Tal vez esté familiarizado con algunas ideas de probabilidad, ya que ésta forma parte de la cultura cotidiana. Con frecuencia se escucha a personas que hacen afirmaciones relacionadas con la probabilidad como las siguientes:    

Probablemente nuestro equipo gane esta noche. Hay un 40 % de probabilidad de que llueva mañana. Tengo una posibilidad de 50-50 de aprobar el examen de estadística de hoy. Es más probable que nos encontremos un fin de semana que un día de la semana.

¿Qué significan exactamente este tipo de expresiones? ¿Significan de hecho lo que afirman?. Algunas afirmaciones pueden estar basadas en información científica y otras en prejuicios subjetivos. Cualquiera que sea el caso, son inferencias probabilísticas: no hechos, sino conjeturas. Como ya se vio en el ejemplo de las elecciones de gobernador e intendente (capítulo 1, pag. 5), no se puede tener la certeza de que el porcentaje de votos obtenido por un candidato cualquiera aparezca en una muestra aleatoria. Sin embargo, es “probable” que el porcentaje en la muestra resulte “próximo” al que se obtuvo en el acto eleccionario. Se tiene como propósito definir “probable”, “próximo”, de manera más precisa. Para ello es necesario considerar en primer término una serie de nociones básicas sobre el conocimiento de las “leyes de probabilidad”. En este capítulo se estudiará el concepto básico de probabilidad y sus reglas aplicadas a sucesos simples y sucesos compuestos. La teoría de la probabilidad es la base de la inferencia estadística y un instrumento esencial en el análisis de la variabilidad.

3.2 LENGUAJE DE LA PROBABILIDAD  Experimento aleatorio Es el tipo de fenómenos de que nos ocuparemos. Se caracterizan porque: 

aunque no se puede saber el resultado particular que ocurrirá, se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles



después de un gran número de repeticiones de la experiencia aleatoria, existe una distribución regular de los resultados. Es decir, a medida que el experimento se repite los resultados parecen ocurrir de manera caprichosa, sin embargo, ante un gran número de repeticiones aparece un modelo definido de regularidad. Esta regularidad hace posible la construcción de un modelo matemático que permite el análisis del experimento.



Esto se puede visualizar en el ejemplo del lanzamiento de una moneda (ver punto. 3.3.1, pag. 49).

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PROBABILIDAD

47

“Aleatorio” en estadística no significa de cualquier manera, sino que se refiere a una clase de orden que únicamente aparece a largo plazo.

 Espacio muestral y sucesos 

En una experiencia aleatoria cada resultado se conoce con el nombre de suceso.



Se llama suceso elemental a todo resultado simple. Por ejemplo, si se considera la experiencia aleatoria de tirar un dado, cada uno de los resultados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son sucesos elementales.



Al conjunto de todos los sucesos elementales posibles se lo llama espacio muestral (S) En el ejemplo S = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Simbólicamente: S = {s1, s2, s3..... } El espacio muestral puede ser finito o infinito, numérico o no numérico



Un suceso que no puede ocurrir ante una repetición de la experiencia aleatoria es un suceso imposible. Se lo suele indicar ∅.

 Relaciones entre sucesos Sean A, B y C sucesos asociados a una experiencia aleatoria. Las posibles relaciones entre los mismos se muestran a continuación gráfica y simbólicamente: S a

_ A

A

A ∪A= S

Complemento S

b

A

B

Mutuamente excluyentes

A∩B=∅

S

c



A B

No mutuamente excluyentes

A∩B≠ ∅

El complemento de cualquier suceso es el conjunto de resultados que no están contenidos en ese suceso.

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PROBABILIDAD



48

Los sucesos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro.

Es importante distinguir el conjunto resultante de la unión ( ∪ ) o intersección ( ∩ ) de sucesos: 

Si A y B son sucesos, A ∪ B es el suceso que ocurre si y sólo si A o B (o ambos) ocurren.



Si A y B son sucesos, A ∩ B es el suceso que ocurre si y sólo si A y B ocurren simultáneamente.

 Ejercicios Considerando la experiencia aleatoria de arrojar un dado y registrar el nº de la cara superior: a) Si se pensara en tirar el dado un número infinito de veces: defina la población y clasifíquela. b) Proponga para la experiencia aleatoria: - un suceso elemental - un suceso imposible - dos sucesos mutuamente excluyentes - dos sucesos no mutuamente excluyentes

3.3 DEFINICIONES DE PROBABILIDAD 3.3.1 DEFINICION FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD En el punto 3.2.1. se han definido las características de un experimento aleatorio. Un ejemplo de experiencia aleatoria es el lanzamiento de una moneda. Cuando se lanza una moneda al aire sólo hay dos resultados posibles, cara o cruz. El resultado no se puede predecir de antemano y variará cuando se lance en forma repetida, sin embargo se observa una cierta regularidad en los resultados, una regularidad que sólo emerge después de muchas repeticiones. La figura 3.1 muestra la regularidad observada al lanzar una moneda 1000 veces. Para cada lanzamiento, desde el primero hasta el último, se ha representado la proporción de lanzamientos que han dado “cara” hasta ese momento. El primer lanzamiento fue cara, por tanto, la proporción de caras empieza siendo 1. El segundo lanzamiento fue cruz. Después de los dos lanzamientos, la proporción de caras se ha reducido a 0.5. Los siguientes tres lanzamientos dieron una cruz seguida de dos caras, por consiguiente, la proporción de caras después de cinco lanzamientos es 3/5 ó 0,6. La proporción de lanzamientos que dan cara es bastante variable al principio, pero posteriormente se estabiliza a medida que se hacen más y más lanzamientos. Llega un momento en que esta proporción se acerca a 0,5 y se mantiene en ese valor. Se dice que 0,5 es la probabilidad de que salga cara. Una probabilidad de 0,5 significa que el suceso cara “ocurre la mitad de las veces después de muchos lanzamientos”. En otras palabras, se puede decir que si se arrojara un gran número de veces esa moneda al aire, aproximadamente el 50 % de las veces se observaría el

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PROBABILIDAD

49

Proporción de caras

resultado cara o expresándolo en los términos anteriormente vistos, la frecuencia relativa del suceso cara sería aproximadamente 0,5.

Número de lanzamientos

Figura 3.1 Formalizando, se define: ε : lanzar una moneda al aire y registrar el resultado El espacio muestral asociado a ε :

S ={C;X}

Sea: s1: cara n1: frecuencia absoluta del suceso s1 n : nº de repeticiones del ε

f ( s1 ) =

n1 : proporción de veces que se verifica cara en n tiradas. n

Generalizando: f ( si ) =

ni n

 → n→ ∞

P ( si )

Es decir, la probabilidad de un suceso (o resultado) es el número hacia el cual tiende la frecuencia relativa del mismo cuando el número de repeticiones de la experiencia tiende a infinito. Es decir, es una frecuencia relativa calculada en la población.1 Esta definición de probabilidad se conoce como definición frecuencial de probabilidad2. 1

2

La interpretación de la probabilidad como frecuencia relativa en el límite se basa en la observación de un gran número de repeticiones. Surge ahora la pregunta, ¿cuántas repeticiones se deben realizar? Como veremos en el capítulo 6, con un número finito de repeticiones de la experiencia es posible aproximar la verdadera probabilidad de un suceso. Este efecto estabilizador de la frecuencia relativa cuando el número de observaciones crece se denomina Ley de los grandes números.

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50

3.3.2 DEFINICION CLASICA DE PROBABILIDAD O DE LAPLACE

Se ha considerado a la probabilidad de ocurrencia de un resultado determinado de una experiencia aleatoria, como la proporción de veces (frecuencia relativa) que se obtiene dicho resultado después de una gran cantidad de repeticiones. Sin embargo, considerando la experiencia aleatoria de arrojar una moneda, se podría haber conjeturado sin repetir dicha experiencia, que la probabilidad de obtener el resultado “cara” es 0,5. Esto se sustenta en que si la moneda no está cargada, cada resultado tiene la misma chance de ocurrir. Esta descripción permite introducir lo que se conoce como definición clásica de probabilidad o de Laplace. Esta definición sólo puede ser aplicada si:  el espacio muestral S consta de un número finito de resultados

S = {s1, s2,......... sk}  todos los resultados son igualmente probables

P ( s1 ) = P( s 2 ) =  = P ( s k ) Al igual que en las frecuencias relativas, la sumatoria de las probabilidades de todos los sucesos posibles es igual a 1: k ∑ P ( si ) = 1 i= 1

y por lo tanto, si

r A =  si i= 1

⇒

P ( si ) =

1 k

donde r ≤ k

entonces r r P( A) = ∑ p( si ) = k i= 1

Suele enunciarse como:

P ( A) =

n º de resultados favorables a A n º de resultados posibles

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PROBABILIDAD

51

3.3.3 PROBABILIDAD SUBJETIVA En los dos enfoques de probabilidad desarrollados anteriormente, se definió a la probabilidad como la proporción de resultados favorables respecto al total de resultados. En la primera situación, dicha proporción se basa en datos observados y en la segunda en el conocimiento previo de un proceso (número finito de resultados igualmente probables). El tercer enfoque de probabilidad se llama probabilidad subjetiva y se refiere a la probabilidad asignada a un suceso por una persona en particular. La misma puede ser bastante diferente de la probabilidad subjetiva que estipula otra persona. Si un equipo de administración piensa que hay una probabilidad de 0.35 de que un nuevo producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una probabilidad subjetiva. El valor 0.35 es una opinión, más que un valor basado en una evidencia objetiva. Este tipo de probabilidad es frecuente en la toma de decisiones en el mercado, siendo confiable si la determina un experto en la materia.

3.4 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD Cualquiera sea el enfoque utilizado para determinar la probabilidad de un suceso A, ésta debe verificar ciertas propiedades:  Cualquier probabilidad es un número entre 0 y 1 → 0 ≤ P ( A ) ≤ 1  Todos los resultados posibles juntos deben tener una probabilidad de 1 →

P(S) = 1

 La probabilidad de que un suceso ocurra es igual a 1 menos la probabilidad de que no ocurra → P ( A ) = 1 − P A

( )

 La probabilidad del suceso imposible es 0 → P ( ∅ ) = 0  Si dos sucesos no tiene resultados en común, la probabilidad de que ocurra cualquiera de ellos es igual a la suma de sus probabilidades individuales.

3.5 REGLAS DE LA PROBABILIDAD Existen varias manera de observar un espacio muestral específico. El método que se utiliza a continuación implica ubicar los sucesos en una tabla de doble entrada o tabla de contigencia3.

En la tabla siguiente se muestra el número de alumnos varones y mujeres ingresantes en las distintas carreras de la U.T.N. Rosario, durante el año 2003: 3

Este tipo de tablas fue utilizada para presentar la información de los ejercicios 5 y 6 que se proponen como trabajo práctico en Estadística Descriptiva (pags. 40-41).

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PROBABILIDAD

Carrera

52

I.S.I.

Ingeniería Mecánica

Ingeniería Química

Ingeniería Eléctrica

Ingeniería Civil

Total

Mujer

141

2

50

1

8

202

Varón

496

129

90

68

58

841

Total

637

131

140

69

66

1043

Sexo

Se considera 

la experiencia aleatoria : seleccionar un alumno al azar de los ingresantes a la Facultad durante el año 2003



asociados a la variable cualitativa “sexo”, los sucesos:  M: ingresante mujer



V: ingresante varón

asociados a la variable cualitativa “carrera a la que ingresa”, los sucesos:  I : ingresante a I.S.I.

Q: ingresante a Ing. Química C: ingresante a Ing. Civil

F: ingresante a Ing. Mecánica E: ingresante a Ing. Eléctrica

En los puntos siguientes se desarrollarán reglas para obtener diferentes tipos de probabilidad y para su compresión nos basaremos en la situación planteada anteriormente.

3.5.1 PROBABILIDAD SIMPLE (o MARGINAL) La probabilidad simple se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso simple. Son probabilidades simples los ejemplos que se presentan: 

Probabilidad de seleccionar un ingresante mujer:

P(M ) =



número de ingresantes mujeres 202 = = 0,19 total de ingresantes 1043

Probabilidad de seleccionar un ingresante varón:

P (V ) =

número de ingresantes varones 841 = = 0,81 total de ingresantes 1043

Observe que los sucesos V y M son sucesos complementarios y por lo tanto, la suma de sus probabilidades es igual a 1.

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PROBABILIDAD

53

Probabilidad de seleccionar un ingresante a I.S.I.:



P(I) =

número de ingresantes a I .S .I . 637 = = 0,61 total de ingresantes 1043

3.5.2 PROBABILIDAD CONJUNTA Cuando se está interesado en conocer la probabilidad de que dos sucesos se verifiquen simultáneamente, se habla de probabilidad conjunta. Por ejemplo se puede estar interesado en conocer cuál es la probabilidad de seleccionar un alumno del sexo femenino y que sea ingresante en I.S.I.. Este suceso se expresa como M ∩ I y la probabilidad se obtiene de la siguiente forma:

P ( M y I) = P ( M ∩ I) =

número de ingresantes mujeres e inscriptos a I .S .I . 141 = = 0,14 total de ingresantes 1043

En la tabla siguiente se presenta la distribución de probabilidades conjuntas y las marginales respectivas. La distribución marginal está compuesta por el conjunto de probabilidades simples de los sucesos asociados a cada variable4:

I

F

Q

E

C

Distribución marginal de sexo

M

0,14

0

0,05

0

0

0,19

V

0,47

0,12

0,09

0,07

0,06

0,81

Distribución marginal de carrera

0,61

0,12

0,14

0,07

0,06

1

Carrera Sexo

Ahora se puede ver la probabilidad de un suceso simple como la suma de las probabilidades conjuntas que incluyen dicho suceso. Por ejemplo, se puede pensar la P (M) como: P ( M ) = P ( I ∩ M ) + P ( F ∩ M ) + P (Q ∩ M ) + P ( E ∩ M ) + P (C ∩ M ) = = 0,14 + 0 + 0,05 + 0 + 0 = 0,19

4

En las celdas sombreadas se presenta la distribución de las probabilidades conjuntas. G.Carnevalli-E.Franchelli-G.Gervasoni

PROBABILIDAD

54

En general k

P ( B ) = ∑ P ( Ai ∩ B ) i= 1

Donde A1 , A2, ....... Ak son k sucesos mutuamente excluyentes.

3.5.3 REGLA DE LA SUMA Para calcular la probabilidad de que ocurra cualquier suceso, A o B, se usa la regla de la suma. Esta regla considera que pueden ocurrir el suceso A, el suceso B o ambos sucesos Ay B.

Regla de la suma P ( A o B ) = P ( A ∪ B ) = P ( Α ) + P ( Β ) − P ( Α ∩ B) La probabilidad del suceso A y B se resta de esta suma porque se incluye dos veces al calcular la probabilidad de A y la probabilidad de B. Esto se podrá visualizar en el siguiente ejemplo: 

Retomando el ejemplo de los ingresantes a la UTN, podríamos estar interesados en conocer la probabilidad de seleccionar un ingresante varón o a la carrera de Ingeniería Química. Aplicando la regla se obtiene:

P (V ∪ Q ) = P ( V ) + P ( Q ) − P (V ∩ Q ) = 0,81 + 0,14 − 0,09 = 0,86 El cálculo de la probabilidad del suceso anterior puede pensarse también de la siguiente forma:

(

)

(

)

P (V ∪ Q ) = P V ∩ Q + P V ∩ Q + P (V ∩ Q ) = 0,72 + 0,05 + 0,09 = 0,86 S V∩ Q

V∩Q



Regla de la suma para sucesos mutuamente excluyentes Para sucesos mutuamente excluyentes, la regla de la suma se reduce a:

P(A∪B) = P(A)+P(B)

[ ya que P ( A ∩ B ) = 0 ]

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PROBABILIDAD



55

Regla de la suma para más de dos sucesos Esta regla se extiende para calcular la probabilidad de ocurrencia de la unión de más de dos sucesos cualesquiera. En el caso de tres sucesos ( A, B y C ), se demuestra fácilmente : P ( A ∪ B ∪ C ) = P( A ) + P( B ) + P( C ) − P( A ∩ B ) − P( A ∩ C ) − P( B ∩ C ) + P( A ∩ B ∩ C )

3.5.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL Hasta ahora se consideró la probabilidad de ocurrencia de un suceso cuando se realiza una selección aleatoria a partir de un espacio muestral completo. Sin embargo muchas veces se conoce cierta información acerca de los sucesos implicados en la experiencia aleatoria. En estas situaciones, cuando se calcula la probabilidad de que ocurra un suceso dado que se cuenta con la información de la ocurrencia de otro, se está ante una probabilidad condicional. Veamos esta situación a través del ejemplo de los alumnos ingresantes: Se consideran los sucesos

M : ingresante mujer I : ingresante a I.S.I.

Supongamos que al realizar la experiencia aleatoria fue seleccionado un alumno ingresante a la carrera I.S.I.; es decir, se verificó el suceso I. Interesa conocer la probabilidad de que el alumno seleccionado sea mujer.

(

Este es un ejemplo de probabilidad condicional y se lo denota como P M I probabilidad condicional del suceso M sabiendo que se verificó el suceso I.

)

, e indica la

El cálculo de esta probabilidad puede hacerse por dos caminos:

 El conocimiento de que el alumno seleccionado es un ingresante a la carrera I.S.I. reduce el espacio muestral S al espacio muestral reducido I. Por lo tanto :

( )

141 P MI = = 0,22 637

→

probabilidad de M en el espacio muestral reducido I

 El cálculo de la probabilidad condicional a partir de probabilidades calculadas en el espacio muestral original es :

( )

141 P MI = = 637

141 1.043 = 0,135 = 0,22 637 0,611 1.043

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PROBABILIDAD

Como

141 = P( M ∩ I ) 1043

y

56

637 = P( I ) 1.043

Se puede expresar:

(

P M

I

)=

P( M ∩ I ) P(I)

con

P(I) ≠ 0

Si se compara P(M) (igual a 0,19) y P(M / I ) (igual a 0,22), se observa que el conocimiento de que el suceso I ocurrió modifica la probabilidad de ocurrencia del suceso M.

Generalizando: Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento ε, P(B/A) indica la probabilidad condicional del suceso B sabiendo que A se ha verificado.

De acuerdo a lo visto en el ejemplo, el cálculo de P(B/A) se puede realizar a partir de:

 espacio muestral reducido  espacio muestral original aplicando la siguiente fórmula:

P( B

A )=

P (B ∩ A) P (A)

con P ( A ) ≠ 0

(1)

con P ( B ) ≠ 0

(2)

Con el mismo razonamiento:

P( A

B )=

P( A∩ B ) P( B )

3.5.5 INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA Como dijimos anteriormente, la probabilidad de seleccionar un ingresante mujer es 0,19; sin embargo la probabilidad de seleccionar un ingresante mujer cuando se sabe que el ingresante seleccionado pertenece a ISI, incrementa el valor a 0,22. Este resultado está condicionado por la información previa. A diferencia de este ejemplo, cuando el resultado de un suceso no afecta la probabilidad de ocurrencia de otro suceso, se dice que los sucesos son estadísticamente independientes.

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En general: Los sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta en ninguna forma las posibilidades de que el otro ocurra. En consecuencia: P ( A B ) = P (A)



o

P ( B A) = P (B)

Se demuestra que si: A independiente de B

⇒

B independiente de A

y también resultan independientes



Ay B , A y B

y

Ay B

Volviendo a la situación planteada anteriormente, los sucesos M e I no son independientes ya que:

P (M I ) ≠ P ( M P ( I M) ≠ P( I

)

y

)

Analizando los resultados obtenidos se puede deducir que el conocer que un suceso ha ocurrido puede aumentar, disminuir o no modificar la probabilidad de ocurrencia de otro suceso relacionado con el primero. En el caso particular de que un suceso no modifique la probabilidad de ocurrencia de otro, se dice que los sucesos son independientes.

3.5.6 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

La fórmula de la probabilidad condicional se puede manipular algebraicamente de modo que la probabilidad conjunta se puede determinar a partir de la probabilidad condicional de un suceso. De las ecuaciones (1) y (2) de la página 56, resulta: P( A∩ B ) = P( A B ) . P( B ) = P( B

A ) . P( A )

Esta regla puede aplicarse si se tiene que calcular la probabilidad de que ocurran conjuntamente tres o más sucesos cualesquiera. Generalizando para n sucesos:  n  P   Ai  = P (A1 ) . P ( A2 A1 ) . P ( A3 A1 A2 ) P ( An A1 A2  An - 1 )  i= 1 

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Para la aplicación de la regla de la multiplicación, es importante determinar si los sucesos son o no independientes. Luego, si A y B son sucesos independientes, la regla de la multiplicación resulta: P (A ∩ B) = P ( A ) . P ( B ) Generalizando la regla de la multiplicación a más de dos sucesos independientes: n

n

i= 1

i= 1

P (  Ai ) = ∏ P ( Ai )

Nota: Se quiere remarcar la diferencia entre dos conceptos muy importantes: sucesos independientes y sucesos mutuamente excluyentes:

 Mutuamente excluyentes indica que los dos sucesos no pueden ocurrir al mismo tiempo; por lo tanto su intersección es vacía.

 La independencia indica que un suceso no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

 Dos sucesos no pueden ser a la vez mutuamente excluyentes e independientes. Es decir: - Si dos sucesos son mutuamente excluyentes, entonces no son independientes. - Si dos sucesos son independientes, entonces no son mutuamente excluyentes.

 Ejercicios 1. Suponga que se exhiben 20 marcadores en una librería. De estos, 6 son rojos y 14 son azules. Se seleccionan al azar 2 marcadores del conjunto de 20. Encuentre la probabilidad de que los dos marcadores seleccionados sean rojos. (Considere los sucesos A 1: el primer marcador seleccionado es rojo y A2: el segundo marcador seleccionado es rojo) 2. Suponga la experiencia aleatoria del ejercicio 1 pero considerando que el primero de los marcadores elegidos se regresa al mostrador después de determinar su color. Encuentre la probabilidad de seleccionar marcadores rojos las dos veces.

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3.5.7 TEOREMA DE LAS PROBABILIDADES TOTALES Muchas veces interesa estudiar la probabilidad de ocurrencia de un suceso, pero sólo se conoce la probabilidad de ocurrencia del mismo asociada a otros sucesos relacionados (probabilidades condicionadas) y las probabilidades de ocurrencia de estos sucesos. A continuación se trabaja sobre una situación que ejemplificará lo anteriormente expuesto:

Entre la población económicamente activa de una ciudad, el 40%

ha completado el nivel de instrucción primario, el 50 % el nivel de instrucción secundario y el 10% la universidad. Entre los individuos que tienen educación primaria hay una 10 % de desempleados, entre los que tienen educación secundaria un 5 % y entre los graduados universitarios un 2 %. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo económicamente activo esté desempleado? 

Sean los sucesos: B : desempleado. A1 : nivel de instrucción primario completo. A2 : nivel de instrucción secundario completo. A3 : nivel de instrucción universitario completo.



Y sus probabilidades: P(A1) = 0,40

P(A2) = 0,50

P(A3) = 0,10

P(B/A1) = 0,10

P(B/A2) = 0,05

P(B/A3) = 0,02

Observe que: A1 , A2 , A3 representan una partición de S y B otro suceso relacionado con Ai . Se puede expresar:

B = ( A1 ∩ B ) ∪ ( A2 ∩ B ) ∪ ( A3 ∩ B )

Si se conocen: Sucesos

A1

A2

A3

B

0,04

0,025

0,002

0,067

B

0,36

0,475

0,098

0,933

P (Ai)

0,40

0,50

0,10

1

Probabilidad

Luego,

P (B ) =

3

∑

i= 1

P (Ai ∩ B ) =

3

∑

i= 1

P (Ai ) . P( B Ai ) =

= 0.4 ⋅ 0.1 + 0.5 ⋅ 0.05 + 0.1 ⋅ 0.02 = 0.067 Esto indica que un 6.7 % de los trabajadores están desempleados.

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60

Generalizando

P (B) =

k

∑

i= 1

P ( Ai ) ⋅ P ( B Ai )

Esta aplicación se conoce como Teorema de las probabilidades totales. Para resolver este tipo de problemas también es útil recurrir a un diagrama de “árbol”:

P (B/A1) P (A1) P ( A2 ) P (A3)

P(A1y∩ B) = P(A11) (B/A11) = (0,4) (0,01) 0,004 (0,1) ==0,04

_ P (B/A1) P (B/A2)

P(A2 ∩ B) = P(A2) (B/A2) = (0,5) (0,05) = 0,025

_ P (B/A2) P (B/A3)

P(A3 ∩ B) = P(A3) (B/A3) = (0,1) (0,02) = 0,002

_ P (B/A3)

3.5.8 TEOREMA DE BAYES La probabilidad condicional toma en cuenta información acerca de la ocurrencia de un suceso para encontrar la probabilidad de otro. Este concepto puede extenderse para revisar probabilidades basadas en nueva información y para determinar la probabilidad de que un efecto en particular se deba a una causa específica. El procedimiento para revisar estas probabilidades se conoce como teorema de Bayes. Se retoma el ejemplo de los trabajadores para aplicar este teorema. Suponga que se elige un trabajador al azar y se encuentra que es un desempleado ¿cuál es la probabilidad de que hubiera terminado sus estudios secundarios? El teorema de Bayes puede desarrollarse a partir de la definición de probabilidad condicional:

P (A2 / B) =

P( A2 ∩ B) 0.025 = P( B ) 0.067

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PROBABILIDAD

61

Se puede decir que ciertas “causas” (por ej. tipo de educación: A1, A2 , A3....) tienen probabilidades a priori P(Ai). Existe un “efecto” B (desempleo), que no siempre ocurre cuando la causa está presente, por eso se habla de P(B/Ai). Cuando se usa la probabilidad condicional para invertir lo anterior, se calcula la probabilidad de una causa, dado el efecto, es decir, la probabilidad a posteriori P (Ai/B)

Dado

Se deduce

P ( Ai) P (B / Ai)

→

P (Ai / B)

En general, el Teorema de Bayes se obtiene en la ecuación:

P (Aj B ) =

P (Aj) ⋅ P ( B Aj ) k

∑

i= 1

P (Ai) ⋅ P ( B Ai )

j= 1, 2, 3, .....k

Observe que el denominador no es más que la aplicación del teorema de las probabilidades totales.

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PROBABILIDAD

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3.6 TRABAJO PRÁCTICO 1. Un conmutador consta de dos líneas L1 y L2. En un momento “t” cualquiera, cada una de las líneas puede encontrase congestionada ( C ) o descongestionada ( D ). a) Describa los posibles resultados de observar el estado del conmutador en un momento “t”. b) Suponga que se conocen las probabilidades de los sucesos elementales del espacio muestral:

L1

Congestionada Descongestionada

L2 Congestionada Descongestionada

x

0,10

0,10

0,79

Determine el valor de x e indique que representa dicho valor. c) Calcule las probabilidades de cada uno de los siguientes sucesos (resuelva considerando los sucesos F: la línea L1 está congestionada y G: la línea L2 está congestionada) A: B: C: D: E:

al menos una línea está congestionada ambas líneas están congestionadas ambas líneas están descongestionadas sólo una línea está congestionada a lo sumo una línea está congestionada

2.- Considere el ejercicio 6 de la unidad nº 2 Estadística descriptiva (pág. 43) Una compañía de seguros registró entre sus asegurados el número de accidentes del año 2003, obteniendo la siguiente información: Edad del asegurado N° de accidentes 0 (suceso A) 1 (suceso B) 2 (suceso C) más de 2 (suceso D) Totales

(E) [18-28)

(F) [28-38)

(G) [38-48)

(H) [48-58)

(I) 58 y más

Totales

748 84 41 10 883

821 50 15 9 895

786 41 12 5 844

720 66 16 5 807

672 60 25 8 765

3747 301 109 37 4191

a) ¿Qué variables se pueden identificar en este estudio? Clasifíquelas. Calcule la probabilidad de que un asegurado elegido al azar: b) tenga entre 28 y 38 años de edad c) haya tenido un accidente d) haya tenido un accidente y tenga entre 28 y 38 años de edad

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PROBABILIDAD

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e) haya tenido un accidente si tiene entre 28 y 38 años de edad f)

Calcule las probabilidades para los sucesos simples asociados a la variable “nº de accidentes”.

3.- Un contratista tiene ocho proveedores a los cuales puede comprarles insumos eléctricos. Seleccionará aleatoriamente a tres de ellos y pedirá a cada uno que presente una cotización del proyecto. a) ¿De cuántas maneras puede seleccionarse a los proveedores? b) Si su compañía es uno de los ocho proveedores ¿cuál es la probabilidad de que tenga oportunidad de cotizar el proyecto? 4.- Una compañía recibe un embarque de 20 discos duros. Antes de aceptarlo, selecciona aleatoriamente cinco de ellos y los somete a prueba. El embarque se acepta si los cinco discos cumplen con las especificaciones, en caso contrario se regresan todos al fabricante. Si tres de los 20 discos son defectuosos. a) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse una muestra de cinco discos duros? b) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse una muestra de cinco discos duros que cumplan con las especificaciones? c) ¿cuál es la probabilidad de que no se acepte el embarque? 5.- Cuando una computadora se bloquea, existe una probabilidad de 75% de que se deba a una sobrecarga, y de 15% de que sea por un problema de software. La probabilidad de que se origine en una sobrecarga o un problema de software es de 85%. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a ambos problemas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga?

6.- Un número binario está compuesto sólo de los dígitos cero y uno. Suponga que un número binario está formado por n dígitos. La probabilidad de que aparezca un dígito incorrecto es “p” y los errores en dígitos diferentes son independientes uno del otro. ¿Cuál es la probabilidad de formar un nº incorrecto?. 7.- Una compañía de automóviles ha determinado que un nuevo comprador de autos solicitará aire acondicionado instalado en fábrica en el 30 % de los casos. Calcule la probabilidad de que: a) b) c) d)

los siguientes 4 compradores soliciten aire acondicionado en fábrica ninguno de los siguientes 3 compradores soliciten aire acondicionado en fábrica dos de los siguientes 4 compradores soliciten aire acondicionado en fábrica de los siguientes 4 compradores sólo el último solicite aire acondicionado en fábrica

8.- El gerente de una empresa de colocaciones desea estudiar varias características de las personas que solicitan trabajo, entre ellas si el solicitante estuvo en el último empleo por lo menos 5 años y si tienen título universitario. Se selecciona una muestra de 600 solicitantes obteniéndose la siguiente tabla de frecuencias:

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PROBABILIDAD

Universitario Ultimo empleo por lo menos 5 años

Si No Total

64

Si

No

Total

100

180

280

220

100

320

320

280

600

Calcule el porcentaje de solicitantes a) con título universitario b) que estuvieron en el último empleo por lo menos 5 años c) con título universitario y que haya estado en el último empleo por lo menos 5 años d) sin título universitario y que haya estado en el último empleo por lo menos 5 años e) no tenga título universitario o haya estado en el último empleo por lo menos 5 años f) con título universitario que hayan estado más de 5 años en el último empleo g) que habiendo estado más de 5 años en el último empleo, no tengan título universitario

∗ ¿Pueden considerarse estos porcentajes como indicadores de probabilidades de los respectivos sucesos?

** Indique cuál o cuáles serían los supuestos apropiados para que esto fuera así e interprete los items del punto anterior en términos de probabilidad. *** Analice la independencia de los sucesos: “el solicitante tiene título universitario” y “el solicitante estuvo en el último empleo por lo menos 5 años”. 9.- Una empresa dedicada al procesamiento de datos considera que al probar por primera vez un programa se pueden encontrar: -

errores importantes (que ocasiona que el programa falle por completo) errores menores (fallas que permiten que el programa se corra, pero que en algunas situaciones producen resultados erróneos) ningún error

De experiencias anteriores se conoce que la probabilidad de que al correr por primera vez el programa se encuentren errores importantes es 0,6; de encontrar errores menores es 0,3 y de no encontrar errores es 0,1. En caso de haber errores se trata de corregirlos y se vuelve a probar el programa. La tabla siguiente muestra las probabilidades de los resultados en la 2ª prueba condicionada a los de la 1ª :

2ª prueba 1ª prueba Importante

Importante

Menor

Ninguno

0,3

0,5

0,2

Menor

0,1

0,3

0,6

Ninguno

0

0,2

0,8

a) Construya una tabla de probabilidades conjuntas y un árbol de probabilidad b) Encuentre la probabilidad de descubrir un error importante durante la segunda prueba c) Encuentre la probabilidad de error menor en la primera prueba sabiendo que el error en la segunda prueba es importante d) Analice la independencia entre los resultados de la primera prueba con los de la segunda.

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10. En un gran hospital de niños, el inspector de calidad de las partidas de leche en polvo que el gobierno envía, acepta (A) el 90 % de las mismas y rechaza el resto. De experiencias anteriores se conoce que el 95 % de los lotes que envía el gobierno son buenos (B) y el resto presenta algún defecto (D). El inspector rechaza el 94 % de los lotes defectuosos que inspecciona. a) Construya la tabla de probabilidades conjuntas de acciones a tomar versus la calidad del lote b) ¿Qué porcentaje de los lotes inspeccionados son malos y se los rechaza?. c) ¿Qué porcentaje de los lotes inspeccionados son buenos y se los acepta?. d) Calcule la probabilidad de que el inspector se equivoque al inspeccionar un lote. 11.- Los pedidos nuevos de un producto de una compañía varían en valor monetario según la siguiente distribución de probabilidades:

Monto de ventas

0-1000

Probabilidad

0.1

1001-2000 0.35

2001-3000 0.25

3001-4000 más de 4000 0.20

0.10

Calcule la probabilidad de que: a) un nuevo pedido tenga un monto mayor que $ 2000 b) un nuevo pedido tenga un monto entre $ 2000 y $ 4000 c) Se conoce además que la forma de pago de los pedidos puede ser al contado o en cheques, dándose los mismos en los siguientes porcentajes: – 70 % pagan de contado si el monto no supera los $2000 – 50 % se pagan de contado si el monto está entre $2000 y $4000 – el 80 % de los pedidos con montos superiores a $4000 se pagan con cheques. Calcule: c1) el porcentaje de pedidos pagados de contado c2) el porcentaje de pedidos con un monto superior a 4000$ entre los que fueron pagados de contado. 12.- Un centro de cómputo tiene tres impresoras, A, B, y C, que imprimen a velocidad distinta. Los programas se envían a la primera impresora disponible. Las probabilidades de que un programa se envíe a las impresoras A, B, y C son de 0.6, 0.3 y 0.1 respectivamente. En ocasiones los impresos se atoran en la impresora y se destruyen. La probabilidad de que se atore el papel en las impresoras A, B, y C son de 0.01, 0.05 y 0.04 respectivamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que si un programa escrito se destruyó, ello haya ocurrido en la impresora A? b) ¿haya ocurrido en la impresora B? c) ¿haya ocurrido en la impresora C? 13.- El editor de una compañía que edita libros de texto quiere decidir si va a publicar un libro de estadística para administración. El análisis de los libros de texto que se publicaron anteriormente indica que 10 % fueron grandes éxitos, 20% tuvieron un éxito modesto, 40 % lograron recuperar los gastos de inversión y 30 % fueron un fracaso. Sin embargo, antes de tomar una decisión se va a realizar un dictamen del libro. En el pasado obtuvieron dictámenes favorables el 99 % de los grandes éxitos, el 70 % de los éxitos modestos, el 40 % de los títulos que alcanzaron a recuperar gastos de inversión y el 20 % de los fracasos. a) ¿Qué proporción de libros de texto reciben dictámenes favorables? b) Si el libro propuesto obtiene un dictamen favorable, ¿cómo debe revisar el editor las probabilidades de los diferentes resultados para tomar en cuenta esta información?

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