4º ESO – POLINOMIOS

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POLINOMIOS 1.- POLINOMIOS Una expresión algebraica está formada por números y letras asociados por medio de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división y potenciación). 1

Ejemplo: 16a

3

+ 4x

2 4

y3 −

2t 5z 2 + 1

− 3

Un monomio es una expresión algebraica en la que únicamente utilizamos la multiplicación y la potencia de exponente natural. Ejemplo: 4x3y2z2, 2x3yz3, – 5xy3tz4 Habitualmente trabajaremos con monomios en una sola variable. Ejemplo: 7x3, 6x2, 5x, 2 En un monomio se denomina coeficiente al número que ponemos delante de las letras, y se denomina parte literal a la formada por las letras con sus exponentes. Ejemplo: 4x3y2z2, el coeficiente es 4 y la parte literal es x3y2z2 Llamamos grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que forman la parte literal. Ejemplo: 4x3y2z2, este monomio tiene grado 7 (3+2+2=7), mientras que este 2x3yz tendrá grado 5 (3+1+1)=5 Un polinomio es la suma o resta de varios monomios. Si el polinomio está formado por dos monomios se llama binomio, si está formado por tres monomios se llama trinomio, si está formado por cuatro o más monomios se le dice polinomio. Ejemplo: P(x,y,z,t) = 4x3y2z2 + 2x3yz – 3xy3tz, y en una sola variable (será lo habitual): Q(x) = 3x2 – 4x + 5 Llamamos grado de un polinomio al mayor de los grados de todos sus monomios. Ejemplo: P(x,y,z,t) = 4x3y2z2 + 2x3yz – 3xy3tz, tiene grado 7 (el mayor de 3+2+2, 3+1+1, 1+3+1+1) Q(x) = 3x2 – 4x + 5, tiene grado 2 Cada monomio que forma parte de un polinomio se llama término del polinomio. Ejemplo: Q(x) = 3x2 – 4x + 5, tenemos, 3x2 es el término de grado dos, – 4x es el término de grado uno, y 5 es el término independiente, pues no depende de la variable “x”. Llamamos valor numérico de un polinomio al valor que se obtiene al sustituir la variable (letra) por un número que nos deben indicar. Ejemplo: Dado P(x,y) = 4x3y2 + 5x2y – 3xy3, calcular el valor numérico para x=1 e y=2. Se escribe P(1,2) = 4·13·22 + 5·12·2 – 3·1·23 = 16 + 10 – 12 = 14, luego 14 es el valor numérico para x=1 e y=2 de ese polinomio. Como normalmente trabajaremos en una sola variables lo más habitual será encontrarnos con algo como lo siguiente: Calcula el valor numérico de Q(x) = 3x 2 – 4x + 5, para x=3, que se denota Q(3) y se calcula: Q(3) = 3·32 – 4·3 + 5 = 27 – 12 + 5 = 20 2.- OPERACIONES CON POLINOMIOS 2.1 Suma y resta de polinomios Para sumar o restar polinomios se suman o restan los monomios semejantes (igual parte literal, mismas letras con mismos exponentes). EJEMPLO_ Calcula P(x) + Q(x) y P(x) – Q(x), siendo P(x) = 4x5 – 3x3 + 5x2 – 7x + 2 y Q(x) = 2x4 – 3x2 + 5x – 6. a) P(x) + Q(x) = (4x5 – 3x3 + 5x2 – 7x + 2) + (2x4 – 3x2 + 5x – 6) = 4x5 – 3x3 + 5x2 – 7x + 2 + 2x4 – 3x2 + 5x – 6 = 4x5 + 2x4 – 3x3 + 2x2 – 2x – 4 b) P(x) – Q(x) = (4x5 – 3x3 + 5x2 – 7x + 2) – (2x4 – 3x2 + 5x – 6) = 4x5 – 3x3 + 5x2 – 7x + 2 – 2x4 + 3x2 – 5x + 6 = 4x5 – 2x4 + 3x3 + 8x2 – 12x + 8 EJEMPLO_ Calcula P(x,y) + Q(x,y), siendo P(x,y) = 4x2y2 – 3x2y – 7xy + 2x y Q(x,y) = 2x2y2 – 3xy2 + 5xy – 6. P(x,y) + Q(x,y) = 4x2y2 – 3x2y – 7xy +2x + 2x2y2 – 3xy2 + 5xy – 6 = 6x2y2 – 3x2y – 3xy2 – 2xy + 2x – 6 1

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2.2 Producto de polinomios Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, esto es, todos por todos, o cada término del primer polinomio se multiplica por cada término del segundo polinomio y luego se suman los términos semejantes. EJEMPLO_ Calcula P(x) · Q(x), siendo P(x) = – 3x3 + 5x2 – 7x + 2 y Q(x) = – 3x2 + 5x – 6. P(x) · Q(x) = (– 3x3 + 5x2 – 7x + 2) · (– 3x2 + 5x – 6) = 9x5 – 15x4 + 21x3 – 6x2 – 15x4 + 25x3 – 35x2 + 10x + 18x3 – 30x2 + 42x – 12 = 9x5 – 30x4 + 64x3 – 71x2 + 52x – 12 2.3 Potencias de polinomios Para elevar un polinomio a una potencia se procede a multiplicar el polinomio por sí mismo las veces que indique el exponente. EJEMPLO_ Calcula: a) (3x2 – 2x + 5)2 = (3x2 – 2x + 5) · (3x2 – 2x + 5) = 9x4 – 6x3 + 15x2 – 6x3 + 4x2 – 10x + 15x2 – 10x + 25 = 9x4 – 12x3 + 34x2 – 20x + 25 b) (x2 + 5x)2 = x4 + 10x3 + 25x2, en este caso hemos utilizado una expresión notable. c) (x2 – 5x)3 = x6 – 15x5 + 75x4 – 125x3, también con expresión notable. d) (x2 + 5x)4 = x8 + 20x7 + 150x6 + 500x5 + 625x4, por expresión notables (Binomio de Newton). (x2 + 5x)4 = (x2 + 5x)2 · (x2 + 5x)2 = (x4 + 10x3 + 25x2) · (x4 + 10x3 + 25x2) = = x8 + 10x7 + 25x6 + 10x7 + 100x6 + 250x5 + 25x6 + 250x5 + 625x4 = = x8 + 20x7 + 150x6 + 500x5 + 625x4, como producto de dos potencias cuadradas. (x2 + 5x)4 = (x2 + 5x)3 · (x2 + 5x) = (x6 + 15x5 + 75x4 + 125x3) · (x2 + 5x) = = x8 + 5x7 + 15x7 + 75x6 + 75x6 + 375x5 + 125x5 + 625x4 = = x8 + 20x7 + 150x6 + 500x5 + 625x4, como producto de un cubo y el propio binomio. 2.4 División de polinomios 2.4.1 División de un monomio entre otro monomio Para dividir un monomio entre otro monomio se divide o simplifican los coeficientes y se dividen aplicando las propiedades de potencias las partes literales. EJEMPLO_ Divide los siguientes monomios: 5

a)

3

25 ⋅ x y z 6

4

3 2

35 ⋅ x y z

=

5⋅ z

2

15 ⋅ x

b)

7⋅ x

3⋅ x

4

= 5⋅ x

2

2

2.4.2 División de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada monomio del polinomio entre el monomio como hemos indicado en el apartado anterior. EJEMPLO_ Divide los siguientes polinomios entre los monomios: 5

a)

3

4

5

2

2

4

3

2

8⋅ x y z 5

b)

3

36 ⋅ x y z + 24 ⋅ x y z − 16 ⋅ x y z

3

27 ⋅ x + 18 ⋅ x − 36 ⋅ x 9⋅ x

3

4

=

27 ⋅ x 9⋅ x

5

3

+

5

=

3

36 ⋅ x y z 5

4

2

8⋅ x y z

18 ⋅ x 9⋅ x

3

3

−

3

36 ⋅ x 9⋅ x

2

24 ⋅ x y z

+

5

2

8⋅ x y z

2

4

−

3

16 ⋅ x y z 5

2

8⋅ x y z

=

9yz

3

2

+ 3

z x

2

− 2

y x

4

3

2

= 3x + 2 − 4x

2.4.3 División de un polinomio entre otro polinomio Para dividir un polinomio entre otro polinomio se procede como en el ejemplo siguiente: EJEMPLO_ Divide el polinomio P(x) = 80x4 + 3x2 + 10x – 7, entre el polinomio Q(x) = 4x2 – x + 1 1) Ordenamos ambos polinomios y los disponemos en forma de “división en caja”, reservando el espacio de aquel término que no aparezca (x3 en este caso, ponemos 0x3), no es obligatorio pero sí aconsejable. 80x4 + 0x3 + 3x2 + 10x – 7

|4x2 – x + 1

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor: 80x4 + 0x3 + 3x2 + 10x – 7

|4x2 – x + 1 20x2 2

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3) A continuación, se multiplica este cociente “20x2” por cada término del divisor y se colocan, cambiados de signo, debajo de sus correspondientes términos del dividendo: 80x4 + 0x3 + 3x2 + 10x – 7 4

3

– 80x + 20x – 20x

|4x2 – x + 1

2

20x2

4) Ahora sumamos y con el polinomio resultante (si todo va bien, el primer término de debe anular y así disminuye el grado del polinomio resultante) se procede igual que en el punto 2), se finaliza el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. En este ejemplo, el hecho de “guardar sitio” al término x 3, facilita el cálculo posterior cuando en el paso 3) aparece sumando dicho término “20x 3”. 80x4 + 0x3 + 3x2 + 10x – 7 4

3

|4x2 – x + 1

2

20x2

– 80x + 20x – 20x

20x3 – 17x2 + 10x – 7 80x4 + 0x3 + 3x2 + 10x – 7

|4x2 – x + 1

– 80x4 + 20x3 – 20x2

20x3 entre 4x2 da de cociente 5x.

20x2 + 5x

20x3 – 17x2 + 10x – 7 80x4 + 0x3 + 3x2 + 10x – 7

|4x2 – x + 1

5x por el divisor y se pasa cambiado de

20x2 + 5x

signo, debajo del dividendo resultante.

– 80x4 + 20x3 – 20x2 3

2

20x – 17x + 10x – 7 – 20x3 + 5x2 – 5x 80x4 + 0x3 + 3x2 + 10x – 7 4

3

2

3

2

|4x2 – x + 1 2

– 80x + 20x – 20x

20x + 5x

Se suman ambas expresiones y se obtiene otro dividendo – 12x2 + 5x – 7

20x – 17x + 10x – 7 – 20x3 + 5x2 – 5x – 12x2 + 5x – 7 80x4 + 0x3 + 3x2 + 10x – 7

|4x2 – x + 1

– 80x4 + 20x3 – 20x2 3

– 12x2 entre 4x2 da de cociente – 3.

20x2 + 5x – 3

2

20x – 17x + 10x – 7 – 20x3 + 5x2 – 5x – 12x2 + 5x – 7 80x4 + 0x3 + 3x2 + 10x – 7 4

3

|4x2 – x + 1

2

2

– 80x + 20x – 20x

20x + 5x – 3

– 3 por el divisor y se pasa cambiado de signo, debajo del dividendo resultante.

20x3 – 17x2 + 10x – 7 – 20x3 + 5x2 – 5x – 12x2 + 5x – 7 12x2 – 3x + 3 80x4 + 0x3 + 3x2 + 10x – 7 4

3

|4x2 – x + 1

2

20x2 + 5x – 3 = C(x)

– 80x + 20x – 20x

20x3 – 17x2 + 10x – 7 – 20x3 + 5x2 – 5x

Por último se suman ambas expresiones y se obtiene

2

5x – 7

otro dividendo que por tener menor grado que el del

2

3x + 3

divisor, marca el final del proceso y por tanto el resto

2x – 4 = R(x)

de la división y su cociente.

– 12x + 12x –

3

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5) Como en toda división se cumple la igualdad: D(x) = d(x) · C(x) + R(x), que es la comprobación de la división. Si nos la piden por escrito debemos hacerla obligatoriamente, en cualquier otro caso sería aconsejable hacerla, pues nos permite practicar las operaciones con polinomios. En este caso la hacemos: D(x) = d(x) · C(x) + R(x) ⇒ 80x4 + 3x2 + 10x – 7 = (4x2 – x + 1) · (20x2 + 5x – 3) + (2x – 4) La multiplicación de polinomios también se puede hacer en vertical: 4x2 – x + 1 20x2 + 5x – 3

x

– 12x2 + 3x – 3 20x3 – 5x2 + 5x 4

80x – 20x3 + 20x2 80x4

+

3x2 + 8x – 3 + 2x – 4

← Sumamos el resto R(x)

D(x) = 80x4 + 3x2 + 10x – 7 2.4.4 División de un polinomio entre otro polinomio del tipo (x – a). Regla de Ruffini. Para dividir un polinomio entre otro polinomio del tipo (x – a), se puede hacer por el método general expuesto en 2.4.3 o aplicando la Regla de Ruffini. Esta regla sirve para divisiones en las que el divisor es algo como: (x – 3), (x + 2), pero no sirve para casos en los que el divisor sea algo como: (x 2 + 3), (2x2 – 4x +1), y se puede utilizar con modificaciones en casos donde el divisor sea del tipo (2x + 3) (si apareciera algún caso de este tipo, veríamos cómo proceder). EJEMPLO_ Divide el polinomio P(x) = 2x4 + 5x3 – 7x + 1, entre el polinomio Q(x) = (x + 2). a) Aplicando el método general, tenemos: 2x4 + 5x3 + 0x2 – 7x + 1 4

– 2x

|x + 2

3

2x3 + x2 – 2x – 3 = C(x)

– 4x

x3 + 0x2 – 7x + 1 – x3 – 2x2 – 2x2 – 7x + 1 2x2 + 4x – 3x + 1 3x + 6 7

← R(x) = 7

b) Aplicando la regla de Ruffini, tenemos: b1) Colocamos los coeficientes de los monomios que forman el polinomio, si falta alguno se debe poner un 0 obligatoriamente. P (x) =

2x4 2

+5x3 5

0

–7x

+1

–7

1

b2) Se toma el valor de “a” y se coloca delante de la tabla. Tener en cuenta que en la expresión (x – 3), “a=3”, mientras que en la expresión (x + 3) ≡ [(x –(–3)], “a=–3”, por tanto en nuestro caso: (x + 2) ⇒ a = –2 2

5

0

–7

1

–2

b3) Ahora se baja el primer coeficiente, 2, y a continuación se multiplica por “a” (que es –2) para obtener –4, que se pone debajo del 5, se suman ambos y se obtiene 1, este 1 se vuelve a multiplicar por –2, se obtiene ahora –2, que se pone debajo del 0, se suman ambos y se obtiene –2 , este –2 se vuelve a multiplicar por –2, se obtiene ahora +4, que se pone debajo del –7, se suman ambos y se obtiene –3 , este –3 se vuelve a multiplicar por –2, se obtiene 4

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ahora +6, que se pone debajo del 1, se suman ambos y se obtiene +7, que es el resto de la división. Los números que aparecen delante del resto, 2

1 –2 –3, son los coeficientes del cociente C(x), pero comenzando con un grado

menos que el dividendo D(x), esto es debido a que el divisor d(x) tiene grado uno. 2 –2

5

0

–7

1

–4

–2

+4

+6

1

–2

–3

|+7 ← Resto: R(x) = 7

2

Cociente: C(x) = 2x 3 + x2 – 2x – 3 3.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS La factorización de polinomios consiste en expresar un polinomio como producto de varios polinomios de menor grado e irreducibles. (Son irreducibles los polinomios de grado uno y algunos de grado par, grado 2 o como mucho grado 4, normalmente para nosotros). Los polinomios que vamos a factorizar serán en una sola variable como regla general, salvo en algunos casos en los que se puedan aplicar las herramientas mencionadas de factor común y expresiones notables. Para factorizar polinomios se utilizan varias herramientas posibles, el factor común, las expresiones notables y la división de polinomios. 3.1 Herramientas para la factorización 3.1.1 El factor común En ocasiones el uso del factor común es suficiente para factorizar un polinomio, pero lo normal es que sea una herramienta que se aplique en un primer momento y facilite el trabajo posterior. EJEMPLO_ Factoriza o inicia la factorización del polinomio utilizando el factor común si es posible. a) P(x) = x3 + 4x2 – 3x = x (x 2 + 4x – 3), solo permite dar el primer paso de la factorización, así el polinomio 2

(x + 4x – 3), se factorizará por otros mecanismos que veremos en los próximos apartados. b) P(x) = x3 + 4x2 – 3, en este caso como un término no tiene x es imposible sacar factor común y deberemos recurrir a otros mecanismos de factorización (suele ser lo normal). c) P(x,y) = 12x3y2 + 4x2y3 – 8x2y = 4x2y (3xy + y2 – 2), en polinomios en dos variables como este, la herramienta habitual es el factor común, el polinomio (3xy + y 2 – 2), se deja así, salvo que fuera una expresión notable fácil de reconocer. 3.1.2 Las expresiones notables Hay polinomios que se pueden factorizar fácilmente mediante expresiones notables, lo cual nos ahorrará trabajo y tiempo, pero que también se podrán factorizar por otros mecanismos. Sin embargo hay algún polinomio (rebuscadillo ciertamente) que la mejor forma de ser factorizado es utilizar las expresiones notables (ejemplo e). EJEMPLO_ Factoriza los siguientes polinomios utilizando expresiones notables: a) P(x) = x2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) b) P(x) = 25x2 – 10x + 1 = (5x + 1) (5x – 1) c) P(x,y) = x2y4 – 16 = (xy2 + 4) (xy2 – 4), sin la expresión notable no podríamos factorizarlo. d) P(x) = 9x2 – 36 = (3x + 6) (3x – 6)(d1), este ejercicio se puede hacer sacando previamente factor común P(x) = 9x2 – 36 = 9 (x2 – 4) = 9 (x + 2) (x – 2)(d2), se puede observar que el resultado no es igual en su escritura en (d1) y en (d2), pero para transformar (d1) en (d2) basta con sacar factor común “3” en los dos factores: 3(x + 2) 3(x – 2) = 9 (x + 2) (x – 2). Mención especial requiere la transformación de (d2) en (d1), se trata de meter el 9 en los paréntesis, pero debe entrar en el primero o en el segundo pero no en los dos, o repartirse entre ambos como “3” y “3”, así la expresión: 9 (x + 2) (x – 2) = (9x + 18) (9x – 18) sería un error grave, mientras que: 9 (x + 2) (x – 2) = (9x + 18) (x – 2) = (x + 2) (9x – 18) = (3x + 6) (3x – 6), serían las tres correctas. e) P(x) = 8x3 + 12x2 + 6x + 1 = (2x + 1)3 = (2x + 1) (2x + 1) (2x + 1), que por otros mecanismos (Ruffini) resulta muy complicado, pues el valor que se debe tomar como “a” es el número que anula la expresión (2x + 1), que se obtiene de resolver la ecuación de primer grado: 2x +1 = 0 ⇒ 2x = –1 ⇒ x=

− 1 2

5

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3.1.3 La división de polinomios Al igual que al descomponer un número en sus factores primos (factorizarlo), se debe utilizar la división sucesivas veces, en la factorización de polinomios este proceso es similar. Ahora bien, debemos buscar factores del polinomio, igual que al factorizar el número 91, no se nos ocurre probar con el 2, ni el 3, ni el 5, pues las reglas de divisibilidad nos dicen que 91 no es divisible por 2, ni por 3, ni por 5, en polinomios hay un par de teoremas que se asimilan a dichas reglas de divisibilidad, y que son los que nos indicarán si un polinomio irreducible de primer grado del tipo (x – a), es o no es factor del polinomio P(x), objeto de la factorización. 3.1.3.1 Teorema del Resto Dice lo siguiente: “El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio del tipo (x – a), es igual al valor numérico del polinomio en x=a, P(a)”, en cristiano sería, “Si dividimos un polinomio P(x) entre un binomio del tipo (x – a), el resto de esa división es igual al valor numérico del polinomio en a, P(a), que es valor que se obtiene al poner “a” en lugar de la “x” del polinomio y hacer el cálculo”. De una forma gráfica: P(x)

|x – a

R(x) = P(a)

C(x)

EJEMPLO_ Calcula el resto de la división del polinomio P(x) = 2x 3 – x2 – 4x + 5 entre el binomio (x – 3), de tres formas diferentes: a) Aplicando el método general, tenemos: 2x3 – 3

x2 –

4x + 5

|x – 3

2

2x2 + 5x + 11 = C(x)

– 2x + 6x

5x2 –

4x + 5

– 5x2 + 15x 11x + 5 11x + 33 38 ← R(x) = 38 b) Aplicando la regla de Ruffini, tenemos: 2 3 2

–1

–4

5

6

15

33

5

11

|38 ← Resto: R(x) = 38 Cociente: C(x) = 2x2 + 5x + 11

c) Aplicando el teorema del resto, tenemos: 2x3 –

x2 –

4x + 5

R(x) = P(3)

|x – 3 C(x)

Luego el resto será: R(x) = P(3) = 2·33 – 32 – 4·3 + 5 = 54 – 9 – 12 + 5 = 38 ⇒ R(x) = 38 Se puede observar que el teorema del resto es la forma más rápida de obtener el resto, pero tiene el inconveniente de que no nos proporciona el cociente, lo que sí hacen la división y Ruffini. Por tanto, este teorema se utilizará únicamente cuando nos soliciten alguna información que tenga que ver con obtener el resto de la división. 3.1.3.2 Teorema del Factor Dice lo siguiente: “Un polinomio P(x) tiene como factor al binomio (x – a), si el valor numérico del polinomio en x=a es cero, P(a)=0”, en cristiano sería, “Si el binomio (x – a) tiene que ser un factor del polinomio P(x), esto es debido a que el resto de la división será cero, puesto que, por el teorema del resto se tiene que R(x) = P(a), se debe cumplir que P(a)=0” . De una forma gráfica:

P(x) R(x) = P(a) = 0

|x – a C(x)

Cuando el resto de la división anterior es cero se puede decir que la división es exacta y además: .- “a” es una raíz del polinomio, hace que el polinomio valga cero al sustituir la “x” por “a”, P(a)=0. .- P(x) es múltiplo de (x – a) y de C(x). .- (x – a) y C(x) son factores de P(x) y por tanto se cumple que: P(x) = (x – a) · C(x) .- (x – a) y C(x) son divisores de P(x). 6

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EJEMPLO_ Calcula el valor de m para que (x – 3) sea factor del polinomio P(x) = x 2 – 5x + m. a) La mejor forma de calcular “m” es utilizar el teorema del resto, si R(x)=0 entonces la división es exacta y por tanto (x – 3) es un factor de P(x). También lo es C(x), pero no lo podemos calcular por esta vía. Aplicando el teorema del resto (el teorema del factor es el teorema del resto cuando este es 0) tenemos: x2 – 5x + m R(x) = P(3) = 0

|x – 3 C(x)

(x – 3) FACTOR ⇒ División EXACTA ⇒ RESTO=0 ⇒ P(3)=0 ⇒ 32 – 5·3 + m = 0 ⇒ 9 – 15 + m = 0 ⇒ m=6 b) Aplicando Ruffini tenemos: 1 3 1

–5

m

3

–6

–2

|m – 6 ← Resto: R(x) = m – 6 = 0 ⇒ m=6 Cociente: C(x) = x – 2

Por tanto (x – 3) es factor de P(x) si m=6. Además el cociente C(x) = x – 2, también es factor de P(x) c) Aplicando el método general, tenemos: x2 –

5x + m

|x – 3

x2 + 3x

x – 2 = C(x)

– 2x + m 2x

– 6 m–6

← R(x) = m + 6 = 0 ⇒ m=6

Por tanto (x – 3) es factor de P(x) si m=6. Además el cociente C(x) = x – 2, también es factor de P(x) 3.2 Factorización Para factorizar un polinomio debemos tener en cuenta los siguientes resultados: - Teorema Fundamental del Álgebra: Un polinomio de grado “n” tiene como máximo “n” raíces reales. (Raíz de un polinomio es el numerito que puesto en lugar de la “x” hace que valga cero. También recibe el nombre de “solución” de un polinomio, pues es la solución de la ecuación que se consigue al igualar el polinomio a cero). - Las raíces enteras de un polinomio se obtienen de entre los divisores del término independiente, si lo tiene. Si no lo tiene, la raíz será cero y se puede sacar factor común a “x”. - Cada raíz “ri” de P(x), (por el Tª del resto, el valor numérico de P(x) en x=r i es cero ⇒ P(ri)=0), origina un factor de P(x). Así, si P(x) tiene raíces: r 1, r2,…,rn se podrá expresar: P(x) = t · (x – r 1) · (x – r 2) · … · (x – r n), siendo “t” el coeficiente del término de mayor grado del polinomio (coeficiente principal). - Con lo anterior deducimos que, un polinomio de grado dos tendrá dos raíces a lo sumo y por lo tanto dos factores como máximo (puede ser que tenga menos), un polinomio de grado tres tendrá tres raíces reales a lo sumo y por lo tanto tres factores como máximo (puede ser que tenga menos), y así sucesivamente. - Las herramientas usadas para factorizar son: como regla general, la división sucesiva de polinomios, pero en ocasiones se debe utilizar la factorización o la aplicación de expresiones notables. EJEMPLO_ Factoriza el siguiente polinomio: P(x) = 3x 4 – 3x3 – 51x2 – 45x. 1) Buscamos las raíces enteras del polinomio (cada raíz origina un factor, y en este ejemplo como máximo debemos buscar cuatro raíces), de entre los divisores del término independiente (cuando no las hay, difícilmente se pueda factorizar el polinomio por la división sucesiva). En este caso no hay término independiente, esto supone que x=0 es una raíz del polinomio y que “x” es un factor del polinomio. Se cumple: 3x4 – 3x3 – 51x2 – 45x –3x4 + 3x3 + 51x2 + 45x

|x 3x3 – 3x2 – 51x – 45

Resto = 0 Por tanto tenemos: P(x) = 3x4 – 3x3 – 51x2 – 45x = x · (3x3 – 3x2 – 51x – 45). 2) Encontrada la primera raíz, repetimos el proceso ahora con el polinomio que ha quedado en el cociente P1(x) = 3x3 – 3x2 – 51x – 45, el término independiente es –45, debemos calcular el valor numérico del polinomio en cada uno se sus divisores {±1, ±3, ±5, ±9, ±15, ±45} hasta encontrar uno que sea cero: 7

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3

2

P1(+1) = 3 · (1) – 3 · (1) – 51 · (1) – 45 = 3 – 3 – 51 – 45 = –96 ≠ 0, supone que x=1 no es raíz de P 1(x) P1(–1) = 3 · (–1)3 – 3 · (–1)2 – 51 · (–1) – 45 = – 3 – 3 + 51 – 45 = 0, supone que x=–1 sí es raíz de P 1(x), por tanto (x + 1) es factor del polinomio, y el cociente de la división será: 3 –1 3

–3

–51

–45

–3

6

45

–6

–45

| 0 ← Resto: R(x) = 0

↓ Cociente: C(x) = 3x2 – 6x – 45 Se cumple: 3x4 – 3x3 – 51x2 – 45x 4

3

x

2

–3x + 3x + 51x + 45x

3x3 – 3x2 – 51x – 45

Resto = 0

–3x3 + 3x2 + 51x + 45

x+1 3x2 – 6x – 45

Resto = 0 Por tanto tenemos: P(x) = 3x4 – 3x3 – 51x2 – 45x = x · (3x3 – 3x2 – 51x – 45) = x · (x + 1) · (3x2 – 6x – 45). 3) Encontrada la segunda raíz, nos queda ahora un polinomio de grado dos, tenemos dos opciones, seguir con el proceso de la misma forma y aplicar Ruffini para calcular el nuevo cociente, o bien aplicar la ecuación de segundo grado que nos dará directamente las dos raíces (si existen) que nos faltan. 3.1) Ruffini. Repetimos el proceso ahora con el polinomio P2(x) = 3x2 – 6x – 45, el término independiente es –45, debemos probar con cuál de sus divisores {±1, ±3, ±5, ±9, ±15, ±45} el valor numérico del polinomio es cero: P2(+1) = 3 · (1)2 – 6 · (1) – 45 = 3 – 6 – 45 = –48 ≠ 0, supone que x=1 no es raíz de P2(x) P2(–1) = 3 · (–1)2 – 6 · (–1) – 45 = 3 + 6 – 45 = –36 ≠ 0 , supone que x=–1 no es raíz de P 2(x) P2(+3) = 3 · (3)2 – 6 · (3) – 45 = 27 – 18 – 45 = –36 ≠ 0 , supone que x=3 no es raíz de P2(x) P2(–3) = 3 · (–3)2 – 6 · (–3) – 45 = 27 + 18 – 45 = 0 , supone que x=–3 sí es raíz de P 2(x), por tanto (x + 3) es factor del polinomio, y el cociente de la división será: 3 –3 3

–6

–45

–9

45 | 0 ← Resto: R(x) = 0

–15

↓ Cociente: C(x) = 3x – 15 = 3 · (x – 5) Se cumple: 3x4 – 3x3 – 51x2 – 45x

x

–3x4 + 3x3 + 51x2 + 45x Resto = 0

3x3 – 3x2 – 51x – 45 3

2

–3x + 3x + 51x + 45 Resto = 0

x+1 3x2 – 6x – 45 2

–3x + 6x + 45

x+3 3x – 15

Resto = 0 Por tanto tenemos: P(x) = 3x4 – 3x3 – 51x2 – 45x = x · (3x3 – 3x2 – 51x – 45) = x · (x + 1) · (3x2 – 6x – 45) = = x · (x + 1) · (x + 3) · (3x – 15) = 3x · (x + 1) · (x + 3) · (x – 5) Esta es la expresión del polinomio factorizado, el factor numérico “3” viene originado por el coeficiente principal que era “3” (se ha sacado factor común a 3 en el último paréntesis). De esta manera, la expresión nos indica las raíces y los factores del polinomio que debemos dejar reflejados claramente en una tabla como la siguiente: RAÍCES x=0 x = –1 x = –3 x=5

FACTORES (x – 0) = x (x + 1) (x + 3) (x – 5)

Cuando la raíz es x=0, el factor por similitud es (x – 0), pero se escribe “x”.

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3.2) Ecuación de segundo grado. Una vez hemos llegado a un polinomio de grado dos, lo más aconsejable es aplicar la ecuación de segundo grado para obtener las raíces que nos faltan (en la práctica es la opción que vamos a utilizar, es más fiable que Ruffini pues en los casos en los que las soluciones no sean enteras (fracciones) Ruffini difícilmente nos dará la solución). En nuestro caso tenemos que factorizar el polinomio P2(x) = 3x2 – 6x – 45, por lo que debemos hacer: 30 6 3x2 – 6x – 45 = 0 ⇒ x =

2

− ( − 6) ±

( − 6) − 4 ⋅ 3 ⋅ ( − 45) 2⋅ 3

=

6±

36 + 540 6

=

6±

576 6

=

6 ± 24 6

= 5

= − 18 6

= − 3

Las raíces son x=5 y x=–3, que originan dos factores (x – 5) y (x + 3). Estos dos factores multiplicados originan el polinomio Q(x) = (x – 5) · (x + 3) = x 2 – 2x – 15, que no es el polinomio que nosotros buscamos, esto se debe a que todos los polinomios que se obtienen al multiplicar Q(x) por un número real tienen las mismas raíces x=5 y x=–3, (Q1(x) = –Q(x) = –x2 + 2x + 15 = – (x – 5) · (x + 3) o Q 2(x) = 2 · Q(x) = 2x 2 – 4x – 30 = 2 · (x – 5) · (x + 3) o Q3(x) = 3 · Q(x) = 3x 2 – 6x – 45 = 3 · (x – 5) · (x + 3), tienen todos las mismas raíces, variando únicamente el coeficiente principal), en nuestro caso falta multiplicar por 3, que es el coeficiente principal de P2(x), es muy importante tenerlo en cuenta, la factorización correcta sería: P2(x) = 3 · (x – 5) · (x + 3). Este problema se podía haber solucionado si con anterioridad se hubiera sacado factor común a 3, bien en el polinomio original, bien en el polinomio de tercer grado o de segundo grado que aparece por el camino y factorizar así un polinomio con un 1 como coeficiente principal: P(x) = 3x4 – 3x3 – 51x2 – 45x = 3 · (x4 – x3 – 17x2 – 15x) (Ver ejercicio en archivo anexo II) P1(x) = 3x3 – 3x2 – 51x – 45 = 3 · (x3 – x2 – 17x – 15) P2(x) = 3x2 – 6x – 45 = 3 · (x2 – 2x – 15) Se cumple: 3x4 – 3x3 – 51x2 – 45x

x

–3x4 + 3x3 + 51x2 + 45x Resto = 0

3x3 – 3x2 – 51x – 45 3

2

–3x + 3x + 51x + 45 Resto = 0

x+1 3x2 – 6x – 45 –3x2 + 6x + 45

x+3 3x – 15

Resto = 0 Por tanto tenemos: P(x) = 3x4 – 3x3 – 51x2 – 45x = x · (3x3 – 3x2 – 51x – 45) = x · (x + 1) · (3x2 – 6x – 45) = = x · (x + 1) · (x + 3) · (3x – 15) = 3x · (x + 1) · (x + 3) · (x – 5) Esta es la expresión del polinomio factorizado, el factor numérico “3” viene originado por el coeficiente principal que era “3” (se ha sacado factor común a 3 en el último paréntesis). De esta manera, la expresión nos indica las raíces y los factores del polinomio que debemos dejar reflejados claramente en una tabla como la siguiente: RAÍCES x=0 x = –1 x = –3 x=5

FACTORES (x – 0) = x (x + 1) (x + 3) (x – 5)

Cuando la raíz es x=0, el factor por similitud es (x – 0), pero se escribe “x”.

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*NOTA: Este proceso de factorización es similar al utilizado con números naturales. Ejemplo: Factoriza 84 ⇒ 84 = 2 · 42 = 2 · 2 · 21 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2 2 · 3 · 7, además no influye el orden en el resultado de la factorización: 84 = 3 · 28 = 3 · 2 · 14 = 3 · 2 · 2 · 7 = 22 · 3 · 7 84

2 42

84 2 21

3 28

2 14

3 7

2 7

4.- FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es una fracción con un polinomio en el numerador y otro en el denominador. 2

1

Ejemplo:

2

x + 3x − 1

4

x − x

,

2

x + 3x − 1

2

x − x + 5x − 2

,

,

2

x − 1

4 x

y+ x− 2

,

2

.

2

y + x− y

Al igual que con las fracciones numéricas, las fracciones algebraicas se pueden simplificar, sumar, restar, multiplicar o dividir, y debemos respetar la jerarquía de operaciones al actuar con ellas. Como cualquier expresión algebraica, se puede calcular el valor numérico de la fracción para x=a, con la salvedad de que cuando el valor numérico para x=a en el denominador sea nulo, diremos que la fracción algebraica no tiene valor numérico para x=a. 2

Ejemplo: Calcula el valor numérico de la fracción algebraica 2

.- x=1:

x − x 2

x + 2x − 3

2

=

1 − 1 2

1 + 2⋅1− 3

2

.- x=–3:

x − x 2

x + 2x − 3

0

=

2

x + 2x − 3

para x=1, x=0, x=2 y x=–3.

, no tiene sentido numérico, no hay valor numérico para x=1.

0

2

=

x − x

( − 3) − ( − 3) 2

( − 3) + 2 ⋅ ( − 3) − 3

=

9+ 3

12

=

9− 6− 3

0

, no se puede dividir por cero, no hay valor

numérico para x=–3. 2

.- x=0:

x − x 2

x + 2x − 3

2

=

0 − 0 2

0 + 2⋅0− 3

2

.- x=2:

x − x 2

x + 2x − 3

0

=

− 3

2

=

2 − 2 2

2 + 2⋅2− 3

2

=

5

= 0 , sí se puede dividir por cero, el valor numérico para x=0 es 0.

, el valor numérico para x=2 es

2 5

.

4.1 Simplificación de fracciones algebraicas Para simplificar fracciones algebraicas se factorizan el numerador y el denominador y se simplifican los factores comunes. 2

Ejemplo: Simplifica la fracción algebraica

x − x 2

x + 2x − 3

.

.- Factorizamos el numerador: - Sacando factor común (ecuación de segundo grado incompleta): x 2 – x =x · (x – 1). - También se puede hacer como ecuación de segundo grado, por el método general: x2 – x = 0 ⇒ x =

2

− ( − 1) ±

( − 1) − 4 ⋅ 1 ⋅ 0 2⋅1

=

1±

1+ 0 2

=

1±

1 2

=

1± 1

⇒ x1=1

y

x2=0

2

.- Factorizamos el denominador utilizando la ecuación de segundo grado: x2 + 2x – 3 = (x – 1) · (x + 3) x2 + 2x – 3 = 0 ⇒ x =

− 2±

2

2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3) 2⋅1

=

− 2±

4 + 12 2

=

− 2± 2

16

=

− 2± 4

⇒ x1=1

y

x2=–3

2

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4.2 Jerarquía de operaciones con fracciones algebraicas La jerarquía de operaciones con fracciones algebraicas es la misma que con operaciones con números reales. Ejemplo_ Realiza las siguientes operaciones aplicando las propiedades del cálculo con fracciones y la jerarquía de operaciones:

  

2 x+ 1

−

1 x−

  2

2

x − 4x + 4

⋅

2

x − 25

 

:

x 2 + 6x + 5 

−1

 

x 2 − 2x

=

1) Resolvemos la resta calculando el mínimo común múltiplo (M.C.M) de los denominadores, que en este caso es el producto de ambos, y transformando los numeradores. Finalmente dejamos indicado el resultado:

  

2 x+ 1

−

1 x−

  2

2 ⋅ (x − 2) − 1 ⋅ (x + 1)

=

(x + 1) ⋅ (x − 2)

=

2x − 4 − x − 1 (x + 1) ⋅ (x − 2)

=

(x − 5) (x + 1) ⋅ (x − 2)

2) Factorizamos la segunda fracción utilizando expresiones notables: 2

x − 4x + 4 2

x − 25

=

(x − 2) ⋅ (x − 2) (x + 5) ⋅ (x − 5)

3) Aplicamos la potencia y factorizamos la tercera fracción utilizando la ecuación de segundo grado y las expresiones notables:

  

x 2 + 6x + 5 

−1

 

x 2 − 2x

=

  

x 2 − 2x

 

=

x 2 + 6x + 5 

x2 + 6x + 5 = 0 ⇒ x =

− 6±

x ⋅ (x − 2) (x + 1) ⋅ (x + 5)

2

6 − 4⋅ 1⋅ 5 2⋅1

=

− 6±

36 − 20 2

=

− 6± 2

16

=

− 6± 4

⇒ x1=–1

y

x2=–5

2

4) Colocamos todo junto y realizamos las multiplicaciones y divisiones aplicando lo que conocemos de fracciones con números reales, simplificando la fracción resultante:

   =

2 x+ 1

−

1 x−

  2

2

⋅

x − 4x + 4 2

x − 25

 : 

x 2 + 6x + 5 

 

2

x − 2x

(x − 5) ⋅ (x − 2) ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 5) ⋅ (x + 1) (x + 1) ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 5) ⋅ (x − 5) ⋅ x ⋅ (x − 2)

−1

=

=

(x − 5)

⋅

(x − 2) ⋅ (x − 2)

(x + 1) ⋅ (x − 2) (x + 5) ⋅ (x − 5)

:

x ⋅ (x − 2) (x + 5) ⋅ (x + 1)

=

1 x

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NOTAS_ POLINOMIOS * SÍMBOLOS: ⇒ _ “Implica” ó “quiere decir” ó “supone que”, la relación es cierta de izquierda a derecha. ⇐ _ “Implica” ó “quiere decir” ó “supone que”, la relación es cierta de derecha a izquierda. ⇔ _ “Doble implica”, la relación es cierta en ambos sentidos. ≠ _ “Distinto”

∞ _ “Infinito”

≈ _ “Aproximado”

∈ _ “Pertenece”

∉ _ “No pertenece”

/ _ “Tal que”

Π _ “Tal que”

∃ _ “Existe”

∄ _ “No existe”

α _ “Alfa”

β _ “Beta”

γ

_ “Gamma”

* PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES SUMA Y PRODUCTO (RESTA Y COCIENTE NO LAS CUMPLEN) SUMA

PRODUCTO

CONMUTATIVA

A+B=B+A

A·B=B·A

ASOCIATIVA

(A + B) + C = A + (B + C)

(A · B) · C = A · (B · C)

ELEMENTO NEUTRO Es aquel valor que operado con A origina A.

A+0=A ELEMENTO NEUTRO ES “0”

A·1=A ELEMENTO NEUTRO ES “1”

ELEMENTO INVERSO Es aquel valor que operado con A origina el elemento neutro de esa operación.

1

A·

A + (–A) = 0 En la suma al elemento inverso se le llama “opuesto”.

A

=1

En el producto a la expresión

1 A

se le

llama inverso de A. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA A · (B + C) = A · B + A · C

* EXPRESIONES NOTABLES: a) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 b) (a–b)2 = a2 – 2ab + b2 c) (a+b) · (a–b) = a2 – b2 d) (a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3 e) (a–b)3 = a3 – 3 a2b + 3ab2 – b3 * ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0 se tiene: x =

− b±

b

2

− 4ac

2a

* OPERACIONES CON FRACCIONES: .- Suma y resta _ Hacer el m.c.m. de los denominadores y transformar los numeradores: 3 5

+

2 15

−

4 25

=

45 75

+

10 75

−

12 75

=

45 + 10 − 12 75

=

43 75

.- Producto-Multiplicación_ Numerador-numerador y denominador-denominador:

.- Cociente-División_ Producto cruzado:

3 5

:

2 15

=

45 10

=

3 5

⋅

2 15

=

6 75

=

2 25

9 2

12